理科2010-2018高考数学真题分类训练专题8立体几何第二十三讲空间中点、直线、平面之间的位置关系答案

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题八 立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系 答案部分 2019 年 1.解析 如图所示，联结 ， . 因为点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面 ， 是线段 的中点，所以 平面 ， 平面 ，因为 是 中 边上的中线， 是 中 边上的中线，直线 ， 是相交 直线，设 ，则 ， ， 所以 ， ， 所以 ．故选 B． 2.解析：对于 A， 内有无数条直线与 平行，则 与 相交或 ，排除； 对于 B， 内有两条相交直线与 平行，则 ； 对于 C， ， 平行于同一条直线，则 与 相交或 ，排除； 对于 D， ， 垂直于同一平面，则 与 相交或 ，排除． 故选 B． 3.证明：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点， 所以 ED∥AB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1， 所以 A1B1∥ED. 又因为 ED⊂平面 DEC1，A1B1 平面 DEC1， 所以 A1B1∥平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE. 因为 C1C⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，C1C∩AC=C， BE BD N ABCD ECD△ ECD ⊥ ABCD M ED BM ⊂ BDE EN ⊂ BDE BM BDE△ DE EN BDE△ BD BM EN DE a= 2BD a= 2 23 5 24 4BE a a a= + = 6 2BM a= 2 23 1 4 4EN a a a= + = BM EN≠ α β α β βα∥ α β βα∥ α β α β βα∥ α β α β βα∥ ⊄ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 BE⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E⊂平面 A1ACC1，所以 BE⊥C1E. 4.解析：由 l，m 是平面 α 外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若 ，则 ． 由线面平行、垂直的性质定理得 ， 则 . 2010-2018 年 1．A【解析】记该正方体为 ，正方体的每条棱所在直线与平面 所成的 角都相等，即共点的三条棱 ， ， 与平面 所成的角都相等，如图， 连接 ， ， ，因为三棱锥 是正三棱锥，所以 ， ， 与平面 所成的角都相等，分别取 ， ， ， ， ， 的中点 ， ， ， ， ， ，连接 ， ． ， ， ， ，易得 ， ， ， ， ， 六点共面，平面 与平面 平行，且截正方体 l l mα⊥ ⊥， m α m α l α⊥ ， l m⊥ D' C' B'A' I H J G F E D C BA ′ ′ ′ ′−ABCD A B C D α ′A A ′ ′A B ′ ′A D α ′AB ′AD ′ ′B D ′ ′ ′−A AB D ′A A ′ ′A B ′ ′A D ′ ′AB D ′ ′C D ′ ′B C ′BB AB AD ′DD E F G H I J EF FG GH IH IJ IE E F G H I J EFGHIJ ′ ′AB D 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所得截面的面积最大，又 ，所以该正六边形的 面积为 ，所以 截此正方体所得截面面积的最大值为 ，故 选 A． 2．C【解析】解法一 如图， 补上一相同的长方体 ，连接 ， ． 易知 ，则 为异面直线 与 所成角． 因为在长方体 中， ， ， 所以 ， ， ， 在 中，由余弦定理，得 ， 即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 C． 解法二 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立 空间直角坐标系，如图所示． F1E1 F D1 A1 B1 C1 E CD A B 2 2 = = = = = =EF FG GH IH IJ JE 23 2 3 36 ( )4 3 4 × × = α 3 3 4 1 1 1 1 −CDEF C D E F 1DE 1 1B E 1 1∥AD DE 1 1 ∠B DE 1AD 1DB 1 1 1 1 −ABCD A B C D 1= =AB BC 1 3=AA 2 2 2 2 1 1 1 ( 3) 2= + = + =DE DE EE 2 2 2 1 1 1 ( 3) 5= + + =DB 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 5= + = + =B E A B A E 1 1 ∆B DE 2 2 2 1 1 2 ( 5) ( 5) 5cos 52 2 5 + −∠ = = × ×B DE 1AD 1DB 5 5 D DA DC 1DD x y z 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由条件可知 ， ， ， ， 所以 ， ， 则由向量夹角公式，得 ， 即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 C． 3．A【解析】若 ， ， ∥ ，由线面平行的判定定理知 ∥ ．若 ∥ ， ， ，不一定推出 ∥ ，直线 与 可能异面，故“ ∥ ”是“ ∥ ”的充分不必要条件．故选 A． 4．D【解析】由题意知四棱锥 为正四棱锥，如图， 连接 ，记 ，连接 ，则 平面 ，取 的中点 ， 连接 ， ， ，易得 ，则 ， ，易知 ． 因为 ∥ ， ， ，所以 也为 与平面 所成的角， 即 与平面 所成的角，再根据最小角定理知， ，所以 ，故 选 D． z y x BA D C C1 B1A1 D1 E M S O D C BA (0,0,0)D (1,0,0)A 1(0,0, 3)D 1(1,1, 3)B 1 ( 1,0, 3)= −AD 1 (1,1, 3)=DB 1 1 1 1 1 1 2 5cos , 5| || | 2 5 ⋅< >= = =      AD DBAD DB AD DB 1AD 1DB 5 5 m α⊄ n α⊂ m n m α m α m α⊄ n α⊂ m n m n m n m α S ABCD− BD AC BD O= SO SO ⊥ ABCD AB M SM OM OE AB SM⊥ 2 SEOθ = ∠ 3 SMOθ = ∠ 3 2 θ θ≥ OM BC BC AB⊥ SM AB⊥ 3 θ OM SAB BC SAB 3 1 θ θ≤ 2 3 1 θ θ θ≤ ≤ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 5．C【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线 与 所成角为 , ， ， ∴ ．选 C． 6．B【解析】设 为三角形 中心，底面如图 2，过 作 ， ， ，由题意可知 ， ， ， 图 1 图 2 由图 2 所示，以 为原点建立直角坐标系，不妨设 ，则 ， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 B1 A1 D1C1 DC B A G F E O D C B A P Q R x y A P B Q C G R O F E 1AB 1BC 1 1B AD∠ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 cos60 1 2 2 1 2 32B D B C C D B C C D= + − × = + − × × × = 1 2AD = 1 5AB = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 5) ( 2) ( 3) 10cos 2 52 5 2 AB AD B DB AD AB AD + − + −∠ = = =× × × × O ABC O OE RP⊥ OF PQ⊥ OG RQ⊥ tan DO OE α = tan OD OF β = tan OD OG γ = P 2AB = ( 1,0)A − (1,0)B (0, 3)C 3(0, )3O AP PB= 2BQ CR QC RA = = 1 2 3( , )3 3Q 2 3( , )3 3R − RP 3 2y x= − PQ 2 3y x= RQ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 的方程为 ，根据点到直线的距离公式，知 ， ， ，∴ ， ， 因为 ， ， 为锐角，所以 ．选 B 7．A【解析】因为过点 的平面 与平面 平行，平面 ∥平面 ，所 以 ∥ ∥ ，又 ∥平面 ，所以 ∥ ，则 与 所成的角为 所求角，所以 ， 所成角的正弦值为 ，选 A． 8．B【解析】由“ 且 ”推出“ 或 ”，但由“ 且 ”可 推出“ ”，所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件，故选 B． 9．B【解析】解法一 设 ， ，则由题意知 ． 在空间图形中，连结 ，设 = ． 在 中， ． 过 作 ，过 作 ，垂足分别为 ． 过 作 ，使四边形 为平行四边形，则 ， 连结 ，则 就是二面角 的平面角，所以 ． 在 中 ， ， ． 同理， ， ，故 ． 显然 平面 ，故 ． 在 中， ． 在 中， = 3 5 3 3 9y x= + 2 21 21OE = 39 39OF = 1 3OG = OF OG OE< < tan tan tanα γ β< < α β γ α γ β< < A α 1 1CB D ABCD 1 1 1 1A B C D m 1 1B D BD 1A B 1 1CB D n 1A B BD 1A B m n 3 2 m α⊥ l m⊥ l α⊂ l α∥ m α⊥ l α∥ l m⊥ l m⊥ l α∥ ADC θ∠ = 2AB = 1AD BD A D′= = = A B′ A B′ t ΔA DB′ 2 2 2 2 2 2 21 1 2cos 2 2 1 1 2 A D DB A B t tA DB A D DB ′ ′+ − + − −′∠ = = =′ × × × A′ A N DC′ ⊥ B BM DC⊥ N M、 N / /NP MB BPNM NP DC⊥ ,A P BP′ A NP′∠ A CD B′− − A NP α′∠ = ΔRt A ND′ cos cosDN A D A DC θ′ ′= ∠ = sin sinA N A D A DC θ′ ′ ′= ∠ = sinBM PN θ= = cosDM θ= 2cosBP MN θ= = BP ⊥ A NP′ BP A P′⊥ ΔRt A BP′ 2 2 2 2 2 2(2cos ) 4cosA P A B BP t tθ θ′ ′= − = − = − ΔA NP′ 2 2 2 cos cos 2 A N NP A PA NP A N NP α ′ ′+ −′= ∠ = ′ × 2 2 2 2 2 sin sin ( 4cos ) 2sin tθ θ θ θ + − −= 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos 2 cos 2sin 2sin sin t tθ θ θ θ θ + − −= + 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ， 所以 ， 所以 （当 时取等号）， 因为 ， ，而 在 上为递减函数， 所以 ，故选 B． 解法二 若 ，则当 时， ，排除 D； 当 时， ， ，排除 A、C，故选 B． 10．D【解析】利用正方体模型可以看出， 与 的位置关系不确定．选 D． 11．C【解析】选项 中 均可能与平面 平行、垂直、斜交或在平面 内，故选 ． 12．B【解析】对于选项 A，若 ，则 与 可能相交、平行或异面，A 错误； 显然选项 B 正确；对于选项 C，若 ， ，则 或 ，C 错误；对 于选项 D，若 ， ，则 或 或 与 相交，D 错误．故选 B． 13．D【解析】作 ，垂足为 ，设 ，则 ，由余弦定理 ， ， 故当 时， 取得最大值，最大值为 ． 14．B【解析】直线 与平面 所成的角为 的取值范围是 ，由于 ， 2 2 2 1 coscossin sinA DB θ θ θ ′= ∠ + 2 2 2 1 coscos cos cos cossin sinA DB A DB A DB θα θ θ ′ ′ ′− ∠ = ∠ + − ∠ 2 2 2 2 2 2 1 sin cos coscos (1 cos ) 0sin sin sinA DB A DB θ θ θ θ θ θ − ′ ′= ∠ + = + ∠ ≥ cos cos A DBα ′∠≥ 2 πθ = α [0, ]A DB π′∠ ∈ cosy x= [0, ]π A DBα ′∠≤ CA CB≠ α π= A CB π′∠ < 0α = 0A CB′∠ > 0A DB′∠ > 1l 4l , ,A B D m α α C / / , / / ,m nα α m n m α⊥ m n⊥ n α⊂ / /n α / /m α m n⊥ / /n α n α⊂ n α PH BC⊥ H PH x= 3CH x= 2625 3 40 3AH x= + − 2 1 1tan tan ( 0) 625 40 3 3 PHPAH AH x x x θ = ∠ = = > − + 1 4 3 125x = tanθ 5 3 9 OP 1A BD α 1 1 12AOA C OA π∠ → → ∠ 1 6sin 3AOA∠ = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ， 所以 的取值范围是 ． 15．D【解析】作正方形模型， 为后平面， 为左侧面 可知 D 正确． 16．D【解析】A 中 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中 还可能为异面；C 中 应与 中两条相交直线垂直时结论才成立，选 D． 17．B【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的，∵ ∥ ， ⊥ ，则 ．如选项 A： ∥ ， ∥ 时， ⊥ 或 ∥ ；选项 C：若 ⊥ ， ⊥ ， ∥ 或 ； 选项 D：若 ⊥ , ⊥ ， ∥ 或 ⊥ ． 18．B【解析】过点 作 ，若存在某个位置，使得 ，则 面 ，从而有 ，计算可得 与 不垂直，则 A 不正确；当翻折到 时，因为 ，所以 面 ，从而可得 ；若 ，因为 ，所以 面 ，从而可得 ，而 ，所以这样的位置不存在，故 C 不正确；同理，D 也不正确，故选 B． 19．D【解析】对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的某些直线可能不垂直于平面 ， 即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其余选项易知均是正确的． 20．D【解析】D 两平行直线的平行投影不一定重合，故 A 错；由空间直线与平面的位置 关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知 、 均错误，故选 D． 21． 【解析】如图所示， α β m n l' l β α l l l l l l l β⊂ l l l 1 1 6 3 2 2 6sin 2 3 3 3 3C OA∠ = ⋅ ⋅ = > sin 12 π = sinα 6[ ,1]3 ,m n ,m n m β α β α β α β α β α β α β α β α β α β β A AE BD⊥ AC BD⊥ BD ⊥ ACE BD CE⊥ BD CE AC CD⊥ BC CD⊥ CD ⊥ ABC AB CD⊥ AD BC⊥ BC CD⊥ BC ⊥ ACD BC AC⊥ 1 2AB BC= < = α ⊥ β α β β β B C 40 2π 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 设 在底面的射影为 ，连接 ， ． 的面积为 ， ∴ ， ．∵ 与底面所成的角为 ，∴ ， ． ∴底面周长 ， ∴圆锥的侧面积为 ． 22．②③④【解析】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误： 如图，不妨设 为直线 ， 为 直线 , 所在的平面为 ． 所在的平面为 ，显然这些 直线和平面满足题目条件，但 不成立． 命题②正确，证明如下：设过直线 的某平面与平面 相交于直线 ，则 ， 由 ，有 ，从知 结论正确． 由平面与平面平行的定义知命题③正确． 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确． 23． 【解析】如图连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 ． S' S A B S S′ AS′ SS′ SAB∆ 2 2 21 1 15sin 1 cos 5 152 2 16SA SB ASB SA ASB SA⋅ ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ − ∠ = ⋅ = 2 80SA = 4 5SA = SA 45 45SAS′∠ =  2cos45 4 5 2 102AS SA′ = ⋅ = × = 2 4 10l ASπ π′= ⋅ = 1 4 5 4 10 40 22 π π× × = AA′ m CD n ABCD α ABC D′ ′ β α β⊥ n α l l n∥ m α⊥ m l⊥ m n⊥ 7 8 ND ND E ,ME CE / /ME AN 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 则异面直线 ， 所成的角为 ，由题意可知 ， ， ∴ ．又 ， ， ，∴ ， 则 ． 24． 【解析】 为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标系， 设正方形边长为 ． 令 ，即 ． 25．②③【解析】如图 为底面圆的内接正方形，设 ， 则 ， 即侧面均为等边三角形，∵ 底面 ， 假设 ，由题意 ，当直线 与 成 60°角时，由图可知 与 成 60° 角，所以①错，②正确；假设 ，可知③正确，④错．所以正确为②③． 26．【证明】(1)在平行六面体 中， ． 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ∥平面 ． F E D C B A AN CM EMC∠ 1CN = 2 2AN = 2ME = 2 2CM = 2 2DN = 2NE = 3CE = 2 2 2 8 2 3 7cos 2 82 2 2 2 CM EM CECME CM EM + − + −∠ = = =× × × 2 5 AB x AD y AQ z 2 2 2cos , 5 5 m m θ −= + [ ] 2 2( ) ( 0,2 ) 5 25 mf m m m −= ∈ + 2 2 2 (2 ) 105 25 2 5 25( ) 5 25 m mm mf m m − ×− + − +′ = + [ ]0,2 , ( ) 0m f m′∈ ∴ = = ⋅   nn n 1AC 1ABB 39 13 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 EF∥AD 且 ， 又因为 BC∥AD， ，所以 EF∥BC 且 EF=BC， 即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CE∥BF， 因此 CE∥平面 PAB． （Ⅱ）分别取 BC，AD 的中点为 M，N．连结 PN 交 EF 于点 Q，连结 MQ． 因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点， 在平行四边形 BCEF 中，MQ∥CE． 由 为等腰直角三角形得 PN⊥AD． 由 DC⊥AD，N 是 AD 的中点得 BN⊥AD． 所以 AD⊥平面 PBN， 由 BC∥AD 得 BC⊥平面 PBN， 那么，平面 PBC⊥平面 PBN． 过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连结 MH． MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角． 设 CD=1． 在 中，由 PC=2，CD=1，PD= 得 CE= ， 在△PBN 中，由 PN=BN=1，PB= 得 ， F H M N Q E D CB A P 1 2EF AD= 1 2BC AD= PAD∆ PCD∆ 2 2 3 1 4QH = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 在 中， ，MQ= ， 所以 ， 所以，直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 ． 29．【解析】证明：（1）在平面 内，因为 ， ，所以 ． 又因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ． （2）因为平面 ⊥平面 ， 平面 平面 = ， 平面 ， ， 所以 平面 ． 因为 平面 ，所以 ． 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 ⊥平面 ， 又因为 平面 ， 所以 ． 30．【解析】（Ⅰ）因为 ， ， ， 平面 ， ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以 ，又 ， 因此 （Ⅱ）解法一： AP BE⊥ AB BE⊥ AB AP ⊂ ABP AB AP A= BE ⊥ ABP BP ⊂ ABP BE BP⊥ 120EBC∠ = ° 30CBP∠ = ° Rt MQH∆ 1 4QH = 2 2sin 8QMH∠ = 2 8 ABD AB AD⊥ EF AD⊥ EF AB∥ EF ⊄ ABC AB ⊂ ABC EF ABC ABD BCD ABD  BCD BD BC ⊂ BCD BC BD⊥ BC ⊥ ABD AD ⊂ ABD BC ⊥ AD AB AD⊥ BC AB B= AB ⊂ ABC BC ⊂ ABC AD ABC AC ⊂ ABC AD AC⊥ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 取 的中点 ，连接 ， ， ． 因为 ， 所以四边形 为菱形， 所以 ． 取 中点 ，连接 ， ， ． 则 ， ， 所以 为所求二面角的平面角． 又 ，所以 ． 在 中，由于 ， 由余弦定理得 ， 所以 ，因此 为等边三角形， 故所求的角为 ． 解法二： EC H EH GH CH 120EBC∠ = ° BEHC 2 23 2 13AE GE AC GC= = = = + = AG M EM CM EC EM AG⊥ CM AG⊥ EMC∠ 1AM = 13 1 2 3EM CM= = − = BEC∆ 120EBC∠ = ° 2 2 22 2 2 2 2 cos120 12EC = + − × × × ° = 2 3EC = EMC∆ 60° 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系． 由题意得 ， ， ， 故 ， ， ， 设 是平面 的一个法向量． 由 可得 取 ，可得平面 的一个法向量 ． 设 是平面 的一个法向量． 由 可得 取 ，可得平面 的一个法向量 ． 所以 ． 因此所求的角为 ． 31．【解析】（1）由正棱柱的定义， 平面 ， 所以平面 平面 ， ． 记玻璃棒的另一端落在 上点 处． 因为 ， ． 所以 ，从而 ． 记 与水平的交点为 ，过 作 ， 为垂足， 则 平面 ，故 ， 从而 ． 答：玻璃棒 没入水中部分的长度为 16cm． ( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm) B BE BP BA x y z (0,0,3)A (2,0,0)E (1, 3,3)G ( 1, 3,0)C − (2,0, 3)AE = − (1, 3,0)AG = (2,0,3)CG = 1 1 1( , , )m x y z= AEG 0 0 m AE m AG  ⋅ = ⋅ =   1 1 1 1 2 3 0, 3 0, x z x y − = + = 1 2z = AEG 2 2 2( , , )n x y z= ACG 0 0 n AG n CG  ⋅ = ⋅ =   2 2 2 2 3 0, 2 3 0, x y x z  + = + = 2 2z = − ACG (3, 3, 2)n = − − 1cos , | | | | 2 m nm n m n ⋅< >= =⋅ 60° (3, 3,2)= −m 1CC ⊥ ABCD 1 1A ACC ⊥ ABCD 1CC AC⊥ 1CC M 10 7AC = 40AM = 2 240 (10 7) 30MN = − = 3sin 4MAC∠ = AM 1P 1P 1 1PQ AC⊥ 1Q 1 1PQ ⊥ ABCD 1 1 12PQ = 1 1 1 16sin PQAP MAC = =∠ l 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （2）如图， ， 是正棱台的两底面中心． 由正棱台的定义， ⊥平面 ， 所以平面 ⊥平面 ， ⊥ ． 同理，平面 ⊥平面 ， ⊥ ． 记玻璃棒的另一端落在 上点 处． 过 作 ⊥ ， 为垂足， 则 = =32． 因为 = 14， = 62， 所以 = ，从而 ． 设 则 ． 因为 ，所以 ． 在 中，由正弦定理可得 ，解得 ． 因为 ，所以 ． 于是 O 1O 1OO EFGH 1 1E EGG EFGH 1OO EG 1 1E EGG 1 1 1 1E FG H 1OO 1 1E G 1GG N G GK 1 1E G K GK 1OO EG 1 1E G 1KG 62 14 242 − = 2 2 2 2 1 1 24 32 40GG KG GK= + = + = 1 , ,EGG ENGα β= =∠ ∠ 1 1 4sin sin( ) cos2 5KGG KGGα π= + = =∠ ∠ 2 απ < < π 3cos 5 α = − ENG△ 40 14 sin sinα β= 7sin 25 β = 0 2 β π< < 24cos 25 β = sin sin( ) sin( ) sin cos cos sinNEG α β α β α β α β= π − − = + = +∠ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． 记 与水面的交点为 ，过 作 ， 为垂足，则 ⊥平面 ，故 =12，从而 = ． 答:玻璃棒 没入水中部分的长度为 20cm． (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm) 32．【解析】（Ⅰ）由已知可得 ， ，所以 平面 ． 又 平面 ，故平面 平面 ． （Ⅱ）过 作 ，垂足为 ，由（Ⅰ）知 平面 ． 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长度，建立如图所示的空 间直角坐标系 ． 由（Ⅰ）知 为二面角 的平面角，故 ，则 ， ，可得 ， ， ， ． 由已知， ，所以 平面 ． 又平面 平面 ，故 ， ． 由 ，可得 平面 ，所以 为二面角 的平面角， ．从而可得 ． 所以 ， ， ， ． 设 是平面 的法向量，则 ，即 ， 所以可取 ． 设 是平面 的法向量，则 ， 同理可取 ．则 ． x ( ), ,n x y z= C 0 0 n n  ⋅Ε = ⋅ΕΒ =   3 0 4 0 x z y  + = = ( )3,0, 3n = − m CDΑΒ C 0 0 m m  ⋅Α = ⋅ΑΒ =   ( )0, 3,4m = 2 19cos , 19 n mn m n m ⋅= = −     4 24 7 3( 3 5)5 25 25 5 = × + − × = EN 2P 2P 2 2PQ EG⊥ 2Q 2 2PQ EFGH 2 2PQ 2EP 2 2 20sin P NEG Q = ∠ l AF DF⊥ AF FE⊥ AF ⊥ EFDC AF ⊂ ABEF ABEF ⊥ EFDC D DG EF⊥ G DG ⊥ ABEF G GF | |GF G xyz− DFE∠ D AF E− − 60DFE∠ =  2DF = 3DG = (1,4,0)A ( 3,4,0)B − ( 3,0,0)E − (0,0, 3)D AB EF∥ AB∥ EFDC ABCD  EFDC DC= AB CD∥ CD EF∥ BE AF∥ BE ⊥ EFDC CEF∠ C BE F− − 60CEF∠ =  ( 2,0, 3)C − (1,0, 3)EC = (0,4,0)EB = ( 3, 4, 3)AC = − − ( 4,0,0)AB = − BCE 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 故二面角 的余弦值为 ． 33．【解析】（I）证明：∵ ， ∴ ，∴ ． ∵四边形 为菱形， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ； 又 ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ 面 ． （Ⅱ）建立如图坐标系 ． ， ， ， ， ， ， ， 设面 法向量 ， CΕ − Β − Α 2 19 19 − 5 4AE CF= = AE CF AD CD = EF AC∥ ABCD AC BD⊥ EF BD⊥ EF DH⊥ EF D H′⊥ 6AC = 3AO = 5AB = AO OB⊥ 4OB = 1AEOH ODAO = ⋅ = 3DH D H′= = 2 2 2'OD OH D H′ = + 'D H OH⊥ OH EF H= 'D H ⊥ ABCD H xyz− ( )5 0 0B ， ， ( )1 3 0C ， ， ( )' 0 0 3D ， ， ( )1 3 0A −， ， ( )4 3 0AB = ， ， ( )' 1 3 3AD = − ， ， ( )0 6 0AC = ， ， 'ABD ( )1n x y z= ， ， 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由 得 ，取 ，∴ ． 同理可得面 的法向量 ， ∴ ，∴ ． 34．【解析】（Ⅰ）由已知得 ， 取 的中点 ，连接 ． 由 为 中点知 ， ． 又 ，故 平行且等于 ，四边形 为平行四边形，于是 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． （Ⅱ）取 的中点 ，连结 ，由 得 ，从而 ， 且 ． 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，由题意知， ， ， ， ， ， ， ． 设 为平面 的法向量，则 ，即 ， 1 1 0 0 n AB n AD  ⋅ = ′⋅ =     4 3 0 3 3 0 x y x y z + = − + + = 3 4 5 x y z =  = −  = ( )1 3 4 5n = − ， ， 'AD C ( )2 3 0 1n = ， ， 1 2 1 2 9 5 7 5cos 255 2 10 n n n n θ ⋅ += = = ⋅     2 95sin 25 θ = 23 2 == ADAM BP T TNAT, N PC BCTN // 22 1 == BCTN BCAD// TN AM AMNT ATMN // ⊂AT PAB ⊄MN PAB //MN PAB BC E AE ACAB = BCAE ⊥ ADAE ⊥ 5)2( 2222 =−=−= BCABBEABAE A AE x xyzA − )4,0,0(P )0,2,0(M )0,2,5(C )2,1,2 5(N (0,2, 4)PM = − )2,1,2 5( −=PN )2,1,2 5(=AN ( , , )x y z=n PMN 0 0 PM PN  ⋅ = ⋅ =     n n    =−+ =− 022 5 042 zyx zx 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 可取 ， 于是 ． 35．【解析】（Ⅰ）设 ，连结 OF，EC， 由于 E 为 AD 的中点， ， 所以 , 因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点，又 F 为 PC 的中点， 因此在 中，可得 ． 又 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ． （Ⅱ）由题意知， ，所以四边形 为平行四边形， 因此 ．又 平面 PCD，所以 ，因此 ． 因为四边形 ABCE 为菱形，所以 ． 又 ，AP，AC 平面 PAC，所以 平面 ． 36．【解析】（Ⅰ）∵ 为 中点，∴DE∥PA ∵ 平面 DEF，DE 平面 DEF，∴PA∥平面 DEF （Ⅱ）∵ 为 中点，∴ ∵ 为 中点，∴ ∴ ，∴ ，∴DE⊥EF ∵ ，∴ ∵ ，∴DE⊥平面 ABC ∵DE 平面 BDE，∴平面 BDE⊥平面 ABC． 37．【解析】（Ⅰ）连接 BD 交 AC 于点 O，连结 EO． (0,2,1)n = | | 8 5| cos , | 25| || | n ANn AN n AN ⋅< > = =      AC BE O= 1 , / /2AB BC AD AD BC= = / / ,AE BC AE AB BC= = PAC∆ / /AP OF OF ⊂ BEF AP ⊄ BEF AP BEF / / ,ED BC ED BC= BCDE / /BE CD AP ⊥ AP CD⊥ AP BE⊥ BE AC⊥ AP AC A= ⊂ BE ⊥ PAC D E， PC AC， PA ⊄ ⊂ D E， PC AC， 1 32DE PA= = E F， AC AB， 1 42EF BC= = 2 2 2DE EF DF+ = 90DEF∠ = ° //DE PA PA AC⊥， DE AC⊥ AC EF E= ⊂ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点． 又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥PB． EO 平面 AEC,PB 平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC． （Ⅱ）因为 PA 平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直． 如图，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向， 为单位长，建立空间直角 坐标系 ， 则 ． 设 ，则 ． 设 为平面 ACE 的法向量， 则 即 ，可取 ． 又 为平面 DAE 的法向量， 由题设 ，即 ，解得 ． 因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 的高为 ． 三棱锥 的体积 ． 38．【解析】（Ⅰ）证明：如图取 PB 中点 M，连接 MF，AM．因为 F 为 PC 中点， 故 MF//BC 且 MF= BC．由已知有 BC//AD，BC=AD．又由于 E 为 AD 中点， 因而 MF//AE 且 MF=AE，故四边形 AMFE 为平行四边形， x y z O A B C D P E ⊂ ⊄ ⊥ AB AP A xyz− (0, 3,0),D 3 1(0, , ),2 2E 3 1(0, , )2 2AE = ( ,0,0)( 0)b m m  ( , 3,0),c m ( , 3,0)AC m= 1 ( , , )n x y z= 1 1 0, 0, n AC n AE  ⋅ = ⋅ =   3 0, 3 1 0,2 2 mx y y z  + = + = 1 3( , 1, 3)n m = − 2 (1,0,0)n = 1 2 1cos , 2n n = 2 3 1 3 4 2m =+ 3 2m = E ACD− 1 2 E ACD− 1 1 3 1 333 2 2 2 8V = × × × × = 1 2 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 EF//AM，又 AM 平面 PAB，而 EF 平面 PAB， 所以 EF//平面 PAB． （Ⅱ）（i）证明：连接 PE，BE．因为 PA=PD，BA=BD，而 E 为 AD 中点， 故 PE AD，BE AD，所以 PEB 为二面角 P-AD-B 的平面角．在三角形 PAD 中， 由 ，可解得 PE=2． 在三角形 ABD 中，由 ，可解得 BE=1． 在三角形 PEB 中，PE=2，BE=1， ， 由余弦定理，可解得 PB= ，从而 ，即 BE PB， 又 BC//AD，BE AD，从而 BE BC，因此 BE 平面 PBC．又 BE 平面 ABCD， 所以平面 PBC 平面 ABCD． （ii）连接 BF，由（i）知 BE 平面 PBC．所以 EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角， 由 PB= ，PA= ，AB= 得 ABP 为直角，而 MB= PB= ，可得 AM= ， 故 EF= ，又 BE=1，故在直角三角形 EBF 中， 所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 39．【解析】（Ⅰ）设点 O 为 AC，BD 的交点， 由 AB＝BC，AD＝CD，得 BD 是线段 AC 的中垂线． 所以 O 为 AC 的中点，BD⊥AC． 又因为 PA⊥平面 ABCD，BD 平面 ABCD， 所以 PA⊥BD．所以 BD⊥平面 APC． （Ⅱ）连结 OG．由(1)可知 OD⊥平面 APC，则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG，所以∠ OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角． 由题意得 OG＝ PA＝ ． ⊂ ⊄ ⊥ ⊥ ∠ 2, 5AD PA PD= = = 2BA BD= = 60PEB∠ =  3 90PBE∠ =  ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊂ ⊥ ⊥ ∠ 3 5 2 ∠ 1 2 3 2 11 2 11 2 2 11sin .11 BEEFB EF ∠ = = 2 11 11 ⊂ 1 2 3 2 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 在△ABC 中，AC＝ ＝ ， 所以 OC＝ AC＝ ． 在直角△OCD 中，OD＝ ＝2． 在直角△OGD 中，tan∠OGD＝ ． 所以 DG 与平面 APC 所成的角的正切值为 ． （Ⅲ）连结 OG．因为 PC⊥平面 BGD，OG 平面 BGD，所以 PC⊥OG． 在直角△PAC 中，得 PC＝ ． 所以 GC＝ ． 从而 PG＝ ， 所以 ． 40．【解析】（Ⅰ）由 AB 是圆 O 的直径，得 AC⊥BC． 由 PA⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，得 PA⊥BC， 又 PA∩AC=A,PA 平面 PAC，AC 平面 PAC， 所以 BC⊥平面 PAC． （Ⅱ）连 OG 并延长交 AC 与 M，链接 QM，QO． 由 G 为∆AOC 的重心，得 M 为 AC 中点， 由 G 为 PA 中点，得 QM//PC． 又 O 为 AB 中点，得 OM//BC． 因为 QM∩MO=M,QM 平面 QMO． 所以 QG//平面 PBC． M Q O P A B C G 2 2 2 cosAB BC AB BC ABC+ − ⋅ ⋅ ∠ 2 3 1 2 3 2 2CD OC− 4 3 3 OD OG = 4 3 3 ⊂ 15 2 15 5 AC OC PC ⋅ = 3 15 5 3 2 PG GC = ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 41．【解析】（Ⅰ）因为 是直三棱柱，所以 平面 ABC, 又 平面 ,所以 ，又因为 平面 ， 所以 平面 , 又 AD 平面 ADE,所以平面 ADE 平面 ． （Ⅱ）因为 ， 为 的中点，所以 ．因为 平面 ， 且 平面 ，所以 又因为 ， 平面 ， ，所以 平面 ，所以 AD． 又 AD 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 42．【解析】（Ⅰ） 平面 ， 面 又 面 （Ⅱ） 是 中点 点 到面 的距离 三棱锥 的体积 （Ⅲ）取 的中点为 ，连接 ， ， 又 平面 面 面 面 ， 点 是棱 的中点 ， 得： 平面 ． 43．【证明】：（Ⅰ）在△PAD 中，因为 E、F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EF//PD． 又因为 EF 平面 PCD，PD 平面 PCD，所以直线 EF//平面 PCD． （Ⅱ）连结 DB，因为 AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，因为 F 是 AD 的中点，所以 BF⊥AD．因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=AD，所以 BF⊥平面 PAD．又因为 BF 平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 AB ⊥ PAD PH ⊂ PAD PH AB⇒ ⊥ ,PH AD AD AB A PH⊥ = ⇒ ⊥ ABCD E PB ⇒ E BCF 1 1 2 2h PH= = E BCF− 1 1 1 1 1 21 23 3 2 6 2 12BCFV S h FC AD h∆= × = × × × × = × × × = PA G ,DG EG PD AD DG PA= ⇒ ⊥ AB ⊥ PAD ⇒ PAD ⊥ PAB DG⇒ ⊥ PAB ,E G ,PB PA 1 1/ / , / / / / / /2 2EG AB DF AB EG DF DG EF⇒ ⇒ ⇒ EF ⊥ PAB P A B C DF E 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ AD ⊂ ABC 1CC AD⊥ AD 1, ,DE CC⊥ DE ⊂ 1 1BCC B 1CC ,DE E∩ = AD ⊥ 1 1BCC B ⊂ ⊥ 1 1BCC B 1 1 1 1A B AC= F 11CB 1 1 1A F B C⊥ 1CC ⊥ 1 1 1A B C 1A F ⊂ 1 1 1A B C 1CC 1 .A F⊥ 1CC 1 1B C ⊂ 1 1BCC B 1CC ∩ 1 1 1B C C= 1A F ⊥ 1 1BCC B 1 //A F ⊂ ADE 1A F ⊄ ADE 1 //A F ADE ⊄ ⊂ ⊂  ⊂ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ PAD． 44．【解析】法一：（Ⅰ）证明：取 AD 中点 G，连接 PG，BG，BD．因 PA=PD， 有 ，在 中， ，有 为等边 三角形，因此 ， 所以 平面 PBG 又 PB//EF，得 ，而 DE//GB 得 AD DE，又 ， 所以 AD 平面 DEF． （Ⅱ） ， 为二面角 P—AD—B 的平面角， 在 在 法二：（Ⅰ）取 AD 中点为 G，因为 又 为等边三角形，因此， ， 从而 平面 PBG． 延长 BG 到 O 且使得 PO OB，又 平面 PBG，PO AD， 所以 PO 平面 ABCD． 以 O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线 OB，OP 分别为 轴，z 轴，平行于 AD 的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系． D C BA P F EG PG AD⊥ ABD∆ 1, 60AB AD DAB= = ∠ = ° ABD∆ ,BG AD BG PG G⊥ ∩ = AD ⊥ , .AD PB AD GB⇒ ⊥ ⊥ AD EF⊥ ⊥ FE DE E∩ = ⊥ ,PG AD BG AD⊥ ⊥ PGB∴∠ 2 2 2 7, 4Rt PAG PG PA AG∆ = − =中 3sin 60 2Rt ABG BG AB∆ ⋅ 中, = = 2 2 2 7 3 4 214 4cos 2 77 32 2 2 PG BG PBPGB PG BG + −+ −∴ ∠ = = = −⋅ ⋅ ⋅ , .PA PD PG AD= ⊥ , 60 ,AB AD DAB ABD= ∠ = ° ∆ BG AD⊥ AD ⊥ ⊥ PO ⊂ ⊥ ,AD OB G∩ = ⊥ x y 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 设 由于 得 平面 DEF． （Ⅱ） 取平面 ABD 的法向量 设平面 PAD 的法向量 由 取 y z x P A B CD O F EG 1 1(0,0, ), ( ,0,0), ( , ,0), ( , ,0).2 2P m G n A n D n−则 3| | | | sin 60 2GB AB= ° =   3 3 3 1 3 1( ,0,0), ( ,1,0), ( , ,0), ( , , ).2 2 2 2 2 4 2 2 n mB n C n E n F∴ + + + + 3 3(0,1,0), ( ,0,0), ( ,0, )2 2 4 2 n mAD DE FE= = = + −   0, 0, , ,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E⋅ = ⋅ = ⊥ ⊥ ∩ =    AD∴ ⊥ 1 3( , , ), ( ,0, )2 2PA n m PB n m= − − = + −   2 2 2 21 3 32, ( ) 2, 1, .4 2 2m n n m m n∴ + + = + + = = =解之得 1 (0,0, 1),n = − 2 ( , , )n a b c= 2 2 3 30, 0, 0, 0,2 2 2 2 b bPA n a c PD n a c⋅ = − − = ⋅ = + − = 得 由 得 2 3(1,0, ).2n = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 45．【解析】（Ⅰ）因为四边形 是正方形，所以 // ．故 为异面直线 与 所成的角．因为 平面 ，所以 ．故 ． 在 △ 中， =1， = ， = =3, 故 = = ． 所以异面直线 和 所成角的余弦值为 ． （ Ⅱ ） 证 明 ： 过 点 作 // , 交 于 点 ， 则 ． 由 , 可 得 , 从 而 , 又 , = , 所 以 平面 ． (Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得 = ，即 为 的中点．取 的中点 ，连接 ，则 ,因为 // ,所以 // ．过点 作 ，交 于 ，则 为二面角 - - 的平面角． 连接 ，可得 平面 ,故 ．从而 ．由已知， 可得 = ．由 // , ,得 ． 在 △ 中， , 所以二面角 - - 的正切值为 ． 46．【解析】 (Ⅰ)取 的中点 ，连结 ， ，由条件易知 N G M F D A B C A' E 1 2 3 212cos , .771 4 n n − ∴ < >= = − ⋅ ADEF FA ED CED∠ CE AF FA ⊥ ABCD FA ⊥ CD ED ⊥ CD Rt CDE CD ED 2 2 CE 2 2CD ED+ cos CED∠ ED CE 2 2 3 CE AF 2 2 3 B BG CD AD G 45BGA CDA∠ = ∠ =  45BAD∠ =  BG ⊥ AB CD ⊥ AB CD ⊥ FA FA ∩ AB A CD ⊥ ABF AG 2 G AD EF N GN GN ⊥ EF BC AD BC EF N NM ⊥ EF BC M GNM∠ B EF A GM AD ⊥ GNM AD ⊥ GM BC ⊥ GM GM 2 2 NG FA FA ⊥ GM NG ⊥ GM Rt NGM tan GM 1 NG 4GNM∠ = = B EF A 1 4 A D′ G GF CE 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ， ． ， ．所以 ， ． 故四边形 为平行四边形，所以 因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 （Ⅱ）在平行四边形 中，设 ，则 ， ，连 ，因为 在△ 中，可得 = ， 在△ 中，可得 = ， 在△ 中，因为 ，所以 ， 在正三角形 中， 为 中点，所以 ⊥ ． 由平面 ⊥平面 , 可知 ⊥平面 , ⊥ ． 取 的中点 ，连线 、 ， 所以 ⊥ ， ⊥ ． 因为 交 于 ， 所以 ⊥平面 ， 则∠ 为直线 与平面 所成角． 在 Rt△ 中， = , = ， = ， 则 cos = ． 所以直线 与平面 所成角的余弦值为 ． FG CD∥ 1 2FG CD= BE CD∥ 1 2BE CD= FG BE∥ FG BE= BEGF BF EG∥ EG ⊂ 'A DE BF ⊄ 'A DE BF 'A DE ABCD BC a= 2AB CD a= = AD AE EB a= = = CE 0120ABC∠ = BCE CE 3 a ADE DE a CDE 2 2 2CD CE DE= + CE DE⊥ 'A DE M DE A M′ DE 'A DE BCD A M′ BCD A M′ CE A E′ N NM NF NF DE NF A M′ DE A M′ M NF 'A DE FMN FM 'A DE FMN NF 3 2 a MN 1 2 a FM a FMN∠ 1 2 FM 'A DE 1 2