湛江市 2020 年普通高考测试（一）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解出集合 ，再求出 ，根据交集定义即可求得 .
【详解】由 ，解得 或 ，
或 ．
由 ，解得 ，
．
．
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是集合的交集，补集的运算，以及分式、绝对值不等式，以及对数不等式的求解，
是基础题.
1| 1| |M x x
= ( )RM N =
∅ ( 1,1)− (1, )+∞ ( , 1)−∞ −
,M N R N ( )RM N
1 1| |x
< 1x < − 1x >
{ | 1M x x∴ = < − 1}x >
lg 0x > 1x >
{ | 1}N x x∴ = >
{ | 1}RN x x∴ =
( ) { | 1}RM N x x∴ = < − 2.已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数的几何意义可知 对应的轨迹，从而得到 的最大值.
【详解】由复数的模的几何意义可知，
复数 在复平面内对应的点 的轨迹为：以 为圆心，以 2 为半径的圆的内部（包括圆周）．
而 表示点 到点 的距离，
所以当点 为 时， 最大，
故 的最大值是 .
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，
是基础题.
3.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由对数运算，指数运算，即可容易判断.
【详解】∵ ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选：C．
z | | 2z i− i | |z
Z | |z
z Z (0,1)
| |z Z (0,0)
Z ( )0,3 | |z
| |z 3
1
36a = 2log 2 2b = 21.2c = a b c
b c a> > a c b> > a b c> > b a c> >
3
2
2 2
3log 2 2 log 2 2b = = = 21.2 1.44c = = 1
36a =
3
3
1
36 6a
=
=
33 27 62 8
= >【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题。
4.已知直线 ，平面 ，则 是 的 （ ）
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
因为直线 时 不一定平行,而 时平面 内任意直线都平行平
面 ,即 ,因此 是 的必要但不充分条件,选 B.
5.已知 ， ，则向量 在 方向上的投影为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得 的坐标，利用向量的坐标即可求得结果.
【详解】∵ ， ，∴ ．
∴ ， ．
∴向量 在 方向上的投影为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及数量积的坐标运算，属综合基础题.
6.已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件以及 ，解得 ，再利用二倍角公式即可化简求得结果.
【详解】 ，且 ，
,a b , , ,a bα β α α⊂ ⊂ / / , / /a bβ β / /α β
, , / / , / /a b a bβ β不一定相交 所以 ,α β / /α β α
β / / , / /a bβ β / / , / /a bβ β / /α β
(2, 6)a = −r (3,1)b = a b+ b
6− 10− 2 10
a b+
(2, 6)a = −r (3,1)b = (5, 5)a b+ = −
( ) 5 3 ( 5) 1 10a b b+ ⋅ = × + − × =r rr 2 2| | 3 1 10b = + =r
a b+ b ( ) 10 10
| | 10
a b b
b
+ ⋅ = =
r rr
r
(0, )α π∈ 2sin cos 1α α+ = cos2
1 sin 2
α
α =−
24
25
− 7
24
− 7− 1
7
−
2 2sin cos 1α α+ = sin ,cosα α
2sin cos 1α α+ = (0, )α π∈，解得 ．又 ，
．
， ，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，是基础
题.
7.已知函数 ，若 在 为增函数，则实数 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性可知在 在 上为增函数，且 ，从而列出不等式组，即可得实
数 的取值范围.
【详解】 在 上为增函数，且函数 在 上为增函数，
在 上为增函数，且 ．
当 时， 在 上为减函数，不符合题意，故 .
当 时，
的
2 2sin (1 2sin ) 1α α∴ + − = 4sin 5
α = (0, )α π∈
2 3cos 1 sin 5
α α∴ = − − = −
24sin2 2sin cos 25
α α α∴ = = − 2 7cos2 1 2sin 25
α α= − = −
7
cos2 125
241 sin2 71 25
α
α
−
∴ = = −− − −
2( ) 2f x ax x a= − − + ln ( )y f x= 1 ,2
+∞ a
[1, )+∞ [1,2) [1,2] ( ,2]−∞
( )f x 1 ,2
+∞ ( ) 0f x >
a
ln ( )y f x=
1 ,2
+∞ lny x= ( )0, ∞+
2( ) 2f x ax x a∴ = − − + 1 ,2
+∞ ( ) 0f x >
0a = 2( )f x x= − + 1 ,2
+∞ 0a ≠
0a ≠，解得 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是对数函数，二次函数的单调性以及复合函数单调性的判断方法，要注意先考虑
函数的定义域，是中档题.
8.“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截
至 3 月初，山西省共派出 13 批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建
的由 7 位专家组成的医疗队，按照 3 人、2 人、2 人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不
同的安排方案共有（ ）
A. 105 种 B. 210 种 C. 630 种 D. 1260 种
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分步计数原理，先将 7 人按照 3 人、2 人、2 人分成了三个小组，再安排到不同的病房，
【详解】7 人分成三个小组并安排到不同病房工作，
有 种方法.
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是分步计数原理的应用，以及平均分组的问题，考查学生的分析问题解决问题的
能力，是中档题.
9.点 的坐标 满足 直线 经过点 ，则实数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应平面区域，利用实数 的几何意义即可得到实数 的最大值.
0
1 1
2 2
1 02
a
a
f
>
−∴ − ≤
1 2a
3 2 2
37 4 2
32
2
630C C C AA
⋅ ⋅ × =
P ( , )x y
0,
5 10 0,
6 0,
x y
x y
x y
−
+ − ≥
+ − ≤
: 2 0l x y z+ + = P z
3− 5− 9− 11−
z z【详解】
根据线性约束条件画出可行域，得到如图所示的三角形区域 ．直线 的方程 可化为
，
当直线 在 轴上的截距最小时，实数 取得最大值．
在图中作出直线 并平移，使它与图中的阴影区域有公共点，且在 轴上的截距最小．
由图可知，当直线过 点时，截距最小．
由 ，求得 ，
代入到 中，解得 ，
即 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是线性规划的应用，解题的关键是画出不等式组对应可行域，以及实数 的几何意
义，是基础题.
10.如图， ， 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线左、右两支分
别交于点 ， ．若 ， 为 的中点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
ABC l 2 0x y z+ + =
1 1
2 2y x z= − −
∴ l y z
1
2y x= − y
A
0
5 10 0
x y
x y
− =
+ − =
5 5,3 3A
2 0x y z+ + = 5z = −
max 5z = −
z
1F 2F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yl a ba b
− = > > 1F
P Q 1 15FQ F P=uuur uuur
M PQ 1 2FQ F M⊥uuur uuuur
14
2
7
2 2【分析】
根据双曲线的定义，结合几何关系，用 表示出三角形 的三条边，由余弦定理即可求得结果.
【详解】连接 ， ，设 ，则由已知可得 ．
∵ ， 为双曲线上的点，
∴ ， ．
∵ 为 的中点，且 ，
∴ ．∴ ．∴ ．
∴ ， ， ．
∵在直角 中， ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线的定义，属中档题.
11.在三棱柱 中， 平面 ， ，则三棱柱
的外接球的体积与三棱柱的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意求出三棱柱 的外接球半径，从而得出球的体积，再求出三棱柱的体积，即可得出它
们的比.
,a c 2PMF
2F P 2F Q 1F P t= | | | | 2PM MQ t= =
P Q
1 2F P t a= + 2 5 2F Q t a= −
M PQ 1 2FQ F M⊥uuur uuuur
2 2F P F Q= 2 5 2t a t a+ = − t a=
1F P a= | | | | 2PM MQ a= = 2 2 3F P F Q a= =
2PMFV 2
2 2cos 3 3
aMPF a
∠ = =
2 2 2
1 2
9 4 2cos 2 3 3
a a cF PF a a
+ −∠ = = −× ×
2 24 14c a= 14
2e =
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 1 2AB BC CA AA= = = = 1 1 1ABC A B C−
14 7
9
π 14 21
9
π 14 7
27
π 28 21
27
π
1 1 1ABC A B C−【详解】
如图， 为三棱柱上、下底面的中心， 为 的中点，
连接 ，则 为三棱柱外接球的球心， 为外接球半径．
在直角 中，易求得 ， ，
． ．
又 ，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是空间几何体的结构和空间几何体的体积，解题的关键是根据外接球性质找到外
接球的球心，是中档题.
12.已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的横坐标为 ，下面
4 个有关函数 的结论：
①函数 的图象关于原点对称；
②在区间 上， 的最大值为 ；
③ 是 的一条对称轴；
④将 的图象向左平移 个单位，得到 的图象，若 为两个函数图象的交点，则 面
,N M O MN
1 1,OC NC O 1OC
1ONC 1ON =
1
2 3
3NC =
1
21
3OC∴ =
3
4 21 28 21
3 3 27V π π ∴ = =
外接球
1 32 2 2 2 32 2V = × × × × = 三棱柱
28 21 1 14 7
27 272 3
V
V
π π∴ = × =外接球
三棱柱
( ) 2sin( ) 0,| | 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > = P
,A B
l′ > 0∆ k
| | 2 | |MN AQ= 0AM AN⋅ = l′
, ,A B O l 1 2, ,d d d
1| |PA d= 2| |PB d=又 为 的中点，
．
由椭圆定义可知，点 的轨迹为中心在原点，以 为焦点的椭圆．
， ． ．
点 的轨迹方程为 ．
（2）假设直线 存在，当 的斜率不存在时，显然 不成立
设 ， ， ．
由 得
， 或 ．
， ．
，
．
．
O AB
1 2| | | | 2 4 | | 2PA PB d d d AB∴ + = + = = > =
∴ P ,A B
2 4a∴ = 1c = 2 2 2 3b a c∴ = − =
∴ P
2 2
14 3
x y+ =
l′ l′ | | 2 | |MN AQ=
∴ : 3l y kx′ = − ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2 2
3,
1,4 3
y kx
x y
= − + =
( )2 24 3 24 24 0k x kx+ − + =
( )2 2( 24 ) 4 24 4 3 0k k∆ = − − × × + >
6
2k∴ > 6
2k < −
1 2 2
24
4 3
kx x k
∴ + = + 1 2 2
24
4 3x x k
⋅ = +
| | 2 | |MN AQ=
1| | 2 | | 2 ( ) | |2MN AQ AM AN AM AN∴ = = × + = +
2 2 2 2| | | | | | | | 2MN AM AN AM AN AM AN∴ = + = + + ⋅
2 2 2| | | | | | 2AM AN MN AM AN∴ + − + ⋅
2 | | | | cos 2AM AN MAN AM AN= × × × ∠ + ⋅
4 0AM AN= × ⋅ = ．
．
解得 或 ．
，且 ，
存在直线 满足条件，直线 的方程为 或 ，即 或 ．
【点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，直线与
椭圆联立，利用韦达定理是解题的关键，是中档题.
21.已知函数 ．
（1）设 ，当 时，求函数 的单调减区间及极大值；
（2）设函数 有两个极值点 ，
①求实数 的取值范围；
②求证： ．
【答案】（1）单调减区间为 ， ， ．（2）① ．②见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数 ，再求出其导函数 ，令 ，解出 ，根据单调性和极值求法即可求解
（2）①函数 有两个极值点 ，即方程 有两个不等实根．分离参数
，转化成 图像有两个交点，利用导数判定函数 的单调性，即可得到实数
的取值范围；②不妨设 ，由①知 ，且有 ，可得 ，将
可化 ．再构造函数 ，利用导数证出
.
0AM AN∴ ⋅ =
( ) ( )1 2 1 21 1 0x x y y∴ + × + + ⋅ =
( ) ( ) 2
2
1 2 1 2 2
8 24 541 (1 3 ) 10 04 3
k kk x x k x x k
− + +∴ + ⋅ + − + + = =+
3
2k = − 9
2
=k
9 6
2 2
>
3 6
2 2
− < −
∴ l′ l′ 3 32y x= − − 9 32y x= − 3 2 6 0x y+ + = 9 2 6 0x y− − =
2 2( ) 1( )xf x e ax x R= − − ∈
( ) ( ) ( )g x f x x f x′= − ⋅ 1a = ( )g x
( )y f x= 1 2,x x
a
1 2 1 22 2 2 22x x x xae ae e e+ > ⋅
1 1, ln2 2
−∞ (0, )+∞ ( ) 0g x =极大值 (2 , )e +∞
( )g x ( )g x′ ( ) 0g x′ = x
( )y f x= 1 2,x x 2( ) 2 2 0xf x e ax′ = − =
2
1
x
x
a e
= 2
1 , x
xy ya e
= = 2x
xy e
= a
1 2x x<
1 2
10 2x x< < <
1
2
2
1
2
2
x
x
e ax
e ax
=
=
1 1
2 2
2 ln ln
2 ln ln
x a x
x a x
= +
= +
1 2 1 22 2 2 22x x x xae ae e e+ > ⋅ 1 2 1 22x x x x+ > 1( ) ln ( 1)t t t tt
ϕ = − − >，即可证明 .
【详解】（1） ，
．
当 时， ．
令 ，解得 ，
当 时， ， 为单调减函数；
当 时， ， 为单调增函数；
当 时， ， 为单调减函数，
函数 的单调减区间为 ， ， ．
（2）① 函数 有两个极值点 ，
方程 有两个不等实根．
由 ，显然 时方程无根， ．
设 ，则 ．
令 ，得 ．
当 时， ， 为单调递增函数；
当 时， ， 为单调递减函数．
且当 时， ；当 时， ，
( ) 0tϕ > 1 2 1 22 2 2 22x x x xae ae e e+ > ⋅
2( ) 2 2xf x e ax′ = −
2 2 2 2 2 2( ) 1 2 2 (1 2 ) 1x x xg x e ax xe ax x e ax∴ = − − − + = − + −
∴ 1a = 2 2( ) (1 2 ) 1xg x x e x= − + −
( )2( ) 2 1 2 xg x x e′∴ = −
( ) 0g x′ = 1 0x = 2
1 1ln 02 2x = <
1 1, ln2 2x ∈ −∞ ( ) 0g x′ < ( )g x
1 1ln ,02 2x ∈ ( ) 0g x′ > ( )g x
(0, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x
∴ ( )g x 1 1, ln2 2
−∞ (0, )+∞ ( ) (0) 0g x g= =极大值
( )y f x= 1 2,x x
∴ 2( ) 2 2 0xf x e ax′ = − =
22 2 0xe ax− = 0a = 2
1
x
x
a e
∴ =
2( ) ( )x
xh x x Re
= ∈ ( )
2
2 22
(1 2 ) 1 2( )
x
xx
x e xh x ee
′ − −= =
( ) 0h x′ = 1
2x =
1, 2x ∈ −∞ ( ) 0h x′ > ( )h x
1 ,2x ∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x
x → −∞ ( )h x → −∞ x → +∞ ( ) 0h x →． ．
实数 取值范围是 ．
②证明：不妨设 ，由①知 ，且有
可化为 ．
又 ．
即证 ，
即证 ，即 ．
设 ，即证 当 时成立．
设 ，
，
在 上为增函数．
，即 成立．
成立．
【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数极值点问题，构造函数是解决本题的关键考
查考生的分类讨论思想、等价转化能力、数学计算能力，是难题.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半
的
1 1 10 2 2ha e
∴ < < = 2a e∴ >
∴ a (2 , )e +∞
1 2x x<
1 2
10 2x x< < <
1
2
2
1
2
2
,
,
x
x
e ax
e ax
=
=
1 2 1 22 2 2 22x x x xae ae e e∴ + > ⋅ 1 2 1 22x x x x+ >
1 1
2 2
2 ln ln ,
2 ln ln ,
x a x
x a x
= +
= + ( )2 1 2 1ln ln 2 0x x x x∴ − = − >
∴ ( )( ) ( )2 1 2 1 1 2 2 12 2 ln lnx x x x x x x x− + > −
2 1 2
1 2 1
lnx x x
x x x
− > 2 1 2
1 2 1
ln 0x x x
x x x
− − >
2
1
( 1)xt tx
= > 1 ln 0t tt
− − > 1t >
1( ) ln ( 1)t t t tt
ϕ = − − >
2
2 2
1 1 1( ) 1 0t tt t t t
ϕ ′ − += + − = >
( )tϕ∴ (1, )+∞
( ) (1) 0tϕ ϕ∴ > = 1 ln 0t tt
− − >
1 2 1 22 2 2 22x x x xae ae e e∴ + > ⋅
l
1 4
3
x t
y t
= −
= t O x轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的直角坐标方程及直线 的普通方程；
（2）设直线 与曲线 交于 ， 两点（ 点在 点左边）与直线 交于点 ．求 和
的值．
【答案】（1） ， ．（2） ， ．
【解析】
【分析】
（1）利用公式和正弦的和角公式，将极坐标方程即可转化为直角坐标方程；消去参数 ，则参数方程即可
转化为普通方程；
（2）设出 的极坐标点，联立 与曲线 的极坐标方程，即可求极坐标系下两点之间
的距离.
【详解】解：（1）∵
，
又∵ ， ，
∴曲线 的直角坐标方程为
∵ （ 为参数），消去 ，得 ．
∴直线 的普通方程为 ．
（2）设点 ， ， ．
∵曲线 的极坐标方程为 ，
C 2 2 2 sin 1 04
πρ ρ θ − + + =
C l
( )4 R
πθ ρ= ∈ C A B A B l M AM
BM
2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = 3 4 3 0x y+ − = 4 2| | 1 7AM = − 4 2| | 17BM = +
t
, ,A B M ( )4 R
πθ ρ= ∈ C
2 2 2 22 2 sin 1 2 2 sin cos 14 2 2
πρ ρ θ ρ ρ θ θ − + + = − + +
2 2 sin 2 cos 1ρ ρ θ ρ θ= − − +
0=
cosx ρ θ= siny ρ θ=
C 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + =
1 4
3
x t
y t
= −
= t t 3 4 3 0x y+ − =
l 3 4 3 0x y+ − =
1, 4A
πρ
2, 4B
πρ
3, 4M
πρ
C 2 2 2 sin 1 04
πρ ρ θ − + + = 将 代入， ．
∴ ， ．
∵直线 极坐标方程为 ，
∴ ，解得 ．
∴ ， ．
【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的相互转化，涉及极坐标系下求两点之间的距离，
属综合中档题.
[选修 4—5：不等式选讲]
23.已知函数 ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若对任意 ，求证： ．
【答案】（1） （2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）分类讨论，即可求得不等式的解集；
（2）使用两次绝对值三角不等式，即可容易证明.
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∴ 或 或 ，
解得 或 或 ．
∴不等式 的解集为 ．
（2）证明：∵ ，
的
( )4 R
πθ ρ= ∈ 2 2 2 1 0ρ ρ− + =
1 2 1ρ = − 2 2 1ρ = +
l 3 cos 4 sin 3 0ρ θ ρ θ+ − =
3 33 cos 4 sin 3 04 4
π πρ ρ+ − =
3
3 2
7
ρ =
3 1
4 2| | 1 7AM ρ ρ= − = − 3 2
4 2| | 17BM ρ ρ= − = +
( ) | | | 3|f x x a x= − + +
1a = ( ) 3f x x≥
,a x R∈ ( ) 2 | 1|f x a≥ − +
( ,2]−∞
1a =
2 2, 3
( ) 1 3 4, 3 1
2 2, 1
x x
f x x x x
x x
− − ≤ −
= − + + = − <
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