2019-2020 学年下学期高三 5 月月考测试卷
（ 文 科 ） 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设全集 是实数集 ， 或 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．以下说法错误的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．若命题 存在 ，使得 ，则 ：对任意 ，都有
D．若 且 为假命题，则 均为假命题
3．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．设 ， ，则使 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．己知函数 的定义域是 ，对任意的 ，有 ．当 时，
．给出下列四个关于函数 的命题：
①函数 是奇函数；
②函数 是周期函数；
③函数 的全部零点为 ， ；
④当算 时，函数 的图象与函数 的图象有且只有 4 个公共点．
其中，真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在 中，角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，且 的面积 ，
且 ， ，则边 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．当 时， ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 是定义域在 上的偶函数，且 ，当 时，
，则关于 的方程 在 上所有实数解之和为（ ）
U R { | 2M x x= < − 2}x > 2{ | 4 3 0}N x x x= − + < ( )U M N =
{ | 2 1}x x− ≤ < { | 2 2}x x− ≤ ≤ { |1 2}x x< ≤ { | 2}x x <
2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠
2x = 2 3 2 0x x− + =
:P 0x ∈R 2
0 0 1 0x x− + < p¬ x ∈ R 2 1 0x x− + ≥
p q ,p q
( ) 2 1
1
x xf x x
+ −= −
a b∈R a b>
3 3a b> 1 1
a b
< 2 2a b> | |a b b> +
( )f x R x∈R ( ) ( )2 0f x f x+ − = [ )1,1x∈ −
( )f x x= ( )f x
( )f x
( )f x
( )f x 2x k= k ∈Z
[ )3,3x∈ − ( ) 1g x x
= ( )f x
ABC△ A B C a b c ABC△ 2 5 cosS C=
1a = 2 5b = c
15 17 19 21
0 1x< < ln( ) xf x x
=
2 2( ) ( ) ( )f x f x f x< < 2 2( ) ( ) ( )f x f x f x< <
2 2( ) ( ) ( )f x f x f x< < 2 2( ) ( ) ( )f x f x f x< <
22 loga a= 1
21
2
b
b = n 1sic c= + a b c
b a c< < a b c< < c b a< < a c b< <
( )f x R ( ) ( )1 1f x f x=+ − [ ]0,1x∈
( ) 3f x x= x ( ) cos πf x x= 1 5,2 2
− A．1 B．3 C．6 D．7
10．若 ， ，则 ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D． ， 的大小由 的取值确定
11．条件 “ 或 ”是条件 “ 有极值点”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为 ，
且 ， ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知全集为 ，集合 ， ，则
______．
14．如果在某种细菌培养过程中，细菌每 10 min 分裂 1 次（1 个分裂成 2 个），那么经过 1 h，1 个
这种细菌可以分裂成________个．
15．已知函数 ，集合 ，集合 ，
若 ，则实数 的取值范围是________．
16．奇函数 对任意实数 都有 成立，且 时， ，
则 ______．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）已知函数 且 的图象恒过定点 ，二次函数 的
图象经过点 ，且 的解集为 ．
（1）求 的解析式；
（2）求函数 ， 的最值．
18．（12 分）已知函数 ，是奇函数．
（1）求实数 m 的值；
（2）画出函数 的图象，并根据图象求解下列问题．
①写出函数 的值域；
②若函数 在区间 上单调递增，求实数 a 的取值范围．
5P a a= + + 2 3( 0)Q a a a= + + + ≥ P Q
P Q< P Q=
P Q> P Q a
:p 0a ≤ 4a ≥ :q 3 21 1( ) 13 2f x ax ax x= + + +
2 22 , 0( ) ln , 0
x kx k xf x x x
+ + ≤= >
x ( )f x k≤ [ , ] [ , ]m n a b
n a< 1 27
2 32mn ab k+ − < k
5 4,16 7
1 4,8 7
1 5,8 8
1 4,2 7
R { }2log ( 1)A x y x= = − { }2 1B y y x= = + − ( )A B =R
2( )f x x ax b= + + { | ( ) 0}A x f x= ≤ 5| ( ( )) 4B x f f x = ≤
A B= ≠ ∅ a
( )f x x ( 2) ( )f x f x+ = − 0 1x≤ ≤ ( ) 2 1xf x = −
( )2log 11f =
log ( 1) 3( 0ay x a= + − > 1)a ≠ P ( )y f x=
P ( ) 0f x > (1,3)
( )f x
(sin )y f x= 2π[0, ]3x∈
2
2
1, 2 0
( ) 0, 0
2 1, 0 2
x mx x
f x x
x x x
+ − − < <
= =
− + + < { | 2 2}U M x x= − ≤ ≤
{ |1 3}N x x= < < ( ) { |1 2}U M N x x= < ≤
1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠
2 3 2 0x x− + = 1,2x = 2x = 2 3 2 0x x− + =
:p¬ x∈R 2 1 0x x− + ≥
p q ,p q
( ) 2 21 1 1 1 1 11 1 1 31 1 1 1
x x x xf x x xx x x x
+ − − + − += = = + + + = − + +− − − −
1y x x
= + 1 3
1y x x
= + ( ), 1−∞ − ( )1,0− ( )0,1 ( )1,+∞
( )y f x= ( ),0−∞ ( )0,1 ( )1,2 ( )2,+∞
( )0 1f = ( ) 2 1
1
x xf x x
+ −= −
3y x= 3 3a b a b> ⇔ >
1 1
a b
< 0a b
ab
− > 0ab > a b>
0ab < a b<
2 2a b> | | | |a b> a b
| |a b b> + | |a b b b> + ≥ a b> a b>
| |a b b> + 2 1> 2 1 1= +
x∈R ( ) ( )2 0f x f x+ − = x∈R ( ) ( )2f x f x+ =
( )f x ( ) ( ) ( )1 1 2 1f f f= − = −
[ )1,1x∈ − ( )f x x= ( ) ( )1 1 1f f= − = − ( )f x
[ )1,1x∈ − ( )f x x= ( )0 0f =
( )f x ( )f x 2x k= k ∈Z
[ )1,1x∈ − ( )f x x= ( ) ( ) 1f x g x x
= = 1x = 1x = −
[ )1,3x∈ ( ) ( )2 2f x f x x= − = −
( ) ( )f x g x= 12x x
− = 1 2x = + 1 2x = −
[ )3, 1x∈ − − ( ) ( )2 2f x f x x= + = +
( ) ( )f x g x= 12x x
+ = 1 2x = − − 1 2x = − +
1 sin 2 5 cos2S ab C C= =
tan 2C = 5cos 5C =由余弦定理得 ，所以 ．
7．【答案】D
【解析】根据 ，得到 ，而 ，
所以根据对数函数的单调性可知 时， ，
从而可得 ，函数 单调递增，所以 ，
而 ，所以有 ，故选 D．
8．【答案】B
【解析】由题意，设 ，可得 ， ，
所以 ，根据零点的存在定理，可得 ，
设 ，可得 ， ，所以 ，
根据零点的存在定理，可得 ，
令 ，可得 ， ，
所以 ，可得 ，
综上可得 ，故选 B．
9．【答案】D
【解析】因为 ，则 ，所以 的最小正周期为 ，
又由 得 的图像关于直线 对称．
令 ，则 的图像如图所示，
由图像可得， 与 的图像在 有 7 个交点且实数解的和为
，故选 D．
10．【答案】A
【解析】∵
且 ，∴ ，
又 ，∴ ．
11．【答案】B
【解析】“ 有极值点”
即“ 有两个不同的零点”，
，得“ 或 ” “ 或 ”，
但“ 或 ”推不出“ 或 ”，故选 B．
12．【答案】A
【解析】易知当 ， 时， ，
的图象如图所示：
当直线 在图中 的位置时， ，得 ，
为方程 的两根，
即 的两根，故 ，
而 ，
则 ，
即 ，解得 ，所以 ；
当直线 在图中 的位置时， 且 ，得 ，
此时 ，则 ，得 ，
2 2 2 2 cos 17c a b ab C= + − = 17c =
0 1x< < 20 1x x< < <
2
ln( ) xf x x
′ =
0 1x< < 1 ln 0x− >
( ) 0f x′ > ( )f x 2( ) ( ) (1) 0f x f x f< < =
2 2
2
ln( ) ( ) 0xf x x
= > 2 2( ) ( ) ( )f x f x f x< <
( ) 22 logxf x x= − ( ) 1 11 2 2f −− = = 2 3( 2) 2 1 4f −− = − = −
( )1 ( 2) 0f f− ⋅ − < ( 2, 1)a∈ − −
( ) 1
21( )2
xg x x= − (0) 1g = 1 1(1) 12 2g = − = − (0) (1) 0g g⋅ <
(0,1)b∈
( ) sin 1h x x x= − − ( )1 1 sin1 1 sin1 0h = − − = − < (π) π sin π 1 π 1 0h = − − = − >
( )1 (π) 0h h⋅ < (1,π)c∈
a b c< <
( ) ( )1 1f x f x=+ − ( ) ( )2f x f x= − ( )f x 2
( ) ( ) ( )1 1 1f x f x f x+ = − = − ( )f x 1x =
( ) cos πg x x= ( )g x
( )y f x= ( ) cos πg x x= 1 5,2 2
−
2 3 1 7× + =
2 2 2 22 5 2 ( 5) [2 5 2 ( 2)( 3)] 2( 5 5 6)P Q a a a a a a a a a a− = + + + − + + + + = + − + +
2 25 5 6a a a a+ < + + 2 2P Q<
, 0P Q > P Q<
3 21 1( ) 13 2f x ax ax x= + + +
2( ) 1f x ax ax′ = + +
2 4 0Δ a a= − > 0a < 4a > ⇒ 0a ≤ 4a ≥
0a ≤ 4a ≥ 0a < 4a >
0k > 0x ≤
2
2 2 27( ) 2 2 4
kf x x kx k x k = + + = + +
( )f x
y k= 1l 2 27 24 k k k< < 1 4
2 7k< <
,m n 2 22 0x kx k k+ + − =
2 22 0x kx k k+ + − = 22mn k k= −
1ab =
2 21 1 3 272 1 2 12 2 2 32mn ab k k k k k k+ − = − + − = − + <
264 48 5 0k k− + < 1 5
8 8k< < 1 4
2 7k< <
y k= 2l 22k k≤ 0k > 10 2k< ≤
0n = 1 1 2712 2 32mn ab k k+ − = − < 5 1
16 2k< ≤所以， 的取值范围是 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】因为 ，
，
故可得 ，故答案为 ．
14．【答案】64
【解析】细菌每 10 min 分裂 1 次（1 个分裂成 2 个），
经过 1 h 可分裂 6 次，可分裂成 （个），故答案为 64．
15．【答案】
【解析】由题意，函数 ，则集合 ，
又由 ，
由 ，令 ，
即 ，解得 ， ，
所以 ，
要使得 ，则满足 ，解得 ，
所以 ，所以实数 的取值范围是 ，
故答案为 ．
16．【答案】
【解析】 ，
则 ，
又 ， ，
则 ，故答案为 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1） ；（2） 时， ； 时， ．
【解析】（1）∵ 且 的图象恒过定点 ，
由题意可设 ， ，
∵ 的图象过点 ，∴ ，∴ ，
∴ ．
（2）令 ，
∵ ，∴ ，则 ， ，
∵ 在 上是增函数，
∴当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
18．【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【解析】（1）因为 是奇函数，所以 ，
即 ，解得 ．
又易检验知：当 时， 是奇函数，故所求实数 m 的值为 2．
k 5 4,16 7
( )1,2
{ } { }2log ( 1) 1A x y x x x= = − = >
{ }2 1 { | 2}B y y x y y= = + − = ≥
( )A B =R ( )1,2 ( )1,2
62 64=
[ 5,5]
2( )f x x ax b= + + 2{ | ( ) 0} { | }0A x f x x x ax b= + + ≤≤ =
25 5| ( ( )) { | ( ) ( ) 0}4 4B x f f x x f x af x b = ≤ = + + − ≤
A B= 2 5( ) ( ) ( )[ ( ) ]4f x af x b f x f x m+ + − = +
2 25( ) ( ) ( ) ( )4f x af x b f x mf x+ + − = + m a= 5
4b =
2 22 5( ) ( ) ( )[ ( ) ]4
5 5( )( ) 04 4f x af x b f x f x a x ax x ax a= + + + + ++ − = + ≤+
A B= ≠ ∅
2
1
2
2
54 04
54 ( ) 04
a
a a
Δ
Δ
= − × ≥
= − × + ≤
5 5
1 5
a a
a
≥ ≤ −− ≤ ≤
或
5 5a≤ ≤ a [ 5,5]
[ 5,5]
5
11
−
( ) ( )( 2) ( ) 4 ( 2) 4f x f x f x f x f x T+ = − ⇒ + = − + = ⇒ =
( ) ( )2 2 2
11log 11 log 11 4 log 16f f f = − =
2 2 2
11 16 16log log log16 11 11f f f = − = −
[ ]2
16log 0,111
∈
2
16log 11
2
16 5log 2 111 11f
− = − − = −
5
11
−
2( ) 4 3f x x x= − + − 0x = min 3y = − π
2x = max 0y =
log ( 1) 3( 0ay x a= + − > 1)a ≠ (0, 3)P −
( ) ( 1)( 3)f x m x x= − − 0m <
( )f x (0, 3)P − 3 3m = − 1m = −
2( ) ( 1)( 3) 4 3f x x x x x= − − − = − + −
sin x t=
2π[0, ]3x∈ 0 1t≤ ≤ 2( ) 4 3y f t t t= = − + − 0 1t≤ ≤
( )f t [0,1]t ∈
0t = 0x = min (0) 3y f= = −
1t = π
2x = max (1) 0y f= =
2m = [ 2, 1) {0} (1,2]− − (1,3]
( )f x ( 1) (1)f f− = −
1 1 ( 1 2 1)m− − = − − + + 2m =
2m = ( )f x（2）由（1）得 ，
如图，画出函数 的图象：
①由图知，函数 的值域为 ．
②由图知，函数 的单调递增区间为 ，
所以根据函数 在区间 上单调递增，
可知需满足 ，解得 ．
故所求实数 m 的取值范围为 ．
19．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，即 在 上恒成立，
当 时， 恒成立，符合题意；
当 时，必有 ，
综上： 的取值范围是 ．
（2） ，
，对任意 总成立，
等价于 在 总成立，
即 在 上恒成立，
设 ，因为 ，所以 ，
不等式组 化为 ，
时， （当且仅当 时取等号），
时，不等式组显然成立，
当 时， 恒成立，
，即 ，
在 上递减，所以 的最小值为 ， ，
综上所述， 的取值范围是 ．
20．【答案】（1） （或写成 ）；（2）3．
【解析】（1）原式
（或写成 ）．
（2）原式 ．
21．【答案】（1）定义域为 ， ；（2） ．
【解析】（1）由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ．
2
2
1, 2 0
( ) 0, 0
2 1, 0 2
x mx x
f x x
x x x
+ − − < <
= =
− + + < −
− ≤ 1 3a< £
(1,3]
[0,4] 1 3,2 2
−
( )f x R 2 1 0mx mx− + ≥ R
0m = 1 0≥
0m ≠ 0 0 40
m mΔ
> ⇒ < ≤ ≤
m [0,4]
2( ) ( ) 1g x f x x mx mx x= − = − + −
(ln ) 0g x∴ ≤ 2,x e e ∈
2 20 (ln ) ln 1 (ln )m x m x x≤ − + ≤ 2,x e e ∈
2
2 2
(ln ) ln 1 0
(ln ) ln 1 (ln )
m x m x
m x m x x
− + ≥
− + ≤
(*) 2,x e e ∈
lnt x= 2,x e e ∈ [1,2]t ∈
(*)
( )
( )
2
2 2
1 0
1
m t t
m t t t
− + ≥
− + ≤
[1,2]t ∈ 2 0t t− ≥ 1t =
1t =
(1,2]t ∈
( )
( )
2 2
22 2
2
1
1 0
11
mm t t t t
tm t t t m t t
≥ − − + ≥ −⇒ −− + ≤ ≤ −
22
1 1 1
21 1
2 4
t t t
− = ≤ −− − − +
1
2m ≥ −
2
2
1 1 11t t
t t t t
− += = +− (1,2] 11 t
+ 3
2
3
2m ≤
m 1 3,2 2
−
95
12
11712
1 1 31 1 3 2 3 22 3 22 3 225 64 1 5 4 11 19 27 4 3 3 2
− −− − = − − + = − − +
5 3 951 83 4 12
= − − + = 11712
( ) ( )2log 311 1 1 1 3lg5 2 2 lg 2 lg 2 lg5 lg5 lg 2 3 1 32 2 2 2 2
−= + + ⋅ + + = + + + × = + + =
( 1,1)− 1a = 5 , 14
− −
1 0
1 0
x
x
− >
+ > 1 1x− < <
( )f x ( 1,1)−因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，故化简得所求 ．
（2）由（1）可知 ，其中 ，
所以由题设得关于 x 的方程 在 内有两个不同的实数解．（*）
设函数 ，
则因为该函数图像的对称轴方程为 ，
所以结合（*）知只需 ，解得 ，
故所求实数 t 的取值范围是 ．
22．【答案】（1）从第 3 年开始盈利；（2）第 6 年，投资商平均年平均纯利润最大，最大值为 16 万
元．
【解析】（1）依题意 前 年总收入-前 年的总支出 投资额 72 万元，
可得 ，
由 ，得 ，解得 ，
由于 ，所以从第 3 年开始盈利．
（2）年平均利润 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即第 6 年，投资商平均年平均纯利润最大，最大值为 16 万元．
3
1 1 log 42f = − 3 3 3
1 3log log 1 log 42 2a+ = −
3 3 3 3
3 1 1log 1 log 4 log 1 log 42 2 2a = − − = − ×
3
3log 02
≠ 1a =
( )2
3 3 3( ) log (1 ) log (1 ) log 1f x x x x= − + + = − ( 1,1)x∈ −
2 1 0x x t+ − − = ( 1,1)−
2( ) 1g x x x t= + − −
1
2x = −
( 1) 1 0
1 5 02 4
(1) 1 0
g t
g t
g t
− = − − >
− = − −
5 14 t− < < −
5 , 14
− −
( )f x = −
2( 1)( ) 50 [12 4] 72 2 40 722
n nf n n n n n
−= − + × − = − + −
( ) 0f n > 22 40 72 0n n− + − > 2 18n< <
n +∈N
( ) 36 362( ) 40 4 40 16f n n nn n n
= − + + ≤ − ⋅ + =
36n n
= 6n =
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