2020届高三数学3月月考试题（Word版附解析）

2020 届高三 3 月月考数学试卷 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选 项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：因 ，故 ,选 C. 考点：交集运算. 2.设 a,b 为实数，若复数 ，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解． 【详解】由 可得 1+2i＝（a﹣b）+（a+b）i，所以 ，解得 ， ， 故选 A． 【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题． 3.过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 两点．若 中点 到抛物线准线的 距离为 6，则线段 的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 11,2, 2A  =    2{ | , }B y y x x A= = ∈ A B∩ = 1 2     { }2 { }1 φ 1+2 1i ia bi = ++ 3 1,2 2a b= = 3, 1a b= = 1 3,2 2a b= = 1, 3a b= = 1 2 1i ia bi + = ++ 1 2 a b a b − =  + = 3 2a = 1 2b = 2 4y x= F l ,A B AB M AB 6 9 12【答案】C 【解析】 试题分析： 中点 到抛物线准线的距离为 6，则 A,B 到准线的距离之和为 12，即 考点：直线与抛物线相交问题 4.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件是（ ） A. ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 【答案】C 【解析】 【分析】 在 A 中，a 与 b 相交、平行或异面；在 C 中，由线面垂直的性质可得 a∥b；在 B、D 中，均可 得 a 与 b 相交、平行或异面； 【详解】由 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面， 在 A 中， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 A 错误； 在 B 中， ， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 B 错误； 在 C 中，由 a ， ，则 ，又 ，由线面垂直的性质可知 ，故 C 正确； 在 D 中， ， ， ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 D 错误． 故选 C． 【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 5.已知数列 成等差数列， 成等比数列，则 的值是 ( ) A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 由题意可知：数列 1,a1,a2，4 成等差数列，设公差为 d， AB M 1 2 1 212 12x x p AB x x p+ + = ∴ = + + = ,a b ,α β / /a b / /a α / /b α / /a α b β/ / / /α β a α⊥ b β⊥ / /α β α β⊥ a α⊥ b β/ / / /a α / /b α / /a α / /b β / /α β α⊥ / /α β a β⊥ b β⊥ / /a b α β⊥ a α⊥ / /b β 1 21, , ,4a a 1 2 31, , , ,4b b b 2 1 2 a a b − 1 2 1 2 − 1 2 1 2 − 1 4则 4=1+3d，解得 d=1， ∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3. ∵数列 1,b1,b2,b3，4 成等比数列，设公比为 q， 则 4=q4,解得 q2=2， ∴b2=q2=2. 则 . 本题选择 A 选项. 6.一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品 的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵 1：若标价超过 50 元，则付款时减 免标价的 ；优惠劵 2：若标价超过 100 元，则付款时减免 20 元；优惠劵 3：若标价超过 100 元，则超过 100 元的部分减免 .若顾客购买某商品后，使用优惠劵 1 比优惠劵 2、优惠劵 3 减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( ) A. 179 元 B. 199 元 C. 219 元 D. 239 元 【答案】C 【解析】 【分析】 设购买 商品的标价为 x 元，根据题意列出不等式即可得到答案. 【详解】设购买的商品的标价为 x 元，由题意， ，且 ， 解得 . 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数模型的选择问题，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题. 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 的 2 1 2 2 1 1 2 2 a a b − −= = 10% 18% 0.1 20x × > 0.1 ( 100) 0.18x x× > − × 200 225x< > ( )2 22 1x y− + = 3 2 2 3 3 3 (2,0) , ,a b c 0bx ay± = (2,0) 2 2 | 2 | 1b a b = + 2 23a b= 2 11 ( ) 1 3 c be a a = = + = + = 2 3 3 , ,a b c 2 2 14 3 x y+ = 1F 2F 2 1 2.AF F F⊥ 1 2F P F A⋅  ( ) 3 2 3 3 2 9 4 15 4 1F 2F【详解】由椭圆 C： 可得： ， ， ， ． ， ． 设 ，则 又 ， ． 的最大值为 ． 故选 B． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属 于基础题． 10.在长方体 中， ,点 为 的中点，点 为对 角线 上的动点，点 为底面 上的动点（点 ， 可以重合），则 的最小 值为( ) A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 画出图形，将平面 沿 翻折，使其与平面 在共面，将折线段转化为直线段距离 最小，从而求出 MP+PQ 的最小值. 2 2 14 3 x y+ = 2 4a = 2 3b = ( )2 2 11. 1,0c a b F= − = ∴ − ( )2 1,0F 2 1 2AF F F⊥ 31, 2A ∴    ( ),P x y 2 2 1.4 3 x y+ = 3 3y− ≤ ≤ ( )1 2 3 3 3 31, 0, 2 2 2F P F A x y y ∴ ⋅ = + ⋅ = ≤     1 2F P F A∴ ⋅  3 3 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 12, 1AB BC AA= = = M 1AB P 1AC Q ABCD P Q MP PQ+ 2 2 3 2 3 4 1 1AB C 1AC 1ACC【详解】 如图 1，显然当 是 在底面 的射影时 才可能最小，将平面 沿 翻 折， 使其与平面 在共面，如图 2 所示，此时易得 ， ，显然当 三点共线时， 取得最小值，此时 . 故选：C. 【点睛】本题考查立体几何翻折问题中的最值问题，考查空间想象能力以及学生的计算能力， 难度比较大. 二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11. 展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 写出 展开式的通项，令 的指数为零，即得常数项. 【详解】 展开式中第 项为 ， Q P ABCD MP PQ+ 1 1AB C 1AC 1ACC 1 30CAC∠ =  3 2AM = , ,M P Q MP PQ+ min 1 3 3sin sin602 4MQ AM CAB= ∠ = = 12 3 1x x  −   220− 12 3 1x x  −   x 12 3 1x x  −   1k + 41212 3 1 12 123 1( ) ( 1) , 0,1,2, 12kk k k k k kT C x C x k x −− + = − = − = 令 ，所以常数项为 . 故答案为:-220 【点睛】本题考查二项展开式中特定的项，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础 题. 12.在 中， ， ， ，则 ． 【答案】 【解析】 分析：直接利用正弦定理求∠C. 详解：由正弦定理得 因为 AB＜BC，所以∠C＜∠A= ,所以 .故答案为 . 点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)解 三角形如果出现多解，要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验. 13.设 是偶函数，对于任意的 都有 ，已知 ， 那么 等于______. 【答案】-8 【解析】 【分析】 由已知得 ， ，进而得到 ，再令 即可. 【详解】因为 是偶函数，所有 ①，又 ，所以 ②， 由①②可得 ，故 . 故答案为： . 【点睛】本题考查求抽象函数在某点的函数值，涉及到函数的奇偶性，是一道基础题. 412 0, 93 k k− = = 9 3 12 12 220C C− = − = − ABC∆ 3A π∠ = 3BC = AB 6= C∠ = 4 π 6 3 3 2 3, 3sin 2, sin , .sin 2 2 4 4sin 3 C C CC π π π= ∴ = ∴ = ∴ = 或 3 π 4C π∠ = 4 π ( )f x ( )0x x > ( ) ( )2 2 2f x f x+ = − − ( )1 4f − = ( )3f − ( ) ( )f x f x− = ( ) 2 (4 )f x f x= − − ( ) 2 (4 )f x f x= − + 3x = − ( )f x ( ) ( )f x f x− = ( ) ( )2 2 2f x f x+ = − − ( ) 2 (4 )f x f x= − − ( ) 2 (4 )f x f x= − + ( ) 2 (1) 2 ( 13 ) 8f f f= − = −− − = − 8−14.已知函数 （ ），若函数 （ ）的部分图象如图所示， 则 __________， 的最小值是__________． 【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 根据图形知，函数的周期 又函数 的图象经过 所以 的的最小值是 点睛：本题考查了三角函数 的图象与性质的应用问题，是基础题目． 15.设 ，若不存在实数 ，使得函数 有两个零点，则 的 取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 函数 零点个数等于 与 交点个数，然后分 ， 或 ， ， 四种情况讨论即可. ( ) sinf x xω= 0>ω ( )y f x a= + 0a > ω = a 12 π 3 11 3 , 24 12 6 4T T π π π π ω= − = ∴ = =（ ） ， (y f x a= + 16 （ ，），π 2 2 2 06 2 12a k k Z a k k Z a， ； ， ；π π ππ π× + = + ∈ ∴ = + ∈ > a∴ 12 π y Asin xω ϕ= +（ ） ( ) 3 2 , , x x af x x x a  【详解】 函数 零点个数等于 与 交点个数， 当 时，如图 1 所示，存在实数 ，使得 与 有两个不同的交点，不满足题意； 当 或 时，此时 是单调递增函数，故满足题意； 当 时，如图 2，不存在实数 ，使得 与 有两个不同的交点，满足题意； 当 时，如图 3，存在实数 ，使得 与 有两个不同的交点，不满足题意； 综上，不存在实数 使函数 有两个零点 的取值范围为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查已知函数零点个数求参数的问题，在做此类题，一定要注意等价转化与数 形结合的思想，本题是一道中档题. 16.在平面直角坐标系 中，动点 到两坐标轴的距离之和等于它到定点 的距离， 记点 的轨迹为 .给出下面四个结论：①曲线 关于原点对称；②曲线 关于直线 对 称；③点 在曲线 上；④在第一象限内，曲线 与 轴的非负半轴、 轴的 ( ) ( )g x f x b= − ( )f x y b= 0a < b ( )f x y b= 0a = 1a = ( )f x 0 1a< < b ( )f x y b= 1a > b ( )f x y b= b ( ) ( )g x f x b= − a [0,1] [0,1] xOy ( ),P x y ( )1,1 P C C C y x= ( )( )2 ,1a a R− ∈ C C x y非负半轴围成的封闭图形的面积小于 .其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】 根据动点 P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作 出曲线的图象，即可得到结论． 【详解】动点 P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，所以 ， 即 .若 ，则 ，即 ，故 ， 以 为中心的双曲线的一支；若 ，则 ，即 ， 故 或 ， 所以函数的图象如图所示 所以曲线 C 关于直线 对称，②正确；又 ，所以点 在曲线 上， ③正确；在第一象限内，曲线 与 轴的非负半轴、 轴的非负半轴围成的封闭图形的面积 小于 ，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查数形结合的数学思想方法，本题解题关键是正确 作出函数图象，是一道中档题． 1 2 2 2| | | | ( 1) ( 1)x y x y+ = − + − | | 1 0xy x y+ + − = 0xy > 1 0xy x y+ + − = ( 1)( 1) 2x y+ + = 2 11y x = −+ y ( 1, 1)− − 0xy < 1 0xy x y− − + = 1) 0( 1)(x y − =− 1( 0)x y= < 1( 0)y x= < y x= 2 2| 1| 1 1 0a a− × − + − = ( )( )2 ,1a a R− ∈ C C x y 1 2AOBS∆ =三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明， 演算步骤或证 明过程） 17.已知函数 ，x∈R． （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）设 α＞0，若函数 g（x）=f（x+α）为奇函数，求 α 的最小值． 【答案】（Ⅰ）周期 ，单调递增区间为 ，k∈Z．（Ⅱ） 【解析】 【详解】（1） ，所以函数 的最小正周期 . 由 ， 得 ， 所以函数 的单调递增区间为 . （注：或者写成单调递增区间为 .） （2）解：由题意，得 ， 因为函数 为奇函数，且 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 解得 ，验证知其符合题意. 又因为 ， 所以 的最小值为 . 考点：三角函数的图象和性质. 18.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随 机抽取了 100 人，统计结果整理如下： 20 以下 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 是 3( ) cos (sin 3 cos ) 2f x x x x= + − π 5[ , ]12 12k k π ππ π− + [ )20,30 [ )30,40 [ )40,50 [ )50,60 [ ]60,70未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率； （Ⅱ）从被抽取的年龄在 使用自由购的顾客中，随机抽取 3 人进一步了解情况，用 表示这 3 人中年龄在 的人数，求随机变量 的分布列及数学期望； （Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋.若某日该 超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】 ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 【解析】 【分析】 （Ⅰ）随机抽取的 100 名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有 3+14＝17 人，由概率 公式即可得到所求值； （Ⅱ） 所有的可能取值为 1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （Ⅲ）随机抽取的 100 名顾客中，使用自由购的有 44 人，计算可得所求值． 【详解】（Ⅰ）在随机抽取的 100 名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有 3+14=17 人， 所以，随机抽取 1 名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为 ． （Ⅱ） 所有的可能取值为 1,2,3， , , . 所以 的分布列为 1 2 3 [ )30,50 [ ]50,70 X [ )50,60 X 17 100 X 17 100P = X ( ) 1 2 4 2 3 6 C C 11 5C P X = = = ( ) 2 1 4 2 3 6 C C 32 5C P X = = = ( ) 3 0 4 2 3 6 C C 13 5C P X = = = X X P 1 5 3 5 1 5所以 的数学期望为 . （Ⅲ）在随机抽取的 100 名顾客中， 使用自由购的共有 人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 . 【点睛】本题考查统计表，随机变量 X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合 题． 19.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个 面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马 中，侧棱 底面 ，且 ， 为 中点，点 在 上，且 平面 ，连接 ， ． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不 是，说明理由； （Ⅲ）已知 ， ，求二面角 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ） ． 【解析】 【详解】（Ⅰ）因为 面 ， 面 ，所以 ． 因为四边形 为矩形，所以 ． X 1 3 11 2 3 25 5 5EX = × + × + × = 3 12 17 6 4 2 44+ + + + + = 44 5000 2200100 × = P ABCD− PD ⊥ ABCD PD CD= E PC F PB PB ⊥ DEF BD BE DE ⊥ PBC DBEF 2AD = 2CD = F AD B− − 10 10 PD ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD BC PD⊥ ABCD BC DC⊥，所以 面 ． 面 ， ， 在 中， ， 为 中点，所以 ． ， 所以 面 ． （Ⅱ）四面体 是鳖臑，其中 ， ． （Ⅲ）以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系． ， ， ， ， ． 设 ，则 ． 得 解得 ．所以 ． 设平面 的法向量 ， 令 得 ， ． 平面 的法向量 ， 平面 的法向量 ， ， ． 二面角 的余弦值为 ． 20.已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 与 轴交于 两点，且 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设点 是椭圆 上的一个动点，且直线 与直线 分别交于 两点．是 否存在点 使得以 为直径的圆经过点 ？若存在，求出点 的横坐标；若不存在， PD DC D∩ = BC ⊥ PDC DE ⊂ PDC DE BC⊥ PDC∆ PD DC= E PC DE PC⊥ PC BC C∩ = DE ⊥ PBC DBEF 2BED FED π∠ = ∠ = 2BEF BFD π∠ = ∠ = DA DC DP x y z ( )0,0,0D ( )2,0,0A ( )0, 2,0C ( )0,0, 2P ( )2, 2,0B PF PBλ=  ( )2 , 2 , 2 2F λ λ λ− DF PB⊥ 0DF PB =   1 4 λ = 1 2 3 2, ,2 4 4F       FDA ( ), ,n x y z= {n DF n DA ⊥ ⇒ ⊥   1 2 3 2 0{2 4 4 2 0 x y z x + + = = 1z = 0x = 3y = − FDA ( )0, 3,1n = − BDA ( )0,0, 2DP = cos n< · 2 10 1010 2 n DPDP n DP −>= = = −   F AD B− − 10 10 ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 3 2 C y ,A B 2AB = C P C ,PA PB 4x = ,M N P MN ( )2,0D P说明理由. 【答案】（1） ；（2）点 不存在. 【解析】 分析：（1）根据椭圆的几何性质知 ，即 ，再由离心率得 ，从而可得 ，得椭圆方程； （2）假设点 P 存在，并设 ，写出 PA 的方程，求出 M 点坐标，同理得 N 点坐标， 求出 MN 的中点坐标，即圆心坐标，利用圆过点 D 得一关于 的等式，把 P 点坐标代入 椭圆方程后也刚才的等式联立解得 ，注意 的范围，即可知存在不存在． 详解：（1）由已知 ，得知 ， 又因为离心率为 ，所以 . 因为 ，所以 , 所以椭圆 的标准方程为 . （2）假设存在. 设 由已知可得 ， 所以 的直线方程为 ， 的直线方程为 ， 令 ，分别可得 ， ， 所以 ， 2 2 14 x y+ = 2 2b = 1b = 3 2 ce a = = 2a = 0 0( , )P x y 0 0,x y 0x 0x线段 的中点 ， 若以 为直径的圆经过点 D（2,0）， 则 , 因为点 在椭圆上，所以 ，代入化简得 ， 所以 ， 而 ，矛盾， 所以这样的点 不存在. 点睛：解析几何中存在性命题常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假 设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数 的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则不存在． 21.已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 的零点和极值； （3）若对任意 ，都有 成立，求实数 的最小值. 【答案】（1） ；（2）零点 ，极小值 ；（3）1. 【解析】 【详解】（1）因为 ， 所以 ． 因为 ，所以曲线 在 处的切线方程为 . （2）令 ，解得 ， 所以 的零点为 . 由 解得 ， 则 及 的情况如下： 2 ( ) 1 x xf x e −= ( )y f x= ( )( )0, 0f ( )f x [ )1 2, ,x x a∈ +∞ ( ) ( )1 2 2 1 ef x f x− ≥ − a 2 1 0x y+ − = 1x = 2 1 e − '(0) 2f = −－ 0 + 所以函数 在 时,取得极小值 . （3）法一： 当 时， . 当 时， . 若 ，由（2）可知 的最小值为 ， 的最大值为 ， 所以“对任意 ，有 恒成立”等价于 即 ， 解得 . 所以 的最小值为 1. 法二：当 时， . 当 时， . 且由（2）可知， 的最小值为 ， 若 ，令 ，则 而 ，不符合要求， 所以 . 当 时， , , 所以 ，即 满足要求， 综上， 最小值为 1. 22.设数列 对任意 都有 （其中 、 、 是常数） . （Ⅰ）当 ， ， 时，求 ； （Ⅱ）当 ， ， 时，若 ， ，求数列 的通项公式； （Ⅲ）若数列 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数 列”.当 ， ， 时，设 是数列 的前 项和， ，试问：是否存 的 { }na *Nn∈ ( )( ) ( )1 1 22n nkn b a a p a a a+ + + = + + + k b p 0k = 3b = 4p = − 1 2 na a a+ +⋅⋅⋅+ 1k = 0b = 0p = 3 3a = 9 15a = { }na { }na 1k = 0b = 0p = nS { }na n 2 1 2a a− =在这样的“封闭数列”，使得对任意 ，都有 ，且 . 若存在，求数列 的首项 的所有取值；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅱ）存在， 【解析】 【分析】 （Ⅰ）当 ， ， 时，由已知条件推导出 ， ，由 此得到数列 是以首项为 1，公比为 3 的等比数列，从而能求出 ； （Ⅱ）当 ， ， ，由已知条件推导出 ，从而得到数列 是等差数列，由此求出 ； （Ⅲ）由（Ⅱ）知数列 是等差数列， ，由此进行验证，求出数列 的首项 的所有取值. 详解】（Ⅰ）当 ， ， 时， ①，用 去换 得 ②，②-①得， ，即 ， 在①中令 得 ，故 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 ， 从而 . （Ⅱ）当 ， ， 时， ③，用 去换 得 ④，④-③得， ⑤，用 去换 得 ⑥，⑥-⑤得， ，即 【 *Nn∈ 0nS ≠ 1 2 3 1 1 1 1 1 112 nS S S S < + + +⋅⋅⋅+ < { }na 1a 3 1 2 n − 2 3na n= − 1 {2,4,6,8,10}a ∈ 0k = 3b = 4p = − 1 13( ) 2n n na a a+ +− = 1 3n na a+ = { }na 1 2 na a a+ +⋅⋅⋅+ 1k = 0b = 0p = 2 12 0n n nna na na+ +− + = { }na 2 3na n= − { }na 1 2( 1)na a n= + − { }na 1a 0k = 3b = 4p = − 13( ) 4na a+ − = ( )1 22 na a a+ + + 1n + n 1 13( ) 4na a ++ − = ( )1 2 12 na a a ++ + + 1 13( ) 2n n na a a+ +− = 1 3n na a+ = 1n = 1 1a = { }na 1 1 1 3n n na a q − −= = 1 1 2 1 (1 3 ) 3 11 3 3 1 3 2 n n n na a a −+ +⋅⋅⋅+ × − −= + + + = =− 1k = 0b = 0p = 1( )nn a a+ = ( )1 22 na a a+ + + 1n + n 1 1( 1)( )nn a a ++ + = ( )1 2 12 na a a ++ + + 1 1( 1) 0n nn a na a+− − + = 1n + n 2 1 1( 1) 0n nna n a a+ +− + + = 2 12 0n n nna na na+ +− + =，故 是等差数列，因为 ， ，所以公差 ， 故 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 是等差数列，因 ，所以 ，假设存在这样 的“封闭数列”， 则对任意 ，必存在 ，使得 ， 所以 ，故 偶数， ，又由已知， ， 所以 ，此时 ；当 时， ， ，所以 ， 故 【点睛】本题考查数列的前 n 项和的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列的首项的 求法，解题时要认真审题，是一道中档题． 为 2 12n n na a a+ ++ = { }na 3 3a = 9 15a = 9 3 29 3 a ad −= =− 3 ( 3) 2 3na a n d n= + − = − { }na 2 1 2a a− = 1 2( 1)na a n= + − *,m n∈N *t N∈ 1 2( 1)a m+ − + 1 2( 1)a n+ − = 1 2( 1)a t+ − 1 2( 1)a t m n= − − + 1a 1 {2,4,6,8,10}a ∈ 1 1 1 112 S < < 11 12a< < 1( 1)nS n n a= + − 11 12a< < 0nS ≠ 1 1 1 1 1 1( )1 1nS a n n a = −− + − 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 na S S S S S = ≤ + + +⋅⋅⋅+ 1 1 1 1 1 1(1 ) 11 1 1a n a a = − < ≤− + − − 1 {2,4,6,8,10}a ∈