哈六中 2019-2020 学年度上学期
高三学年第三次调研考试理科数学试卷
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1.已知两个集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合 、 ，然后利用交集的定义求出集合 .
【 详 解 】 由 题 意 得
，
，因此， .
故选：B.
【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了对数函数定义域与一次不等式的求解，考查运
算求解能力，属于基础题.
2.已知 ，若复数 为纯虚数，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则将复数 表示为一般形式，然后得出该复数的实部为零，虚部不为零，可
求出实数 的值.
【详解】 ，
( ){ }2ln 2A x y x x= = − + + { }2 1 0B x x= + ≤ A B =
1 ,22
−
11, 2
− −
( )1,e− ( )2,e
A B A B
( ){ } { } { } ( )2 2 2ln 2 2 0 2 0 1,2A x y x x x x x x x x= = − + + = − + + > = − − < = − { } 12 1 0 , 2B x x = + ≤ = −∞ − 11, 2A B = − − a R∈ 2 1 a iz i −= + a = 13 13 2 8 z a ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 2 22 2 2 1 1 1 2 2 2 a i i a a ia i a az ii i i − − − − +− − += = = = −+ + −
由于复数 为纯虚数，则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用复数的概念求参数，同时也考查了复数的除法运算，解题时要利用复
数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
3.已知直线 、 ，平面 、 ，给出下列命题：
①若 ， ，且 ，则 ②若 ， ，且 ，则
③若 ， ，且 ，则 ④若 ， ，且 ，则
其中正确的命题是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间线面关系、面面关系对各命题的正误进行判断，即可得出正确选项.
【详解】对于命题①，若 ， ，且 ，则 ，该命题正确；
对于命题②，若 ， ，且 ，则 与 平行或相交，命题②错误；
对于命题③，若 ， ，且 ，则 与 平行、垂直或斜交，命题③错误；
对于命题④， ，过直线 作平面 ，使得 ，则 ， ， ，
， ， ，则 ，命题④错误.
故选：D.
【点睛】本题考查有关线面、面面关系命题真假的判断，可以根据空间中的线面关系、面面
关系有关定理或者利用模型来进行判断，考查推理能力，属于中等题.
4.如果实数 、 ，满足条件 ，则 的最大值为（ ）
z
2 02
2 02
a
a
− = + ≠
2a =
m n α β
m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥ //m α //n β //m n //α β
m α⊥ //n β m n⊥ α β⊥ m α⊥ //n β //m n //α β
m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥
//m α //n β //m n α β
m α⊥ //n β m n⊥ α β
//n β n γ lβ γ = //n l //m n //m l∴
m α⊥ l α∴ ⊥ l β⊂ α β⊥
x y
1 22
2 1
1
y x
y x
y x
≤ +
≥ −
≥ − −
4z x y= −
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线 ，利用直线 在 轴上的截距最
大，找出目标函数 取得最大值时的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
联立 ，得 ，得点 ，
平移直线 ，可知，当直线 经过可行域的顶点 时，该直线在 轴
上的截距最大，此时 取最大值，即 .
因此， 的最大值为 ，
故选：A.
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用数形结合思想并通过线性目标函数在坐标
轴上截距的最值来找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
5.已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ，且离心率为 ，则该双曲
5 3 2 9−
4z x y= − 4z x y= − x
4z x y= −
1 22
2 1
1
y x
y x
y x
≤ +
≥ −
≥ − −
1 22
2 1
y x
y x
= +
= −
2
3
x
y
=
=
( )2,3A
4z x y= − 4z x y= − ( )2,3A x
z max 4 2 3 5z = × − =
4z x y= − 5
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 3
线的实轴的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出焦点到渐近线的距离为 ，再结合双曲线的离心率得出 的值，即可得出该双曲线
的实轴长.
【详解】设双曲线的焦距为 ，
双曲线的右焦点到渐近线 的距离为 ，
该双曲线的离心率为 ，解得 ，
因此，双曲线的实轴长为 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线实轴长的计算，同时也考查了双曲线的渐近线方程与离心率，考查
运算求解能力，属于中等题.
6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和
数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以
歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自
长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位
公公的长儿的年龄为（ ）
A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到数列 是等差数列，由 ，求得数列的首项 ，即可得到答案．
【详解】设这位公公的第 个儿子的年龄为 ，
由题可知 是等差数列，设公差为 ，则 ，
2 2 2 2 3
2b = a
( )2 0c c >
0bx ay+ =
2 2
2bc b
b a
= =
+
2 2 2 4 3c a b a
a a a
+ += = = 2a =
2 2 2a =
23 32 35 38
{ }na 9 207S = 1a
n na
{ }na d 3d = −
又由 ，即 ，解得 ，
即这位公公的长儿的年龄为 岁．
故选 C．
【点睛】本题主要考查了等差数列前 n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等
差数列的前 n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
题．
7.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼
插器具内部的凹凸部分啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对
称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经 榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正
方形的边长为 ，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器的表面积的
最小值为 ，则正四棱柱的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出球形容器的半径为 的值，设正四棱柱的高为 ，由题意可知，当球形容器为底面边
长分别为 、 ，高为 的直四棱柱的外接球时，球形容器的表面积最小，根据长方体的体对
角线长为外接球直径可求出 的值.
【详解】设正四棱柱的高为 ，设球形容器的半径为 ，则 ，得 .
由题意可知，当球形容器为底面边长分别为 、 ，高为 的直四棱柱的外接球时，球形容器
的表面积最小，
所以， ，解得 .
9 207S = 9 1
9 89 ( 3) 2072S a
×= + × − = 1 35a =
35
90
4
200π
2 6 2 30 2 51 10
R h
4 8 h
h
h R 24 200Rπ π= 5 2R =
4 8 h
2 2 24 8 2 10 2h R+ + = = 2 30h =
因此，正四棱柱的高为 .
故选：B.
【点睛】本题考查长方体的外接球问题，理解长方体的体对角长是其外接球的直径是解题的
关键，考查计算能力，属于中等题.
8.函数 的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
当 时， ，所以去掉 A,B;
因为 ，所以 ，因此去掉 C，选 D.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：
（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函
数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周
期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学
问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
9.已知将函数 向右平移 个单位长度后，所得图象
关于 轴对称，且 ，则当 取最小值时，函数 的解析式为（ ）
A. B.
2 30
( ) 1
1
x xf x e x
−= + +
x → −∞ 1 20, 1 11 1
x xe x x
−→ = − →+ +
2 1(0) 0, (1) , (2) 3f f e f e= = = + (2) (1) (1) (0)f f f f− > −
( ) cos( ) 0,0 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > < > b a c> > a b c> > b c a> >
b c 0b > 0c < 3b 3a a b c logy xπ= ( )0, ∞+ log 3 log 1 0b π π= > =
2logy x= ( )0, ∞+ 2 2log log 1 0ec π= < = 3 23 3log 3 log 3 log 2 3b aπ π π π= = > = = 0b a∴ > >
因此， .
故选：B.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来得出各数
的大小关系，考查推理能力，属于中等题.
11. 为圆 上的一个动点，平面内动点 满足 且
( 为坐标原点)，则动点 运动的区域面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出图形，然后过点 作圆 的切线 ，可得出 ，利用
锐角三角函数得出 ，可得出 ，由题意得出动点 运动的区
域为两个圆心角为 的弓形，计算出两个弓形的面积之和即可得出答案.
【详解】如下图所示：
过点 作圆 的切线 ，连接 、 ，则 ， ，
且 ，由锐角三角函数 定义得 ，的
b a c> >
N 2 2 3x y+ = 0 0( , )M x y 0 3y ≥ 60OMN∠ =
O M
4 + 33
π 4 2 33
π − 2 33
π +
8 2 33
π −
M 2 2 3x y+ = MP 60OMP OMN∠ ≥ ∠ =
3 3sin 2OMP OM
∠ = ≥ 2OM ≤ M
60
M 2 2 3x y+ = MP OM OP OP PM⊥ 3OP =
60OMP OMN∠ ≥ ∠ = 3 3sin 2OMP OM
∠ = ≥
，过点 作圆 的切线交圆 于 、 两点，
则点 的轨迹为图中阴影部分所表示的区域，为两个弓形，
，则 ， 为等边三角形，则 ，
因此，动点 运动的区域的面积为 .
故选：B.
【点睛】本题考查动点运动区域面积的计算，解题的关键就是确定动点的轨迹区域，考查分
析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12.已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当
时， ，若方程 有 个不同的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得出函数 是周期为 的周期函数，可得出方程 在区
间 上有 个不同的实根，令 ，利用导数分析函数 在区间 的单
调性和极值，作出函数 在区间 上的图象，设方程 的两根分别为 、
，可得出 ， ，然后利用二次函数零点分布列出关于实数
不等式组，解出即可.
【详解】 ，所以，函数 是以 为周期的周期函数，
由于 ，且方程 有 个不同的实数根，
则方程 在区间 上有 个零点.
2OM∴ ≤ ( )0, 3C 2 2 3x y+ = 2 2 4x y+ = A B
M
3sin 2
OCOAC OA
∠ = = 60OAC∠ = OAB∴∆ 60AOB∠ =
M 21 1 42 2 2 3 2 36 2 3
ππ × × × − × × = −
( )f x [ ]100,100− ( ) ( )2 2f x f x+ = − [ ]0,2x∈
( ) ( )2 xf x x e= − ( ) ( )2 1 0f x mf x− + = 300 m
1 5
2e me
− − < < − 1 5 2e me − − ≤ < − 5 22 m− < < − 1 2e me − − ≤ < − ( )y f x= 4 ( ) ( )2 1 0f x mf x− + = [ ]2 2− , 6 ( )t f x= ( )t f x= [ ]0,2 ( )t f x= [ ]0,2 2 1 0t mt− + = 1t ( )2 1 2t t t> 12 0t− < < 2 2e t− < < − m ( ) ( )2 2f x f x+ = − ( )y f x= 4 ( )100 100 504 − − = ( ) ( )2 1 0f x mf x− + = 300 ( ) ( )2 1 0f x mf x− + = [ ]2 2− , 6
令 ，则方程为 ，
当 时， ，则 .
令 ，得 ；令 ，得 .
所以，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
且 ， ， ，
作出函数 在区间 上的图象如下图所示：
设关于 的方程 的两根分别为 、 ，
可得出 ， ，设 ，
则函数 在区间 和 各有一个零点，所以 ，
解得 ，
故选：A.
【点睛】本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数的取值范围，将问题转化为函数在
一个周期内的零点个数是解题的关键，考查数形结合思想应用，属于难题.
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13.公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄
金分割值约为 0.618，这一数值也可以表示为 .若 ，则
_________.
【答案】
( )t f x= 2 1 0t mt− + =
0 2x≤ ≤ ( ) ( )2 xf x x e= − ( ) ( )1 xf x x e′ = −
( ) 0f x′ ≤ 0 1x≤ ≤ ( ) 0f x′ ≥ 1 2x≤ ≤
( )t f x= [ ]0,1 [ ]1,2
( )0 2f = − ( )1f e= − ( )2 0f =
( )t f x= [ ]2 2− ,
t 2 1 0t mt− + = 1t ( )2 1 2t t t>
12 0t− < < 2 2e t− < < − ( ) 2 1g t t mt= − + ( )y g t= ( ), 2e− − ( )2,0− ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 2 5 0 0 1 0 g e e me g m g − = + + >
− = +
1 5
2e me
− − < < − 2sin18m °= 2 4m n+ = sin63 m n+ =° 2 2
【解析】
【分析】
利用同角的基本关系式，可得 ，代入所求，结合辅助角公式，即可求解．
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ，故答案为
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础
题
14.若直线 把圆 分成面积相等的两部分，
则 取得最小值时, 的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知，直线 过圆心，可得出 ，然后将代数式
和 相乘，利用基本不等式求出 的最小值，并利用等号成立的条件求出 的值.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，
由题意可知，直线 过圆心 ，则 ，
得 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，因此，
故答案为： .
.
24cos 18n = °
2sin18m = ° 2 4m n+ = 2 2 24 4 4sin 18 4cos 18n m= − = − ° = °
2sin18 2cos18 2 2 sin(18 45 ) 2 2sin 63 sin 63 sin 63
m n+ °+ ° °+ °= = =° ° ° 2 2
( )1 0 0, 0ax by a b+ + = > > ( ) ( )2 24 1 16x y+ + + =
1 2
2a b
+ b
1
2
( )1 0 0, 0ax by a b+ + = > > 4 1a b+ = 4a b+
1 2
2a b
+ 1 2
2a b
+ b
( ) ( )2 24 1 16x y+ + + = ( )4, 1− −
( )1 0 0, 0ax by a b+ + = > > ( )4, 1− − 4 1 0a b− − + =
4 1a b+ =
( )1 2 1 2 8 84 4 2 4 82 2 2 2
a b a ba ba b a b b a b a
+ = + + = + + ≥ ⋅ + =
8
2
4 1
0, 0
a b
b a
a b
a b
=
+ =
> >
1
8
1
2
a
b
=
=
1
2b =
1
2
【点睛】本题考查利用基本不等式等号成立求参数的值，解题时要对代数式进行合理配凑，
考查计算能力，属于中等题.
15.已知向量 、 满足 ， ， ，则 、 的夹
角余弦值等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设 、 的夹角为 ，计算出 的值，将等式 两边平方，利用平面向量数量积
的运算律可求出 的值.
【 详 解 】 设 、 的 夹 角 为 ， ，
，
在等式 两边平方得 ，即 ，
即 ，解得 .
因此， 、 的夹角余弦值等于 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用平面向量的模计算向量夹角的余弦值，一般在求解时要将向量模的等
式两边平方，结合平面向量数量积的运算律和定义进行计算，考查运算求解能力，属于中等
题.
16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆 外一点 满足
，且 ，线段 、 分别交椭圆 于点 、 ，若 ，
则 _______．
【答案】
【解析】
a b ( )cos2019 ,sin 2019a = 2 2a b+ = 3b =
a b
1
3
−
a b θ a 2 2a b+ =
cosθ
a b θ ( )cos2019 ,sin 2019a =
2 2cos 2019 sin 2019 1a∴ = + =
2 2a b+ = 2 2
2 8a a b b+ ⋅ + = 2 2
2 cos 8a a b bθ+ ⋅ + =
1 2 1 3 cos 9 8θ+ × × × + = 1cos 3
θ = −
a b 1
3
−
1
3
−
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 1F 2F C P
2 1 2PF F F⊥ 2 1 2PF F F= 1PF 2PF C A B 1PA AF=
2
2
BF
PF
=
2
4
【分析】
作出图形，由题意得出 为线段 的中点，可得出 ，且有 ，并计算出点 的
坐标，即可得出 的值.
【详解】如下图所示，设椭圆的焦距为 ，则 ，
， 为 的中点，
，且 ，由椭圆的定义得 ， ，
由勾股定理得 ，即 ，可得 ，则
，
椭圆的标准方程为 ，设点 的坐标为 ，则 ， ，
则 ，因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查椭圆中线段长度的比值问题，解题时要确定 、 、 的等量关系，并求出
相关点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.
三、解答题（共 70 分）
17.已知数列 和 ， 前 项和为 ，且 ， 是各项均为正数的等比
A 1PF 2a c= b c= B
2
2
BF
PF
( )2 0c c > 2 1 2 2PF F F c= =
1PA AF= A∴ 1PF
1 2AF AF∴ = 2 1AF PF⊥ 1 2 2AF AF a+ = 1 2AF AF a∴ = =
2 2 2
1 2 1 2AF AF F F+ = ( )222 2a c= 2a c=
2 2b a c c= − =
2 2
2 2 12
x y
c c
+ = B ( ),c t
2 2
2 2 12
c t
c c
+ = 2 21
2t c∴ =
2
2
2BF t c= = 2
2
2
22
2 4
cBF
PF c
= =
2
4
a b c
}{ na }{ nb }{ na n nS 2
nS n n= + }{ nb
数列，且 ， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）令 求出 的值，然后由 ，得出 ，然后检验 是否符合 在
时的表达式，即可得出数列 的通项公式，并设数列 的公比为 ，根据题意列出 和
的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出 ；
（2）求出数列 的前 项和 ，然后利用分组求和法可求出 .
【详解】（1）当 时， ，
当 时， .
也适合上式，所以， .
设数列 的公比为 ，则 ，由 ，
两式相除得 ， ，解得 ， ， ；
（2）设数列 的前 项和为 ，则 ，
.
【点睛】本题考查利用 求 ，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，
考查计算能力，属于中等题.
3
1
25b = 1 2 3
31+ 25b b b+ =
}{ na }{ nb
{ }4n na b− n nT
2na n=
11
5
n
nb
− =
( ) 11 5 1 5n nT n n = + − −
1n = 1a 2n ≥ 1n n na S S −= − 1a na 2n ≥
{ }na { }nb q 1b q
nb
{ }nb n nB nT
1n = 1 1 2a S= =
2n ≥ ( ) ( ) ( )22
1 1 1 2n n na S S n n n n n−
= − = + − − + − =
1 2a = ( )2na n n N ∗= ∈
{ }nb q 0q >
( )
2
3 1
2
1 2 3 1
1
25
311 25
b b q
b b b b q q
= =
+ + = + + =
230 1 0q q− − = 0q >
1
5q = 1 1b = 1
1 1
1
5
n
n nb b q −
−∴ = =
{ }nb n nB
( )1
111 5 15 111 4 51 5
n n
n n
b q
B q
−− = = = − − −
( ) ( )5 1 14 1 4 1 1 5 14 5 5n n n n nT S B n n n n ∴ = − = + − × − = + − −
nS na
18.在直三棱柱 中， 为正三角形，点 在棱 上，且 ，点
、 分别为棱 、 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）连接 ，连接 分别交 、 于点 、 ，再连接 ，证明出 ，
结合条件 可得出 ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出
平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 、 ，证明出 平面 ，且 ，设等边
三角形 的边长为 ，并设 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分
别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，由 得出 的值，并计算出平
面 的法向量，利用空间向量法求出直线 与平面 所成的角的正弦值.
【详解】（1）如下图所示，连接 ，连接 分别交 、 于点 、 ，再连接 ，
1 1 1ABC A B C− ABC∆ D BC 3CD BD=
E F AB 1BB
1 //AC DEF
1AC EF⊥ 1 1AC DEF
6
6
1AB 1A B EF 1AB G O DG 1 3AG BG=
3CD BD= 1 //AC DG 1 //AC
DEF
1 1A B M EC EM EM ⊥ ABC CE AB⊥
ABC 2 1AA a= E EA EM EC
x y z E xyz− 1AC EF⊥ a
DEF 1 1AC DEF
1AB 1A B EF 1AB G O DG
、 分别为 、 的中点，则 ， ，则 为 的中点，
在直三棱柱 中， ，则四边形 为平行四边形，
， 为 的中点， ， ，
， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 、 ，
四边形 为平行四边形，则 ，
、 分别为 、 的中点， ，所以，四边形 是平行四边形，
，在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
是等边三角形，且点 是 中点， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标
系 ，
设 的边长为 ， ，则点 、 、 、 、
、 、 ， ， ，
，则 ，得 ，
， ， .
的
E F AB 1BB 1//EF AB EF BO G= G OB
1 1 1ABC A B C− 1 1//AA BB 1 1AA B B
1 1A B AB O= O∴ 1A B 1
1 1
2 4BG BO A B∴ = = 1 3AG BG∴ =
1 3AGCD
BD BG
∴ = = 1 //AC DG∴
1AC ⊄ DEF DG ⊂ DEF 1 //AC∴ DEF
1 1A B M EC EM
1 1AA B B 1 1//AB A B
E M AB 1 1A B 1//AE A M∴ 1AEMA
1//EM AA 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC EM∴ ⊥ ABC
ABC∆ E AB CE AB∴ ⊥
E EA EM EC x y z
E xyz−
ABC∆ 2 1AA a= ( )1,0,0A ( )1 1, ,0A a ( )1 0, , 3C a ( )0,0, 3C
( )0,0,0E 3 3,0,4 4D
−
1, ,02
aF −
( )1 1, , 3AC a= − − 1, ,02
aEF = −
1AC EF⊥
2
1 1 02
aAC EF⋅ = − = 2a =
( )1 1 1,0, 3AC AC= = −
3 3,0,4 4ED
= −
21, ,02EF
= −
设平面 的法向量为 ，由 ，得 .
令 ，可得 ， ，所以，平面 的一个法向量为 ，
，
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，
一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19.在 中， ， .
（1）求 和 ；
（2）若 ， 是 边上一点，且 的面积为 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用边角互化思想得出 ，利用两角和的正
弦公式展开可得出 ，可求得 ，再由 ，
展开后得出 的值，求出 的值，最后利用三角形的内角和定理可求出 的值；
（2）利用三角形的面积公式求出 的值，再利用余弦定理求出 的值，利用正弦定理求
出 的值，再利用诱导公式可求出 的值.
【详解】（1） ， ，
即 ， ，
， ，得 ， ， ，
DEF ( ), ,n x y z=
3 3 04 4
2 02
n ED x z
n EF x y
⋅ = − + =
⋅ = − + =
2
3
y x
z x
=
=
1x = 2y = 3z = DEF ( )1, 2, 3n =
1 1
1 1
1 1
1 3 6cos , 62 6
AC nAC n
AC n
⋅ − += = =
×⋅
1 1AC DEF 6
6
ABC∆ 2 cos 2BC C AB AC− = cos 3sinB C=
B C
4AB = D BC ABD∆ 3 sin ADC∠
6B C
π= = 2 7
7
( )2sin cos sin 2sin 2sinA C C B A C− = = +
1cos 2A = − 2
3A
π= 2cos 3sin 3sin 3B C B
π = = +
tan B B C
BD AD
sin ADB∠ sin ADC∠
2 cos 2BC C AB AC− = ( )2sin cos sin 2sin 2sinA C C B A C− = = +
2sin cos sin 2sin cos 2cos sinA C C A C A C− = + 2cos sin sinA C C∴ = −
sin 0C > 2cos 1A∴ = − 1cos 2A = − 0 A π< > 1F 2F C 1
2
C 31, 2
−
C
l C M C N 2NF C
P 1PF MN⊥ l
2 2
14 3
x y+ = ( )6 212y x= + ( )6 212y x= − +
【分析】
（1）设椭圆 的焦距为 ，由椭圆 的离心率得出 ，进而得出 ，可
将椭圆 的标准方程化为 ，将点 的坐标代入椭圆的标准方程，求出
的值，可得出 与 的值，由此可得出椭圆 的标准方程；
（2）由题意得知直线 与 轴不重合且不垂直于 轴，可设直线 的方程为 ，
并将该直线方程与椭圆 的方程联立，求出点 的坐标，可求出直线 的方程，并根据
求出直线 的方程，再将直线 和 的方程联立，求出交点 的坐标，再
将点 的坐标代入椭圆 的方程，求出 的值，即可得出直线 的方程.
【详解】（1）设椭圆 的焦距为 ，
由于椭圆 的离心率为 ， ， ，
则椭圆 的标准方程为 ，
将点 的坐标代入椭圆 的标准方程得 ，
得 ， ， ，因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题意可知，直线 与 轴不重合与不垂直于 轴，
设直线 的方程为 ，设点 ，则 ，
C ( )2 0c c > C 2a c= 3b c=
C
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ = 31, 2
− c
a b C
l x x l ( )2 0x my m= − ≠
C N 2NF
1PF MN⊥ 1PF 2NF 1PF P
P C m l
C ( )2 0c c >
C 1
2
c
a
= 2a c∴ = 2 2 3b a c c∴ = − =
C
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ =
31, 2
− C
2
2 2
3
1 2 14 3c c
− + =
1c = 2a∴ = 3b = C
2 2
14 3
x y+ =
l x x
l ( )2 0x my m= − ≠ ( )1 1N x y, 1 0y ≠
将直线 的方程与椭圆 的方程联立 ，消去 得， ，
解得 ， ，则点 .
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
，直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
联立直线 和 的方程 ，解得 ，则点 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程，得 ，
整理得 ，即 ，解得 ，
因此，直线 的方程为 或 .
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，一般将直线方程
与椭圆方程联立，求出相关点的坐标，同时也要注意根据一些点在椭圆上，其坐标满足椭圆
方程，来列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.
21.已知 在 处的切线是 轴.
（1）求 的单调区间；
（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2） .
【解析】
【分析】
l C 2 2
2
124 3
x my
x y
= − + =
x ( )2 23 4 12 0m y my+ − =
1 2
12
3 4
my m
= +
2 2
1 1 2 2
12 6 82 23 4 3 4
m mx my m m
−∴ = − = − =+ +
2
2 2
6 8 12,3 4 3 4
m mN m m
−
+ +
2NF
2
2 2
2
12
43 4
6 8 413 4
m
mmk m m
m
+= =− −−+
2NF
2 4 14
mx ym
−= +
1PF MN⊥ 1PF k m′ = − 1PF 1 1x ym
= − −
1PF 2NF
2 4 14
1 1
mx ym
x ym
−= +
= − −
2
2
8
8
mx m
y m
−=
= −
2
2
8 8,mP m m
− −
P C
2 22
2
8 8
14 3
m
m m
− − + =
4 29 208 192 0m m− − = ( )( )2 29 8 24 0m m+ − = 2 6m = ±
l ( )6 212y x= + ( )6 212y x= − +
( ) x tf x e x+= − 1x = x
( )f x
1x ≥ ( ) ( )ln 1 0f x m x x− − + ≥ m
( ),1−∞ ( )1,+∞ [ )1,− +∞
（1）由题意得出 ，可求出实数 的值，可得出函数 的解析式，然后利用
导数求出函数 的单调递增区间和单调递减区间；
（2）先证明出当 时， ，由 得出
，构造函数 ，可知该函数
在区间 上单调递增，由 得出 对任意的 恒成立，由此可
求出实数 的取值范围.
详解】（1） ， ，由题意可得 ，
解得 ， ，定义域为 ，则 .
令 ，即 ，得 ，解得 ；
令 ，即 ，得 ，解得 .
因此，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）构造函数 ，其中 ，则 ，
则函数 在区间 上单调递增，当 时， .
所以，当 时， .
由 ，得 ，
即 ，构造函数 ，
则 ， ，则 ， ，
所以，函数 在区间 上为增函数，
则 对任意的 恒成立， .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了利用切线方程求参数的值、利用导数求函数的单调区间，以及利用导数
研究函数不等式恒成立问题，本题巧妙地利用构造新函数，转化为新函数在区间上的单调性，
【
( )
( )
1 0
1 0
f
f
= =
′
t ( )y f x=
( )y f x=
1x ≥ 1 lnx x− ≥ ( ) ( )ln 1 0f x m x x− − + ≥
( )1 ln1 ln lnx xe m x x m x e m x− + − ≥ + = + ( ) xg x e mx= + ( )y g x=
[ )0,+∞ ( ) 0g x′ ≥ xm e≥ − [ )0,x∈ +∞
m
( ) x tf x e x+= − ( ) 1x tf x e +′∴ = − ( )
( )
1
1
1 1 0
1 1 0
t
t
f e
f e
+
+
= − = = − =
′
1t = − ( ) 1xf x e x−∴ = − R ( ) 1e 1xf x −′ = −
( ) 1 1 0xf x e −′ = − < 1 1xe − < 1 0x − < 1x < ( ) 1 1 0xf x e −′ = − > 1 1xe − > 1 0x − > 1x >
( )y f x= ( ),1−∞ ( )1,+∞
( ) 1 lnh x x x= − − 1x ≥ ( ) 1 11 0xh x x x
−′ = − = ≥
( ) 1 lnh x x x= − − [ )1,+∞ 1x ≥ ( ) ( )1 0h x h≥ =
1x ≥ 1 lnx x− ≥
( ) ( )ln 1 0f x m x x− − + ≥ ( )1 ln 1 0xe x m x m x− − − + − ≥
( )1 ln1 ln lnx xe m x x m x e m x− + − ≥ + = + ( ) xg x e mx= +
( ) ( )1 lng x g x− ≥ 1x ≥ 1 0x − ≥ ln 0x ≥
( ) xg x e mx= + [ )0,+∞
( ) 0xg x e m′ = + ≥ [ )0,x∈ +∞ ( )
max
1xm e∴ ≥ − = −
m [ )1,− +∞
并借助导数求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），将曲线 上
每一点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线 ，以坐标原点 为极点， 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 与曲线 交于点 ，将射线 绕极点逆时针方向
旋转 交曲线 于点 .
（1）求曲线 的参数方程；
（2）求 面积的最大值．
【答案】（1） （ 为参数）；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据伸缩变换结合曲线 的参数方程可得出曲线 的参数方程；
（2）将曲线 的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点 的极坐标为 ，点
的极坐标为 ，将这两点的极坐标代入椭圆 的极坐标方程，得出 和 关于
的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出 面积的最大值．
【详解】（1）由于曲线 的参数方程为 （ 为参数），
将曲线 上每一点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线 ，
则曲线 的参数方程为 （ 为参数）；
（2）将曲线 的参数方程化为普通方程得 ，
化为极坐标方程得 ，即 ，
xOy 1C cos
sin
x
y
α
α
=
=
α 1C
2 2C O x
:l θ ϕ= 2C P l
2
π
2C Q
2C
POQ∆
2 cos
sin
x
y
α
α
= =
α 2
2
1C 2C
2C P ( )1,ρ ϕ Q
2 , 2
πρ ϕ + C 2
1
ρ 2
2
ρ ϕ
POQ∆
1C cos
sin
x
y
α
α
=
=
α
1C 2 2C
2C 2 cos
sin
x
y
α
α
= =
α
2C
2
2 12
x y+ =
2 2
2 2cos sin 12
ρ θ ρ θ+ = 2
2
2
1 sin
ρ θ= +
设点 的极坐标为 ，点 的极坐标为 ，
将这两点的极坐标代入椭圆 的极坐标方程得 ，
，
的面积为
，
当 时， 的面积取到最大值 .
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程 互化，考查了伸缩变换，同时也考查
了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查
分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
23..已知函数 .
（1）当 ， 时，求不等式 的解集；
（2）若 ， 且函数 的最小值为 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 ， 代入不等式 ，得出 ，利用绝对值的几何意义解
出该不等式即可；
（2）将函数 的解析式表示为分段函数，分段各支函数的单调性，结合函数
的最小值为 ，可求出 的值.
的
P ( )1,ρ ϕ Q 2 , 2
πρ ϕ +
C 2
1 2
2
1 sin
ρ ϕ= +
2
2 2
2
2 2
1 cos1 sin 2
ρ π ϕϕ
= = + + +
POQ∴∆ ( )( )1 2 2 22 2
1 1 2 1
2 2 2 sin cos1 sin 1 cos
POQS ρ ρ
ϕ ϕϕ ϕ∆ = = × =
++ +
( )2 2
1 1
12 sin cos 2 sin 22
ϕ ϕ ϕ
= =
+ +
sin 2 0ϕ = POQ∆ 1 2
22
=
( ) 2 3f x x a x b= + + −
1a = 0b = ( ) 3 1f x x≥ +
0a > 0b > ( )f x 2 3a b+
3 1, ,2 2
−∞ − − +∞ 3
1a = 0b = ( ) 3 1f x x≥ + 11 2x + ≥
( )y f x= ( )y f x=
2 3a b+
【详解】（1）当 ， 时， ，由 ，
即 ，得 ，即 或 ，解得 或
.
此时，不等式 的解集为 ；
（2） ， ，则 .
当 时， ，
此时，函数 单调递减，则 ；
当 时， ，
此时，函数 单调递增，则 ；
当 时，则 ，
此时，函数 单调递减，则 ，
即 .
所以， ，解得 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用绝对值函数的最值求参数的值，
解题时要对绝对值函数采取去绝对值的方法，将函数表示为分段函数，并分析函数的单调性，
利用函数单调性求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
1a = 0b = ( ) 2 1 3f x x x= + + ( ) 3 1f x x≥ +
2 1 3 3 1x x x+ + ≥ + 11 2x + ≥ 11 2x + ≤ − 11 2x + ≥ 3
2x ≤ −
2
1x ≥ −
( ) 3 1f x x≥ + 3 1, ,2 2
−∞ − − +∞
0a > 0b > 0 3
ba− < < x a≤ − ( ) ( ) ( )2 3 2 3 5 2f x x a x b x a x b x b a= + + − = − + − − = − + − ( )y f x= ( ) ( ) 3f x f a a b≥ − = + 3 bx ≥ ( ) ( ) ( )2 3 2 3 5 2f x x a x b x a x b x a b= + + − = + + − = + − ( )y f x= ( ) 223 3 b bf x f a ≥ = + a x b− < < ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2f x x a x b x a x b x a b= + + − = + − − = − + + ( )y f x= ( ) ( ) 3 bf f x f a < < − ( )22 33 ba f x a b+ < < + ( )min 22 23 3 b bf x f a = = + = 3 3a b+ =
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