2019年湖南省长沙市中考数学试卷（word文档带解析)

2019 年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分） 1．（3 分）下列各数中，比﹣3 小的数是（  ） A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1 2．（3 分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到 2020 年，长沙电网建设 改造投资规模达到 15000000000 元，确保安全供用电需求．数据 15000000000 用科学记 数法表示为（  ） A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011 3．（3 分）下列计算正确的是（  ） A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2 4．（3 分）下列事件中，是必然事件的是（  ） A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是 180° 5．（3 分）如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，∠1＝80°，则∠2 的度数是（  ） A．80° B．90° C．100° D．110° 6．（3 分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（  ） A． B． C． D． 7．（3 分）在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中，11 名参赛同学的成绩各不相同， 按照成绩取前 5 名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛， 小明需要知道这 11 名同学成绩的（  ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 8．（3 分）一个扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则该扇形的面积是（  ） A．2π B．4π C．12π D．24π 9．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠ CAD 的度数是（  ） A．20° B．30° C．45° D．60° 10．（3 分）如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60nmile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时 轮船 B 与小岛 A 的距离是（  ） A．30 nmile B．60nmile C．120nmile D．（30+30 ）nmile 11．（3 分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木， 不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用 一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则所列方程组正确的是（  ） A． B． C． D． 12．（3 分）如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的 一个动点，则 CD+ BD 的最小值是（  ） A．2 B．4 C．5 D．10 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）式子 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是   ． 14．（3 分）分解因式：am2﹣9a＝   ． 15．（3 分）不等式组 的解集是   ． 16．（3 分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随 机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断 重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球实验次 数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球” 的次数 36 387 2019 4009 19970 40008 “摸出黑球” 的频率（结 果保留小数 点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是   ．（结果保留小数点后一位） 17．（3 分）如图，要测量池塘两岸相对的 A，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点 C，连 接 AC，BC，分别取 AC，BC 的中点 D，E，测得 DE＝50m，则 AB 的长是   m． 18．（3 分）如图，函数 y＝ （k 为常数，k＞0）的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点（点 M 在点 A 的左侧），直线 AM 分别交 x 轴， y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F．现有以下四个结论： ①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若 BM⊥AM 于点 M，则∠MBA＝30°；③若 M 点 的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2+ ；④若 MF＝ MB，则 MD＝ 2MA． 其中正确的结论的序号是   ．（只填序号） 三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分。解答应写出必要的文字说明、 证明过程或验算步骤） 19．（6 分）计算：|﹣ |+（ ）﹣1﹣ ÷ ﹣2cos60°． 20．（6 分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 a＝3． 21．（8 分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生 对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷 调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不 完整的统计表和条形统计图． 等级 频数 频率 优秀 21 42% 良好 m 40% 合格 6 n% 待合格 3 6% （1）本次调查随机抽取了   名学生；表中 m＝   ，n＝   ； （2）补全条形统计图； （3）若全校有 2000 名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好” 等级的学生共有多少人． 22．（8 分）如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 DE＝CF，AF 与 BE 相 交于点 G． （1）求证：BE＝AF； （2）若 AB＝4，DE＝1，求 AG 的长． 23．（9 分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教 师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导， 据统计，第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次． （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 24．（9 分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边 形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直 接在横线上填写“真”或“假”）． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；（   命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（   命题） ③两个大小不同的正方形相似．（   命题） （2）如图 1，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠ B1C1D1， ＝ ＝ ．求证：四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似． （3）如图 2，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 分 别交 AD，BC 于点 E，F．记四边形 ABFE 的面积为 S1，四边形 EFCD 的面积为 S2，若 四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，求 的值． 25．（10 分）已知抛物线 y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c 为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求 b，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数 m，n（m＜n），当 m≤x≤n 时，恰好 ≤ ≤ ，求 m，n 的值． 26．（10 分）如图，抛物线 y＝ax2+6ax（a 为常数，a＞0）与 x 轴交于 O，A 两点，点 B 为 抛物线的顶点，点 D 的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接 BD 并延长与过 O，A，B 三点 的⊙P 相交于点 C． （1）求点 A 的坐标； （2）过点 C 作⊙P 的切线 CE 交 x 轴于点 E． ①如图 1，求证：CE＝DE； ②如图 2，连接 AC，BE，BO，当 a＝ ，∠CAE＝∠OBE 时，求 ﹣ 的值． 2019 年湖南省长沙市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分） 1．（3 分）下列各数中，比﹣3 小的数是（  ） A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1 【考点】18：有理数大小比较． 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切 负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：﹣5＜﹣3＜﹣1＜0＜1， 所以比﹣3 小的数是﹣5， 故选：A． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大 的其值反而小． 2．（3 分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到 2020 年，长沙电网建设 改造投资规模达到 15000000000 元，确保安全供用电需求．数据 15000000000 用科学记 数法表示为（  ） A．15×109 B．1.5×109 C．1.5×1010 D．0.15×1011 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：数据 150 0000 0000 用科学记数法表示为 1.5×1010． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）下列计算正确的是（  ） A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2 【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全 平方公式． 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平 方公式解答即可． 【解答】解：A、3a 与 2b 不是同类项，故不能合并，故选项 A 不合题意； B、（a3）2＝a6，故选项 B 符合题意； C、a6÷a3＝a3，故选项 C 不符合题意； D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项 D 不合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌 握运算法则是解答本题的关键． 4．（3 分）下列事件中，是必然事件的是（  ） A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是 180° 【考点】K7：三角形内角和定理；X1：随机事件． 【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事 件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【解答】解：A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意； B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是 180°，属于必然事件，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件． 5．（3 分）如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，∠1＝80°，则∠2 的度数是（  ） A．80° B．90° C．100° D．110° 【考点】JA：平行线的性质． 【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案． 【解答】解：∵∠1＝80°， ∴∠3＝100°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝100°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解 题关键． 6．（3 分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（  ） A． B． C． D． 【考点】U3：由三视图判断几何体． 【分析】根据几何体的三视图判断即可． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥． 故选：D． 【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力， 难度不大． 7．（3 分）在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中，11 名参赛同学的成绩各不相同， 按照成绩取前 5 名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛， 小明需要知道这 11 名同学成绩的（  ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【考点】WA：统计量的选择． 【分析】由于比赛取前 5 名参加决赛，共有 11 名选手参加，根据中位数的意义分析即 可． 【解答】解：11 个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有 5 个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故选：B． 【点评】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数． 8．（3 分）一个扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则该扇形的面积是（  ） A．2π B．4π C．12π D．24π 【考点】MO：扇形面积的计算． 【分析】根据扇形的面积公式 S＝ 计算即可． 【解答】解：S＝ ＝12π， 故选：C． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式 S＝ 是解题的关 键． 9．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠ CAD 的度数是（  ） A．20° B．30° C．45° D．60° 【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图—基本作图． 【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知 DA＝DB，即∠DAB＝∠B ＝30°，从而得出答案． 【解答】解：在△ABC 中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°， 故选：B． 【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 10．（3 分）如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60nmile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时 轮船 B 与小岛 A 的距离是（  ） A．30 nmile B．60nmile C．120nmile D．（30+30 ）nmile 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题． 【分析】过点 C 作 CD⊥AB，则在 Rt△ACD 中易得 AD 的长，再在直角△BCD 中求出 BD， 相加可得 AB 的长． 【解答】解：过 C 作 CD⊥AB 于 D 点， ∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60． 在 Rt△ACD 中，cos∠ACD＝ ， ∴CD＝AC•cos∠ACD＝60× ＝30 ． 在 Rt△DCB 中，∵∠BCD＝∠B＝45°， ∴CD＝BD＝30 ， ∴AB＝AD+BD＝30+30 ． 答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是（30+30 ）nmile． 故选：D． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题 一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 11．（3 分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木， 不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用 一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则所列方程组正确的是（  ） A． B． C． D． 【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组． 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列 出相应的方程组． 12．（3 分）如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的 一个动点，则 CD+ BD 的最小值是（  ） A．2 B．4 C．5 D．10 【考点】KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形． 【分析】如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥AB 于 M．由 tanA＝ ＝2，设 AE＝a，BE＝ 2a，利用勾股定理构建方程求出 a，再证明 DH＝ BD，推出 CD+ BD＝CD+DH， 由垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥AB 于 M． ∵BE⊥AC， ∴∠ABE＝90°， ∵tanA＝ ＝2，设 AE＝a，BE＝2a， 则有：100＝a2+4a2， ∴a2＝20， ∴a＝2 或﹣2 （舍弃）， ∴BE＝2a＝4 ， ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC， ∴CM＝BE＝4 （等腰三角形两腰上的高相等）） ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴sin∠DBH＝ ＝ ＝ ， ∴DH＝ BD， ∴CD+ BD＝CD+DH， ∴CD+DH≥CM， ∴CD+ BD≥4 ， ∴CD+ BD 的最小值为 4 ． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键 是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）式子 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 x≥5 ． 【考点】72：二次根式有意义的条件． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案． 【解答】解：式子 在实数范围内有意义，则 x﹣5≥0， 故实数 x 的取值范围是：x≥5． 故答案为：x≥5． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键． 14．（3 分）分解因式：am2﹣9a＝ a（m+3）（m﹣3） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：am2﹣9a ＝a（m2﹣9） ＝a（m+3）（m﹣3）． 故答案为：a（m+3）（m﹣3）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提 取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为 止． 15．（3 分）不等式组 的解集是 ﹣1≤x＜2 ． 【考点】CB：解一元一次不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的 解集． 【解答】解： 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜2， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2， 故答案为：﹣1≤x＜2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关 键． 16．（3 分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随 机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断 重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球实验次 数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球” 的次数 36 387 2019 4009 19970 40008 “摸出黑球” 的频率（结 果保留小数 点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 0.4 ．（结果保留小数点后一位） 【考点】V7：频数（率）分布表；X8：利用频率估计概率． 【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解； 【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在 0.4 附近， 故摸到白球的频率估计值为 0.4； 故答案为：0.4． 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个 事件发生的频率能估计概率． 17．（3 分）如图，要测量池塘两岸相对的 A，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点 C，连 接 AC，BC，分别取 AC，BC 的中点 D，E，测得 DE＝50m，则 AB 的长是 100 m． 【考点】KX：三角形中位线定理． 【分析】先判断出 DE 是△ABC 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等 于第三边的一半可得 AB＝2DE，问题得解． 【解答】解：∵点 D，E 分别是 AC，BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴AB＝2DE＝2×50＝100 米． 故答案为：100． 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并 准确识图是解题的关键． 18．（3 分）如图，函数 y＝ （k 为常数，k＞0）的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点（点 M 在点 A 的左侧），直线 AM 分别交 x 轴， y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F．现有以下四个结论： ①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若 BM⊥AM 于点 M，则∠MBA＝30°；③若 M 点 的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2+ ；④若 MF＝ MB，则 MD＝ 2MA． 其中正确的结论的序号是 ①③④ ．（只填序号） 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】①设点 A（m， ），M（n， ），构建一次函数求出 C，D 坐标，利用三角形 的面积公式计算即可判断． ②△OMA 不一定是等边三角形，故结论不一定成立． ③设 M（1，k），由△OAM 为等边三角形，推出 OA＝OM＝AM，可得 1+k2＝m2+ ， 推出 m＝k，根据 OM＝AM，构建方程求出 k 即可判断． ④如图，作 MK∥OD 交 OA 于 K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：①设点 A（m， ），M（n， ）， 则直线 AC 的解析式为 y＝﹣ x+ + ， ∴C（m+n，0），D（0， ）， ∴S△ODM＝ n× ＝ ，S△OCA＝ （m+n）× ＝ ， ∴△ODM 与△OCA 的面积相等，故①正确； ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴O 是 AB 的中点， ∵BM⊥AM， ∴OM＝OA， ∴k＝mn， ∴A（m，n），M（n，m）， ∴AM＝ （n﹣m），OM＝ ， ∴AM 不一定等于 OM， ∴∠BAM 不一定是 60°， ∴∠MBA 不一定是 30°．故②错误， ∵M 点的横坐标为 1， ∴可以假设 M（1，k）， ∵△OAM 为等边三角形， ∴OA＝OM＝AM， 1+k2＝m2+ ， ∴m＝k， ∵OM＝AM， ∴（1﹣m）2+ ＝1+k2， ∴k2﹣4k+1＝0， ∴k＝2 ， ∵m＞1， ∴k＝2+ ，故③正确， 如图，作 MK∥OD 交 OA 于 K． ∵OF∥MK， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵OA＝OB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵KM∥OD， ∴ ＝ ＝2， ∴DM＝2AM，故④正确． 故答案为①③④． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成 比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线 分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分。解答应写出必要的文字说明、 证明过程或验算步骤） 19．（6 分）计算：|﹣ |+（ ）﹣1﹣ ÷ ﹣2cos60°． 【考点】6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三 角函数值进行计算． 【解答】解：原式＝ +2﹣ ﹣2× ＝ +2﹣ ﹣1 ＝1． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20．（6 分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 a＝3． 【考点】6D：分式的化简求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将 a 的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝ • ＝ ， 当 a＝3 时，原式＝ ＝ ． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 21．（8 分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生 对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷 调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不 完整的统计表和条形统计图． 等级 频数 频率 优秀 21 42% 良好 m 40% 合格 6 n% 待合格 3 6% （1）本次调查随机抽取了 50 名学生；表中 m＝ 20 ，n＝ 12 ； （2）补全条形统计图； （3）若全校有 2000 名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好” 等级的学生共有多少人． 【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VC：条形统计图． 【分析】（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数； （2）根据题意补全条形统计图即可得到结果； （3）全校 2000 名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论． 【解答】解：（1）本次调查随机抽取了 21÷42%＝50 名学生，m＝50×40%＝20，n＝ ×100＝12， 故答案为：50，20，12； （2）补全条形统计图如图所示； （3）2000× ＝1640 人， 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有 1640 人． 【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问 题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 22．（8 分）如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 DE＝CF，AF 与 BE 相 交于点 G． （1）求证：BE＝AF； （2）若 AB＝4，DE＝1，求 AG 的长． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质． 【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，得出 AE＝ DF，由 SAS 证明△BAE≌△ADF，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出∠EBA＝∠FAD，得出∠GAE+∠AEG＝90°，因此∠AGE ＝90°，由勾股定理得出 BE＝ ＝5，在 Rt△ABE 中，由三角形面积即可得出 结果． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD， ∵DE＝CF， ∴AE＝DF， 在△BAE 和△ADF 中， ， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE＝AF； （2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF， ∴∠EBA＝∠FAD， ∴∠GAE+∠AEG＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∵AB＝4，DE＝1， ∴AE＝3， ∴BE＝ ＝ ＝5， 在 Rt△ABE 中， AB×AE＝ BE×AG， ∴AG＝ ＝ ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面 积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23．（9 分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教 师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导， 据统计，第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次． （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【考点】AD：一元二次方程的应用． 【分析】（1）设增长率为 x，根据“第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益 学生 2.42 万人次”可列方程求解； （2）用 2.42×（1+增长率），计算即可求解． 【解答】解：（1）设增长率为 x，根据题意，得 2（1+x）2＝2.42， 解得 x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%． 答：增长率为 10%． （2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）． 答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给 出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24．（9 分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边 形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直 接在横线上填写“真”或“假”）． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 假 命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 假 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 真 命题） （2）如图 1，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠ B1C1D1， ＝ ＝ ．求证：四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似． （3）如图 2，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 分 别交 AD，BC 于点 E，F．记四边形 ABFE 的面积为 S1，四边形 EFCD 的面积为 S2，若 四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，求 的值． 【考点】SO：相似形综合题． 【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断． （2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可． （3）四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，证明相似比是 1 即可解决问题，即证明 DE＝AE 即可． 【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题． 故答案为假，假，真． （2）证明：如图 1 中，连接 BD，B1D1． ∵∠BCD＝∠B1C1D1，且 ＝ ， ∴△BCD∽△B1C1D1， ∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD， ∵ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵∠ABC＝∠A1B1C1， ∴∠ABD＝∠A1B1D1， ∴△ABD∽△A1B1D1， ∴ ＝ ，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1， ∴， ＝ ＝ ＝ ，∠ADC＝∠A 1D1C1，∠A＝∠A 1，∠ABC＝∠ A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1， ∴四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似． （3）如图 2 中， ∵四边形 ABCD 与四边形 EFCD 相似． ∴ ＝ ， ∵EF＝OE+OF， ∴ ＝ ， ∵EF∥AB∥CD， ∴ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ + ＝ + ， ∴ ＝ ， ∵AD＝DE+AE， ∴ ＝ ， ∴2AE＝DE+AE， ∴AE＝DE， ∴ ＝1． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定 和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 25．（10 分）已知抛物线 y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c 为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求 b，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数 m，n（m＜n），当 m≤x≤n 时，恰好 ≤ ≤ ，求 m，n 的值． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式 y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020） 可知，y＝﹣2（x﹣1）2+1，易得 b、c 的值； （2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0）， 代入函数解析式，经过化简得到 c＝2x02+2020，易得 c≥2020； （3）由题意知，抛物线为 y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，则 y≤1．利用不等式的性 质推知： ，易得 1≤m＜n．由二次函数图象的性质得到：当 x＝m 时，y最大值＝﹣ 2m2+4m﹣1．当 x＝n 时，y 最小值＝﹣2n2+4n﹣1．所以 ＝﹣2m2+4m﹣1， ＝﹣2n2+4n ﹣1 通过解方程求得 m、n 的值． 【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1． ∴ ． ∴b＝6，c＝2019． （2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0）， 代入解析式可得： ． ∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0． ∴c＝2x02+2020， ∴c≥2020； （3）由（1）可知抛物线为 y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1． ∴y≤1． ∵0＜m＜n，当 m≤x≤n 时，恰好 ≤ ≤ ， ∴ ≤ ． ∴ ． ∴ ≤1，即 m≥1． ∴1≤m＜n． ∵抛物线的对称轴是 x＝1，且开口向下， ∴当 m≤x≤n 时，y 随 x 的增大而减小． ∴当 x＝m 时，y 最大值＝﹣2m2+4m﹣1． 当 x＝n 时，y 最小值＝﹣2n2+4n﹣1． 又 ， ∴ ． 将①整理，得 2n3﹣4n2+n+1＝0， 变形，得 2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0． ∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0． ∵n＞1， ∴2n2﹣2n﹣1＝0． 解得 n1＝ （舍去），n2＝ ． 同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0． ∵1≤m＜n， ∴2m2﹣2m﹣1＝0． 解得 m1＝1，m2＝ （舍去），m3＝ （舍去）． 综上所述，m＝1，n＝ ． 【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标 特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元 二次方程的解法．该题计算量比较大，需要细心解答．难度较大． 26．（10 分）如图，抛物线 y＝ax2+6ax（a 为常数，a＞0）与 x 轴交于 O，A 两点，点 B 为 抛物线的顶点，点 D 的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接 BD 并延长与过 O，A，B 三点 的⊙P 相交于点 C． （1）求点 A 的坐标； （2）过点 C 作⊙P 的切线 CE 交 x 轴于点 E． ①如图 1，求证：CE＝DE； ②如图 2，连接 AC，BE，BO，当 a＝ ，∠CAE＝∠OBE 时，求 ﹣ 的值． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）令 y＝0，可得 ax（x+6）＝0，则 A 点坐标可求出； （2）①连接 PC，连接 PB 延长交 x 轴于点 M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠COE， 则 CE＝DE； ②设 OE＝m，由 CE 2＝OE•AE，可得 ，由∠CAE＝∠OBE 可得 ，则 ，综合整理代入 可求出 的值． 【解答】解：（1）令 ax2+6ax＝0， ax（x+6）＝0， ∴A（﹣6，0）； （2）①证明：如图，连接 PC，连接 PB 延长交 x 轴于点 M， ∵⊙P 过 O、A、B 三点，B 为顶点， ∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°， 又∵PC＝PB， ∴∠PCB＝∠PBC， ∵CE 为切线， ∴∠PCB+∠ECD＝90°， 又∵∠BDP＝∠CDE， ∴∠ECD＝∠COE， ∴CE＝DE． ②解：设 OE＝m，即 E（m，0）， 由切割线定理得：CE2＝OE•AE， ∴（m﹣t）2＝m•（m+6）， ∴ ①， ∵∠CAE＝∠CBD， ∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO， 由角平分线定理： ， 即： ， ∴ ②， 由①②得 ， 整理得：t2+18t+36＝0， ∴t2＝﹣18t﹣36， ∴ ． 【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与 x 轴的交点坐标、切线 的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆 的性质进行计算是解题的关键．