江苏泗洪中学2020届高三年级数学冲刺卷（含附加题）附答案详解

2020 届高三年级冲刺卷 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共 14 小题． 1．若复数 （i 为虚数单位），则 ________． 2．设集合 ， ，若 ，则 ________． 3．函数 的定义域为________． 4．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的 500 辆汽车的 时速，所得数据均在区间 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 500 辆汽车 中，时速在区间 内的汽车有________辆． 5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为________． 6．函数 的最小正周期是________． 7．箱子中有 4 个分别标有号码 2，0，1，5 的小球，从中随机取出一个记下号码后放回，再 随机取出一个记下号码，则两次记下的号码均为奇数或偶数的概率为________． 8．已知双曲线 C： 的一个焦点坐标为 ，且它的一条渐近线与直 线 l： 垂直，则双曲线 C 的标准方程为________． 9．已知各项均为正数的等比数列 满足 ， ，则 的值为________． 10．已知函数 ，若 ，则 ________． 11．已知 ， ，则 ________． 1z i= + 1z z + = { }3,2aA = { , }B a b= {2}A B = A B = 1( ) 42 x f x  = −   [40,80] [40,60] 2( ) sin 2 4f x x π = −   2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > (2,0) 3 0x y+ = { }na 3 4a = 3 7S = 2a 2 ,0 2( ) 2 8, 2 x x xf x x x  + < > 31, 2       (1, 3) OPQ 1 2 3 2 22( ) ( )3f x x mx m x m R= − + ∈ '( )f x ( ) ( ) ( )'g x f x f x= − ( )( ) ' '(ln )xh x f e f x= + m R∈ 2 2( )h x m k≥ + (0, )+∞ { }na { }nb { }nc 1 1 2 2 n n n na b a b a b c S+ + ⋅⋅⋅ + = *n N∈ nS { }na { }nc ( 0)d d ≠ { }na 2d = 2 3c = { }nb na nλ= λ { }nb（3）若 （ 为常数， ）， ．求证：对任意的 ， ， 恒成立． 2020 届高三年级冲刺卷 数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的 前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．已知矩阵 ． （1）求 ； （2）求矩阵 M 的特征值和特征向量． B．在极坐标系中，已知曲线 C 的方程为 ，直线 l 的方程为 ．设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且 ，求 r 的值． 【必做题】第 22 题、第 23 题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．商场举行有奖促销活动，顾客购买每满 400 元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽 奖者掷各面标有 1~6 点数的正方体骰子 1 次，若掷得点数不大于 4，则可继续在抽奖箱中抽 奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有 2 个红球与 个白球， 抽奖者从箱中任意摸出 2 个球，若 2 个球均为红球，则获得一等奖，若 2 个球为 1 个红球和 1 个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相 同）． （1）若 ，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率； （2）若一等奖可获奖金 400 元，二等奖可获奖金 300 元，三等奖可获奖金 100 元，记顾客 一次抽奖所获得的奖金为 X，若商场希望 X 的数学期望不超过 150 元，求 m 的最小值． 23．对有 个元素的总体 进行抽样，先将总体分成两个子总体 和 （m 是给定的正整数，且 ），再从每个子总体中各随机抽 取 2 个元素组成样本．用 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率． （1）求 的表达式（用 m，n 表示）； （2）求所有 的和． 2020 届高三年级冲刺卷 数学Ⅰ试题评分细则 一、填空题：本大题共 14 小题． 1． 2． 3． 4．200 5．8 6． 7． 8． 1 1a c d k= = = k *k N∈ ( )*2,n n kb c n n N+= ∈ 2n ≥ *n N∈ 1 1 n n n n b b a a + + > 2 1 1 2M  =    2M ( 0)r rρ = > cos 24 πρ θ + =   2 7AB = ( )*2,m m m N∈ 4m = ( 4)n n ≥ {1,2,3, , }n… {1,2,3 , }m { 1, 2, , }m m n+ + ⋅⋅⋅ 2 2m n≤ ≤ − ijP 1nP (1 )ijP i j n≤ < ≤ 3 1 2 2 i+ {1,2,3} ( , 2]−∞ − 2 π 1 2 2 2 13 yx − =9．2 10．2 11． 12．9 13． 14．-3 二、解答题：本大题共 6 小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．证明：（1） ，且 N 是 的中点， ， 又 ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ． （2）取 AC 中点 P，连接 NP，BP， ∵N 是 中点，P 为 AC 中点， ，且 ， 又 M 为 中点， ，且 ， ，且 ，∴四边形 PNMB 是平行四边形， ， 平面 ABC， 平面 ABC， 平面 ABC． 16．解：（1）在 中， ， ， ， ，故 ， 所以 ， ，所以 ； （2）由（1）知 ，设 ， 1 9 − 1,6ln3 {0}e       1MA MC= 1AC 1MN AC∴ ⊥ 1MN AA⊥ 1 1 1AA AC A= 1AC 1AA ⊂ 1 1A ACC MN∴ ⊥ 1 1A ACC MN ⊂ 1A MC 1A MC ⊥ 1 1A ACC 1AC 1PN AA∴  1 1BB AA= 1BB 1BM AA∴  1 1 2BM AA= PN BM∴  PN BM= MN BP∴  MN ⊄ BP ⊂ MN∴  ABC 1tan 2B = 10cos 10C = − ,2C π π ∈   3 10sin 10C∴ = tan 3C = − 1 3(tan tan ) 2tan tan( ) 11(1 tan tan ) 1 ( 3)2 B CA B C B C  − +  = − + = − = − =− ⋅  − × −   0 A π< 0> 2 800 2 800 m n m n − + = −∴ + = 480 160 m n =  = ( 960,480)E∴ − 2 2| | 960 480 480 5d AE∴ = = + = PE PFk k∴ = 400 2 400 2 400 400 m n m n − −=− + + 80 240m n mn+ = 80 240 160 3mn m n mn= +  76800mn ≥ 3 480m n= = 1AC ADk k⋅ = − AC AD∴ ⊥ 1 1 5 55 5 76800 1920002 2 2 2AEFS AE AF m n mn∴ = ⋅ = ⋅ ⋅ = × =   ( 960,480)E − 480 5d AE= = 480 5d = AEF 2192000m 31, 2      所以 ．① 又因为点 在椭圆 E 的辅圆 上， 所以 ．② 由①②解得 ， ， 故椭圆 E 的方程为 ； （2）设 ， ，其中 ， ． 因为点 P，Q 分别在椭圆 与圆 上， 所以 ， ，解得 ． 又因为 ， 所以 ， 将 代入 ，得 ， 由 可知 ，则 ， 所以 ； （3）直线 PT 与椭圆 E 相切． 由（2）可设 ， ，其中 ， ， 则 QT： ， ． 又直线 PT 的斜率 ， 所以直线 PT 的方程为 ， 联立方程组 消去 y，并整理得 ， 2 2 1 3 14a b + = (1, 3) 2 2 2x y a+ = 21 3 a+ = 2 4a = 2 1b = 2 2 14 x y+ = ( )0 0,P x y ( )0 , QQ x y 0 0x > 0 0y > 2 2 14 x y+ = 2 2 4x y+ = 2 2 0 04 4x y+ = 2 2 0 4Qx y+ = 02Qy y= 0 0 0 0 1 1 2 2 2OPQ Q x yS x y y= ⋅ − = =  0 0 1x y = 0 0 1y x = 2 2 0 04 4x y+ = ( )22 0 2 0x − = 0 0x > 0 2x = 22, 2P       ( 2, 2)Q ( )0 0,P x y ( )0 0,2Q x y 0 0x > 0 0y > 0 0 0 2 2 xy xy y = − + 0 4 ,0T x       0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 4 4 4 4PT y x y x y xk x y yx x = = = = −− −− ( )0 0 0 0 0 4 1 44 4 xy x xxy x y  = − − = −    ( ) 2 2 0 0 4 4, 1 4 ,4 x y y xxy  + =  = − ( )2 2 2 0 02 0 1 16 8 44x x x xxy + + − =即 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 所以 ． 综上可知，直线 PT 与椭圆 E 相切． 19．解：（1） ， ， ， ∵函数 存在极值， 令 ，得 ， 则 ，即 ， ， ∴m 的取值范围为： ； （2） ， ∵关于 x 的不等式 在 上恒成立， 在 上恒成立， 即 对任意 ，任意 恒成立， 令 ， ， 2 2 2 20 0 0 0 2 2 2 0 0 0 4 2 4 4 04 x y x yx xy y y  + −− + =    2 2 0 04 4x y+ = 22 0 0 2 2 2 0 0 0 2 0xx xx y y y − + = ( )2 0 0x x− = 0x x= 2 2'( ) 2 2f x x mx m= − + ( )3 2 2 2 2 3 2 2 22 2( ) 2 2 ( 2) 23 3g x x mx m x x mx m x m x m m x m∴ = − + − + − = − + + + − ( )2 2'( ) 2 2( 2) 2g x x m x m m∴ = − + + + ( )g x '( ) 0g x = ( )2 22 2( 2) 2 0x m x m m− + + + = ( )2 24( 2) 8 2 0m m m∆ = + − + > ( 2)( 2) 0m m+ − < 2 2m∴− < < ( 2,2)− 2 2 2 2( ) 2 2 2ln 2 lnx xh x e me m x m x m= − + + − + 2 2( )h x m k≥ + (0, )+∞ 2 2 2 2 2 22 2 2ln 2 lnx xe me m x m x m m k∴ − + + − + + (0, )+∞ 2 2 2 22 2 2ln 2 lnx xk e me m x m x≤ − + + − m R∈ (0, )x∈ +∞ ( )2 2 2( ) 2 2ln 2 2lnx xF m m e x m e x= − + + + ( )2 2 2 2 2ln ln 2 ln 2 2lnx x x xm e x e x e x e x= − − − − − + + ( )2 2 2ln ln 2 lnx x xm e x e x e x= − − + + − ( )22 2ln 2 ln lnx x xe x e x e x≥ + − = − ( )22 lnxk e x∴ ≤ −， 令 ， 则 ，显然 在 上单调递增，且 ， ， ∴存在 使得 ，即 ， ∴当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递 增， ， ∵对勾函数 ，当 时单调递减， ， 又 ， ∴k=1 或 2， ∴k 的取值集合为 20．（1）解：∵ ， ， ． 是各项不为零的常数列， ，则 ， 则由 ，及 ，得 ， 当 时， ， 两式作差，可得 ． 当 n=1 时， 满足上式，则 ； （2）证明： ， 当 时， ， 两式相减得： ， lnxk e x∴ ≤ − ( ) lnxH x e x= − 1'( ) xH x e x = − '( )H x (0, )+∞ '(1) 1 0H e= − > 1' 2 02H e  = −