数形巧结合，“玩转”离心率--6.2

1 数形巧结合，“玩转”离心率 一．方法综述 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率及其范围的 求解是一类常见问题，也是历年高考考查的热点，难易题目皆有．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围， 其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率 e 的等式或不等式使问题获解． 1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数 的比例关系（只需找出其中两个参 数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑 寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与 有关，另一条边为焦距.从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 进行表示，再 利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问 题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破 口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆： ，双曲线： 下面通过例题说明离心率及其范围问题的解法与技巧.. 二．解题策略 类型一 利用几何性质 【例 1】【2020 期中】已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点， 且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ， ，则 的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D , ,a b c a , ,a b c , ,a b c , ,a b c ( )0,1e∈ ( )1,+e∈ ∞ 1 2,F F 1e 2e 1 1 2| | | |PF F F= 2 1 3 3 e e + 4+2 2 2 【解析】由题意得： ，设椭圆方程为 ，双曲线方程为 ，又∵ ，∴ ，∴ ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立.，则 的最小值为 8. 【例 2】【2019·广东金山中学期末】已知 分别是椭圆 的左、右焦点，若椭圆上 存在点 ，使 ，则椭圆的离心率 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆上存在点 ，使 可得以原点为圆心，以 c 为半径的圆与椭圆有公共点，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，由 ，∴ ，即椭圆离心率 的取值范 围为 ，故选 B. 【指点迷津】 1.在 圆 锥 曲 线 中 ，要 注 意 为 中 点 是 一 个 隐 含 条 件 ，如 果 图 中 存 在 其 它 中 点 ，则 有 可 能 与 搭 配 形 成 三 角 形 的 中 位 线 . 2.几何性质是解析几何的灵魂，从平面几何知识入手，寻找图形中的平行、垂直关系，以及三角形的相似， 然后转化为椭圆、双曲线的元素 a，b，c 的齐次关系式解题. 【举一反三】 1 1 2| | | | 2PF F F c= = 2 2 1 12 2 1 1 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 22 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2 1 2 1 2| | | | 2 ,| | | | 2PF PF a PF PF a+ = − = 2 1 2 2| | +2 2 ,| | 2 2PF c a PF c a= − = 1 2 2a a c− = 2 2 1 1 2 1 2 2 3 93 3 3 3 e a a a cc e a c ca ++ = + = 2 2 2 2 2 2 9(2 ) 363 3 c a a c a c ca c a + += = + + 2 2 2 2 3 36 2 6 83 3 a ac c c a c a = + + ≥ ⋅ + = 2 2 3 3 a c c a = 2 3e = 2 1 3 3 e e + 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > P 1 2 90F PF∠ =  e 2(0, ]2 2[ ,1)2 3(0, ]2 3[ ,1)2 P 1 2 90F PF∠ =  c b≥ 2 2 2 2c b a c≥ = − 2 2 1 2 c a ≥ 2 2 ce a = ≥ 0 1e< < 2 12 e≤ < e 2 ,12      O 1 2F F O 3 1. 【2020 浙江金华二中期中】如图， ， 分别为椭圆 的右顶点和上顶点， 为坐标原点， 为线段 的中点， 为 在 上的射影，若 平分 ，则该椭圆的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：设 ， ，则 ， ， 结合正切的二倍角公式知 ，化简得 ，故 . 法二： ， ， ， ， ，由内角平分线定理， ，代入化简 得 ，故 ，故选 D 2. 【2019·宁夏月考】设 、 是椭圆 ： 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示， 是底角为 的等腰三角形，则 ，以 A B 2 2 : 1( 0)x yC a ba b + = > > O E AB H O AB OE HOA∠ 1 3 3 3 2 3 6 3 EOA θ∠ = 2HOA θ∠ = tan BO b OA a θ = = 1tan 2 AB a k b θ = − = 2 2 2 1 b a a bb a = − 2 23a b= 6 3 ce a = = 2 2AB a b= + 2 2 2 a bEA += 2 2 2 2 2 cos a aHA OA HAO a a b a b = ⋅ ∠ = ⋅ = + + 2 2 2 22 a bHE HA EA a b −= − = + 2 2 OA OB abOH AB a b ⋅= = + OA EA OH EH = 2 23a b= 6 3 ce a = = 1F 2F E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > P 3 2 ax = 2 1F PF∆ 30 E 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1F PF∆ 30 1 2 2 1 2 2 1, 30F F PF PF F F PF= ∠ = ∠ =  4 ，所以 ，又因为 ，所以， ，所以 ，故选 C. 类型二 利用坐标运算 【例 3】【2020 河南开封二中期末】已知椭圆 ： 的两焦点为 、 ， 为椭圆 上一点，且 轴，点 到 的距离为 ，则椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆 ： 的两焦点为 ， ， 为椭圆 上的一点，且 轴，可得 ，由 ，可得 ，即有 ，由椭圆的定义可得， ，由已知得 为直角 的内切圆圆心，∴ ， 可得 的内切圆半径 ，即有 ，整理得 ，椭圆 的离 心率为 ，故选 B． 2 260 , 30PF A F PA∠ = ∠ =  2 2 32 2 3 22PF AF a c a c = = − = −   1 2 2F F c= 2 3 2c a c= − 3 4 ce a = = C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F P C 2PF x⊥ ,2 2 c cG     1F P 2 c C 1 4 1 2 2 2 3 2 C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 0)F c− ， 2 ( 0)F c， P C 2PF x⊥ 1 2| | 2F F c= x c= 2 2 21 c by b aa = ± − = ± 2 2| | bPF a = 2 1| | 2 bPF a a = − G 1 2PF F△ 2 1 2 1 2 1 2 1 1| | | | (| | | | | |)2 2PF F F r F F PF PF= + + 1 2PF F△ 2 2 1 2 2 2 b car ca c = =+  2 2 22 2( ) ( )b a c a a c= − = + 2a c= C 1 2 ce a = = 5 【例 4】已知 是椭圆 的左右焦点，若椭圆上存在点 ，使得 ， 则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】思路一：考虑在椭圆上的点 与焦点连线所成的角中，当 位于椭圆短轴顶点位置时， 达到最大值.所以若椭圆上存在 的点 ，则短轴顶点与焦点连线所成的角 ，考虑该角与 的关系，由椭圆对称性可知， ，所以 ，即 ，进而 即 ，解得 ，再由 可得 思路二：由 可得 ，进而想到焦点三角形 的面积： ，另一方面： ，从而 ，因为 在椭圆上，所以 ，即 ，再同思路一可 解得： 思路三： 可想到 ，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程.设 ，则有 ，则 ， 即 点一定在以 为圆心， 为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半 径 时才可有交点，所以 ，同思路一可解得 注：本题对 在圆上也可由 判定出 在以 为直径的圆上，进而写出圆方程 思路四：开始同思路三一样，得到 所在圆方程为 ，因为 在椭圆上，所以联立圆和椭圆方 1 2,F F ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > P 1 2PF PF⊥ 5 ,15      2 ,12      50, 5      20, 2      P P 1 2F PF∠ 1 2PF PF⊥ P 90θ ≥  , ,a b c 2 452OPF θ∠ = ≥  2 2tan 1OF cOPF OP b ∠ = = ≥ 2 2 2 2 2c b c b c a c≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ − 2 2 1 2 c a ≥ 2 1 2e ≥ 2 2e ≥ ( )0,1e∈ 2 ,12e  ∈    1 2PF PF⊥ 1 2 90F PF∠ =  1 2F PF 1 2 2 21 2tan 2F PF F PFS b b ∠= =  1 2 1 2 1 2F PF P PS F F y c y= ⋅ ⋅ = ⋅  2 2 P P bc y b y c ⋅ = ⇒ = P [ ],Py b b∈ − 2 P by b b cc = ≤ ⇒ ≤ 2 ,12e  ∈    1 2PF PF⊥ 1 2 0PF PF⋅ =  ( ) ( ) ( )1 2, , ,0 , ,0P x y F c F c− ( ) ( )1 2, , ,PF c x y PF c x y= − − − = − −  2 2 2 1 2 0PF PF x y c⋅ = + − =  P O c r b≥ c b≥ 2 ,12e  ∈    P 1 2PF PF⊥ P 1 2F F P 2 2 2x y c+ = P 6 程： 代入消去 可得： ，整理后可得： ，由 可得： ，同思路一即可解得： 答案： . 【指点迷津】 1.例 4 的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口； 二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解，可灵活选择. 2.由于椭圆(双曲线)的元素 a，b，c 在图形、方程中具有一定的几何意义，所以借助坐标关系或几何关系来 解决离心率的问题. 【举一反三】 1. 【2017 课标 1，理】已知双曲线 C： （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作 圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若∠MAN=60°，则 C 的离心率为________. 【答案】 【解析】试题分析： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b x a y a b x y c  + = + = x ( )2 2 2 2 2 2 2b c y a y a b− + = 4 2 2 4 2 2 bc y b y c = ⇒ = [ ],y b b∈ − 4 2 2 2 by b c bc = ≤ ⇒ ≥ 2 ,12e  ∈    2 ,12e  ∈    2 2 2 2 1x y a b − = 2 3 3 7 2.【2020·河南洛阳新安一中月考】已知 、 是双曲线 的左右焦点，过点 与双 曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 ，若点 在以线段 为直径的圆外，则双 曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线 ﹣ =1 的渐近线方程为 y= x，不妨设过点 F2 与双曲线的一条渐过线平行的直线 方程为 y= （x﹣c），与 y=﹣ x 联立，可得交点 M（ ，﹣ ）， ∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有 + ＞c2，∴ ＞3，即 b2＞3a2，∴c2﹣a2 ＞3a2，即 c＞2a．则 e= ＞2，∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞），故选 A． 类型三 数形结合法 【例 5】【2020·广西期末】已知椭圆 的左焦点为 ，点 是椭圆 的 上顶点，直线 与椭圆 交于 ， 两点.若点 到直线 的距离是 1，且 不超过 6， 则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） 1F 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2F M M 1 2F F (2, )+∞ ( 3,2) ( 2, 3) (1, 2) 2 2 x a 2 2 y b b a ± b a b a 2 c 2 bc a 2 4 c 2 2 24 b c a 2 2 b a c a ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > F A C : 2l y x= C M N A l MF NF+ C 8 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆 的右焦点为 ，连接 ， ，由椭圆的对称性可知四边形 是平行四边形， 则 ，则 ，即 ，因为点 到直线 的距离是 1，所以 ，所以 ， 则椭圆 的离心率 ，因为 ，所以 ，所以 ，即椭圆 的离心率 ，故选:A. 【例 6】【2020·四川绵阳期末】已知椭圆 C： 的左右焦点为 ， ，直线 与 椭圆 C 相交于 P，Q 两点，若 ，且 ，则椭圆 C 的离心率为    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的右焦点 ，连接， ，由 根据平行四边形性质得到 ， 设 ，由余弦定理定理得， ，∴ ，由三边关系得到 ，则 ∴ ， 椭圆的离心率 20, 3      2 ,13     50, 3      5 ,13      C 'F 'MF 'NF 'MFNF 2MF NF a+ = 2 6a ≤ 3a ≤ A l 1 4 1 b = + 5b = C 2 2 2 2 51c a be a a a −= = = − 3a ≤ 2 9a ≤ 2 5 40 1 9a < − ≤ C 20, 3e  ∈   2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F y kx= 1 12PF QF= 1 2 3PFQ π∠ = ( ) 2 2 2 3 3 2 3 3 2F 2 2,PF QF 0 1 120PFQ∠ = 0 1 2 60F PF∠ = 1 22 ,PF m PF m= = 2 2 2 1 4 4 2 4 m m c m + −= 2 3c m= 0 2 1 90PF F = 1 2 1 22 3 , 2 , ,F F c m PF m PF m= = = = 2 3a m= 2 3c= ∴ 9 ，故选 D． 【指点迷津】 求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据 一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除 以 或 转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 ( 的取值范围). 【举一反三】 1.（2017•新课标Ⅲ，理 10）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，且以线段 为直径的圆与直线 相切，则 的离心率为    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以线段 为直径的圆与直线 相切， 原点到直线的距离 ，化为： ， 椭圆 的离心率 ，故选 ． 2.【2016·全国卷Ⅲ】已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、 右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为(  ) A.1 3          B.1 2 C.2 3 D.3 4 【答案】A 3 3 ce a = = ,a c ce a = , ,a b c 2 2 2b c a= − ,a c a 2a e e e 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1A 2A 1 2A A 2 0bx ay ab− + = C ( ) 6 3 3 3 2 3 1 3 1 2A A 2 0bx ay ab− + = ∴ 2 2 2ab a a b = + 2 23a b= ∴ C 2 2 61 3 c be a a = = − = A 10 【解析】（法一：数形结合法）如图，设直线 BM 与 y 轴的交点为 N，且点 N 的坐标为(0，m)，根据题意， 点 N 是 OE 的中点，则 E(0,2m)，从而直线 AE 的方程为 x －a＋ y 2m＝1，因此点 M 的坐标为－c，2m(a－c) a . 又△OBN∽△FBM，所以|FM| |ON|＝|FB| |OB|，即 2m(a－c) a m ＝a＋c a ，解得c a＝1 3，所以椭圆 C 的离心率为1 3. 法二：交点法 同法一得直线 AE 的方程为 x －a＋ y 2m＝1，直线 BN 的方程为x a＋ y m＝1.又因为直线 AE 与直线 BN 交于点 M， 且 PF⊥x 轴，可设 M(－c，n)．则Error!消去 n，解得c a＝1 3，所以椭圆 C 的离心率为1 3. 法三：三点共线法 同法一得直线 AE 的方程为 x －a＋ y 2m＝1，由题意可知 M(－c，2m(1－c a ))，N(0，m)，B(a,0)三点共线，则 2m(1－c a )－m －c ＝ m －a，解得c a＝1 3，所以椭圆 C 的离心率为1 3. 法四：方程法 设 M(－c，m)，则直线 AM 的方程为 y＝ m a－c(x＋a)，所以 E(0， ma a－c).直线 BM 的方程为 y＝ m －c－a(x－a)， 与 y 轴交于点(0， ma a＋c)，由题意知，2ma a＋c＝ ma a－c，即 a＋c＝2(a－c)，解得c a＝1 3，所以椭圆 C 的离心率为1 3. 法五：几何法 在△AOE 中，MF∥OE，所以MF OE＝a－c a ，在△BFM 中，ON∥MF，所以 OE 2 MF＝ a a＋c，即OE MF＝ 2a a＋c. 所以MF OE· OE MF＝a－c a · 2a a＋c＝1，即 a＋c＝2(a－c)，解得c a＝1 3，所以椭圆 C 的离心率为1 3. 三．强化训练 1.【2020 天津蓟县一中期末】过双曲线 的左焦点 作直线交双曲线的两天渐近 线于 , 两点，若 为线段 的中点，且 （ 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > F A B B FA OB FA⊥ O 2 3 2 5 11 【答案】C 【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为 ，∵ 为线段 的中点， ，∴ ，则 为等腰三角形，∴ ，由双曲线的的渐近线的性质可得 ，∴ ，∴ ，即 ，∴双曲线的 离心率为 ，故选 C. 2.【2019•新课标Ⅱ，理 11】设 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点，以 为直 径的圆与圆 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为    A． B． C．2 D． 【答案】A 【 解 析 】 如 图 ， 由 题 意 ， 把 代 入 ， 得 ， 再 由 ， 得 ，即 ， ，解得 ，故选 ． 3.【2019·湖南长郡中学月考】设 是双曲线 C： 的右焦点，O 为坐标原点，过 的 直线交双曲线的右支于点 P，N，直线 PO 交双曲线 C 于另一点 M，若 ，且 ， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为 F1，由双曲线的对称性可知四边形 MF2PF1 为平行四边形，∴ by xa = ± B FA OB FA⊥ OA OF c= = AOF∆ BOF BOA∠ = ∠ BOF xOA∠ = ∠ 60BOF BOA xOA∠ = ∠ = ∠ = ° tan 60 3b a = ° = 2 23b a= 2 2 2 2c a b ae a a a += = = = F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > O OF 2 2 2x y a+ = P Q | | | |PQ OF= C ( ) 2 3 5 2 cx = 2 2 2x y a+ = 2 22 4 cPQ a= − | | | |PQ OF= 2 22 4 ca c− = 2 22a c= ∴ 2 2 2c a = 2ce a = = A 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2F 2 23MF PF= 2 60MF N∠ = ° 5 2 7 2 12 ，设 ，则 ，∴ ，即 ，∵ ，又 ，在△MF1F2 中，由余弦定理 可得： ，即 ，∴双曲线的离心率 e ，故 选 D． 4．【2020 四川成都七中月考】已知椭圆 的右焦点为 F，左顶点为 A，点 P 椭圆上， 且 ，若 ，则椭圆的离心率 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设 在第一象限，故 ， ，即 ，即 ，解得 ， （舍去），故选 . 5．【2020·凤城一中月考】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上， 为坐标原点，若 ，且 ，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|•|PF2|=a2，可得|PF1|=|PF2|=a，即 P 为椭圆的短轴的端 点，|OP|=b，且|OP|= |F1F2|=c，即有 c=b= ，即为 a= c，e= = ，故选 C． 1 2 1, / /MF PF MF PN= 2PF m= 2| | 3MF m= 2 12 2a MF MF m= − = 1 2, 3MF a MF a= = 2 1 260 , 60MF N F MF° °∠ = ∴∠ = 1 2 2F F c= 2 2 24 9 2 3 cos60c a a a a °= + − ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 74 7 , 4 cc a a = ∴ = 7 2 c a = = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > PF AF⊥ 1tan 2PAF∠ = e 1 4 1 3 1 2 2 3 P 2 , bP c a      2 1tan 2 b aPAF a c ∠ = =+ 2 22 0a ac c− − = 21 2 0e e− − = 1 2e = 1e = − C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2,F F P O 1 2 1| | | |2OP F F= 2 1 2| || |PF PF a= 3 4 3 2 1 2 2 2 1 2 2 2a c− 2 c a 2 2 13 6．【2020·黑龙江大庆二中期末】已知过椭圆 的左焦点且斜率为 的直线 与椭圆交 于 两点.若椭圆上存在一点 ，满足 （其中点 为坐标原点），则椭圆的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 的中点 ，由题意知 ，两式相减得 ，则 ，而 ，所以 ，所 以直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，又因为 ，所以 ,所以点 代入椭圆的方程，得 ，所以 ， 故选 A. 7．【2019·黑龙江省期中】）已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， ， 为 双曲线左支上一点， 为等腰三角形且其外接圆的半径为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知等腰 中， ，设 ，则 ，其中 必 为锐角，∵ 外接圆的半径为 ，∴ ， ∴ ， ，∴ ，设点 P 的坐 标为 ，则 ，故点 P 的坐标为 ． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > b a l ,A B P 0OA OB OP+ + =    O 2 2 3 3 3 2 1 2 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y AB 0 0( , )M x y 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 21, 1x y x y a b a b + = + = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y a b + − + −+ = 1 2 1 2 2 2 0AB x x y y ka b + ++ ⋅ = AB bk a = 0 0 2 2 0x y a b + = OM by xa = − ( ) by xa by x ca  = −  = + ,2 2P P c bcx y a = − = 0OA OB OP+ + =    2OP OM= −  ( , )bcP c a − 2 22a c= 2 2 ce a = = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A B P ABP∆ 5a 15 5 15 4 15 3 15 2 ABP∆ | | 2AB AP a= = ABP APB θ∠ = ∠ = 1 2F AP θ∠ = θ ABP∆ 5a 22 5 sin aa θ= 5sin 5 θ = 2 5cos 5 θ = 25 2 5 4 2 5 3sin 2 2 ,cos2 2 ( ) 15 5 5 5 5 θ θ= × × = = × − = ( , )x y 11 8( cos2 ) , sin 25 5 a ax a AP y APθ θ= − + = − = = 11 8( , )5 5 a a− 14 由点 P 在双曲线上得 ，整理得 ，∴ ．选 C． 8．【2020·黑龙江省高三期末】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 是双曲线 右支上一点，且 ．若直线 与圆 相切，则 双曲线的离心率为（  ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】取线段 PF1 的中点为 A，连接 AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则 AF2⊥PF1，∵直线 PF1 与圆 x2 ＋y2＝a2 相切，且 ,由中位线的性质可知|AF2|＝2a，∵|PA|＝ |PF1|＝a＋c，∴4c2＝(a ＋c)2＋4a2，化简得 ，即 ，则双曲线的离心 率为 ，故选择 B. 9．【2019·天津市武清区杨一中期末】已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，过 作垂直于 轴的直线交该椭圆于 ， 两点，直线 的斜率为 . （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）若 的外接圆在 处的切线与椭圆交另一点于 ，且 的面积为 ，求椭圆的方程. 【解析】（Ⅰ）由题意可知： ，设 ，由题意可知：M 在第一象限，且 ， ， ， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）, ，所以椭圆方程为： ，设 的外接圆的圆心坐标为 ，由 ，得 2 2 2 2 11 8( ) ( )5 5 1 a a a b − = 2 2 2 3 b a = 2 2 151 3 c be a a = = + = 2 2 2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1 2( ,0), ( ,0)F c F c− P C 2 1 2PF F F= 1PF 2 2 2x y a+ = 4 3 5 3 1 2OF OF= 1 2 2 23 2 5 0c ac a− − = ( )( )23 2 5 0, 3 5 1 0e e e e− − = ∴ − + = 5 3 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1A 2F 2F x M N 1A M 1 2 1A MN∆ M D 2F MD∆ 12 7 1 2( ,0), ( ,0)A a F c− ( , )M x y 2 2 2 2 1 x c x y a b = + = 2 , bM c a  ∴    2 2 2 1 ( ) 2 b a c a ca a c a a c a − −∴ = = =+ + 2a c∴ = 1 2 ce a ∴ = = 2 2 2 2 2 24 3b a c c c c= − = − = ， 2 2 12 2 31, , , ( 2 ,0)4 3 2 x y M c c A cc c  + = −   1A MN∆ ( ,0)T t 1| | | |TA TM= 15 ，求得 ， ，切线斜率为： ，切线直线方程为 ，即 代入椭圆方程中,得 ， ， ， ， 到直线 的距离 ， 的面积为 ，所以有 ， ，椭圆方程为： . 10．【2020·南京市高淳区湖滨高级中学高三月考】）设椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，直线 的倾斜角为 ， . （1）求椭圆 的离心率； （2）若 的面积为 ，求椭圆 的方程. 【解析】（1）设 ， 的倾斜角为 ， ， . 设 ， ， 则 ， . 由 ，得 . 由 ，得 ， 2 2 29( 2 ) ( ) 4t c t c c+ = − + 8 ct = − 3 42 3 8 TM c k cc ∴ = = + 3 4k = − 3 3 ( )2 4y c x c− = − − 3 4 9 0x y c+ − = 2 27 18 11 0x cx c− + = 2 2 2 218 4 7 11 16 0c c c∆ = − × × = > 11 15,7 14D D c cx y= = ( ) ( ) 2 2 2 2 11 15 3 5| | 7 14 2 7M D M D c c c cMD x x y y c   ∴ = − + − = − + − =       2F MD | 3 9 | 6 5 5 c c cd −= = 2F MD∆ 1 | |2S MD d= ⋅ 212 1 5 6 3 7 2 7 5 7 c c c= × × = 2 4c∴ = 2 2 116 12 x y+ = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F F C A B l 45° 2AF FB=  C AOB 21 8 C (c,0)F  l 45° ∴ 1lk = ∴ :l y x c= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )1 1,AF c x y= − − ( )2 2,FB x c y= − 2AF FB=  1 22y y= − 2 2 2 2 1 x y c x y a b = + + = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 0a b y b cy b c a+ + + − = 16 又 ， ， ， ， 又 ， ， ， 即 ，即 ， ， . （2）由（1）知 . 又 到 的距离 ， . ， ， . 椭圆 的方程为 2 2 2a c b− = ∴ ( )2 2 2 2 42 0a b y b cy b+ + − = ∴ 2 1 2 2 2 2b cy y a b −+ = + 4 1 2 2 2 by y a b −= + 1 22y y= − ∴ 2 2 2 2 2b cy a b = + ∴ ( ) 4 2 4 2 1 2 2 2 2 22 2 42 2 b c by y y a ba b −= − = − ⋅ = ++ 2 2 28c a b= + ( )2 2 2 28c a a c= + − ∴ 2 22 9c a= ∴ 2 2 9e = ∴ 2 3e = 1 2 22 11 2 3AB y y yk = + ⋅ − = ⋅ − 2 2 2 2 2 2 2 2 3 23 2 3 2 8 4 b c b c b a b c c = ⋅ = ⋅ =+ O AB 2 cd = ∴ 2 21 1 3 2 3 21 2 2 4 8 82AOB b c bS AB d c = ⋅ = ⋅ ⋅ = =△ ∴ 2 7b = 2 2 2 227 9a b c a= + = + ∴ 2 9a = ∴ C 2 2 19 7 x y+ =