天津市河东区2020届高三高考数学一模试卷（Word版附解析）

2020 年高考数学一模试卷 一、选择题 1．已知集合 A＝{﹣2，﹣3，﹣4，4，5}，B＝{x||x﹣1|＜π}，则 A∩B＝（  ） A．{﹣2，﹣3，4} B．{﹣2，4，5} C．{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0，1，2，3，4，5} D．{﹣2，4} 2．i 是虚数单位，复数 Z 满足条件 2Z+|Z|＝2i，则复数 Z 在复平面的坐标为（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．双曲线푥2 푎2 ― 푦2 5 = 1（a＞0）的一条渐进线与直线 y = ퟓx 垂直，则 a 的值为（  ） A．5 B．25 C． ퟓ D．1 4．已知平面 α、β，直线 l⊂α，直线 m 不在平面 α 上，下列说法正确的是（  ） A．若 α∥β，m∥β，则 l∥m B．若 α∥β，m⊥β，则 l⊥m C．若 1∥m，α∥β，则 m∥β D．若 l⊥m，m∥β，则 α⊥β 5．对于非零向量→ 풂、→ 풃，“2→ 풂 = → 풃”是“→ 풂，→ 풃共线”的（  ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数 f（x）为定义在[﹣3，3]的奇函数，且 f（2）＞f（1）＞f（3）＞0，则下列各 式一定正确的是（  ） A．f（1）﹣f（log2 1 8）＞f（0）﹣f（log1 39） B．f（log1 39）+f（﹣1）＝f（log2 1 8）+f（0） C．﹣f（log1 39）+f（﹣1）＞f（1）﹣f（log28） D．f（log1 3 9）+f（﹣1）＜f（log2 1 8）+f（0） 7．三角形 ABC 中，∠A，∠B，∠C 对应的边分别为 a，b，c，∠A = 2휋 3 ，b＝3，三角形 ABC 的面积为15 3 4 ，则边 a 的值为（  ） A． ퟏퟗ B． 91 2 C．7 D．49 8．已知实数 a、b，ab＞0，则 푎푏 푎2 +푏2 +푎2푏2 + 4 的最大值为（  ） A．1 6 B．1 4 C．1 7 D．6 9．已知函数 f（x）＝sin（4x + 휋 3）（x∈[0，13휋 24 ]），函数 g（x）＝f（x）+a 有三个零点 x1，x2，x3，则 x1+x2+x3 的取值范围是（  ） A．[ 10휋 3 ，7휋 2 ] B．[ 7휋 12，5휋 8 ] C．[0，5휋 8 ） D．[ 7휋 12，5휋 8 ） 二、填空题 10．在（ 풙 ― 푦 2）5 的展开式中，xy3 的系数是   ． 11．已知抛物线的焦点为 F（0， ― 1 2），点 P（1，t）在抛物线上，则点 P 到 F 的距 离   ． 12．已知圆 O 过点 A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点 D（3，4）到圆 O 上的点最小 距离为   ． 13．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为8 3，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中 点的球的表面积为   ． 14．已知圆 O 内接正三角形 ABC 边长为 2，圆心为 O，则 → 푶푩• → 푶푪 =    ，若线段 BC 上一点 D，BD = 1 2DC， → 푶푪 ⋅ → 푨푫 =    ． 15．函数 f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+3，若存在 x1，x2，…，xn∈[0，9 2]，使得 f（x1）+f （x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），n∈N*，则 n 的最大值为   ． 三、解答题 16．已知递增等差数列{an}，等比数列{bn}，数列{cn}，a1＝c1＝1，c4＝9，a1、a2、a5 成等 比数列，bn＝an+cn，n∈N*． （1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）求数列{cn}的前 n 项和 Sn． 17．“海河英才”行动计划政策实施 1 年半以来，截止 2019 年 11 月 30 日，累计引进各类 人才落户 23.5 万人．具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金 获得者等顶尖领军人才 112 人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查． （1）李军抽取了 8 人其中学历型人才 4 人，技能型人才 3 人，资格型人才 1 人，周二和 周五随即进行采访，每天 4 人（4 人任意顺序），周五采访学历型人才不超过 2 人的概 率： （2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才 500 元/人，技能型人才 400 元/人，资格型人才 600 元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采 访补贴费用大于等于 500 元/人？ 18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，正方形 ABCD 边长为 2，E 是 PA 的 中点． （1）求证：PC∥平面 BDE； （2）求证：直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 10 10 ，求 PA 的长度； （3）若 PA＝2，线段 PC 上是否存在一点 F，使 AF⊥平面 BDE，若存在，求 PF 的长 度，若不存在，请说明理由． 19．已知椭圆푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1（a＞b＞0）的右焦点为 F（c，0），左右顶点分别为 A，B，上顶 点为 C，∠BFC＝120°． （1）求椭圆离心率； （2）点 F 到直线 BC 的距离为 21 7 ，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，直线 AP 与直线 x＝2 交于点 D，说明 P 运动时以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系，并证明． 20．已知函数 f（x）＝x2﹣x+klnx，k＞0． （1）函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为 2，求 k 的值； （2）讨论函数 f（x）的单调性； （3）若函数 f（x）有两个不同极值点为 x1、x2，证明|f（x1）﹣f（x2）|＜ 1 4 ― 2k． 参考答案 一.选择题 1．已知集合 A＝{﹣2，﹣3，﹣4，4，5}，B＝{x||x﹣1|＜π}，则 A∩B＝（  ） A．{﹣2，﹣3，4} B．{﹣2，4，5} C．{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0，1，2，3，4，5} D．{﹣2，4} 【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可． 解：∵集合 A＝{﹣2，﹣3，﹣4，4，5}，B＝{x||x﹣1|＜π}＝（﹣π+1，π+1） ∴A∩B＝{﹣2，4}， 故选：D． 2．i 是虚数单位，复数 Z 满足条件 2Z+|Z|＝2i，则复数 Z 在复平面的坐标为（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】设 Z＝x+yi，（x，y∈R）．由 2Z+|Z|＝2i，可得 2（x+yi） + 풙ퟐ + 풚ퟐ = 2i，可 得：2x + 풙ퟐ + 풚ퟐ = 0，2y＝2，解出即可得出． 解：设 Z＝x+yi，（x，y∈R）． ∵2Z+|Z|＝2i，∴2（x+yi） + 풙ퟐ + 풚ퟐ = 2i， 可得：2x + 풙ퟐ + 풚ퟐ = 0，2y＝2， 解得 y＝1，x = ― 3 3 ． ∴复数 Z 在复平面的坐标为（ ― 3 3 ，1）在第二象限． 故选：B． 3．双曲线푥2 푎2 ― 푦2 5 = 1（a＞0）的一条渐进线与直线 y = ퟓx 垂直，则 a 的值为（  ） A．5 B．25 C． ퟓ D．1 【分析】首先根据题意，由双曲线的方程判断出 a＞0，进而可得其渐近线的方程；再求 得直线 y = ퟓx 的斜率，根据直线垂直关系列出方程，求解即可． 解：根据题意，双曲线푥2 푎2 ― 푦2 5 = 1（a＞0）的一条渐进线为 y＝± 5 푎 x； 直线 y = ퟓx 的斜率为 ퟓ， 双曲线푥2 푎2 ― 푦2 5 = 1（a＞0）的一条渐进线与直线 y = ퟓx 垂直，必有双曲线的一条渐近线 的斜率为 ― 5 5 ； 即 a＝5， 故选：A． 4．已知平面 α、β，直线 l⊂α，直线 m 不在平面 α 上，下列说法正确的是（  ） A．若 α∥β，m∥β，则 l∥m B．若 α∥β，m⊥β，则 l⊥m C．若 1∥m，α∥β，则 m∥β D．若 l⊥m，m∥β，则 α⊥β 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得 答案． 解：对于 A，若 α∥β，m∥β，则 l∥m 或 l 与 m 异面，故 A 错误； 对于 B，若 α∥β，m⊥β，则 m⊥α，又 l⊂α，则 l⊥m，故 B 正确； 对于 C，若 1∥m，α∥β，则 m∥β 或 m⊂β，故 C 错误； 对于 D，若 l⊥m，m∥β，则 α∥β 或 α 与 β 相交，故 D 错误． 故选：B． 5．对于非零向量→ 풂、→ 풃，“2→ 풂 = → 풃”是“→ 풂，→ 풃共线”的（  ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】对于非零向量→ 풂、→ 풃，“2→ 풂 = → 풃”⇒“→ 풂，→ 풃共线”，反之不一定成立，可举例说 明． 解：对于非零向量→ 풂、→ 풃，“2→ 풂 = → 풃”⇒“→ 풂，→ 풃共线”， 反之不一定成立，可能：→ 풂 = 2→ 풃等． ∴“2→ 풂 = → 풃”是“→ 풂，→ 풃共线”的充分不必要条件． 故选：B． 6．已知函数 f（x）为定义在[﹣3，3]的奇函数，且 f（2）＞f（1）＞f（3）＞0，则下列各 式一定正确的是（  ） A．f（1）﹣f（log2 1 8）＞f（0）﹣f（log1 39） B．f（log1 39）+f（﹣1）＝f（log2 1 8）+f（0） C．﹣f（log1 39）+f（﹣1）＞f（1）﹣f（log28） D．f（log1 3 9）+f（﹣1）＜f（log2 1 8）+f（0） 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）＝0，据此结合不等式的性质依次分析选 项，综合即可得答案． 解：根据题意，函数 f（x）为定义在[﹣3，3]的奇函数，则有 f（0）＝0， 据此分析选项： 对于 A，f（1）﹣f（log2 1 8）＞f（0）﹣f（log1 39），即 f（1）﹣f（﹣3）＞f（0）﹣f（﹣ 2），变形可得 f（1）+f（3）＞f（2），不一定正确； 对于 B，f（log1 39）+f（﹣1）＝f（log2 1 8）+f（0），即 f（﹣2）+f（﹣1）＝f（﹣3）+f （0），变形可得 f（2）+f（1）＝f（3），不正确； 对于 C，﹣f（log1 39）+f（﹣1）＞f（1）﹣f（log28），即﹣f（﹣2）+f（﹣1）＞f（1）﹣ f（3），变形可得 f（2）﹣2f（1）+f（3）＞0，不一定正确； 对于 D，f（log1 3 9）+f（﹣1）＜f（log2 1 8）+f（0），即 f（﹣2）+f（﹣1）＜f（﹣3）， 变形可得 f（2）+f（1）＞f（3）， 又由 f（2）＞f（1）＞f（3）＞0，则必有 f（2）+f（1）＞f（3），故 D 一定正确； 故选：D． 7．三角形 ABC 中，∠A，∠B，∠C 对应的边分别为 a，b，c，∠A = 2휋 3 ，b＝3，三角形 ABC 的面积为15 3 4 ，则边 a 的值为（  ） A． ퟏퟗ B． 91 2 C．7 D．49 【分析】由已知利用三角形的面积公式可求 c 的值，进而根据余弦定理可求 a 的值． 解：∵∠A = 2휋 3 ，b＝3，三角形 ABC 的面积为15 3 4 = 1 2bcsinA = 1 2 × ퟑ × 풄 × 3 2 ， ∴解得：c＝5， ∴由余弦定理可得：a = 풃ퟐ + 풄ퟐ ― ퟐ풃풄풄풐풔푨 = ퟗ + ퟐퟓ ― ퟐ × ퟑ × ퟓ × ( ― 1 2) = 7． 故选：C． 8．已知实数 a、b，ab＞0，则 푎푏 푎2 +푏2 +푎2푏2 + 4 的最大值为（  ） A．1 6 B．1 4 C．1 7 D．6 【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果． 解：由于 a2+b2≥2ab＞0， 所以 푎푏 푎2 +푏2 +푎2푏2 + 4 ≤ 푎푏 2푎푏 + 푎2푏2 + 4 ， 故 ： 푎푏 2푎푏 + 푎2푏2 + 4 = 1 2 + 푎푏 + 4 푎푏 ≤ 1 2 + 2 푎푏 ⋅ 4 푎푏 = 1 6， （ 当 且 仅 当 a ＝ b 时 ， 等 号 成 立）． 故选：A． 9．已知函数 f（x）＝sin（4x + 휋 3）（x∈[0，13휋 24 ]），函数 g（x）＝f（x）+a 有三个零点 x1，x2，x3，则 x1+x2+x3 的取值范围是（  ） A．[ 10휋 3 ，7휋 2 ] B．[ 7휋 12，5휋 8 ] C．[0，5휋 8 ） D．[ 7휋 12，5휋 8 ） 【分析】根据题意画出函数 f（x）的图象，函数 g（x）＝f（x）+a 有三个零点，等价于 函数 y＝f（x）与函数 y＝﹣a 有三个交点，利用数形结合法即可求出 x1+x2+x3 的取值范 围． 解：根据题意画出函数 f（x）的图象，如图所示： ， 函数 g（x）＝f（x）+a 有三个零点，等价于函数 y＝f（x）与函数 y＝﹣a 有三个交点， 当直线 l 位于直线 l1 与直线 l2 之间时，符合题意， 由图象可知：풙ퟏ + 풙ퟐ = ퟐ × 휋 24 = 휋 12，12휋 24 ≤ 풙ퟑ＜ 13휋 24 ， 所以7휋 12 ≤ 풙ퟏ + 풙ퟐ + 풙ퟑ＜ 5휋 8 ， 故选：D． 二、填空题 10．在（ 풙 ― 푦 2）5 的展开式中，xy3 的系数是  ― 5 4 ． 【分析】写出二项展开式的通项，得到 r 值，则答案可求． 解：（ 풙 ― 푦 2）5 的展开式的通项为푻풓+ퟏ = 푪풓ퟓ( 풙)ퟓ―풓( ― 푦 2)풓 = ( ― 1 2)풓푪풓ퟓ풙 5―푟 2 풚풓． 取 r＝3，可得（ 풙 ― 푦 2）5 的展开式 xy3 的系数为( ― 1 2)ퟑ푪ퟑퟓ = ― 5 4． 故答案为： ― 5 4． 11．已知抛物线的焦点为 F（0， ― 1 2），点 P（1，t）在抛物线上，则点 P 到 F 的距离  1 ． 【分析】先通过焦点坐标，求出 p 和抛物线的方程，再把点 P 的坐标代入，可求得 t， 然后利用抛物线的定义即可得解． 解：设抛物线的方程为 x2＝﹣2py（p＞0）， ∵抛物线的焦点为 F（0， ― 1 2），∴p＝1，抛物线的方程为 x2＝﹣2y， 把点 P（1，t）代入 x2＝﹣2y，得 1＝﹣2t，∴t = ― 1 2， 由抛物线的定义可知， 点 P 到 F 的距离为|풕| + 푝 2 = 1 2 + 1 2 = ퟏ． 故答案为：1． 12．已知圆 O 过点 A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点 D（3，4）到圆 O 上的点最小 距离为  ퟓ ． 【分析】由题意利用用待定系数法求出圆的方程，再根据点和圆的位置关系，得出结 论． 解：设圆 O 的方程为 x2+y2+dx+ey+f＝0，∵圆 O 过点 A（0，0）、B（0，4）、C（1， 1）， ∴{풇 = ퟎ ퟎ + ퟏퟔ + ퟎ + ퟒ풆 + 풇 = ퟎ ퟏ + ퟏ + 풅 + 풆 + 풇 = ퟎ ，求得{풅 = ퟐ 풆 = ―ퟒ 풇 = ퟎ ，故圆的方程为 x2+y2+2x﹣4y＝0， 即 （x+1）2+（y﹣2）2＝5，表示圆心为（﹣1，2）、半径为 ퟓ的圆． ∵|DO| = (ퟑ + ퟏ)ퟐ +(ퟒ ― ퟐ)ퟐ = 2 ퟓ， 故点 D（3，4）到圆 O 上的点最小距离为 2 ퟓ ― ퟓ = ퟓ， 故答案为： ퟓ． 13．正四棱锥的高与底面边长相等且体积为8 3，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中 点的球的表面积为 6π ． 【分析】先利用正四棱锥的体积求出底面边长，根据题意，四棱锥四条侧棱中点围成一 个边长为 1 的正方形 EFGH，而球 O 是以正方形 EFGH 为底面，点 O 为中心的长方体 的外接球，从而利用长方体的外接球即可求出球 O 的半径，进而求出球 O 的表面积． 解：设正四棱锥的底面边长为 a，则高也是 a， 所以正四棱锥的体积为：1 3 × 풂ퟐ × 풂 = 8 3， 解得：a＝2， 设底面中心为点 O，则 O 为球心， 易知四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为 1 的正方形 EFGH，如图所示： ， 因为球 O 经过四棱锥四条侧棱中点，所以球 O 是以正方形 EFGH 为底面，点 O 为中心 的长方体的外接球， 显然长方体的高为 2， 所以球 O 的半径 R = 1 2 ퟏퟐ + ퟏퟐ + ퟐퟐ = 6 2 ， 所以球 O 的表面积为：4πR2＝4흅 × 6 4 = 6π， 故答案为：6π． 14．已知圆 O 内接正三角形 ABC 边长为 2，圆心为 O，则 → 푶푩• → 푶푪 =   ― 2 3 ，若线段 BC 上一点 D，BD = 1 2DC， → 푶푪 ⋅ → 푨푫 =  2 3 ． 【分析】先根据正弦定理求得半径 R，进而求得第一个空，再结合向量的三角形法则求 得第二个空． 解：因为△ABC 是半径为 R 的⊙O 的内接正三角形． 所以 푎 푠푖푛퐴 = 2R，解得 R = 2 3 3 ． 显然△OBC 是等腰三角形，且 OB＝OC＝R，∠BOC＝120°． ∴ → 푶푩 ⋅ → 푶푪 = R2•cos120° = ― 2 3， ∵线段 BC 上一点 D，BD = 1 2DC， ∴ → 푶푪 ⋅ → 푨푫 = ― 1 3（ → 푪푨 + → 푪푩）•（ → 푨푪 + 2 3 → 푪푩） = ― 1 3（ → 푪푨 + → 푪푩）•（ ― → 푪푨 + 2 3 → 푪푩） = ― 1 3（ ― → 푪푨 ퟐ ― 1 3 → 푪푨 ⋅ → 푪푩 + 2 3 → 푪푩 ퟐ） = ― 1 3（﹣22 ― 1 3 × 2×2×cos60° + 2 3 × 22） = 2 3； 故答案为： ― 2 3，2 3． 15．函数 f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+3，若存在 x1，x2，…，xn∈[0，9 2]，使得 f（x1）+f （x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），n∈N*，则 n 的最大值为 8 ． 【分析】因为 f（x1）+f（x2）+…f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f （xn）等价于（x1﹣1）2+2+（x2﹣1）2+2+…+（xn﹣1﹣1）2+2＝（xn﹣1）2+2 有解，又 左边的最小值为 2（n﹣1），右边的最大值为57 4 ，所以 2（n﹣1） ≤ 57 4 且 n 为正整数， 从而可得 n 的最大值为 8． 解：因为 f（x1）+f（x2）+…f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f （xn）等价于（x1﹣1）2+2+（x2﹣1）2+2+…+（xn﹣1﹣1）2+2＝（xn﹣1）2+2 有解， ∵풙ퟏ，풙ퟐ，⋯，풙풏 ∈ [ퟎ， 9 2]， ∴（x1﹣1）2+2+（x2﹣1）2+2+…+（xn﹣1﹣1）2+2≥2（n﹣1），（xn﹣1）2+2 ≤ 57 4 ， 根据题意得 2（n﹣1） ≤ 57 4 且 n 为正整数， ∴n ≤ 65 8 ，∴n 的最大值为 8， 故答案为：8． 三、解答题 16．已知递增等差数列{an}，等比数列{bn}，数列{cn}，a1＝c1＝1，c4＝9，a1、a2、a5 成等 比数列，bn＝an+cn，n∈N*． （1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）求数列{cn}的前 n 项和 Sn． 【分析】（1）设等差数列的公差为 d，d＞0，由等比数列的中项性质，解方程可得公差， 进而得到 an；再由 b1＝a1+c1，可得{bn}的首项，结合等比数列的通项公式求得公比，进 而得到 bn； （2）求得 cn＝bn﹣an＝2n﹣（2n﹣1），再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数 列的求和公式，可得所求和． 解：（1）递增等差数列{an}的公差设为 d，d＞0， a1、a2、a5 成等比数列，可得 a22＝a1a5， 即（a1+d）2＝a1（a1+4d），即为（1+d）2＝1+4d，解得 d＝2（0 舍去）， 则 an＝2n﹣1，n∈N*； 等比数列{bn}的公比设为 q， b1＝a1+c1＝2，bn＝2qn﹣1， b4＝a4+c4＝16，即有 q3 = 16 2 = 8，解得 q＝2， 则 bn＝2n，n∈N*； （2）cn＝bn﹣an＝2n﹣（2n﹣1）， 前 n 项和 Sn＝c1+c2+…+cn＝（2+22+…+2n）﹣[1+3+…+（2n﹣1）] = 2(1 ― 2푛) 1 ― 2 ― 1 2（1+2n﹣1）n＝2n+1﹣2﹣n2． 17．“海河英才”行动计划政策实施 1 年半以来，截止 2019 年 11 月 30 日，累计引进各类 人才落户 23.5 万人．具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金 获得者等顶尖领军人才 112 人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查． （1）李军抽取了 8 人其中学历型人才 4 人，技能型人才 3 人，资格型人才 1 人，周二和 周五随即进行采访，每天 4 人（4 人任意顺序），周五采访学历型人才不超过 2 人的概 率： （2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才 500 元/人，技能型人才 400 元/人，资格型人才 600 元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采 访补贴费用大于等于 500 元/人？ 【分析】（1）设事件 A 表示“周五采访学历型人才不超过 2 人”，利用古典概型概率 计算公式能求出周五采访学历型人才不超过 2 人的概率． （2）设创业急需型人才最少需要 x 元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/ 人，各类人才的补贴数额为随机变量 ξ，取值分别为 400，500，600，x，分别求出相应 的概率，进而求出 E（ξ）＝484.6+0.018x，由 484.6+0.018x≥500，能求出结果． 解：（1）设事件 A 表示“周五采访学历型人才不超过 2 人”， 则周五采访学历型人才不超过 2 人的概率为： P（A） = 퐶4 4 + 퐶1 4퐶2 4 + 퐶2 4퐶2 4 퐶4 8 = 53 70． （2）设创业急需型人才最少需要 x 元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/ 人， 各类人才的补贴数额为随机变量 ξ，取值分别为 400，500，600，x， P（ξ＝400）＝25.5%＝0.255， P（ξ＝500）＝53.6%＝0.536， P（ξ＝600）＝19.1%＝0.191， P（ξ＝x）＝1.8%＝0.018， E（ξ）＝400×0.255+500×0.536+600×0.191+0.018x＝484.6+0.018x， 484.6+0.018x≥500， 解得 x ≥ 7700 9 ≈ 855.56， ∴创业急需型人才最少需要 855.56 元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/ 人． 18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，正方形 ABCD 边长为 2，E 是 PA 的 中点． （1）求证：PC∥平面 BDE； （2）求证：直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 10 10 ，求 PA 的长度； （3）若 PA＝2，线段 PC 上是否存在一点 F，使 AF⊥平面 BDE，若存在，求 PF 的长 度，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意，以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 D﹣xyz．设 PA ＝a（a＞0），求出平面 BDE 的一个法向量为 → 풏ퟏ = (풙ퟏ，풚ퟏ，풛ퟏ)与 → 푷푪的坐标，利用 → 푷푪 ⋅ → 풏ퟏ = ퟎ，结合 PC⊄平面 BDE，可得 PC∥平面 BDE； （2）设平面 PCD 的法向量为 → 풏ퟐ = (풙ퟐ，풚ퟐ，풛ퟐ)，求出 → 풏ퟐ = (ퟐ， ― 풂，ퟎ)及 → 푩푬 = ( 푎 2，ퟎ ， ― ퟐ)，由已知线面角的正弦值结合两向量所成角的余弦值列式求得 a 值，可得 PA 的 长度是 2 或 4； （3）由 PA＝2，得 P（2，2，0），设线段 PC 上存在一点 F，使 AF⊥平面 BDE，且 → 푷푭 = 흀 → 푷푪，得到 F（2﹣2λ，2﹣2λ，2λ），再由 → 풏ퟏ与 → 푨푭共线求得 λ，得到 → 푷푭的坐标，则|PF| 可求． 【解答】（1）证明：∵PA⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形， ∴以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 D﹣xyz． 设 PA＝a（a＞0） 则 A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，2），D（0，0，0）， P（a，2，0），E（푎 2，ퟐ，ퟎ）． → 푷푪 = ( ― 풂， ― ퟐ，ퟐ)， 设平面 BDE 的一个法向量为 → 풏ퟏ = (풙ퟏ，풚ퟏ，풛ퟏ)． → 푫푩 = (ퟎ，ퟐ，ퟐ)， → 푫푬 = ( 푎 2，ퟐ，ퟎ)， 由{→ 풏 ⋅ → 푫푩 = ퟐ풚ퟏ + ퟐ풛ퟏ = ퟎ → 풏 ⋅ → 푫푬 = 푎 2풙ퟏ + ퟐ풚ퟏ = ퟎ，取 y1＝1，得 → 풏ퟏ = ( ― 4 푎，ퟏ， ― ퟏ)． → 푷푪 ⋅ → 풏ퟏ = ퟒ ― ퟐ ― ퟐ = ퟎ， 又 PC⊄平面 BDE，∴PC∥平面 BDE； （2）证明：设平面 PCD 的法向量为 → 풏ퟐ = (풙ퟐ，풚ퟐ，풛ퟐ)， → 푫푪 = (ퟎ，ퟎ，ퟐ)， → 푫푷 = (풂，ퟐ，ퟎ)， 由{ → 풏ퟐ ⋅ → 푫푪 = ퟐ풛ퟐ = ퟎ → 풏ퟐ ⋅ → 푫푷 = 풂풙ퟐ + ퟐ풚ퟐ = ퟎ ，令 x2＝2，得 → 풏ퟐ = (ퟐ， ― 풂，ퟎ)． → 푩푬 = ( 푎 2，ퟎ， ― ퟐ)， 由题意，|cos＜ → 푩푬， → 풏ퟐ＞|＝| → 퐵퐸 ⋅ → 푛2 | → 퐵퐸| ⋅ | → 푛2| | = 푎 4 + 푎2 4 ⋅ 4 + 푎2 = 10 10 ， 解得 a＝2 或 4， ∴PA 的长度是 2 或 4； （3）解：∵PA＝2，∴P（2，2，0）， 设线段 PC 上存在一点 F，使 AF⊥平面 BDE，且 → 푷푭 = 흀 → 푷푪， 由 → 푷푭 = 흀 → 푷푪，得 F（2﹣2λ，2﹣2λ，2λ）， 又 → 풏ퟏ = ( ― ퟐ，ퟏ， ― ퟏ)， → 푨푭 = (ퟐ ― ퟐ흀， ― ퟐ흀，ퟐ흀)， ∴由2 ― 2휆 ―2 = ―2휆 1 ，解得흀 = 1 3． ∴|PF|＝| → 푷푭| = ( ― 2 3)ퟐ + ( ― 2 3)ퟐ + ( 2 3)ퟐ = 2 3 3 ． 19．已知椭圆푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1（a＞b＞0）的右焦点为 F（c，0），左右顶点分别为 A，B，上顶 点为 C，∠BFC＝120°． （1）求椭圆离心率； （2）点 F 到直线 BC 的距离为 21 7 ，求椭圆方程； （3）在（2）的条件下，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，直线 AP 与直线 x＝2 交于点 D，说明 P 运动时以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系，并证明． 【分析】（1）根据∠BFC＝120°可知，∠OFC＝60°，再结合锐角三角函数即可求得 离心率； （2）由（1）的结论，先导出 b 与 c 的关系，确定 B 和 C 的坐标后，写出直线 BC 的方 程，利用点到直线的距离公式可建立 a 与 c 的等量关系，再结合 a＝2c，即可求得 a、b、c 的值，于是得解； （3）直线 AP 的斜率一定存在，设其方程为 y＝k（x+2）（k≠0），点 P 的坐标为（xP， yP），将其与椭圆的方程联立，利用两根之积可表示出点 P 的坐标；把 x＝2 代入直线 AP 方程可求出点 D 的坐标，从而得到以 BD 为直径的圆的圆心 E 的坐标；然后分 PF⊥x 轴 和 PF 不垂直 x 轴两个类别讨论圆 E 与直线 PF 的位置关系即可． 解：（1）∵∠BFC＝120°，∴∠OFC＝60°，即푐 푎 = 풄풐풔ퟔퟎ° = 1 2． 故椭圆的离心率为1 2． （2）由（1）可知，a＝2c，∴풃 = ퟑ풄， ∵B（a，0），C（0，b），∴直线 BC 的方程为풚 = ― 푏 푎(풙 ― 풂) = ― 3 2 (풙 ― 풂)， 点 F 到直线 BC 的距离풅 = | 3 2 (푎 ― 푐)| 1 + ( ― 3 2 )2 = 3(푎 ― 푐) 7 = 21 7 ，即 a﹣c＝1， ∴a＝2，c＝1，b = ퟑ， 故椭圆的方程为푥2 4 + 푦2 3 = ퟏ． （3）以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切．证明如下： 直线 AP 的斜率一定存在，设其方程为 y＝k（x+2）（k≠0），点 P 的坐标为（xP，yP）， 联立{풚 = 풌(풙 + ퟐ) 푥2 4 + 푦2 3 = ퟏퟐ 得，（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12＝0， ∴ ― ퟐ × 풙푷 = 16푘2 ― 12 4푘2 + 3 即풙푷 = 6 ― 8푘2 4푘2 + 3 ，풚푷 = 풌(풙푷 + ퟐ) = 12푘 4푘2 + 3 ， 把 x＝2 代入 y＝k（x+2）得，y＝4k，∴点 D（2，4k），∴以 BD 为直径的圆的圆心 E 的坐标为（2，2k）， 当 PF⊥x 轴，即풌 =± 1 2时，点 P（ퟏ， ± 3 2），直线 PF 方程为 x＝1，圆心 E（2，±1）， 半径为 1，∴圆 E 与直线 PF 相切； 当 PF 不垂直 x 轴，即풌 ≠± 1 2时，풌푷푭 = 푦푃 푥푃 ― 1 = 4푘 1 ― 4푘2，直线 PF 方程为풚 = 4푘 1 ― 4푘2(풙 ― ퟏ)， 点 E 到直线 PF 的距离풅 = | 4푘 1 ― 4푘2 ― 2푘| 1 + ( 4푘 1 ― 4푘2)2 = |ퟐ풌|，为圆 E 的半径，∴圆 E 与直线 PF 相 切． 综上所述，当点 P 运动时，以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切． 20．已知函数 f（x）＝x2﹣x+klnx，k＞0． （1）函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为 2，求 k 的值； （2）讨论函数 f（x）的单调性； （3）若函数 f（x）有两个不同极值点为 x1、x2，证明|f（x1）﹣f（x2）|＜ 1 4 ― 2k． 【分析】（1）直接令 x＝1 处的导数值为 2 即可； （2）讨论导数的零点存在情况及大小情况，确定导数的在每个区间上的符号，从而确定 原函数的单调性； （3）利用极值点满足的韦达定理，将 f（x1）﹣f（x2）转化为关于 △ 的函数，然后再 结合要解决的问题，最终化归为一个不等式恒成立，求函数的最值的问题． 解：（1）풇′(풙) = ퟐ풙 ― ퟏ + 푘 푥(풙＞ퟎ)，f′（1）＝1+k＝2，∴k＝1． （2）令 f′（x）＝0 得：2x2﹣x+k＝0，△＝1﹣8k． ①当풌 ≥ 1 8时，△≤0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增； ②当ퟎ＜풌＜ 1 8时，△＞0，풙ퟏ풙ퟐ = 푘 2＞ퟎ，풙ퟏ + 풙ퟐ = 1 2＞ퟎ，故 x1，x2＞0． 풙ퟏ = 1 + 1 ― 8푘 4 ，풙ퟐ = 1 ― 1 ― 8푘 4 ，풙ퟏ＞풙ퟐ， 可知：f（x）在(ퟎ，1 ― 1 ― 8푘 4 )，(1 + 1 ― 8푘 4 ， +∞)上递增；在(1 ― 1 ― 8푘 4 ，1 + 1 ― 8푘 4 )上递减． （3）证明：由（2）知，ퟎ＜풌＜ 1 8，f（x2）＞f（x1）． 所以 f（x1）﹣f（x2） = 풙ퟏ ퟐ ― 풙ퟐ ퟐ ― (풙ퟏ ― 풙ퟐ) + 풌풍풏 푥1 푥2 = （x1﹣x2）（x1+x2﹣1）+kln 푥1 푥2 = ― △ 4 + 풌풍풏 1 + △ 1 ― △ = ― △ 4 + 풌[풍풏(ퟏ + △ ) ― 풍풏(ퟏ ― △ )]， 令 풕 = △ ∈ (ퟎ，ퟏ )． 则1 4 ― ퟐ풌 = 1 4 △= 1 4풕ퟐ，只需证明푡 4 + 풌[풍풏(ퟏ ― 풕) ― 풍풏(ퟏ + 풕)]＜푡2 4 ． 即证：g（t） = 푡2 4 ― 푡 4 ― 풌[풍풏(ퟏ ― 풕) ― 풍풏(ퟏ + 풕)]＞ퟎ． 又품′(풕) = 푡 2 ― 1 4 ― 풌( ―1 1 ― 푡 ― 1 1 + 푡) = 푡 2 ― 1 4 + 2푘 1 ― 푡2，且 1﹣t2＝1﹣（1﹣8k）＝8k， ∴품′(풕) = 푡 2＞ퟎ，g（t）在（0，1）上递增， 所以 g（t）＞g（0）＝0，得证．