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2020 届广东省惠州市文科数学高考一模试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求．
1．（5 分）设集合 A＝{x|x＞0}，集合 ，则 A∪B＝（ ）
A．{x|x＞0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|x≥1}
2．（5 分）已知 i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．i（1+i） B．i（1﹣i）2 C．i2（1+i）2 D．i+i2+i3+i4
3．（5 分）已知 a，b∈R，则“a＜b”是“log2a＜log2b”的（ ）条件．
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
4．（5 分）已知数据 x1，x2，……，x2020 的方差为 4，若 yi＝﹣2（xi﹣3）（i＝1，2，……
，2020），则新数据 y1，y2，……，y2020 的方差为（ ）
A．16 B．13 C．﹣8 D．﹣16
5．（5 分）函数 的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
6．（5 分）我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿
中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ）第 2 页（共 6 页）
A． +4π B． +8π C．8+4π D．8+8π
7．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝2，c＝3，且满足（2a
﹣c）cosB＝bcosC，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣1 D．﹣3
8．（5 分）已知函数 f（x）＝e|x|+|x|，则满足 f（2x﹣1）＜f（ ）的 x 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（5 分）已知 F 是抛物线 y2＝4x 的焦点，过焦点 F 的直线 l 交抛物线的准线于点 P，点
A 在抛物线上且|AP|＝|AF|＝3，则直线 l 的斜率为（ ）
A．±1 B． C． D．2
10．（5 分）设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（ ）
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n
B．若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n
C．若 α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则 n⊥β
D．若 m⊥α，m∥n，n⊂β，则 α⊥β
11．（5 分）函数 的最小正周期为 π，若其图
象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图象（ ）
A．关于点 对称 B．在 上单调递增
C．关于直线 对称 D．在 处取最大值
12．（5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程 f2（x）﹣mf（x）+1＝0 恰好有四
个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）第 3 页（共 6 页）
A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（2，4）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．（5 分）设直线 y＝x+m 是曲线 y＝ex 的一条切线，则实数 m 的值是 ．
14．（5 分）已知向量 ， ，若向量 与 垂直，则 x＝ ．
15．（5 分）2020 年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返
校开学，不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调
查问卷中，随机抽取 n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方
图（如图所示）．已知学习时长在[9，11）的学生人数为 25，则 n 的值为 ．
16．（5 分）已知椭圆 ＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆上的动点，若动
点 Q 满足 （λ∈R，λ＞0）且| |，则点 Q 到双曲线 ＝1 一条
渐近线距离的最大值为 ．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共
60 分．
17．（12 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S3＝9，a4+a5+a6＝27．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 bn＝an2，求数列{bn}前 n 项和 Tn．
参考公式：12+22+……+n2＝ ．
18．（12 分）已知几何体 ABCDEF 中，AB∥CD，FC∥EA，AD⊥AB，AE⊥面 ABCD，AB＝
AD＝EA＝2，CD＝CF＝4．第 4 页（共 6 页）
（1）求证：平面 BDF⊥平面 BCF；
（2）求点 B 到平面 ECD 的距离．
19．（12 分）惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国 I 卷的题型结构，其中第 22
、23 题为选做题，考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目
无任何差异，该校参加模拟考试学生共 1050 人，其中文科学生 150 人，理科学生 900 人
．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的 22 题和 23 题得分情况进行了
统计，22 题统计结果如表 1，23 题统计结果如表 2．
22 题得分 0 3 5 8 10
理科人数 50 70 80 100 500
文科人数 5 20 10 5 70
表 1
23 题得分 0 3 5 8 10
理科人数 10 10 15 25 40
文科人数 5 5 25 0 5
表 2
（1）在答卷中完成如下 2×2 列联表，并判断能否至少有 99.9%的把握认为“选做 22 题
或 23 题”与“学生的科类（文理）”有关系；
选做 22 题 选做 23 题 合计
文科人数 110
理科人数 100
总计 1050
（2）在第 23 题得分为 0 的学生中，按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行答疑辅导，并
在辅导后从这 6 人中随机抽取 2 人进行测试，求被抽中进行测试的 2 名学生均为理科生第 5 页（共 6 页）
的概率．
参考公式：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2）≥k0 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
20．（12 分）已知函数 f（x）＝a•x2+lnx﹣x，a∈R 且 a≠0．
（1）当 a＝﹣1 时，求函数 f（x）的单调区间与极值；
（2）当 x＞1 时，f（x）＜2a•x 恒成立，求 a 的取值范围．
21．（12 分）已知椭圆 C： ＝1（a＞0，a≠1）的两个焦点分别是 F1、F2，直线 l：
y＝kx+m（k，m∈R）与椭圆交于 A、B 两点．
（1）若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2 是直角三角形，求 a 的值；
（2）若 a＝2，且 kOA•kOB＝﹣ ，求证：△OAB 的面积为定值．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．答题时请在答卷中写清
题号并将相应信息点涂黑．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （φ 为参数）
．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝
．
（1）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）设 P 是曲线 C1 上一点，此时参数 φ＝ ，将射线 OP 绕坐标原点 O 逆时针旋转
交曲线 C2 于点 Q，记曲线 C1 的上顶点为 T，求△OTQ 的面积．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+2a|+|x﹣a|．
（Ⅰ）当 a＝1 时，求不等式 f（x）≥4﹣|x+2|的解集；
（Ⅱ）设 a＞0，b＞0，且 f（x）的最小值是 t．若 t+3b＝3，求 的最小值．第 6 页（共 6 页）
2020 届广东省惠州市文科数学高考一模试题答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求．
1．A； 2．C； 3．B； 4．A； 5．B； 6．C； 7．D； 8．A； 9．C； 10．D； 11．A
； 12．A；
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．1； 14．7； 15．50； 16． +6；
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共
60 分．
17． ； 18． ； 19． ； 20． ； 21． ；
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．答题时请在答卷中写清
题号并将相应信息点涂黑．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22． ；
[选修 4-5：不等式选讲]
23． ；
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