理科2010-2018高考数学真题分类训练专题8立体几何第二十四讲空间向量与立体几何

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题八 立体几何 第二十四讲 空间向量与立体几何 2019 年 1.（2019 全国Ⅰ理 18）如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠ BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值． 2.（2019 北京理 16）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ． E 为 PD 的 中 点 ， 点 F 在 PC 上 ， 且 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值; （Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且 .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由. 3. （ 2019 浙 江 19 ） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱 ， 平 面 平 面 , ， 分别是 AC，A1B1 的中点. P ABCD− PA ABCD⊥ 平面 AD CD⊥ AD BC 2 3PA AD CD BC= = = =， 1 3 PF PC = CD PAD⊥ 平面 F AE P− − 2 3 PG PB = 1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC ⊥ ABC 90ABC∠ = ° 1 130 , , ,BAC A A AC AC E F∠ = ° = = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （1）证明： ； （2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值. 4.（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱 ABC－A 1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点， AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E． 5.（2019 全国Ⅲ理 19）图 1 是由矩形 ADEB、Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG， 如图 2. （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE； （2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小. 6.（2019 全国Ⅱ理 17）如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1. EF BC⊥ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 B–EC–C1 的正弦值. 7.（2019 北京理 16）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ． E 为 PD 的 中 点 ， 点 F 在 PC 上 ， 且 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值; （Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且 .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由. 8. （ 2019 浙 江 19 ） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱 ， 平 面 平 面 , ， 分别是 AC，A1B1 的中点. （1）证明： ； （2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值. P ABCD− PA ABCD⊥ 平面 AD CD⊥ AD BC 2 3PA AD CD BC= = = =， 1 3 PF PC = CD PAD⊥ 平面 F AE P− − 2 3 PG PB = 1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC ⊥ ABC 90ABC∠ = ° 1 130 , , ,BAC A A AC AC E F∠ = ° = = EF BC⊥ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 9.（2019 全国Ⅲ理 19）图 1 是由矩形 ADEB、Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG， 如图 2. （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE； （2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小. 10.（2019 全国Ⅱ理 17）如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 B–EC–C1 的正弦值. 11.（全国Ⅰ理 18）如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°， E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值． 12.（2019 北京理 16）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ． E 为 PD 的 中 点 ， 点 F 在 PC 上 ， 且 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值; （Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且 .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由. 13.(2019 天 津 理 17) 如 图 ， 平 面 ， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长. P ABCD− PA ABCD⊥ 平面 AD CD⊥ AD BC 2 3PA AD CD BC= = = =， 1 3 PF PC = CD PAD⊥ 平面 F AE P− − 2 3 PG PB = AE ⊥ ABCD ,CF AE AD BC∥ ∥ , 1, 2AD AB AB AD AE BC⊥ = = = = BF ∥ ADE CE BDE E BD F− − 1 3 CF 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 2010-2018 年 解答题 1．（2018 全国卷Ⅰ）如图，四边形 为正方形， ， 分别为 ， 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 ． (1)证明：平面 平面 ； (2)求 与平面 所成角的正弦值． 2．（2018 北京）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点， ， ． P FE D C BA ABCD E F AD BC DF DFC△ C P PF BF⊥ PEF ⊥ ABFD DP ABFD 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC D E F G 1AA AC 1 1AC 1BB 5AB BC= = 1 2AC AA= = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ (1)求证： ⊥平面 ； (2)求二面角 的余弦值； (3)证明：直线 与平面 相交． 3．(2018 全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． (1)证明： 平面 ； (2)若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的 正弦值． 4．（2018 全国卷Ⅲ）如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂 直， 是 上异于 ， 的点． (1)证明：平面 平面 ； (2)当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值． C1 B1 A1 G F E D C BA O M P C B A AC BEF 1B CD C− − FG BCD −P ABC 2 2= =AB BC PA PB PC= = = 4AC = O AC PO ⊥ ABC M BC − −M PA C 30° PC PAM ABCD CD M CD C D AMD ⊥ BMC M ABC− MAB MCD 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 5．(2018 天津)如图， 且 ， ， 且 ， 且 ， 平面 ， ． (1)若 为 的中点， 为 的中点，求证： 平面 ； (2)求二面角 的正弦值； (3)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的 长． 6．（2018 江苏）如图，在正三棱柱 中， ，点 ， 分别为 ， 的中点． (1)求异面直线 与 所成角的余弦值； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值． M D C BA N A B C D E FG M A B C Q P A1 C1 B1 AD BC∥ 2AD BC= AD CD⊥ EG AD∥ EG AD= CD FG∥ 2CD FG= DG ⊥ ABCD 2DA DC DG= = = M CF N EG MN ∥ CDE E BC F− − P DG BP ADGE 60 DP 1 1 1ABC A B C− 1 2AB AA= = P Q 1 1A B BC BP 1AC 1CC 1AQC 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 7 ．（ 2017 新 课 标 Ⅰ ） 如 图 ，在 四 棱 锥 中 ， ∥ ，且 ． (1)证明：平面 ⊥平面 ； (2)若 ， ，求二面角 的余弦值． 8．（2017 新课标Ⅱ）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 三角形 ， ， ， 是 的中点． (1)证明：直线 ∥平面 ； (2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦值 9．（2017 新课标Ⅲ）如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形， ， ． D C BA P EM D CB A P P ABCD− AB CD 90BAP CDP∠ = ∠ =  PAB PAD PA PD AB DC= = = 90APD∠ =  A PB C− − P ABCD− PAD ABCD 1 2AB BC AD= = 90BAD ABC∠ = ∠ =  E PD CE PAB M PC BM ABCD 45 M AB D− − ABCD ABC∆ ACD∆ ABD CBD∠ = ∠ AB BD= 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ (1)证明：平面 ⊥平面 ； (2)过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分， 求二面角 的余弦值． 10．（2017 天津）如图，在三棱锥 中， ⊥底面 ， ．点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点， ， ． （Ⅰ）求证： ∥平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）已知点 在棱 上，且直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求线段 的长． 11．（2017 北京）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 ⊥平 面 ，点 在线段 上， //平面 ， ， ． （Ⅰ）求证： 为 的中点； （Ⅱ）求二面角 的大小； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值． A B C D E ACD ABC AC BD E AEC ABCD D AE C− − P ABC− PA ABC 90BAC∠ = ° D E N PA PC BC M AD 4PA AC= = 2AB = MN BDE C EM N− − H PA NH BE 7 21 AH P ABCD− ABCD PAD ABCD M PB PD MAC 6PA PD= = 4AB = M PB B PD A− − MC BDP 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 12．（2016 年北京） 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ， . （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不 存在，说明理由. 13．（2016 年山东）在如图所示的圆台中， 是下底面圆 的直径， 是上底面圆 的直径， 是圆台的一条母线. （I）已知 , 分别为 ， 的中点，求证： ∥平面 ； （II）已知 = = = ， ．求二面角 的余弦值. 14．（2016 年天津）如图，正方形 的中心为 ，四边形 为矩形，平面 ⊥平面 ，点 为 的中点， ． （Ⅰ）求证： ∥平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； P ABCD− ABCD PA PD⊥ PA PD= AB AD⊥ 1AB = 2AD = 5AC CD= = PD ⊥ PAB PB PCD PA M / /BM PCD AM AP 2 3 F BC A− − PAD ⊥ AC O EF O′ FB G H EC FB GH ABC EF FB 1 2 AC AB BC= ABCD O OBEF OBEF ABCD G AB 2AB BE= = EG ADF O EF C− − 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅲ）设 为线段 上的点，且 = ，求直线 和平面 所成角的 正弦值. 15．（2015 新课标Ⅰ）如图，四边形 为菱形， ， 是平面 同一侧的两点， ⊥平面 ， ⊥平面 ， =2 ， ⊥ ． （Ⅰ）证明：平面 ⊥平面 ； （Ⅱ）求直线 与直线 所成角的余弦值． 16．（2015 福建）如图，在几何体 中，四边形 是矩形， 平面 ， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点． （Ⅰ）求证： ∥平面 ； （Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 17．(2015 山东)如图，在三棱台 中， ， 分别为 的中 点． E C D A F B O H G H AF AH 2 3 HF BH CEF ABCD 120ABC∠ =  ,E F ABCD BE ABCD DF ABCD BE DF AE EC AEC AFC AE CF ABCDE ABCD AB ^ BEG BE ^ EC 2AB BE EC= = = G F BE DC GF ADE AEF BEC DEF ABC− 2AB DE= ,G H ,AC BC 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）求证： //平面 ； （Ⅱ）若 ⊥平面 ， ⊥ ， = ，∠ = ，求平面 与 平面 所成的角（锐角）的大小． 18 ．（ 2015 陕 西 ） 如 图 ， 在 直 角 梯 形 中 ， ， ， ， ， 是 的中点， 是 与 的交点．将 沿 折起到 的位置，如图 ． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值． 19．（2014 新课标 2）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ， 为 的中点． （Ⅰ）证明： ∥平面 ； （Ⅱ）设二面角 为 60°， =1， = ，求三棱锥 的体 积． 20．（2014 山东）如图，在四棱柱 中，底面 是等腰梯形， ， 是线段 的中点． BC FGH CF ABC AB BC CF DE BAC 45 FGH ACFD 1 ΑΒCD //ΑD ΒC 2ΒΑD π∠ = 1ΑΒ ΒC= = 2ΑD = Ε ΑD O AC BE ΑΒΕ∆ BE 1A BE∆ 2 CD ⊥ 1AOC 1A BE ⊥ BCDE 1A BC 1ACD P ABCD− ABCD PA ABCD E PD PB AEC D AE C− − AP AD 3 E ACD− 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 60 ,DAB∠ =  2 2AB CD= = M AB 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若 垂直于平面 且 ，求平 面 和平面 所成的 角（锐角）的余弦值． 21．（2014 辽宁）如图， 和 所在平面互相垂直，且 ， ，E、F 分别为 AC、DC 的中点． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值． 22． (2014 新课标 1)如图三棱锥 中，侧面 为菱形， ． (Ⅰ) 证明： ； （Ⅱ）若 ， ， ，求二面角 的余弦值． 23．（2014 福建）在平行四边形 中， ， ,将 沿 折起，使得平面 平面 ，如 图． M A1 A B B1 D1 C1 D C A D CB F E 1 1 1/ /C M A ADD平面 1CD ABCD 1= 3CD 1 1C D M ABCD ABC∆ BCD∆ 2AB BC BD= = = 0120ABC DBC∠ = ∠ = EF BC⊥ E BF C− − 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1AB B C⊥ 1AC AB= 1AC AB⊥ o 1 60CBB∠ = AB BC= 1 1 1A A B C− − ABCD 1AB BD CD= = = ,AB BD CD BD⊥ ⊥ ABD∆ BD ABD ⊥ BCD 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． 24．（2014 浙江）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的大小． 25．（2014 广东）如图 4，四边形 为正方形， 平面 ， ， 于点 ， ，交 于点 ． （Ⅰ）证明： （Ⅱ）求二面角 的余弦值． 26．(2014 湖南)如图，四棱柱 的所有棱长都相等， ， ，四边形 均为矩形． B D C A M BCDEA− ⊥ABC BCDE 90CDE BED∠ = ∠ =  2AB CD= = 1DE BE= = 2AC = ⊥DE ACD EADB −− A D E B C ABCD PD ⊥ ABCD 030DPC∠ = AF PC⊥ F / /FE CD PD E CF ADF⊥ 平面 D AF E− − 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 1ACC A BDD B和四边形 AB ⊥ CD M AD AD MBC AC BD O= 1 1 1 1 1AC B D O= 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ (1)证明： (2)若 的余弦值． 27．（2014 陕西）四面体 及其三视图如图所示，过被 的中点 作平行于 ， 的平面分别交四面体的棱 于点 ． （Ⅰ）证明：四边形 是矩形； （Ⅱ）求直线 与平面 夹角 的正弦值． 28．（2013 新课标Ⅰ）如图，三棱柱 中， ， ， =60°． （Ⅰ）证明 ； （Ⅱ）若平面 ⊥平面 ， ，求直线 与平面 所成角的 正弦值． 29．（2013 新课标Ⅱ）如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点， 1 ;O O ABCD⊥ 底面 1 160 ,CBA C OB D∠ = − − 求二面角 O1 O B1 B C DA A1 C1 D1 俯视图 左视图主视图 1 2 2 A B CD F G H E 1 1 1ABC A B C− ,D E 1,AB BB ABCD AB E AD BC CADCBD ，， HGF ，， EFGH AB EFGH θ 1 1 1ABC A B C− CA CB= 1AB AA= 1BAA∠ 1AB AC⊥ ABC 1 1AA B B AB CB= 1AC 1 1BB C C 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）证明： //平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值． 30．（2013 广东）如图 1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点, , 为 的中点.将 沿 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 ,其中 . （Ⅰ） 证明: 平面 ； （Ⅱ） 求二面角 的平面角的余弦值. 31．(2013 陕西)如图, 四棱柱 的底面 是正方形， 为底 面中心, ⊥平面 ， . 1 2 2AA AC CB AB= = = E D C B A A1 B1 C1 1BC 1ACD 1D AC E− − ABC 90A∠ = ° 6BC= ,D E ,AC AB 2CD BE= = O BC ADE∆ DE A BCDE′− 3A O′ = A O′ ⊥ BCDE A CD B′− − 1 2AB AA= = O D1 B1 C1 D A C B A1 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD O 1AO ABCD 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）证明： ⊥平面 ； （Ⅱ）求平面 与平面 的夹角 的大小． 32．（2013 湖北）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平 面 ， ， 分别是 ， 的中点． （Ⅰ）记平面 与平面 的交线为 ，试判断直线 与平面 的位置关系， 并加以证明； （Ⅱ）设（I）中的直线 与圆 的另一个交点为 ，且点 满足 ．记直 线 与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角为 ，二面角 的大小为 ，求证： ． 33．(2013 天津) 如图， 四棱柱 中，侧棱 ⊥底面 ， ， ， ， ， 为棱 的中点． （Ⅰ）证明 ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）设点 在线段 上；且直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 求线段 的长． θ AB O C O ,A B PC ⊥ ABC E F PA PC BEF ABC l l PAC l O D Q 1 2DQ CP=  PQ ABC θ PQ EF α E l C− − β sin sin sinθ α β= B C C1 B1 D D1 A1A E 2 6 1AC 1 1BB D D 1OCB 1 1BB D D 1 1 1 1ABCD A B C D− 1A A ABCD AB DC∥ AB AD⊥ 1AD CD= = 1 2AA AB= = E 1AA 1 1B C CE⊥ 1 1B CE C− − M 1C E AM 1 1ADD A AM 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 34．（2012 新课标）如图，直三棱柱 中， ， 是棱 的 中点， ． （Ⅰ）证明： ；（Ⅱ）求二面角 的大小． 35．（2012 福建）如图，在长方体 中 ， 为 中点. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）在棱 上是否存在一点 ,使得 ∥平面 ？若存在，求 的行；若 存在，求 的长；若不存在，说明理由．[ （Ⅲ）若二面角 的大小为 30°，求 的长． 36．（2012 浙江）如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的菱形， ，且 平面 ， ， ， 分别为 ， 的中 点． 111 CBAABC − 1 1 2AC BC AA= = D 1AA BDDC ⊥1 A C B 1B 1A D 1C BCDC ⊥1 11 CBDA −− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AA AD= = E CD 1 1B E AD⊥ 1AA P DP 1B AE AP AP 1 1A B E A− − AB P ABCD− 2 3 120BAD∠ = ° PA ⊥ ABCD 2 6PA = M N PB PD 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）过点 作 ，垂足为点 ，求二面角 的平面角的余弦值． 37．（2011 新课标）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， 底面 ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值． 38．（2011 安徽）如图， 为多面体，平面 与平面 垂直，点 在 线段 上， ， ， ， 都是正三角形． （Ⅰ）证明直线 ； （Ⅱ）求棱锥 的体积． 39．（2011 江苏）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， =60°， 、 分别是 、 的中点． 求证：（Ⅰ）直线 平面 ； （Ⅱ）平面 平面 ． / /MN ABCD A AQ PC⊥ Q A MN Q− − P ABCD− ABCD 60DAB∠ = ° 2AB AD= PD ⊥ ABCD PA BD⊥ PD AD= A PB C− − ABCDEFG ABED AGFD O AD 1, 2,OA OD= = OAB∆ OAC∆ ODE∆ ODF∆ BC ∥ EF F OBED− ABCDP − PAD ⊥ ABCD AB AD= BAD∠ E F AP AD EF ∥ PCD BEF ⊥ PAD 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 40．(2010 广东)如图， 是半径为 的半圆， 为直径，点 为 的中点，点 和 点 为线段 的三等分点，平面 外一点 满足 ， ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）已知点 为线段 上的点， ， ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值． 41．（2010 新课标）如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形， ， ，垂足为 ， 是四棱锥的高， 为 中点 （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 42．（2010 天津）如图，在长方体 中， 、 分别是棱 , AEC a AC E AC B C AD AEC F 5FB FD a= = 6EF a= EB FD⊥ ,Q R ,FE FB 2 3FQ FE= 2 3FR FB= BED RQD P ABCD− AB CD∥ AC BD⊥ H PH E AD PE BC⊥ 60APB ADB∠ = ∠ =  PA PEH 1 1 1 1ABCD A B C D− E F BC 1CC 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 上的点， , ． （Ⅰ）求异面直线 与 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明 平面 ； （Ⅲ）求二面角 的正弦值． 2CF AB CE= = 1: : 1: 2: 4AB AD AA = EF 1A D AF ⊥ 1A ED 1A ED F− −