中考必会几何模型:中点四大模型
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中考必会几何模型:中点四大模型

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资料简介
1 中点四大模型 模型 1 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形 模型分析 如图①,AD 是△ABC 的中线,延长 AD 至点 E 使 DE=AD,易证:△ADC≌△EDB(SAS). 如图②,D 是 BC 中点,延长 FD 至点 E 使 DE=FD,易证:△FDB≌△EDC(SAS)   当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线或类中线,构造全等三角形,目的是对已知条件 中的线段进行转移. 模型实例 如图,已知在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,连接 BE 并延长交 AC 于点 F,AF =EF,求证:AC=BE 1.如图,在△ABC 中,AB=12,AC=20,求 BC 边上中线 AD 的范围. 解:延长 AD 到 E,使 AD=DE,连接 BE, ∵AD 是△ABC 的中线, ∴BD=CD, 在△ADC 与△EDB 中, , ∴△ADC≌△EDB(SAS), ∴EB=AC=20, 根据三角形的三边关系定理:20-12<AE<20+12, ∴4<AD<16,故 AD 的取值范围为 4<AD<16. ②图 ①图 构造全等 倍长类中线 倍长中线 E E D CB A FF A B CD A B CDD CB A    = ∠=∠ = DEAD BDEADC CDBD F E D CB A D CB A2 2.如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,DM⊥DN,如果 BM2 +CN2=DM2+DN2. 求证:AD2= (AB2+AC2). 证明:如图,过点 B 作 AC 的平行线交 ND 的延长线于 E, 连 ME. ∵BD=DC, ∴ED=DN. 在△BED 与△CND 中, ∵ ∴△BED≌△CND(SAS). ∴BE=NC. ∵∠MDN=90°, ∴MD 为 EN 的中垂线. ∴EM=MN. ∴BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2, ∴△BEM 为直角三角形,∠MBE=90°. ∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°. ∴∠BAC=90°. ∴AD2=( BC) 2= (AB2+AC2). 模型 2 已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用“三线合一”. 模型分析 等腰三角形中有底边中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等, 为解题创造更多的条件,当看见等腰三角形的时候,就应想到: “边等、角等、三线合一”. 模型实例 如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,M 为 BC 的中点,MN⊥AC 于点 N,求 MN 的长度. 连接中线 A B CDD CB A N M CB A A B CM N 4 1    = ∠=∠ = DNED CDNBDE DCBD 2 1 4 1 N M D CB A3 解答: 连接 AM. ∵AB=AC=5,BC=6,点 M 为 BC 中点, ∴AM⊥BC,BM=CM= BC=3. ∵AB=5, ∴AM= . ∵MN⊥AC, ∴S△ANC= MC·AM= AC·MN. 即: ×3×4= ×5×MN. ∴MN= 跟踪练习 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,AE⊥DE,AF⊥DF,且 AE=AF,求证:∠EDB=∠ FDC. 证明:连结 AD, ∵AB=AC,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90° 在 Rt△AED 与 Rt△AFD 中, , ∴Rt△AED≌Rt△AFD.(HL) ∴∠ADE=∠ADF, ∵∠ADB+∠ADC=90°, ∴∠EDB=∠FDC. FE D CB A 2 1 435 2222 =−=− BMAB 2 1 2 1 2 1 2 1 5 12    = = ADAD AFAB4 2.已知 Rt△ABC 中,AC=BC,∠C=90°,D 为 AB 边的中点,∠EDF=90°,∠EDF 绕 D 点旋转, 它的两边分别交 AC、CB(或它们的延长线)于 E、F. (1)当∠EDF 绕 D 点旋转到 DF⊥AC 于 E 时(如图①),求证:S△DEF+S△CEF= S△ABC; (2)当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时,在图②和图③这两种情况下,上述结论是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立, S△DEF、S△CEF、S△ABC 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不 需要证明. 解:(1)连接 CD;如图 2 所示: ∵AC=BC,∠ACB=90°,D 为 AB 中点, ∴∠B=45°,∠DCE= ∠ACB=45°,CD⊥AB,CD= AB=BD, ∴∠DCE=∠B,∠CDB=90°, ∵∠EDF=90°, ∴∠1=∠2, 在△CDE 和△BDF 中, , ∴△CDE≌△BDF(ASA), ∴S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF= S△ABC; (2)不成立;S△DEF −S △CEF = S△ABC ;理由如下:连接 CD,如图 3 所示: 同(1)得:△DEC≌△DBF,∠DCE=∠DBF=135° ∴S△DEF=S 五边形 DBFEC, =S△CFE+S△DBC, =S△CFE+ S△ABC, ∴S△DEF-S△CFE= S△ABC. ∴S△DEF、S△CEF、S△ABC 的关系是:S△DEF-S△CEF= S△ABC. ③图②图①图 A B C D E F A BC D E FF E D C B A 2 1 2 1 2 1    ∠=∠ = ∠=∠ BDCB BDCD 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 A BC D E F5 模型 3 已知三角形一边的中点,可考虑中位线定理 模型分析 在三角形中,如果有中点,可构造三角形的中位线,利用三角形中位线的性质定理: DE∥BC,且 DE= BC 来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系,该模型可以 解决角问题,线段之间的倍半、相等及平行问题. 模型实例 如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中点,连接 EF 并延长,分别与 BA、CD 的延长线交于点 M,N.求证:∠BME=∠CNE. 解答 如图,连接 BD,取 BD 的中点 H,连接 HE、HF. ∵E、F 分别是 BC、AD 的中点, ∴FH= AB,FH∥AB,HE= DC,HE∥NC. 又∵AB=CD, ∴HE=HF. ∴∠HFE=∠HEF. ∵FH∥MB,HE∥NC, ∴∠BME=∠HFE,∠CNE=∠FEH. ∴∠BME=∠CNE. 构造中位线 取另一边中点 E A B C DD CB A N M F E D C B A 2 1 2 1 2 16 练习: 1.(1)如图 1,BD,CE 分别是△ABC 的外角平分线,过点 A 作 AD⊥BD,AE⊥CE,垂足分别为 D, E,连接 DE,求证:DE∥BC,DE= (AB+BC+AC); (2)如图 2,BD,CE 分别是△ABC 的内角平分线,其他条件不变,上述结论是否成立? (3)如图 3,BD 是△ABC 的内角平分线,CE 是△ABC 的外角平分线,其他条件不变,DE 与 BC 还 平行吗?它与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中一种情况进行证明. 1.解答 (1)如图①,分别延长 AE,AD 交 BC 于 H,K. 在△BAD 和△BKD 中, ∴△BAD≌ △BKD(ASA) ∴AD=KD,AB=KB. 同理可证,AE=HE,AC=HC. ∴DE= HK. 又∵HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC. ∴DE= (AB+AC+BC). (2)猜想结果:图②结论为 DE= (AB+AC-BC) 证明:分别延长 AE,AD 交 BC 于 H,K. 在△BAD 和△BKD 中 ∴△BAD≌△BKD(ASA) ∴AD=KD,AB=KB 同理可证,AE=HE,AC=HC. ∴DE= HK. 又∵HK=BK+CH-BC =AB+AC-BC ∴DE= (AB+AC-BC) ED CB A 图1 G F E D CB A 图2 F E D CB A 图3 1 2 ABD DBK BD BD BDA BDK ∠ = ∠  = ∠ = ∠ 1 2 1 2 1 2 ABD DBK BD BD BDA BDK ∠ = ∠  = ∠ = ∠ 1 2 1 27 (3)图③的结论为 DE= (BC+AC-AB) 证明:分别延长 AE,AD 交 BC 或延长线于 H,K. 在△BAD 和△BKD 中, ∴△BAD ≌△BKD(ASA) ∴AD=KD,AB=KB. 同理可证,AE=HE,AC=HC. ∴DE= KH. 又∵HK=BH-BK =BC+CH-BK =BC+AC-AB ∴DE= (BC+AC-AB). 2.问题一:如图①,在四边形 ABCD 中,AB 与 CD 相交于点 O,AB=CD,E,F 分别是 BC,AD 的中 点,连接 EF,分别交 DC,AB 于点 M,N,判断△OMN 的形状,请直接写出结论. 问题二:如图②,在△ABC 中,AC>AB,D 点在 AC 上,AB=CD,E,F 分别是 BC,AD 的中点,连 接 EF 并延长,与 BA 的延长线交于点 G,若∠EFC=60°,连接 GD,判断△AGD 的形状并证明. 2.证明 (1)等腰三角形(提示:取 AC 中点 H,连接 FH,EH,如图①) (2)△AGD 是直角三角形 如图②,连接 BD,取 BD 的中点 H,连接 HF,HE. ∵F 是 AD 的中点, ∴HF∥AB,HF= AB. G A B C DE KH F 图2 图1 N M OF E D C B A E图2 G A B C D F 1 2 ABD DBK BD BD BDA BDK ∠ = ∠  = ∠ = ∠ 1 2 1 2 1 2 A B C D E K H F 图38 ∴∠1=∠3. 同理,HE∥CD,HE= CD, ∴∠2=∠EFC, ∴AB=CD, ∴HF=HE. ∴∠1=∠2. ∵∠EFC=60°, ∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°. ∴△AGF 是等边三角形. ∴AF=FG. ∴GF=FD. ∴∠FGD=∠FDG=30°. ∴∠AGD=90°,即△AGD 是直角三角形. 模型 4 已知直角三角形斜边中点,可以考 虑构造斜边中线 模型分析 在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半,即 CD= AB,来证明线段间的数量关系,而且可以得到两个等腰三角形:△ACD 和△BCD ,该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例 如图,在△ABC 中,BE,CF 分别为 AC,AB 上的高,D 为 BC 的中点,DM⊥ EF 于点 M,求证: FM=EM. 证明 连接 DE,DF. BE,CF 分别为边 AC,AB 上的高,D 为 BC 的中点, DF= BC,DE= BC. DF=DE,即△DEF 是等腰三角形. DM⊥EF, 点 M 是 EF 的中点,即 FM=EM. 构造直角三角形斜边上的中线 D C B A D C B A 1 2 1 2 1 2 1 2 图2 3 2 1 G A B C D F E H M F E D CB A A B CD E F M9 练习: 1.如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,AD⊥BC 于 D,M 为 BC 的中点,AB=10,求 DM 的长度. 1.解答 取 AB 中点 N,连接 DN,MN. 在 Rt△ADB 中,N 是斜边 AB 上的中点, ∴DN= AB=BN=5. ∴∠NDB=∠B. 在△ABC 中,M,N 分别是 BC,AB 的中点, ∴MN∥AC ∴∠NMB=∠C, 又∵∠NDB 是△NDM 的外角, ∴∠NDB=∠NMD+∠DNM. 即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM. 又∵∠B=2∠C, ∴∠DNM=∠C=∠NMD. ∴DM=DN. ∴DM=5. 2.已知,△ABD 和△ACE 都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°, 连接 DE,M 为 DE 的中点,连接 MB,MC,求证:MB=MC. 2.证明 延长 BM 交 CE 于 G, ∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形, ∴CE∥BD. ∴∠BDM=∠GEM. 又∵M 是 DE 中点,即 DM=EM, 且∠BMD=∠GME, ∴△BMD ≌△GME. ∴BM=MG. ∴M 是 BG 的中点, ∴在 Rt△CBG 中,BM=CM. 3.问题 1:如图①,三角形 ABC 中,点 D 是 AB 边的中点,AE⊥ BC,BF ⊥AC,垂足分别为点 E, F.AE、BF 交于点 M,连接 DE,DF,若 DE=kDF,则 k 的值为 . 问题 2:如图②,三角形 ABC 中,CB=CA,点 D 是 AB 边的中点,点 M 在三角形 ABC 内部,且∠MAC= ∠MBC,过点 M 分别作 ME ⊥BC,MF⊥ AC,垂足分别为点 E,F,连接 DE,DF,求证:DE=DF. 问题 3:如图③,若将上面问题 2 中的条件“CB=CA”变为“CB ≠CA”,其他 条件不变,试探究 DE MD CB A 1 2 M E D C B A N MD CB A10 与 DF 之间的数量关系,并证明你的结论. 3.解答 ∵(1)AE⊥BC,BF⊥AC, ∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形, ∵D 是 AB 的中点, ∴DE= AB,DF= AB. ∴DE=DF. ∵DE=KDF, ∴k=1. (2)∵CB=CA, ∴∠CBA=∠CAB. ∵∠MAC=∠MBC, ∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC,即∠ABM=∠BAM. ∴AM=BM. ∵ME⊥BC,MF⊥AC, ∴∠MEB=∠MFA=90°. 又∵∠MBE=∠MAF, ∴△MEB ≌△MFA(AAS) ∴BE=AF. ∵D 是 AB 的中点,即 BD=AD, 又∵∠DBE=∠DAF, ∴△DBE ≌△DAF(SAS) ∴DE=DF. (3)DE=DF. 如图,作 AM 的中点 G,BM 的中点 H,连 DG,FG,DH,EH. ∵点 D 是边 AB 的中点, ∴DG∥BM,DG= BM. 同理可得:DH∥AM,DH= AM. ∵ME⊥BC 于 E,H 是 BM 的中点. ∴在 Rt△BEM 中,HE= BM=BH. ∴∠HBE=∠HEB. ∴∠MHE=2∠HBE. 图1 M F E D CB A 图2 A B C D E F M 图3 A B C D E F M 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 图1 M F E D CB A 图2 A B C D E F M11 又∵DG= BM,HE= BM, ∴DG=HE. 同理可得:DH=FG. ∠MGF=2∠MAC. ∵DG∥BM,DH∥GM, ∴四边形 DHMG 是平行四边形. ∴∠DGM=∠DHM. ∵∠MGF=2∠MAC, ∠MHE=2∠MBC, ∠MBC=∠MAC, ∴∠MGF=∠MHE. ∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE. ∴∠DGF=∠DHE. 在△DHE 与△FGD 中 ∴△DHE≌ △FGD(SAS) ∴DE=DF. 高中数学知识点 二次函数 (1)一元二次方程 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但 尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理) 的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 的两实根为 ,且 .令 , 从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向: ②对称轴位置: ③判别式: ④端 点函数值符号. ①k<x1≤x2 ②x1≤x2<k 1 2 1 2 DG HE DGF DHE DH FG = ∠ = ∠  = 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2,x x 1 2x x≤ 2( )f x ax bx c= + + a 2 bx a = − ∆ ⇔ x y 1x 2x 0>a O • a bx 2 −= 0)( >kf k x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf 0)( 2 >kf a bx 2 −= x y 1x 2xO • 0 ( )M f p= 0a < 2 b pa − < ( )M f p= 2 bp qa ≤ − ≤ ( )2 bM f a = − 2 b qa − > ( )M f q= 02 b xa − ≤ ( )m f q= 02 b xa − > ( )m f p= x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x  x y0

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