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2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若复数 满足 （ 是虚数单位），则 为（ ）
A. B. C. D.
3.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4.在 的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则 （ ）
A. B. C. D.
5．已知 x•log32＝1，则 4x＝（ ）
A．4 B．6 C．4 D．9
6．在△ABC 中，若 sinB＝2sinAcosC，那么△ABC 一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝
世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平
{ }( 1)( 4) 0A x x x= + − ≤ { }2log 2B x x= ≤ A B∩ =
[ ]4,2− [ )1,+∞ ( ]0,4 [ )2,− +∞
z 2(1 )z i i− = i z
1
3
1
2
1
4
1
5
1
23a = 2log 3b = 9log 2c = a b c
a b c> > a c b> > b a c> >
c b a> >
生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数
学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，
在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启
蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹
何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的 分别为 ， ，则输出的
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
9.设函数 ，若函数 的图象在 处的切线与直线
,a b 3 1 n =
3
( ) e 1
= +x
xf x
2( ) lnf x a x bx= + ( 0, 0)a b> > ( )f x 1x =
平行，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10．已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0， ）的最小正周期为π，且关于
中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．f（1）＜f（0）＜f（2） B．f（0）＜f（2）＜f（1）
C．f（2）＜f（0）＜f（1） D．f（2）＜f（1）＜f（0）
11.函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
12. 定义在R上的可导函数 满足 ，记 的导函数为 ，当
时恒有 ．若 ，则m的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.函数 则 __________．
14．已知 x，y 满足 若 的最小值为_________．
15.已知抛物线 与椭圆 有相同的焦点 ， 是两
曲线的公共点，若 ，则此椭圆的离心率为_________.
16、已知正三棱锥 ，点 、 、 、 都在半径为 球面上，若 、 、 两两相
互垂直，则球心到截面 的距离为__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件，并按质量指
标值进行统计分析，得到表格如表：
的
2 0x y e− − = 1 1
a b
+
1 1
2 3 2 2− 3 2 2+
( ) ( )2sin 4cos 1f x x x= ⋅ −
3
π 2
3
π π 2π
( )f x (2 ) ( ) 2 2f x f x x− = − + ( )f x ( )f x′
1x ≤ ( ) 1f x′ < ( ) (1 2 ) 3 1f m f m m− − −≥
( , 1]−∞ − 1( ,1]3
− [ 1, )− +∞ 1[ 1, ]3
−
0
4
2 1.
x
x y
x y
+
−
，
，
≥
≥
≤
2x y+
2 2 ( 0)y px p= >
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > F P
5
6PF p=
质量指标值 等级 频数 频率
[60，75） 三等品 10 0.1
[75，90） 二等品 30 b
[90，105） 一等品 a 0.4
[105，120） 特等品 20 0.2
合计 n 1
（1）求 a，b，n；
（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件中
随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率．
18．（12 分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设
.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 的周长为 8，求 的面积的取值范围.
19．(12 分)如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ，
，点 是 的中点.
（I）求证： 平面 ；
（II）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小.
20．（12 分）设函数 .
ABC A B C a b c
23 sin( ) cos2 2
BA C+ =
sin B
ABC ABC
P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD
PD DC= E PC
/ /PA BDE
BD PBC 30° C PB D− −
( ) ln ( 1) ( )f x x a x a R= − − ∈
（I）讨论函数 的单调性；
（II）当函数 有最大值且最大值大于 时，求 的取值范围.
21．（12 分）中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线
对称，且椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 .
（I）求椭圆 E 的标准方程；
（II）过点 的直线 l（直线的斜率 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P
点 A 关于 x 轴的对称点为 D，直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究 是否为定值？请说
明理由.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O
为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设 P（0，-1），直线 l 与 C 的交点为 M，N，线段 MN 的中点为 Q，求 .
( )f x
( )f x 3a − a
2: 4C x y= y x=
( )2,0
( )0, 2−
| | | |OP OQ⋅
2
2
21 2
x t
y t
=
= − +
2
2
4
1 sin
ρ θ= +
− OP OQ
23.已知函数 ．
（1）解不等式：
（2）若函数 与函数 的图象恒有公共点，求
实数 的取值范围．
( ) 2f x x= −
( ) 4 ( 1)f x f x< − +
( ) 3,( 4)g x x x= − ≥ ( ) 2 ( 2)y m f x f x= − − −
m
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
1、【答案】C
【解析】算出集合 后可求 .
【详解】 ， ，
故 ，故选 C.
2、【答案】B
【解析】利用复数的除法运算求得 ，问题得解.
【详解】由 可得：
所以 故选：B
3、【答案】A
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较 、 、 与 和 的大小关系，从而可得
出实数 、 、 的大小关系.
【详解】由于指数函数 是增函数，则 ；
对数函数 是增函数，则 ，即 ；
对数函数 是增函数，则 .
因此， .
故选：A.
4、【答案】B
【解析】
， ， ，解
得： ，故选 B.
,A B BA
{ } [ ]( 1)( 4) 0 1,4A x x x= + − ≤ = − { } ( ]2log 2 0,4B x x= ≤ =
( ]0,4A B∩ =
1
2z = −
2(1 )z i i− = 2 2
1
(1 ) 1 2 2
i iz i i i
= = = −− − +
1
2z =
a b c 1 1
2
a b c
3xy = 1
023 3 1a = > =
2logy x=
2 2 2log 2 log 3 log 2< < 1 12 b< <
9logy x= 9 9
1log 2 log 3 2c = < =
a b c> >
5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，
∴4x＝ ＝ ＝9，
故选：D．
6、B 解：∵sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝2sinAcosC，
∴cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A）＝0，即 C﹣A＝0，C＝A，
∴a＝c，即△ABC 为等腰三角形．
故选：B．
7、【答案】C
【解析】按流程图逐一执行即可.
【详解】输入的 分别为 ， 时，依次执行程序框图可得：
不成立
不成立
不成立
,a b 3 1
1 93 32 2a = + × =
2 1 2b = × =
a b<
1 1 2n = + =
9 1 9 27
2 2 2 4a = + × =
2 2 4b = × =
a b<
2 1 3n = + =
27 1 27 81
4 2 4 8a = + × =
2 4 8b = × =
a b<
3 1 4n = + =
81 1 81 243
8 2 8 16a = + × =
2 8 16b = × =
成立
输出 故选：C
8、【答案】D
【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．
【详解】当 x0， g(4)=
0，即 f′（x）＞0，函数 f（x）是增函数，
当 x∈（ ，+∞），g(x) 43 e−
( )0 3,4x ∈ 0x
0x
0x
2( ) lnf x a x bx= + ( ) 2af x bxx
′ = +
( )f x 1x = 2 0x y e− − =
(1) 2 1f a b′ = + =
( )1 1 1 1 1 11 2a ba b a b a b
+ = + × = + × +
2 21 2 3 2 3 2 2b a b a
a b a b
= + + + ≥ + × = +
22 1, 1 2a b= − = −
所以 的最小值为
故选： D
10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．
解：∵函数的最小周期是 π，∴ ＝π，得 ω＝2，
则 f（x）＝sin（2x+φ），
∵f（x）关于 中心对称，
∴2×（﹣ ）+φ＝kπ，k∈Z，
即 φ＝kπ+ ，k∈Z，
∵ ，
∴当 k＝0 时，φ＝ ，
即 f（x）＝sin（2x+ ），
则函数在[﹣ ， ]上递增，在[ ， ]上递减，
f（0）＝f（ ），
∵ ＜1＜2，
∴f（ ）＞f（1）＞f（2），
即 f（2）＜f（1）＜f（0），
故选：D．
11、【答案】B
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将 化简为 的形式，再利用周
1 1
a b
+ 3 2 2+
( )f x y= sin x+A ω ϕ（ ）
期函数求出其最小正周期，可得答案.
【详解】解：
，可得其最小正周期为 ，
故选 B.
12【答案】D
【解析】构造函数 ，所以构
造 函 数 ， ，
所 以 的 对 称 轴 为 ， 所 以 ，
是 增 函 数 ； 是 减 函 数 。
，解得：
13【答案】1.
【解析】根据分段函数的解析式逐步代入求解可得结果．
【详解】由题意得 ．
故答案为：1．
14、【答案】5
【解析】
式组表示的平面区域，再将目标函数 z＝x+2y 对应的直线进行平移，可得当 x＝3 且 y＝1 时，
z 取得最小值．
【详解】作出不等式组 表示的平面区域，
其中 解得 A（3，1）
设 z＝x+2y，将直线 l：z＝x+2y 进行平移，
观察 y 轴上的截距变化，可得当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值
∴z 最小值＝3+2＝5
故答案为：5．
( ) ( ) ( )2sin 2cos cos2 sin 2cos cos cos2f x x x x x x x x= + = ⋅ +
sin 2 cos sin cos2 sin3x x x x x= + = 2
3
π
( ) (1 2 ) 3 1f m f m m− − −≥ )21()21()( mmfmmf −−−>−⇒
xxfxF −= )()( (2 ) ( ) 2 2f x f x x− = − + ⇒ xxfxxf −=−−− )()2()2(
)()2( xFxF =− )(xF 1=x 1)(')(' −= xfxF
[ ) ( ) )(,',,1 xFxFx >+∞∈ ( ] ( ) )(,0',1- xFxFx
∈
3
1,1-m
0
4
2 1
x
x y
x y
≥
+ ≥
− ≤
4
2 1
x y
x y
+ =
− =
15、【答案】
【解析】通过抛物线和椭圆性质得到 P 点坐标，将 P 点坐标代入椭圆得到答案.
【详解】设椭圆的左焦点为 ，由题意抛物线的准线方程为
，
由抛物线的定义知点 P 到准线的距离为 ，可得点 P 的横坐标为 ，
纵坐标为
则有 ，所以 ，
则
故答案为
16、【答案】
【详解】∵正三棱锥 P﹣ABC，PA，PB，PC 两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即为以 PA，PB，PC 为三条棱的正方体的外接球，
∵球的半径为 ，
1
2e =
1F
1, ,0 , ,0 ,2 2 2 2
p p p px F F c = − − =
5
6 p 5
6 2 3
p p p− =
6
3
p
2 2
2
1 1
6 5 7
3 6 6
p p pPF PF
+ = = 12 | | 2a PF PF p= + =
12
2
p
ce a p
= = =
1
2e =
∴正方体的边长为 2，即 PA＝PB＝PC＝2
球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离
设 P 到截面 ABC 的距离为 h，则正三棱锥 P﹣ABC 的体积 V S△ABC×h S△PAB×PC
2×2×2
△ABC 为边长为 2 的正三角形，S△ABC （2 ）2
∴h
∴球心（即正方体中心）O 到截面 ABC 的距离为 ，故答案为 ．
17、解：（1）由 10÷0.1＝100，即 n＝100，
∴a＝100×0.4＝40，
b＝30÷100＝0.3． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）设从“特等品”产品中抽取 x 件，从“一等品”产品中抽取 y 件，
由分层抽样得： ，
解得 x＝2，y＝4，
∴在抽取的 6 件中，有特等品 2 件，记为 A1，A2，
有一等品 4 件，记为 B1，B2，B3，B4，
则所有的抽样情况有 15 种，分别为：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，
B2B3，B2B4，B3B4，
其中至少有 1 件特等品被抽到包含的基本事件有 9 种，分别为：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，
∴至少有 1 件特等品被抽到的概率为：p＝ ． 12 分
18．（1） 且
，
23 sin( ) cos2 2
BA C+ = sin( ) sinA C B+ =
23 3sin 2sin cos cos2 2 2 2 2
B B BB∴ = ⋅ =
又 ，
6 分
（2）由题意知：
，
或 （舍） （当
时取“ ”）
综上， 的面积的取值范围为 12 分
19、（1）连接 交 于 ，连接 ，
由题意可知， ， ，
又 在平面 外， 平面 ，所以 平面 . 4 分
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系
，设 ， ，则 ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ，得 ，取 ，
又由直线 与平面 所成的角为 ， 8 分
得 ，解得 ，
同理可得平面 的法向量 ，
0 2 2
B π< ∴ =
3 3tan sin2 3 2 6 3 2
B B B B
π π∴ = ∴ = ∴ = ∴ =
8 ( )b a c= − + 2 2 2 64 16( ) 2 1cos 2 2 2
a c b a c acB ac ac
+ − − + + −∴ = = =
3 64 16( ) 64 32ac a c ac∴ = − + + ≥ − +
3 32 64 0 (3 8)( 8) 0ac ac ac ac∴ − + ≥ ∴ − − ≥
8
3ac∴ ≤ 8ac ≥ 64
9ac∴ ≤ 1 3 16 3sin2 4 9ABCS ac B ac∆∴ = = ≤ a c=
=
ABC
16 30, 9
AC BD O OE
,PE EC AO OC= = / /PA EO∴
PA BED EO ⊂ BED / /PA BED
( )2 D , ,DA DC DP x y z
D xyz− 1PD CD= = AD a= ( ,0,0)A a ( ,1,0) (0,1,0)B a C， 1(0 )0,P ，
( ,1,0)DB a= ( , )1, 1PB a= − ( )0,1, 1PC = −
PBC ( , )n x y z= ，
· 0
· 0
PB n
PC n
=
=
0
0
ax y z
y z
+ − =
− = (0,1,1)n =
BD PBC 30
2
1 1cos , 21 2
DB n
DB n
DB n a
= = =
+ ×
1a =
PBD 1, )0( 1,m = −
由向量的夹角公式，可得 ，
又因为二面角 为锐二面角，所以二面角 的大小为 .
12 分
20．（1）函数 的定义域为 ，
.
当 ，即 时， ，函数 在 上单调递增.
当 时，令 ，解得 ，当 时， ，函数单调
递增，
当 时， ，函数单调递减.
综上所述：
当 时，函数 在 上单调递增，
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减 .6 分
（2）由（1）知，当函数 有最大值时， ，
且最大值 ， 此时 ，
即 .令 .
故 在 上单调递增，且 ∴ 等价于 ，∴ ，
故 a 的取值范围为 . 12 分
1 1cos , 22 2
n mn m
n m
= = =
×
C PB D− − C PB D− − 60°
( ) ln ( 1) ( )f x x a x a R= − − ∈ ( )0, ∞+
( ) 1 1 ( 1)( 1) a xf x ax x
− −′ = − − =
1 0a − ≤ 1a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+
1 0a − > ( ) 0f x′ = 1
1x a
= −
10 1x a
< < −
( ) 0f x′ >
1
1x a
> −
( ) 0f x′ <
1a ≤ ( )f x ( )0, ∞+
1a > ( )f x 10, 1a
−
1 ,1a
+∞ −
( )f x 1a >
max
1 1( ) ln 11 1f x f a a
= = − − −
1ln 1 31 aa
− > −−
ln( 1) 2 0a a− + − < ( ) ln( 1) 2, 1g a a a a= − + − > ( ) 1 1 01g a a
= + >−
′
( )g a ( )1,+∞ ( )2 0g = ( ) 0g a < ( ) ( )2g a g< 1 2a< <
( )1,2
21．（1）因为椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称，
所以椭圆 E 的右焦点为 ，所以 .
又椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 ，所以 ，又 ，
所以椭圆 E 的标准方程为 . 4 分
（2）设直线 l 的方程为 ， ，则点 ，设
则点 ，联立直线 l 与椭圆 E 的方程有 ，
得 ，所以有 ，即
且 ，即直线 BD 的方程为
令 ，得点 Q 的横坐标为 ，
代入得： ，
所以 ，所以 为定值 4. 12
分
22、【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．消去参数 t 可得直线 l 的
普通方程为
2: 4C x y= y x=
1,0（ ） 1c =
2,0（ ） 2a = 2 2 2 3b a c= − =
2 2
14 3
x y+ =
2y kx= − 0k ≠ 2 ,0P k
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
( )1 1,D x y−
2 2
14 3
2
x y
y kx
+ =
= −
( )2 23 4 16 4 0k x kx+ − + = ( )248 4 1 0k∆ = − > 2 1
4k >
1 2 2
1 2 2
16
3 4
4
3 4
kx x k
x x k
+ = +
= +
1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
+ −=+ −
0y = ( )
( )1 2 1 21 2 2 1
1 2 1 2
2 2
4Q
kx x x xx y x yx y y k x x
− ++= =+ + −
( )2 2
8 32 24 21216 4 3 4Q
k k kx k
k k
− −= = =−− +
2| | | | 2 4P QOP OQ x x kk
⋅ = ⋅ = ⋅ = | | | |OP OQ⋅
1y x= − 2 2
14 2
x y+ = 2 2
3
2
2
21 .2
x t
y t
=
= − +
1y x= −
由 ，得 ，则有 ，即 ，
则曲线 C 的直角坐标方程为
（2）将 l 的参数方程代入 ，得 ，设两根为 ，
则 ， 为 M，N 对应的参数，且
所以，线段 MN 的中点为 Q 对应的参数为 ，
所以，
23、【答案】（1） ； （2） .
【解析】(1)由 得 ，即：
等价于 或 或 ．
解得 或 或 ，即 ，
所以原不等式的解集为 ．
（2）因为函数 在 单调递增，所以 ，
因为 ，
在 处， 取得最大值 ，
要使函数 与函数 的图象恒有公共点，则须
，
即 ，故实数 的取值范围是
2
2
4
1 sin
ρ θ= +
2 2 2sin 4ρ ρ θ+ = 2 2 2 4+ + =x y y 2 22 4x y+ =
2 2
14 2
x y+ =
2 22 4x y+ = 23 2 2 2 02
− − =t t 1t 2t
1t 2t 1 2
4 2
3
+ =t t
1 2 2 2
2 3
+ =t t
2 2
3
− = = OP OQ PQ
1 7{ | }2 2x x− < < [ )3,+∞
( ) 4 ( 1)f x f x< − + 2 4 1x x− < − − 2 1 4x x− + − <
2 3 4
2
x
x
−
1 4
1 2x
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