2020 年普通高等学校招生统一模拟考试
数学（文科）
（本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 分）
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用 0.5 毫米及以上
黑色笔迹签字笔写在答题卡上．
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
参考公式：锥体的体积公式： （其中 为锥体的底面积， 为锥体的高）．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式，求得集合 A.根据函数的定义域，求得集合 B.即可求得交集.
【详解】解：因为集合 ，
集合 ，所以 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，函数定义域的求解，集合的交集运算.属于基础题.
2.若复数 （ 为虚数单位），则 值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
的
1
3V Sh= S h
{ }2| 2A x x x= + − < 0 { | }B x y x= = A B =
[0,2) (1, )+∞ [0,1) ( 2,1)−
{ }2| 2 0 { | 2 1}A x x x x x= + − < = − < <
{ | } { | 0}B x y x x x= = = [0,1)A B =
(2 )z i i= − i z
2 i+ 1 2i− + 1 2i+ 1 2i−
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算，求出复数 ，再由共轭复数的概念得 .
【详解】解析： ，所以 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了复数的乘法运算，共轭复数的概念，属于基础题.
3.若 ， ，且 ，则向量 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量垂直则数量积为零，求得 ，再根据夹角公式求得结果.
【详解】根据题意，由于向量 ， ，且 ，
， ，
故 ，又向量夹角的范围为 ，
故可知向量 的夹角为 .
故选：B．
【点睛】本题考查向量垂直的转化，以及由数量积求向量的夹角，属综合基础题.
4.若 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式性质，正切函数、幂函数、对数函数的性质，结合特值，进行判断即可.
z z
(2 ) 1 2z i i i= − = + 1 2z i= −
| | 2a = 1b| |= ( 4 )a a b⊥ − ,a b
30° 60° 120° 150°
1a b⋅ =
| | 2a = 1b| |= ( 4 )a a b⊥ −
2
( 4 ) 0 4 0a a b a a b∴ ⋅ − = ⇔ − ⋅ = 1a b∴ ⋅ =
1cos , 2| | | |
a ba b
a b
⋅〈 〉 = =
⋅
[ ]0,π
,a b 60°
x y>
1 1
x y
< tan tanx y> ln( ) 0x y− > 1 1
3 3x y>
【详解】若 ，则 ，所以 A 错误；
若 ，取 ， ， ，所以 B 错误；
对于 C 选项，由于对数函数 在 上单调递增，
，当 时， ，C 选项中的不等式不恒成立，故 错误；
若 ，且幂函数 在 上单调递增，所以 ，所以 D 正确．
故选：D．
【点睛】本题考查正切函数、对数函数、幂函数的单调性，以及不等式的性质，属综合基础题.
5.给定下列四个命题，其中真命题是（ ）
A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行
B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行
C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行
D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，结合判定定理和性质定理，对选项进行逐
一分析即可判断.
【详解】正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故 A 错误；
若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，
两直线可以相交，也可以成 异面直线，故 B 错误；
正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C 错误
对 ：利用反证法简单证明如下：
若两个平面 垂直，假设一个平面 内与它们的交线 不垂直的直线 与另一个平面 垂直.
因为 ，且平面 的交线 ，
故可得 ，
这与题设 与 不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立.
为
0x y> > 1 1
x y
>
x y> 3
4x
π=
4y
π= tan tanx y<
lny x= (0, )+∞
x y> 0 1x y< − < ln( ) ln1 0x y− < = C
x y> 1
3y x= ( , )−∞ +∞ 1 1
3 3x y>
D
,α β α l 1l β
1l β⊥ ,α β l β⊂
1l l⊥
l 1l
即 选项正确.
故选：D．
【点睛】本题考查空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，属综合基础题.
6.已知抛物线的焦点在 轴上，顶点在坐标原点 ，且经过点 ，若点 到该抛物线焦点的距离为 3
，则 等于（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义，求得 ，再结合抛物线方程，求得点 的坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得
结果.
【详解】因为抛物线过点 ，故可得该抛物线开口向上，
设其方程为 ，
由抛物线定义知， ，所以 ，
则抛物线方程为 ，
因为点 在此抛物线上，所以 ，
于是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的定义，以及抛物线上一点坐标的求解，属基础题.
7.某同学 10 次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为 12，则该同学 10 次测评的平均成绩为（ ）
A. 12 B. 11.4 C. 11.3 D. 11
【答案】B
【解析】
D
y O ( )0 ,2P x P
| |OP
2 2 2 3 2 5
p P
( )0 ,2P x
2 2 ,( 0)x py p= >
2 32
p + = 2p =
2 4x y=
( )0 ,2P x 2
0 8x =
2
0| | 4 2 3OP x= + =
【分析】
根据中位数求出 ，再代入平均数的公式，求得平均数.
【详解】因为中位数为 12，所以 ， ，
所以该组数据的平均数为：
.
故选：B．
【点睛】本题考查了已知茎叶图的中位数，求参数的问题，平均数的求解，属于基础题.
8.已知函数 的最小正周期为 ，若将其图象沿 轴向右平移 个单位，
所得图象关于 对称，则实数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用降幂扩角公式化简 ，再根据其周期求得 ，结合图象的左右平移求得平移后的解析式，利用
是函数的对称轴，求得关于 的方程，即可求得 的最小值.
【详解】容易知
又其周期为 ，可得 ，故 ．
将其图象向右平移 个单位可得 的图象，
根据其图象关于 对称，
可得 ， ，
则 ， ，又 ，
x y+
22
x y+ = 4x y+ =
1 (2 2 3 4 10 10 19 19 20 21) 11.410 x y× + + + + + + + + + + + =
2 1( ) sin ( 0)2f xx ω ω= − > π x ( 0)a a >
3x
π= a
4
π
3
π 3
4
π π
( )f x ω
3x
π=
a a
2 1 1( ) sin cos22 2f x x xω ω= − = −
2
2
π πω = 1ω = 1( ) cos22f x x= −
a 1 cos[2( )]2y x a= − −
3x
π=
2 23 a k
π π− = k Z∈
3 2
ka
π π= − k Z∈ 0a >
故当 时， 取得最小正值为 .
所以实数 的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查降幂扩角公式的应用，求函数图像平移后的解析式，以及余弦型三角函数的性质，属综
合中档题.
9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定： 血液中酒精含量达到 的驾驶员即为
酒后驾车， 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时 的速度减少，要想安全驾驶，那么他至
少经过（ ）
A. 2 小时 B. 4 小时 C. 6 小时 D. 8 小时
【答案】C
【解析】
【分析】
列出函数模型 ，根据题意，列出不等式，求解即可.
【详解】因为 ，故喝酒后驾驶员 血液中酒精含量为 .
不妨设喝酒后经过的时间为 ， 小时后 血液中酒精含量为 ，
故可得 .
根据题意，若想安全驾驶，则 ，
即可得 ，
即 ，
因为 ，又 ， ， ，
根据选项可知， 取整数，
所以 ，
故选：C．
【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解决问题的关键是要建立正确的函数模型，属中档题.
0k = a
3
π
a
3
π
100mL [20,80)mg
80mg
1.6 /mg mL 30%
( )160 1 0.3 ny = −
1.6 100 160× = 100mL 160mg
n n 100mL y
( )160 1 0.3 ny = −
20y <
160 (1 0.3) 20n× − <
10.7 8
n <
2 10.7 0.49 2
= <
31 1
8 2
=
6 10.7 8
< 5 10.7 8
>
n
6n
10.已知 为正整数， ， ，且 ，则当函数
取得最大值时， （ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数 ；再利用辅助角公式化简 ，根据其最值，求得 即
可.
【详解】由条件知 ，则由 ，
得 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
则 ．
因为 ，
所以 ．
则当 ，即 时，
函数 取得最大值，
故选：C．
【点睛】本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自
变量的求解，属综合中档题.
11.已知双曲线 ，点 是双曲线 的左焦点，过原点的直线交双曲线 于 两
点，且 ， ，如图所示，则双曲线 的离心率为（ ）
.
a tan 1 lgaα = + tan lgaβ =
4
α β π= +
( ) sin 3cos ( [0, ])f x a θ θ θ π= − ∈ θ =
2
π 2
3
π 5
6
π 4
3
π
a ( )f x θ
4
α β− = π
tan( ) 1α β− =
tan tan (1 lg ) lgtan( ) 11 tan tan 1 (1 lg )lg
a a
a a
α βα β α β
− + −− = = =+ + +
(1 lg )lg 0a a+ =
1a = 1
10a =
( ) sin 3cos 2sin 3f x
πθ θ θ = − = −
[0, ]θ π∈
2,3 3 3
π π πθ − ∈ −
3 2
π πθ − = 5
6
πθ =
( )f x
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > F C C ,A B
3AF BF= AB BF⊥ C
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设出右焦点 ，则可得平行四边形 ，则 .由双曲线的定义可知 ，从
而可求出 .在两个直角三角形 和 中，利用勾股定理可求得 ，则可求出
离心率.
【详解】如图
设双曲线的右焦点为 ，根据对称性知 是平行四边形，
所以有 ，
又点 在双曲线上，所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，
所以 ，即 ，
2 3 5
2F 2AFBF 2 | |AF BF= 2| | 2AF AF a− =
| |BF a= Rt OFB Rt AFB 2 22a b=
2F 2AFBF
2 | |AF BF=
A 2| | 2AF AF a− =
| | 3| |AF BF=
2| | 3| | | | 2 | | 2AF AF BF BF BF a− = − = = | |BF a=
Rt OFB 90 , ,OBF FB a OF c∠ = ° = = | |OB b=
Rt AFB 3 , , 2 , 90AF a BF a AB b ABF= = = ∠ = °
2 2 29 4a a b= + 2 22a b=
所以双曲线的离心率 .
故选：B．
【点睛】本题考查了双曲线的定义及图象的对称性，双曲线离心率的求法，属于中档题.
12.函数 ，若存在正实数 ，其中 且 ，使得
，则 的最大值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数 的值域为 ，由此得出 ，则由不等式的性质可知
， .由
可将本题转化为 ，据此可得关于 的不等式组，从而求出 的取值
范围，进而求出 的最大值.
【详解】 ，
当 时， ， ，
， ，
即 ，所以 ，
，
由 知，
集合 ，
因为 且 ，所以 ， ，
2
21 3be a
= + =
2
2
22 1( ) 1
x xh x x x
+ += + + 1 2, , , nx x x *n N∈ 2n ≥
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nh x h x h x h x −= + +…+ n
( )h x (1,8] ( )1 8, 1,2, ,ih x i n< =
( )1 2 11 ( ) ( ) ( ) 8 1−− < + + + ≤ − nn h x h x h x n ( )1 8nh x< ( ) ( ) ( )1 2nh x h x h x= + +
( )1nh x −+ (1,8] ( 1,8( 1)]n n− − ≠ ∅ n n
n
2
2 2
22 1 21 21( ) 1 1 ( 0)11 1 1
x x xh x xx x x x x x
+ += = + = + >+ + + + + +
0x > 1 2x x
+
1 1 3x x
+ +
210 71 1x x
< ≤
+ +
211 1 81 1x x
< + ≤
+ +
1 ( ) 8h x< ( )1 8nh x<
( ) ( ) ( )1 2 11 8( 1)nn h x h x h x n−− < + + + −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nh x h x h x h x −= + + +
(1,8] ( 1,8( 1)]n n− − ≠ ∅
*n N∈ 2n 1 1n − 8( 1) 8n −
所以 ，即 ，又 ，
所以 的最大值为 8.
故选：C．
【点睛】本题考查了函数值域的求解，不等式的性质，考查了转化的思想，计算能力，难度较大.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种 900 株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为_______
．
【答案】300
【解析】
【分析】
根据几何概型的逆用，即可解决本题.
【详解】由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的 ，
设阴影部分能栽种 株，则有 ，解得 ．
【点睛】本题考查了面积型的几何概型问题，属于基础题.
14.已知函数 是奇函数，当 时， （ 且 ），且 ，
则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性，结合已知函数值和函数解析式，利用对数运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，且 为奇函数，
故可得 ，
则 ；
1 1 8n − 1a ≠ ( )0.5log 16 2f = −
a =
3
0.5log 16 4 0= − < ( )f x
( )0.5log 16 2f = − ( ) ( )4 4f f= − = −
( )4 2f =
又当 时，
故可得 ，
即 ，故可得 或 (舍).
即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属综合基础题.
15.在 中，内角 所对应的边分别为 ，且 ，若 的面积
，则 面积的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦的倍角公式，结合正弦定理将边化角，即可求得 ，结合面积公式，求得 等量关系；再由
余弦定理，以及基本不等式求得 的最小值，即可求得面积的最小值.
【详解】由 ，得 ，
由正弦定理得 ，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，
所以 面积的最小值为 ．
故答案为： .
【点睛】本题考查正弦的倍角公式、利用正弦定理进行边角转化，涉及余弦定理，面积公式，以及基本不
0x > ( ) log ( 1)af x x= −
( )4 log 3 2af = =
2 3a = 3a = 3a = −
3a =
3
ABC , ,A B C , ,a b c sin 2 sin 0a B b A+ = ABC
3S b= ABC
12 3
B , ,a b c
ac
sin 2 sin 0a B b A+ = 2 sin cos sin 0a B B b A+ =
2sin sin cos sin sin 0A B B B A+ =
1cos 2B = − 2
3B
π=
1 3sin 32 4S ac B ac b= = =
4ac b=
2 2 2 2 22 cos 3b a c ac B a c ac ac= + − = + +
21 ( ) 316 ac ac
48ac a c=
3 12 34S ac=
ABC 12 3
12 3
等式求最值，属综合压轴题.
16.现有一副斜边长为 10 的直角三角板，将它们斜边 重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥
，如图所示，已知 ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为______；
该三棱锥体积的最大值为_______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）容易知 中点为外接球球心，则 为外接球直径，从而求得半径，利用表面积公式，即可求得结
果；
（2）体积最大时，即平面 平面 ，求得点 到平面 距离，利用棱锥体积公式即可求得结
果.
【详解】（1）因为 ， ，
且 ， ，
所以 ， ， ．
因为 ，
所以三棱锥 的外接球的直径为 ，
所以球的半径 ，
故球的表面积为 ．
（2）当点 到平面 距离最大时三棱锥 的体积最大，
此时平面 平面 ，
AB
A BCD−
6DAB
π∠ =
4BAC
π∠ = A BCD−
100π 125 3
6
AB AB
ABC ⊥ ABD C ABD
90ADB ACB °∠ = ∠ = 10AB =
6DAB
π∠ =
4BAC
π∠ =
5 3AD = 5BD = 5 2AC BC= =
90ADB ACB °∠ = ∠ =
A BCD− AB
5R =
24S Rπ= = 100π
C ABD A BCD−
ABC ⊥ ABD
过点 作 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，且交于 ，
故可得 平面 ，
则点 到平面 的距离为 ，
又在 中， ，
所以 ．
故答案为： ； .
【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解，以及棱锥体积的求解，涉及面面垂直推证线面垂直，属综
合中档题.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17.已知三棱锥 中， 为等腰直角三角形， ， 平面 ，且
， 且 ， 为 的中点．
（1）求证：直线 平面 ；
C CH AB⊥
CH ⊂ ACB ABC ⊥ ABD AB
CH ⊥ ABD
C ABD CH
Rt ABC
( )2
5 2
510
AC CBCH AB
×= = =
1 1 1 125 35 3 5 53 3 2 6A BCD C ABD ABDV V S CH− −= = ⋅ = × × × × =
100π 125 3
6
P ABC− ABC 90BAC °∠ = PB ⊥ ABC
4PB AB= = / /EC PB 1
2EC PB= D PA
/ /DE ABC
（2）求多面体 的体积．
【答案】（1）证明见详解；（2）16
【解析】
【分析】
（1）取 的中点 ，连接 、 ， 为中位线，则 且 .又由题知
且 ，易证故四边形 是平行四边形， ，从而直线 平面 得证；
（2）该多面体就是四棱锥 ，取 中点 ，连接 ，可证得 平面 ，则可求得该
四棱锥的体积.
【详解】解：（1）设 的中点为 ，连接 ，
则 ， ，
又 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 .
因为 ，所以 在同一平面上，
所以多面体 是四棱锥 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 为等腰直角三角形， ， 是 的中点，
ABCEP
AB G DG CG DG //DG PB 1
2DG PB= / /EC PB
1
2EC PB= CEDG //DE GC / /DE ABC
A BCEP− BC F AF AF ⊥ BCEP
AB G ,DG CG
/ /DG PB 1
2DG PB=
/ /EC PB 1
2EC PB=
/ /EC DG EC DG=
DGCE
/ /DE GC
DE ⊄ ABC GC ⊂ ABC
/ /DE ABC
BC F AF
/ /EC PB PBCE
ABCEP A BCEP−
PB ⊥ ABC AF ⊂ ABC PB AF⊥
ABC 90BAC °∠ = F BC
所以 ，
所以 平面 ，即 是四棱锥 的高，
已知 ，所以 ， ， ，
所以 ．
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，四棱锥体积的求解，属于中档题.
18.2020 年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提
出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，
某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对 100
名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢国学 不喜欢国学 合计
男生 20 50
女生 10
合计 100
（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为喜欢国学与性别有
关系？
（2）针对问卷调查的 100 名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取 6 人成立国学宣
传组，并在这 6 人中任选 2 人作为宣传组的组长，求选出的两人均为女生的概率．
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
， ．
【答案】（1）列联表见详解，能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为喜欢国学与性别有关系；（2）
AF BC⊥
AF ⊥ PBCE AF A PBCE−
4PB AB= = 2 2AF = 2EC = 4 2BC =
1 1 (2 4) 4 2 2 2 163 3 2A BCEP BCEPV S AF−
+ ×= ⋅ ⋅ = × × =
( )2
0P K k
0k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2
5
【解析】
【分析】
（1）根据题意填写 列联表，计算 ，对照临界值得出结论；
（2）根据题意求出分层抽样随机抽取的 6 人中男生 2 人，女生 4 人，利用列举法求出基本事件数，计算对
应的概率值.
【详解】解：（1）补充完整的列联表如下：
喜欢国学 不喜欢国学 合计
男生 20 30 50
女生 40 10 50
合计 60 40 100
计算得 的观测值为
，
所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为喜欢国学与性别有关系；
（2）喜欢国学的共 60 人，按分层抽样抽取 6 人，
则每人被抽到 概率均为 ，需抽取男生 2 人，女生 4 人，
设抽取的男生为 ，女生为 ，
选出的两人均为女生为事件 ，
则基本事件空间
， ，
事件 ， ，
，
故选出的两人均为女生的概率为 ．
的
2 2× 2K
2K
2100 (20 10 40 30) 16.67 10.82860 40 50 50k
× × − ×= ≈ >× × ×
1
10
1 2,A A 1 2 3 4, , ,B B B B
A
{ 1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2, , , , , , ,A A A B A B A B A B A B A BΩ =
2 3 2 4 1 2 1 3 1 4, , , ,A B A B B B B B B B }2 3 2 4 3 4, , ,B B B B B B 15n =
{ }1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , , , ,A B B B B B B B B B B B B= 6m =
6 2( ) 15 5
mP A n
= = =
2
5
【点睛】本题考查了独立性检验，分层抽样，以及列举法求古典概型的概率问题，属于基础题.
19.已知等差数列 前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；
（2）设 ，求 前 项和 ．
【答案】（1） ， ．（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的性质，可求得 ，从而求出公差 ，由此可写出通项公式 以及前 项和 ；
（2）写出数列 的通项公式，利用并项求和的方法，求其前 项和 .
【详解】解：（1）由 得 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ， ．
（2） ．
．
【点睛】本题考查了等差数列的性质，通项公式及前 项和公式，考查了并项求和的数列求和方法，属于
中档题.
20.设椭圆 长轴长为 4，右焦点 到左顶点的距离为 3．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过原点 的直线交椭圆于 两点（ 不在坐标轴上），连接 并延长交椭圆于点 ，若
，求四边形 面积的最大值．
{ }na n nS 5 9a = 5 25S =
{ }na n nS
( 1)n
n nb S= − { }nb 2n 2nT
2 1na n= − 2
nS n= 2nT = 22n n+
3a d na n nS
{ }nb 2n 2nT
5 35 25S a= = 3 5a =
5 9a = 2d =
2 1na n= − 2(1 2 1)
2n
n nS n
+ −= =
2( 1)n
nb n= −
( ) ( ) ( )2 1 2 3 4 2 1 2n n nT b b b b b b−= + + + + + +
( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 3 4 (2 1) (2 )n n = − + + − + + + − − +
[(2 1) (2 1)] [(4 3) (4 3)]= − × + + − × + +
[2 (2 1)] [2 (2 1)]n n n n+ − − × + −
21 2 3 4 (2 1) 2 2n n n n= + + + + + − + = +
n
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > F
E
O ,A B ,A B AF C
OD OA OC= + ABCD
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，列出 的方程组，求解即可求得结果；
（2）设出直线 方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数表示 的面积；根据向量关系，求
得 ，再利用对勾函数单调性求面积关于参数的函数的最大值即可.
【详解】（1）由题意可得 ，
所以椭圆方程为 ．
（2）由（1）知 ，
设直线 的方程为 ，
联立 得 ．
设 ， ，
则 ， ．
因为 ，
故可得四边形 为平行四边形，则 ，
又 ，
故 ．
2 2
14 3
x y+ = 9
2
, ,a b c
AC AOC
3ABCD AOCS S=
2, 2, 33 1
a a ba c c
= =⇒ ⇒ = + = =
2 2
14 3
x y+ =
(1,0)F
AC 1x my= +
2 2
1,
1,4 3
x my
x y
= + + =
( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,C x y
1 2 2
6
3 4
my y m
+ = − + 1 2 2
9
3 4y y m
= − +
OD OA OC= +
AOCD 2AOCD AOCS S=
AOC BOCS S=
( ) 2
2
1 2 1 2 1 2 2
1 3 18 13 3 | | 42 2 3 4ABCD AOC
mS S OF y y y y y y m
+= = × × × − = + − = +
设 ， ，
则 ，
令 ，故可得 ，
当 时， 恒成立，故 在 单调递增，
故 在 上单调递减，
所以当 ，即 时，
四边形 的面积取得最大值 ．
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，椭圆中四边形面积的最值的求解，属综合中档题.
21.已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明：
（i） ；
（ii）证明： ．
【答案】（1）详见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，再令 进行二次求导.讨论 的取值范围，求出
和 的解集，也即求出 的单调区间；
（2）（i）将 代入 ，得 ，利用作差法构造函数 ，根据导函数求出
其最大值为 0，则原不等式得证；
（ii）由（i）知 ，即 由此得 ，则
2 1t m= + 1t
2
18 18
13 1 3
ABCD
tS t t t
= =+ +
13y t t
= + 2
13y t
′ = −
1t ≥ 0y′ > 13y t t
= + [ )1,+∞
2
18 18
13 1 3
ABCD
tS t t t
= =+ + [1, )t ∈ +∞
1t = 0m =
ABCD 9
2
ln 1( ) a x af x x
+ −=
( )f x
1a =
( ) 1xf x x −
(2) (3) ( ) 1 3
2 3 2 2 2 4
f f f n n
n n
+ +…+ < + −+
2
1 ln( ) ( 0)a xf x xx
−′ = > ( ) 1 lng x a x= − a
( ) 0>g x ( ) 0
( ) 1 lng x a x= −
0a = ( ) 1 0g x = > ( )f x (0, )+∞
0a > 1
(0, )ax e∈ ( ) 0>g x ( )f x
1
( , )ax e∈ +∞ ( ) 0 ( )f x 1
(0, )ae
1
( , )ae +∞
0a < ( )f x 1
(0, )ae
1
( , )ae +∞
1a = ln( ) xf x x
= ( ) lnxf x x=
( ) ln 1h x x x= − + 1 1( ) 1 ( 0)xh x xx x
′ −= − = >
(0,1)x∈ ( ) 0h x′ > ( )h x
(1, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x
max( ) (1) ln1 0h x h= = =
ln 1x x − ( ) 1xf x x −
1a = ln( ) xf x x
= 2
( ) lnf n n
n n
=
ln 1x x −
ln 11x
x x
≤ −
令 得 ，即 ，
所以
，
．
【点睛】本题考查了导函数的应用，求解含参数的函数的单调性，证明不等式，以及数列不等式的证明，
裂项相消法求数列的和.考查了分类讨论思想，逻辑推理的能力，属于难度较大的题.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
【选修 4—4：坐标系与参数方程】
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 参数）．以原点 为极点， 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 的极坐标方程为 ，点 是曲线 与 的交点，点 是曲线 与 的交点，
且 均异于极点 ，求 的值．
【答案】（1） ； ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用 ，消参即可求得 的普通方程；利用 ，即可求得曲线 的直角坐
标方程；
（2）联立 以及 极坐标方程，即可容易求得 两点在极坐标系下的坐标，再求两点之间的的
2x n=
2
2 2
ln 11n
n n
− 2 2
2ln 11n
n n
≤ −
2 2
( ) ln 1 1 1 1(1 ) [1 ]2 2 ( 1)
f n n
n n n n n
= − < − +
1 1 1[1 ( )]2 1n n
= − − +
2 2 2
(2) (3) ( ) ln 2 ln3 ln
2 3 2 3
f f f n n
n n
+ +…+ = + +…+
1 1 1 1 1 1 1[( 1) ( )]2 2 3 3 4 1n n n
< − − − + − + + − +
1 1 1[( 1) ( )]2 2 1n n
= − − − +
1 3
2 2 2 4
n
n
= + −+
xOy 1C 2cos ,
2 2sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ O x
2C
6
πθ =
1C 2C
3C 4cosρ θ= A 2C 1C B 3C 2C
,A B O | |AB
2 2( 2) 4x y+ − = 3 ( 0)3y x x= 2 3 2−
2 2sin cos 1ϕ ϕ+ = 1C ytan x
θ = 2C
1 2,C C 2 3,C C ,A B
距离即可.
【详解】（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
转换为普通方程为 ．
曲线 的极坐标方程为 ．
转换为直角坐标方程为： ．
（2）曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
转换为极坐标方程为： ．
联立 与
解得： ， ．
整理得 ．
【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的相互转化，以及利用极坐标求两点之间的
距离，属综合基础题.
【选修 4—5：不等式选讲】
23.已知关于 的函数 ．
（1）若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围；
（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值三角不等式求得 的最小值，再解绝对值不等式即可；
1C 2cos ,
2 2sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
2 2( 2) 4x y+ − =
2C
6
πθ =
3 ( 0)3y x x=
1C 2cos ,
2 2sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
4sinρ θ=
4cos ,
,6
ρ θ
πθ
= =
4sin ,
,6
ρ θ
πθ
= =
2 3A
ρ = 2B
ρ =
1 2| | 2 3 2AB ρ ρ= − = −
x ( ) | 1| | |f x x x a= + + −
x ( ) 3 1f x a − a
( ) | 3|f x x +
1 ,22
− a
[1, )+∞ 30, 2
( )f x
（2）当 时，将问题转化为 恒成立，即可容易求得参数的范围.
【详解】（1）对 ， ，
当且仅当 时，等号成立，
故原条件等价于 ，
即 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ．
（2）当 时，
，
所以 ，即 ，则 ，
又 的解集包含 ，
所以 在 上恒成立，
所以当 时， ，
因为 ， ，
因此 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数的最值，绝对值不等式的求解，属综合中档题.
x∈ 1 ,22
− max min( 2) (2 )x a x− +
x∈R ( ) | 1| | | |( 1) ( ) | |1 |f x x x a x x a a= + + − + − − = +
( 1)( ) 0x x a+ −
|1 | 3 1a a+ −
3 1 1 3 1a a a− + + − 1a
a [1, )+∞
1 ,22x ∈ −
( ) | 1| | | 1 | | | 3| 3f x x x a x x a x x= + + − = + + − + = +
| | 2x a− ≤ 2 2x a− − 2 2x a x− +
( ) | 3|f x x +
1 ,22
−
( ) | 3|f x x +
1 ,22
−
1 ,22x ∈ − max min( 2) (2 )x a x− +
max( 2) 0x − = min
3(2 ) 2x+ =
a 30, 2
微信/支付宝扫码支付