2020 年天津市河北区高考数学一模试卷
一、选择题
1．已知集合 U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则集合∁U（A∪
B）＝（ ）
A．{5} B．{1，5} C．{2，4} D．{1，2，3，4，6}
2．已知 a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知直线 1：ax + ퟑy＝2 与圆 C：x2+y2＝4 相交于 M，N 两点，若|MN|＝2 ퟑ，则直线
的斜率为（ ）
A． 3
3 B．± 3
3 C． ퟑ D． ― ퟑ
4．已知双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1（a＞0，b＞0）的焦距为 4，点（2，3）为双曲线上一点，则双
曲线的渐进线方程为（ ）
A．y =±
1
2x B．y＝±x C．y =±
3
3 x D．y =± ퟑx
5．已知函数 f（x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（ ）
A．f（x） =
푥
2|푥| B．f（x）＝2|x|﹣2 C．f（x）＝2|x|﹣x2 D．f（x）＝e|x|﹣|x|
6．已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x）在[0，+∞）单调递增，设 a＝f（3
2），
b＝f（log37），c＝f（﹣0.83），则 a，b，c 大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
7．在等腰梯形 ABCD 中，AB＝2DC＝2AD＝2，∠DAB＝60°，E 为 AB 中点，将△ADE
与△BEC 分别沿 ED，EC 向上折起，使 A，B 重合点为 F，则三棱锥 F﹣DCE 的外接球
体积为（ ）
A．2
3흅 B． 6
4 π C．3
2흅 D． 6
8 π
8．将函数 f（x）＝cos
휔푥
2 （2sin
휔푥
2 ― 2 ퟑcos
휔푥
2 ） + ퟑ，（ω＞0）的图象向左平移 휋
3휔个单
位，得到函数 y＝g（x）的图象，若 y＝g（x）在[0，휋
4]上为增函数，则 ω 的最大值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知函数 f（x） = {풙ퟐ ― ퟑ풙 + ퟐ，풙 ≤ ퟏ
풍풏풙，풙＞ퟏ ，g（x）＝f（x）﹣ax+a，若 g（x）恰有 1 个零
点，则 a 的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
二.填空题
10．已知复数 z =
1 ― 푖
1 + 푖（i 为虚数单位），则|z|＝ ．
11．在（2x ―
1
푥）5 的展开式中，x2 的系数为 ．
12．从某班的 4 名男生，2 名女生中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动，设所选 3 人中
女生人数为 X，则 P（X＝2）＝ ．数学期望 E（X）＝ ．
13．已知 a，b 为正实数，且 a+b＝2，则푎2 + 2
푎 + 푏2
푏 + 1
的最小值为 ．
14．已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形， →
푩푫 = →
푫푪， →
푨푬 =
1
2
→
푬푪，且 AD 与 BE 相交于点
O，则 →
푶푨• →
푶푩 = ．
15．某同学在研究函数 f（x） =
푥
1 + |푥|（x∈R）时，分别给出下面几个结论：
①f（﹣x）+f（x）＝0 在 x∈R 时恒成立；
②函数 f（x）的值域为（﹣1，1）；
③若 x1≠x2，则一定有 f（x1）≠f（x2）；
④函数 g（x）＝f（x）﹣x 在 R 上有三个零点．
其中正确结论的序号有 ．
三.解答题
16．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 2c = ퟑa+2bcosA．
（Ⅰ）求角 B；
（Ⅱ）若 cosA =
1
4，求 sin（2A+B）的值；
（Ⅲ）若 c＝7，bsinA = ퟑ，求 b 的值．
17．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，AB⊥
AC，且 PA＝AB＝3，AC＝2，E 是棱 PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面 AEC；
（Ⅱ）求直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段 PB 上（不含端点）是否存在一点 M，使得二面角 M﹣AC﹣E 的余弦值为
10
10 ？若存在，确定 M 的位置；若不存在，说明理由．
18．已知等比数列{an}的前 n 项和为 S，公比 q＞1，且 a2+1 为 a1，a3 的等差中项，S3＝
14．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）记 bn＝an•log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
19．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的离心率 e =
1
2，直线 x+y ― ퟔ = 0 与圆 x2+y2＝b2
相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 N（4，0）的直线 l 与椭圆交于不同两点 A、B，线段 AB 的中垂线为 l′，若
l′在 y 轴上的截距为 4
13，求直线 l 的方程．
20．已知函数 f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅱ）设 a∈Z，若对任意的 x＞0，f（x）≤0 恒成立，求整数 a 的最大值；
（Ⅲ）求证：当 x＞0 时，ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．
参考答案
一、选择题
1．已知集合 U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则集合∁U（A∪
B）＝（ ）
A．{5} B．{1，5} C．{2，4} D．{1，2，3，4，6}
【分析】根据并集与补集的定义，计算即可．
解：集合 A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，
所以 A∪B＝{1，2，3，4，6}；
又集合 U＝{1，2，3，4，5，6}，
所以集合∁U（A∪B）＝{5}．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
2．已知 a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求解 a2＞4，得出 a＞2 或 a＜﹣2，根据充分必要的定义判断即可得出答案．
解：∵a2＞4，
∴a＞2 或 a＜﹣2，
根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞4”的充分不必要条件
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可．
3．已知直线 1：ax + ퟑy＝2 与圆 C：x2+y2＝4 相交于 M，N 两点，若|MN|＝2 ퟑ，则直线
的斜率为（ ）
A． 3
3 B．± 3
3 C． ퟑ D． ― ퟑ
【分析】利用弦长公式表示出|MN|，求出 a 的值即可．
解：易得直线斜率存在且不为 0，
则圆心到直线 l 的距离 d =
|2|
푎2 + 3
，
则弦长|MN|＝2 풓ퟐ ― 풅ퟐ = 2 ퟒ ―
4
푎2 + 3 = 2 ퟑ，解得 a＝±1，
则斜率 k＝± 1
3 = ± 3
3 ，
故选：B．
【点评】本题考查直线斜率的求法，考查弦长公式，属于中档题．
4．已知双曲线푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1（a＞0，b＞0）的焦距为 4，点（2，3）为双曲线上一点，则双
曲线的渐进线方程为（ ）
A．y =±
1
2x B．y＝±x C．y =±
3
3 x D．y =± ퟑx
【分析】求出双曲线的焦点，根据定义求出 a，然后求出 b．可得双曲线 C 的方程与渐
近线方程．
解：由题意可知：双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0）
根据定义有 2a＝| (ퟐ ― ퟐ)ퟐ + (ퟑ ― ퟎ)ퟐ ― (ퟐ + ퟐ)ퟐ + (ퟑ ― ퟎ)ퟐ|．
∴a＝1 由以上可知：a2＝1，c2＝4，b2＝3．
∴所求双曲线 C 的渐近线方程为：y＝± ퟑ풙．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力．
5．已知函数 f（x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（ ）
A．f（x） =
푥
2|푥| B．f（x）＝2|x|﹣2 C．f（x）＝2|x|﹣x2 D．f（x）＝e|x|﹣|x|
【分析】观察函数图象，由函数为偶函数，f（0）＞0，函数有两个正零点，分别可排除
选项 A，B，D，由此得出正确选项 C．
解：由函数图象可知，f（x）为偶函数，故可排除选项 A；
f（0）＞0，故可排除选项 B；
又当 x＞0 时，函数图象与 x 轴有两个交点，而方程 ex＝x 无解，故可排除 D．
故选：C．
【点评】本题考查由函数图象确定符合的函数解析式，考查读图识图能力，属于基础
题．
6．已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x）在[0，+∞）单调递增，设 a＝f（3
2），
b＝f（log37），c＝f（﹣0.83），则 a，b，c 大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】根据题意，由偶函数的性质可得 c＝f（﹣0.83）＝f（0.83），又由指数、对数的
性质可得 0.83＜1＜
3
2 = log3 ퟐퟕ＜log37，结合函数的单调性分析可得答案．
解：根据题意，函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，则 c＝f（﹣0.83）＝f（0.83），
又由 f（x）在[0，+∞）单调递增，且 0.83＜1＜
3
2 = log3 ퟐퟕ＜log37，
则有 c＜a＜b，
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基
础题．
7．在等腰梯形 ABCD 中，AB＝2DC＝2AD＝2，∠DAB＝60°，E 为 AB 中点，将△ADE
与△BEC 分别沿 ED，EC 向上折起，使 A，B 重合点为 F，则三棱锥 F﹣DCE 的外接球
体积为（ ）
A．2
3흅 B． 6
4 π C．3
2흅 D． 6
8 π
【分析】由题意可得三棱锥 F﹣DCE 是正四面体，且每条边长为 1，把正四面体放入正
方体中，利用正方体的外接球即可求出三棱锥 F﹣DCE 的外接球半径，从而得到三棱锥
F﹣DCE 的外接球体积．
解：由题意可得三棱锥 F﹣DCE 是正四面体，且每条边长为 1，
则正四面体所在的正方体的棱长为 2
2 ，
所以外接球的半径为1
2 × ퟑ ×
2
2 =
6
4 ，
所以外接球体积为：4
3 × 흅 × (
6
4 )ퟑ =
6휋
8
，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正四面体的外接球，是中档题．
8．将函数 f（x）＝cos
휔푥
2 （2sin
휔푥
2 ― 2 ퟑcos
휔푥
2 ） + ퟑ，（ω＞0）的图象向左平移 휋
3휔个单
位，得到函数 y＝g（x）的图象，若 y＝g（x）在[0，휋
4]上为增函数，则 ω 的最大值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到 g（x）的解析式，再利用正弦
函数的单调性，得出结论．
解：将函数f（x）＝cos
휔푥
2 （2sin
휔푥
2 ― 2 ퟑcos
휔푥
2 ） + ퟑ = sinωx ― ퟑcosωx＝2sin（ωx ―
휋
3），（ω＞0）的图象向左平移 휋
3휔个单位，
得到函数 y＝g（x）＝2sinωx 的图象，若 y＝g（x）在[0，휋
4]上为增函数，则 ω•
휋
4 ≤
휋
2，∴
ω≤2，∴ω 的最大值为 2，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属
于基础题．
9．已知函数 f（x） = {풙ퟐ ― ퟑ풙 + ퟐ，풙 ≤ ퟏ
풍풏풙，풙＞ퟏ ，g（x）＝f（x）﹣ax+a，若 g（x）恰有 1 个零
点，则 a 的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【分析】根据条件先判断 x＝1 是函数 g（x）的一个零点，等价于当 x≠1 时，函数 f
（x）＝a（x﹣1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可．
解：由 g（x）＝f（x）﹣ax+a＝0 得 f（x）＝a（x﹣1），
∵f（1）＝1﹣3+2＝0，
∴g（1）＝f（1）﹣a+a＝0，即 x＝1 是 g（x）的一个零点，
若 g（x）恰有 1 个零点，
则当 x≠1 时，函数 f（x）＝a（x﹣1），没有其他根，
即 a =
푓(푥)
푥 ― 1，没有根，
当 x＜1 时，设 h（x） =
푓(푥)
푥 ― 1 = 푥2 ― 3푥 + 2
푥 ― 1 =
(푥 ― 1)(푥 ― 2)
푥 ― 1 = x﹣2，此时函数 h（x）为
增函数，
则 h（1）→﹣1，即此时 h（x）＜﹣1，
当 x＞1 时，h（x） =
푓(푥)
푥 ― 1 =
푙푛푥
푥 ― 1，h′（x） =
1
푥 ⋅ (푥 ― 1) ― 푙푛푥
(푥 ― 1)2
＜0，此时 h（x）为减
函数，
此时 h（x）＞0，且 h（1）→1，即 0＜h（x）＜1，
作出函数 h（x）的图象如图：
则要使 a =
푓(푥)
푥 ― 1，没有根，
则 a≥1 或﹣1≤a≤0，
即实数 a 的取值范围是[﹣1，0]∪[1，+∞），
故选：A．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题
的关键．综合性较强，有一定的难度．
二.填空题
10．已知复数 z =
1 ― 푖
1 + 푖（i 为虚数单位），则|z|＝ 1 ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
解：∵z =
1 ― 푖
1 + 푖 = (1 ― 푖)2
(1 + 푖)(1 ― 푖) =
―2푖
2 = ― 풊，
∴|z|＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
11．在（2x ―
1
푥）5 的展开式中，x2 的系数为 80 ．
【分析】利用通项公式即可得出．
解：（2x ―
1
푥）5 的展开式中，通项公式 Tr+1 = ∁풓ퟓ（2x）5﹣r( ―
1
푥)풓 = （﹣1）r25﹣r∁풓ퟓ
풙
ퟓ―
3
2풓，
令 5 ―
3
2r＝2，解得 r＝2．
∴x2 的系数＝23∁ퟐퟓ = 80．
故答案为：80．
【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
12．从某班的 4 名男生，2 名女生中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动，设所选 3 人中
女生人数为 X，则 P（X＝2）＝ 1
5 ．数学期望 E（X）＝ 1 ．
【分析】随机变量随机 X 的所有可能的取值为 0，1，2．分别求出其对应的概率，列出
分布列，求期望即可．
解：所选 3 人中女生人数为 X，X＝2，就是所选 3 人中女生人数为 2，
则 P（X＝2） =
퐶1
4퐶2
2
퐶3
6
=
1
5；
随机变量 X 的所有可能的取值为 0，1，2，P（X＝0） =
퐶3
4퐶0
2
퐶3
6
=
1
5，
P（X＝1） =
퐶2
4퐶1
2
퐶3
6
=
3
5；P（X＝2） =
퐶1
4퐶2
2
퐶3
6
=
1
5；
所有随机变量 ξ 的分布列为：
X 0 1 2
P 1
5
3
5
1
5
所以 ξ 的期望 E（X）＝0 ×
1
5 + 1 ×
3
5 + 2 ×
1
5 = 1．
故答案为：1
5；1．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望，属于基础题．
13．已知 a，b 为正实数，且 a+b＝2，则푎2 + 2
푎 + 푏2
푏 + 1
的最小值为 6 + 2 2
3
．
【分析】由 a，b 为正实数，且 a+b＝2，变形可得푎2 + 2
푎 + 푏2
푏 + 1 =
2
푎 + a+b﹣1 +
1
푏 + 1 =
2
푎 +
1
3 ― 푎 + 1＝f（a），0＜a＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
解：∵a，b 为正实数，且 a+b＝2，
∴푎2 + 2
푎 + 푏2
푏 + 1 = a +
2
푎 + 푏2 ― 1 + 1
푏 + 1 =
2
푎 + a+b﹣1 +
1
푏 + 1 =
2
푎 +
1
3 ― 푎 + 1＝f（a），0＜a
＜2．
f′（a） = ―
2
푎2 +
1
(푎 ― 3)2 =
―(푎 ― 6 ― 3 2)(푎 ― 6 + 3 2)
(푎2 ― 3푎)2 ，
令 f′（a）＞0，解得ퟔ ― ퟑ ퟐ＜풂＜ퟐ，此时函数 f（a）单调递增；令 f′（a）＜0，解
得ퟎ＜풂＜ퟔ ― ퟑ ퟐ，此时函数 f（a）单调递减．
∴当且仅当 a＝6﹣3 ퟐ时函数 f（a）取得极小值即最小值，
풇(ퟔ ― ퟑ ퟐ) = 6 + 2 2
3
．
故答案为：6 + 2 2
3
．
【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
14．已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形， →
푩푫 = →
푫푪， →
푨푬 =
1
2
→
푬푪，且 AD 与 BE 相交于点
O，则 →
푶푨• →
푶푩 = 3
4 ．
【分析】作 DF∥BE 交 AC 于 F； 作 GE∥DC 交 AD 于 G；根据已知条件得到 →
푶푩 = ―
3
4
→
푩푬以及 →
푶푨 = ―
1
2
→
푨푫；再代入数量积即可求解结论．
解：△ABC 是边长为 2 的等边三角形， →
푩푫 = →
푫푪， →
푨푬 =
1
2
→
푬푪，且 AD 与 BE 相交于点
O，
作 DF∥BE 交 AC 于 F； 作 GE∥DC 交 AD 于 G；
∵퐺퐸
퐷퐶 =
퐴퐸
퐴퐶 =
1
3 =
푂퐸
푂퐵；
∴ →
푶푩 = ―
3
4
→
푩푬；
∵DF∥BE，D 为中点，
故퐷퐶
퐵퐷 =
퐸퐹
퐹퐶 = 1；
又因为 →
푨푬 =
1
2
→
푬푪，
∴퐴푂
푂퐷 =
퐴퐸
퐸퐹 = 1；
∴ →
푶푨 = ―
1
2
→
푨푫；
∴ →
푶푨• →
푶푩 = ―
1
2
→
푨푫•（ ―
3
4
→
푩푬）
=
3
8
→
푨푫• →
푩푬
=
3
8 ×
1
2（ →
푨푩 + →
푨푪）•（ →
푩푨 + →
푨푬）
=
3
16（ →
푨푩 + →
푨푪）•（ ― →
푨푩 +
1
3
→
푨푪）
=
3
16（ ― →
푨푩
ퟐ ―
2
3
→
푨푩• →
푨푪 +
1
3
→
푨푪
ퟐ）
=
3
16（﹣22 ―
2
3 × 2×2 ×
1
2 +
1
3 × 22） =
3
4．
故答案为：3
4．
【点评】本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计
算，考查计算能力，属于中档题．
15．某同学在研究函数 f（x） =
푥
1 + |푥|（x∈R）时，分别给出下面几个结论：
①f（﹣x）+f（x）＝0 在 x∈R 时恒成立；
②函数 f（x）的值域为（﹣1，1）；
③若 x1≠x2，则一定有 f（x1）≠f（x2）；
④函数 g（x）＝f（x）﹣x 在 R 上有三个零点．
其中正确结论的序号有 ①②③ ．
【分析】由奇偶性的定义来判断①，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；由②
结合①对称区间上的单调性相同说明③正确；由数形结合来说明④不正确．
解：①풇( ― 풙) =
―푥
1 + |푥| = ― 풇(풙)∴正确
②当 x＞0 时，f（x） =
1
1 + 1
푥
∈（0，1）
由①知当 x＜0 时，f（x）∈（﹣1，0）
x＝0 时，f（x）＝0
∴f（x）∈（﹣1，1）正确；
③则当 x＞0 时，f（x） =
1
1 + 1
푥
反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增
函数
再由①知 f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确
④由③知 f（x）的图象与 y＝x 只有（0，0）这一个交点．不正确．
故答案为：①②③
【点评】本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四
个问题在研究时往往是同时考虑的．
三.解答题
16．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 2c = ퟑa+2bcosA．
（Ⅰ）求角 B；
（Ⅱ）若 cosA =
1
4，求 sin（2A+B）的值；
（Ⅲ）若 c＝7，bsinA = ퟑ，求 b 的值．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理与三角形内角和定理，即可求得 cosB 与 B 的值；
（Ⅱ）根据三角恒等变换求值即可；
（Ⅲ）利用正弦定理和余弦定理，即可求得 b 的值．
解：（Ⅰ）△ABC 中，2c = ퟑa+2bcosA，
由正弦定理得 2sinC = ퟑsinA+2sinBcosA；
又 C＝π﹣（A+B），
所以 2（sinAcosB+cosAsinB） = ퟑsinA+2sinBcosA，
所以 2sinAcosB = ퟑsinA；
又 A∈（0，π），所以 sinA≠0，
所以 cosB =
3
2 ；
又 B∈（0，π），
所以 B =
휋
6；
（Ⅱ）若 cosA =
1
4，A∈（0，π），
所以 sinA = ퟏ ―풄풐풔ퟐ푨 =
15
4 ，
所以 sin2A＝2sinAcosA＝2 ×
15
4 ×
1
4 =
15
8 ，
cos2A＝2cos2A﹣1＝2 ×
1
16 ― 1 = ―
7
8，
所以 sin（2A+B）＝sin2AcosB+cos2AsinB
=
15
8 ×
3
2 ―
7
8 ×
1
2
= 3 5 ― 7
16
；
（Ⅲ）若 c＝7，bsinA = ퟑ，
由 푏
푠푖푛퐵 =
푎
푠푖푛퐴，得 asinB＝bsinA = ퟑ，
所以 a =
3
푠푖푛퐵 =
3
1
2
= 2 ퟑ；
所以 b2＝c2+a2﹣2cacosB＝49+12﹣2×7×2 ퟑ ×
3
2 = 19，
解得 b = ퟏퟗ．
【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是
中档题．
17．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，AB⊥
AC，且 PA＝AB＝3，AC＝2，E 是棱 PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面 AEC；
（Ⅱ）求直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段 PB 上（不含端点）是否存在一点 M，使得二面角 M﹣AC﹣E 的余弦值为
10
10 ？若存在，确定 M 的位置；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）连接 BD 交 AC 于点 O，并连接 EO，推导出 EO∥PB，由此能证明 PB∥面
AEC．
（Ⅱ）以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设平
面 AEC 的法向量 →
풎 = （x，y，z），由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由
向量的夹角公式可得所求值；
（Ⅲ）假设在线段 PB 上（不含端点）存在一点 M，使得二面角 M﹣AC﹣E 的余弦值为
10
10 ，利用向量法能求出在线段 PB 上（不含端点）存在一点 M，设平面 ACM 的法向量
→
풏 = （p，q，t），由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性．
解：（Ⅰ）证明：连接 BD 交 AC 于点 O，并连接 EO，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴O 为 BD 的中点，
又∵E 为 PD 的中点，
∴在△PDB 中 EO 为中位线，EO∥PB
∵PB⊄面 AEC，EO⊂面 AEC，
∴PB∥面 AEC．
（Ⅱ）证明：∵在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，
底面 ABCD 为平行四边形，AB⊥AC，且 PA＝AB＝3，AC＝2，E 是棱 PD 的中点．
∴以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，3），C（2，0，0），A（0，0，0），D（2，﹣3，0），E（1， ―
3
2，3
2），
→
푨푬 = （1， ―
3
2，
3
2）， →
푨푪 = （2，0，0）， →
푷푪 = （2，0，﹣3），
设平面 AEC 的法向量 →
풎 = （x，y，z），
则{ →
푨푬 ⋅
→
풎 = 풙 ―
3
2풚 +
3
2풛 = ퟎ
→
푨푪 ⋅
→
풎 = ퟐ풙 = ퟎ
，取 y＝1，得 →
풎 = （0，1，1），
设直线 PC 与平面 AEC 所成角为 θ，
则直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值为：
sinθ =
|
→
푃퐶 ⋅
→
푚|
|
→
푃퐶| ⋅ |
→
푚|
=
3
13 ⋅ 2 = 3 26
26
．
（Ⅲ）假设在线段 PB 上（不含端点）存在一点 M，使得二面角 M﹣AC﹣E 的余弦值为
10
10 ，
设 M（a，b，c）， →
푷푴 = 흀 →
푷푩，B（0，3，0），则（a，b，c﹣3）＝λ（0，3，﹣3），
解得 a＝0，b＝3λ，c＝3﹣3λ，M（0，3λ，3﹣3λ），
→
푨푪 = （2，0，0）， →
푨푴 = （0，3λ，3﹣3λ），
设平面 ACM 的法向量→
풏 = （p，q，t），
则{→
풏 ⋅
→
푨푪 = ퟐ풑 = ퟎ
→
풏 ⋅
→
푨푴 = ퟑ흀풒 + (ퟑ ― ퟑ흀)풕 = ퟎ
，取 q＝1，得→
풏 = （0，1， 휆
휆 ― 1），
∵二面角 M﹣AC﹣E 的余弦值为 10
10 ．
∴|cos＜ →
풎，→
풏＞| =
|
→
푚 ⋅
→
푛|
|
→
푚| ⋅ |
→
푛|
=
10
10 ，
解得흀 =
1
3或흀 =
2
3．
∴在线段 PB 上（不含端点）存在一点 M，使得二面角 M﹣AC﹣E 的余弦值为 10
10 ，
且 →
푷푴 =
1
3
→
푷푩或 →
푷푴 =
2
3
→
푷푩．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是
否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推
理论证能力，是中档题．
18．已知等比数列{an}的前 n 项和为 S，公比 q＞1，且 a2+1 为 a1，a3 的等差中项，S3＝
14．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）记 bn＝an•log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
【分析】（I）由 a2+1 是 a1，a3 的等差中项，可得 2（a2+1）＝a1+a3，又 a1（q2+1）＝
2a1q+2，풂ퟏ(ퟏ + 풒 + 풒ퟐ) = 14，联立解得，即可得出．
（II）bn＝an•log2an＝n•2n．利用错位相减法即可得出．
解：（I）∵a2+1 是 a1，a3 的等差中项，∴2（a2+1）＝a1+a3，
∴a1（q2+1）＝2a1q+2，풂ퟏ(ퟏ + 풒 + 풒ퟐ) = 14，
化为 2q2﹣5q+2＝0，q＞1，解得 q＝2，∴a1＝2．
∴an＝2n．
（II）bn＝an•log2an＝n•2n．
∴数列{bn}的前 n 项和 Tn＝2+2•22+3•23+……+n•2n．
2Tn＝2×2+2•23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1．
∴﹣Tn＝2+22+23+……+2n﹣n•2n+1 = 2(2푛 ― 1)
2 ― 1 ― n•2n+1．
解得：Tn＝（n﹣1）•2n+1+2．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推
理能力与计算能力，属于中档题．
19．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的离心率 e =
1
2，直线 x+y ― ퟔ = 0 与圆 x2+y2＝b2
相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 N（4，0）的直线 l 与椭圆交于不同两点 A、B，线段 AB 的中垂线为 l′，若
l′在 y 轴上的截距为 4
13，求直线 l 的方程．
【分析】（1）先由直线与圆相切，得出 b 的值，再结合离心率，求出 a 的值，从而可得
出椭圆的方程；
（2）设直线 l 的斜率为 k，设点 A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线 l 的方程与椭圆 C
的方程联立，计算△＞0，列出韦达定理，可求出线段 AB 的中点 Q 的坐标，并写出线段
AB 中垂线 l′的方程，然后求出直线 l'与 y 轴的交点坐标，列关于 k 的方程，求出 k 的
值，即可得出直线 l 的方程．
解：（1）由题意得풆ퟐ =
푐2
푎2 =
푎2 ― 푏2
푎2 =
1
4，即풂ퟐ =
4
3풃ퟐ，
由풙 + 풚 ― ퟔ = ퟎ与圆 x2+y2＝b2 相切得풃 =
6
2 = ퟑ，∴a＝2．
因此，椭圆的方程为푥2
4 + 푦2
3 = ퟏ；
（2）由题意知，直线 l 的斜率 k 存在且不为零，
设直线 l 的方程为 y＝k（x﹣4），k≠0，设点 A（x1，y1）、B（x2，y2），设线段 AB 的
中点为 Q（x0，y0），
联立{풚 = 풌(풙 ― ퟒ)
푥2
4 +
푦2
3 = ퟏ ，消去 y 并整理得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．
由韦达定理得풙ퟏ + 풙ퟐ =
32푘2
4푘2 + 3
，
又△＝（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0，解得 ―
1
2＜풌＜
1
2，且 k≠0．
풙ퟎ =
푥1 + 푥2
2 =
16푘2
4푘2 + 3
，풚ퟎ = 풌(풙ퟎ ― ퟒ) = ―
12푘
4푘2 + 3
，得푸(
16푘2
4푘2 + 3
， ―
12푘
4푘2 + 3)．
由直线 l′的方程풚 ― 풚ퟎ = ―
1
푘(풙 ― 풙ퟎ)，即풚 +
12푘
4푘2 + 3 = ―
1
푘(풙 ―
16푘2
4푘2 + 3
)，化简得풚 = ―
1
푘풙 +
4푘
4푘2 + 3
．
令 x＝0 得
4푘
4푘2 + 3 =
4
13，解得풌 =
1
4或 k＝3．
由于 ―
1
2＜풌＜
1
2，且 k≠0，所以，풌 =
1
4．
因此，直线 l 的方程为풚 =
1
4(풙 ― ퟒ)，即 x﹣4y﹣4＝0．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，以及韦达定理设而不
求法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．
20．已知函数 f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1（a∈一、选择题）．
（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅱ）设 a∈Z，若对任意的 x＞0，f（x）≤0 恒成立，求整数 a 的最大值；
（Ⅲ）求证：当 x＞0 时，ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数 f′（x） =
(2푥 + 1)(푎푥 + 1)
푥 （x＞0），得若 a≥0，
则 f′（x）＞0，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增；若 a＜0，求出导函数的零点，
对函数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性；
（Ⅱ）若 a≥0，则 f（1）＝2a+3＞0，不满足 f（x）≤0 恒成立．若 a＜0，由（Ⅰ）求
得函数的最大值，又 f（x）≤0 恒成立，可得 ln（ ―
1
푎） ―
1
푎 ≤ 0，设 g（x）＝lnx+x，
则 g（ ―
1
푎）≤0．由函数零点判定定理可得存在唯一的 x0∈（1
2，ퟏ），使得 g（x0）＝0．得
到 a ≤ ―
1
푥0
∈（﹣2，﹣1），结合 a∈Z，可知 a 的最大值为﹣2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2 时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，得到 ex
﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1．
记 u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），利用两次求导证明 ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．
【 解 答 】 （ Ⅰ ） 解 ： f （ x ） ＝ lnx+ax2+ （ a+2 ） x+1 ， f ′ （ x ） =
1
푥 + 2ax+a+2 =
(2푥 + 1)(푎푥 + 1)
푥 （x＞0），
①若 a≥0，则 f′（x）＞0，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②若 a＜0，由 f′（x）＞0，得 0＜x＜ ―
1
푎；由 f′（x）＜0，得 x＞ ―
1
푎．
∴函数 f（x）在（0， ―
1
푎）上单调递增，在（ ―
1
푎，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）解：若 a≥0，则 f（1）＝2a+3＞0，∴不满足 f（x）≤0 恒成立．
若 a＜0，由（Ⅰ）可知，函数 f（x）在（0， ―
1
푎）上单调递增，在（ ―
1
푎，+∞）上单
调递减．
∴풇(풙)풎풂풙 = 풇( ―
1
푎) = 풍풏( ―
1
푎) ―
1
푎，又 f（x）≤0 恒成立，
∴풇(풙)풎풂풙 = 풇( ―
1
푎) = 풍풏( ―
1
푎) ―
1
푎 ≤ 0，
设 g（x）＝lnx+x，则 g（ ―
1
푎）≤0．
∵函数 g（x）在（0，+∞）上单调递增，且 g（1）＝1＞0，g（1
2） = 풍풏
1
2 +
1
2＜0，
∴存在唯一的 x0∈（1
2，ퟏ），使得 g（x0）＝0．
当 x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当 x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．
∴0＜ ―
1
푎 ≤ x0，解得 a ≤ ―
1
푥0
∈（﹣2，﹣1），
又 a∈Z，∴a≤﹣2．
则综上 a 的最大值为﹣2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2 时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，
∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，
∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1．
记 u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），则 u′（x）＝ex﹣2x+2．
记 h（x）＝ex﹣2x+2，则 h′（x）＝ex﹣2，
由 h′（x）＝0，得 x＝ln2．
当 x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当 x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，
∴函数 h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
∴풉(풙)풎풊풏 = 풉(풍풏ퟐ) = 풆풍풏ퟐ ― ퟐ풍풏ퟐ + ퟐ = 4﹣2ln2＞0．
∴h（x）＞0，即 u′（x）＞0，故函数 u（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即 ex﹣x2+2x﹣1＞0．
∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思
想方法，属难题．
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