重庆市云阳县2019-2020高二数学(理)上学期期中试卷(附解析Word版)
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重庆市云阳县2019-2020高二数学(理)上学期期中试卷(附解析Word版)

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资料简介
数学(理科)试卷 注意事项:1.请在答题纸上作答,在试卷上作答无效. 2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求.) 1.已知向量 , ,若向量 满足 且 ,则向量 可取为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设向量 ,根据 且 ,列出方程组,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,设向量 ,因为 且 , 则 ,即 ,令 ,可得 , 所以其中一个向量 . 故选:D. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式, 以及向量垂直的条件,列出方程组是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 2.椭圆 的焦点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆方程得到椭圆的焦点在 轴上,且 ,即可求解椭圆的焦点坐标,得到答案. ( 2,2,0)a = − ( 2,0,2)b = − n n a⊥  n b⊥  n (1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,1) ( , , )n x y z= n a⊥  n b⊥  ( , , )n x y z= n a⊥  n b⊥  0 0 n a n b ⋅ =  ⋅ =    2 2 0 2 2 0 x y x z − + = − + = 1z = 1, 1x y= = (1,1,1)n = 2 2 14 9 x y+ = (0, 5)± ( 5,0)± ( 13,0)± (0, 13)± y 5c =【 详 解 】 由 题 意 , 椭 圆 , 即 , 可 得 椭 圆 的 焦 点 在 轴 上 , 且 , 所以椭圆的焦点坐标为 . 故选:A. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程,以及椭圆的几何性质,其中解答中熟记椭圆的标 准方程,以及熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基 础题. 3.方程 的曲线是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 把方程 ,化为 或 ,结合反比例函数的性质,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,方程 ,可化为 或 ,即 或 , 根据反比例函数的性质,即可得选项 D 为函数 的图象. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了曲线与方程的应用,其中解答中合理化简曲线的方程,结合反比例 函数进行判定是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 4.已知等比数列 中, , ,则 的值是( ) A. B. C. 5 D. 2 2 14 9 x y+ = 2 2 19 4 y x+ = y 9 4 5c = − = (0, 5)± 2 2 1x y = 2 2 1x y = 1y x = 1y x −= 2 2 1x y = 1xy = 1xy = − 1y x = 1y x −= 2 2 1x y = { }na 5 20a = 15 5a = 20a 5 2 5 2 ± 5±【答案】B 【解析】 【分析】 设等比数列的公比为 ,列出方程组,求得 ,利用等比数列的通项公式,即可求解 的值,得到答案. 【详解】由题意,设等比数列的公比为 ,因为 , , 可得 ,所以 ,所以 , 当 时, ; 当 时, , 所以 的值是 . 故选:B. 【点睛】本题主要考查了等比数列 通项公式的应用,其中解答中熟记等比数列的通项公式, 列出方程组求得等比数列的公比,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属 于基础题. 5.双曲线 的渐近线方程是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 把双曲线方程化为 ,得到 ,结合双曲线的几何性质,即可求解. 【详解】由题意,双曲线 可化为 ,所以 , 的 q 5 1 2q = ± 20a q 5 20a = 15 5a = 4 5 1 14 15 1 20 5 a a q a a q  = =  = = 10 1 4q = 5 1 2q = ± 5 1 2q = 15 3 20 5 1 520 ( )2 2a a q= = × = 5 1 2q = − 15 3 20 5 1 520 ( )2 2a a q= = × − = − 20a 5 2 ± 2 24 9 1x y− = 4 9 0x y± = 9 4 0x y± = 2 3 0x y± = 3 2 0x y± = 2 2 11 1 4 9 x y− = 1 1,2 3a b= = 2 24 9 1x y− = 2 2 11 1 4 9 x y− = 1 1,2 3a b= =所以双曲线的渐近线方程为 ,即 . 故选:C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程,以及双曲线的几何性质的应用,其中解答中熟 记双曲线的渐近线方程的形式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于 基础题. 6.命题 p:“ ,有 成立.”则命题 p 的否定是( ) A. ,有 成立. B. ,有 成立. C. ,有 成立. D. ,有 成立. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据全称命题与存在性命题互为否定关系,准确改写,即可求解. 【详解】由题意,根据全称命题与存在性命题的关系,可得命题 p:“ ,有 成立.”则命题 p 的否定是“ ,有 成立”. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了全称命题与存在性命题的关系,其中解答中熟记全称命题与存在性 命题互为否定关系,准确改写是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题. 7.不等式 成立的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 2 3 by x xa = ± = ± 2 3 0x y± = [0, )x∀ ∈ +∞ 0x x+ ≥ : ( ,0)p x¬ ∀ ∈ −∞ 0x x+ < : ( ,0)p x¬ ∀ ∈ −∞ 0x x+ ≥ : [0, )p x¬ ∃ ∈ +∞ 0x x+ < : [0, )p x¬ ∃ ∈ +∞ 0x x+ ≥ [0, )x∀ ∈ +∞ 0x x+ ≥ : [0, )p x¬ ∃ ∈ +∞ 0x x+ < 0a b> > 2 2 0a b> > 3 3 0a b> > 1 1 1b a > > 1 1 1a b > >根据不等式的基本性质,结合充分条件、必要条件的判定方法,逐项判定,即可求解,得到 答案. 【详解】由题意,当 时,可得 成立,反之:当 时, 不一定成立,所以 是 成立的必要不充分条件; 当 时,可得 成立,反之:当 时, 一定成立,所以 是 成立的充要条件; 当 时,根据实数性质可得 ,但 不一定成立;反之:当 成立时,可得 且 ,所以 成立, 所以 是 成立的充分不必要条件; 当 时,根据实数性质可得 ,但 不一定成立;反之:当 成立时,可得 且 ,所以 成立, 所以 是 成立的既不充分也不必要条件; 故选:C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定,以及不等式的性质的应用,其中解答 中熟记不等式的基本性质,熟练应用充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键,着重考 查了推理与论证能力,属于基础题. 8.已知抛物线 的焦点为 F,它的准线与对称轴交点为 A,若 C 上一点 P 满 足横坐标与纵坐标之比为 ,且 的面积为 ,则点 P 的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 0a b> > 2 2 0a b> > 2 2 0a b> > 0a b> > 2 2 0a b> > 0a b> > 0a b> > 3 3 0a b> > 3 3 0a b> > 0a b> > 3 3 0a b> > 0a b> > 0a b> > 1 1 0b a > > 1 1 1b a > > 1 1 1b a > > 0, 0a b> > 1 1 0a b b a ab −− = > 0a b> > 1 1 1b a > > 0a b> > 0a b> > 1 1 0b a > > 1 1 1a b > > 1 1 1a b > > 0, 0a b> > 1 1 0b a a b ab −− = > 0b a> > 1 1 1b a > > 0a b> > 2: 2 ( 0)C y px p= > 3 PAF∆ 2 3 ( 6, 2) (2 3,2) (6 2,2 6) (12,4 3)【分析】 设为 ,代入抛物线的方程,求得 ,得到 ,根据 的 面积,解得 ,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,抛物线 的焦点 ,它的准线与对称轴交点 ,因为抛物线 C 上一点 P 满足横坐标与纵坐标之比为 ,可设为 , 代入抛物线的方程,可得 ,解得 ,即 , 又由 的面积为 ,即 ,解得 , 所以点 . 故选:C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程,及其简单的几何性质的应用,其中解答中熟记 抛物线的标准方程,合理应用抛物线的几何性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力, 属于基础题. 9.已知函数 ,设 , ,则数列 满足:① ;② ; ③数列 是递增数列;④数列 是递减数列.其中正确的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得数列的通项公式 ,化简为 ,即可得到 ,再由 , 得到 ,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,函数 ,设 , ,即 , 因为 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以②正确; 又由 ,即 ,所以数列 是递 增数列,所以③正确. ( 3 , )P a a 2 3a p= (6 ,2 3 )P p p PAF∆ 2p = 2: 2 ( 0)C y px p= > ( ,0)2 pF ( ,0)2 pA − 3 ( 3 , )P a a 2 2 3a p a= × 2 3a p= (6 ,2 3 )P p p PAF∆ 2 3 1 2 3 2 32 p p× = 2p = (6 2,2 6)P 1( ) xf x x −= ( )na f n= ( )n N+∈ { }na 1na > 1na < { }na { }na 1 n na n −= 11na n = − 1na < 1 0n na a+ − > 1n na a+ > 1( ) xf x x −= ( )na f n= ( )n N+∈ 1 n na n −= 1 11n na n n −= = − n N +∈ 1 0n > 1na < 1 1 1 1 1 11 1 01 1 ( 1)n na a n n n n n n+ − = − − + = − = >+ + + 1n na a+ > { }na故选:B. 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式,以及数列的单调性的判定,其中解答中熟练应用 数列的通项公式,熟练数列的单调性的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力, 属于基础题. 10.已知实数 x,y 满足: 且 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ,得出 ,结合不等式的性质,即可 求解,得到答案. 【详解】由题意,设 ,整理得 , 可得 ,解得 ,即 , 又由 且 ,则 , 所以 ,即 . 故选:B. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用,其中解答中得出 ,再结合不等式的性质求解是解答的关键,着重考查了推理与运算 能力,属于中档试题. 11.若 满足 ,则关于 的最小值说法正确的是( ) A. 当且仅当 时,取得最小值 25. B. 当且仅当 , 时,取得最小值 26. C. 当且仅当 时,取得最小值 20. 5 5x y− < + < 3 3x y− < − < 3x y− 16 3 16x y− < − < 11 3 11x y− < − < 4 3 4x y− < − < 13 3 13x y− < − < 3 ( ) ( )x y m x y n x y− = + + − 3 ( ) 2( )x y x y x y− = + + − 3 ( ) ( )x y m x y n x y− = + + − 3 ( ) ( )x y m n x m n y− = + + − 3 1 m n m n + =  − = − 1, 2m n= = 3 ( ) 2( )x y x y x y− = + + − 5 5x y− < + < 3 3x y− < − < 6 2( ) 6x y− < − < 11 ( ) 2( ) 11x y x y− < + + − < 11 3 11x y− < − < 3 ( ) 2( )x y x y x y− = + − − ,a b R+∈ 2 3 1a b+ = 2 3 a b + 1 5a b= = 1 4a = 1 6b = 1 4a b= =D. 当且仅当 , 时,取得最小值 19. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 ,结合基本不等式,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,因为 满足 , 则 , 当且仅当 ,即 时,又由 ,解得 时等号成立, 即当且仅当 时,取得最小值 25. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题,其中解答中合理利用基本不等式 的“1”的代换求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 12.如图,双曲线 C 的焦点是 , ,顶点是 , ,点 P 在曲线 C 上,圆 O 以线段 为直径.点 M 是直线 与圆 O 的切点,且点 M 是线段 的中点,则双曲线 C 的离心率是( ) A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 1 5a = 1 3b = 2 3 2 3 6 6( )(2 3 ) 4 9 b aa ba b a b a b + = + + = + + + ,a b R+∈ 2 3 1a b+ = 2 3 2 3 6 6 6 6( )(2 3 ) 4 9 13 2 25b a b aa ba b a b a b a b + = + + = + + + ≥ + ⋅ = 6 6b a a b = a b= 2 3 1a b+ = 1 5a b= = 1 5a b= = 1F 2F 1A 2A 1 2A A 1FP 1FP 2 3 5连接 ,根据圆的性质,可得 ,又由 分别为 的中点, 得到 ,且 ,再由双曲线的定义,得到 ,利用勾股定 理得到 的方程,即可求解. 【详解】由题意,连接 , 根据圆的性质,可得 ,又由 分别为 的中点, 所以 ,则 ,且 , 又由双曲线的定义,可得 ,所以 , 在直角 中, ,即 , 整理得 ,所以 . 故选:D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义应用,离心率的求解,以及圆的性质的应用,其中解 答中合理利用圆的性质和双曲线的定义,利用勾股定理列出关于 的方程是解答的关键,着 重考查了转化思想,以及推理与计算能力,属于基础题. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在相应位置上.) 13.抛物线 的准线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先将抛物线化为标准方程,进而可得出准线方程. 2,OM PF 1OM PF⊥ ,O M 1 2 1,F F PF 1 2PF PF⊥ 2 2 2PF OM a= = 1 4PF a= ,a c 2,OM PF 1OM PF⊥ ,O M 1 2 1,F F PF 2/ /OM PF 1 2PF PF⊥ 2 2 2PF OM a= = 1 2 2PF PF a− = 1 2 2 4PF PF a a= + = 1 2PF F∆ 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F+ = 2 2 2(4 ) (2 ) (2 )a a c+ = 2 25a c= 5ce a = = ,a c 22y x= 1 8y = −【详解】因为抛物线 的标准方程为: , 因此其准线方程为: . 故答案为 【点睛】本题主要考查抛物线的准线,熟记抛物线的标准方程即可,属于基础题型. 14.空间向量 , ,若 ,则 x,y 的值分别为_______ . 【答案】 【解析】 【分析】 根据 ,得到 ,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,向量 , , 因为 ,则满足 ,解得 . 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示,以及共线向量的条件,其中解答中熟记共线向量 的坐标表示是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题. 15.关于函数 , .有下列命题: ①对 ,恒有 成立. ② ,使得 成立. ③“若 ,则有 且 .”的否命题. ④“若 且 ,则有 .”的逆否命题. 其中,真命题有_____________.(只需填序号) 【答案】①②③ 【解析】 22y x= 2 1 2x y= 1 8y = − 1 8y = − (1, 2, 3)a = − ( , ,3)b x y= / /a b  3, 2 3x y= = − / /a b  3 1 2 3 x y= =− (1, 2, 3)a = − ( , ,3)b x y= / /a b  3 1 2 3 x y= =− 3, 2 3x y= = − 3, 2 3x y= = − 2( ) ( 1)f x x= − 2( ) 2g x x x= − − x R∀ ∈ ( ) ( )f x g x> 1 2,x x R∃ ∈ ( ) ( )1 2f x g x< ( ) ( )f a g b> 0a < 0b > 0a < 0b > ( ) ( )g a f b 1 21, 1x x= = − ( ) ( )1 2f x g x< ( ) ( ) ( ) 2 2 2( 1) ( 2 ) 2 1 0h x f x g x x x x x= − = − − − − = + > ( ) ( )f x g x> x R∀ ∈ ( ) ( )f x g x> 1 21, 1x x= = − (1) 0, ( 1) 1f g= − = ( ) ( )1 2f x g x< 1 2,x x R∃ ∈ ( ) ( )1 2f x g x< 0a < ( ) 2( 1)f a a= − ( ,0)a∈ −∞ ( ) ( )0 1f a f> = 0b > 2 2( ) 2 ( 1) 1g b b b b= − +− − += (0, )+∞ (( 0) 0)gg b < = 0a < 0b > ( ) ( )g a f b> 0a < 0b > ( ) ( )g a f b> ( ) ( )f a g b> 0a < 0b > ( ) ( )f a g b> 0a < 0b > A B C D′ ′ ′ ′ S阴影 A B C D′′ ′′ ′′ ′′ S内 10a b+ = S S⋅阴影 内【答案】 或 【解析】 【分析】 设 ,其中 ,求得 ,根据图形求得 和 的表 达式,得到 ,利用基本不等式,即可求解. 【详解】由题意,设 ,其中 , 又由 ,联立方程组可得 , 又由阴影部分的三角形为直角边分别为 的直角三角形, 所以阴影部分的面积为 , 最内正方形 的边长为 ,所以面积为 , 则 ,当且仅当 时,即 时等号成立, 当 时, ; 当 时, . 10 5 2 2 10 5 2 2 a b  += − = 10 5 2 2 10 5 2 2 a b  −= + = a b t− = 10 10t− < < 10 10,2 2 t ta b + −= = S阴影 S内 2 2 212 ( ) (100 )2S S ab a b t t⋅ = − = − ⋅阴影 内 a b t− = 10 10t− < < 10a b+ = 10 10,2 2 t ta b + −= = ,a b 14 22S ab ab= × =阴影 A B C D′′ ′′ ′′ ′′ −a b 2( )S a b= −内 2 2 2 210 10 12 ( ) 2 (100 )2 2 2 t tS S ab a b t t t + −⋅ = − = × × × = − ⋅阴影 内 2 2 21 100( ) 12502 2 t t− +≤ ⋅ = 2 2100 t t− = 5 2t = ± 5 2t = 10 5 2 10 5 2,2 2a b + −= = 5 2t = − 10 5 2 10 5 2,2 2a b − += =故答案为: 或 . 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,其中解答中认真审题,得到 的表达式, 合理利用基本不等式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档 试题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、或演算步骤.) 17.如图,建立空间直角坐标系 .单位正方体 顶点 A 位于坐标原点, 其中点 ,点 ,点 . (1)若点 E 是棱 的中点,点 F 是棱 的中点,点 G 是侧面 的中心,则分别求出 向量 , , .的坐标; (2)在(1) 条件下,分别求出 ; 的值. 【 答 案 】 ( 1 ) ; ; ; ( 2 ) ; . 【解析】 【分析】 (1)根据空间向量的坐标表示,求得 的坐标,即可求得向量 , , 的坐 标,得到答案; (2)由(1)得到向量的坐标,利用向量的数量积的坐标运算公式和模的计算公式,即可求解, 的 10 5 2 2 10 5 2 2 a b  += − = 10 5 2 2 10 5 2 2 a b  −= + = S S⋅阴影 内 Oxyz —ABCD A B C D′ ′ ′ ′ (1,0,0)B (0,1,0)D (0,0,1)A′ B C′ ′ B B′ CDD C′ ′ OE OG FG ( )OE OG FG+ ⋅   | |EG 11, ,12OE  =     1 1,1,2 2OG  =     1 ,1,02FG  = −    3( ) 4OE OG FG+ ⋅ =   3| | 2EG = , , ,O E F G OE OG FG得到答案. 【详解】(1)因为点 E 是棱 的中点,点 F 是棱 的中点,点 G 是侧面 的中心, 可得 , 所以 ; ; ; (2)由(1)可得 ; 又由 ,所以 . 【点睛】本题主要考查了空间的坐标表示,以及空间向量的数量积的运算,以及模的求解, 其中解答中正确求解向量的坐标,熟练应用向量的数量积的坐标运算公式和模的计算公式, 准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 18.已知函数 . (1)关于 x 的一元二次方程 的两个根是 , ,当 时,求实 数 m 的取值范围; (2)求关于 x 的不等式 的解集. 【答案】(1) ; (2)当 时,解集为 ;当 时,解集 ;当 时,解集 . 【解析】 B C′ ′ B B′ CDD C′ ′ 1 1 1 1(0,0,0), (1, ,1), (1,0, ), ( ,1, )2 2 2 2O E F G 11, ,12OE  =     1 1,1,2 2OG  =     1 ,1,02FG OG OF  = − = −      3 3 3 1 3 1 3 3 3( ) , ,1,0 ( ) 1 02 2 2 2 2 2 2 2 4OE OG FG    + ⋅ = ⋅ ⋅ − = × − + × + × =          1 1 1( , , )2 2 2EG = − − 2 2 21 1 1 3| | ( ) ( ) ( )2 2 2 2EG = − + + = 2( ) 2 4f x x x= − − 2( ) 2 3 0f x mx m+ + = 1x 2x 1 22x x< < ( ) 2 4 4 0f x mx m+ − + > 2( 2, )3 − 1m = − ( ,2) (2, )−∞ ∪ +∞ 1m > − ( , 2 ) (2, )m−∞ − ∪ +∞ 1m < − ( ,2) ( 2 , )m−∞ ∪ − +∞【分析】 (1)设 ,结合二次函数的图象与性质,得到 ,即可求 解,得到答案; (2)关于 的不等式可化为 ,分类讨论,即可求解. 【详解】(1)由题意,设 , 若方程 的两个根满足 , 结合二次函数的图象与性质,可得只需 ,即 , 解得 ,即实数 m 的取值范围是 . (2)关于 的不等式 ,可得 , 即 , ①当 时,可得 ,解得 ,所以不等式的解集为 ; ②当 时,解得 或 ,所以不等式的解集 ; ③当 时,解得 或 ,所以不等式的解集 . 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用,以及一元二次不等式的解法,其中 解答熟练应用一元二次函数的图象与性质,以及熟记应用一元二次不等式的解法是解答的关 键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 19.已知 满足 ,且 . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ,则求出数列 的前 n 项和 . 【答案】(1) ; (2) . 【解析】 【分析】 2 2( ) 2( 1) 4 3g x x m x m= + − − + (2) 0g < x ( 2)( 2 ) 0x x m− + > 2 2 2( ) ( ) 2 3 2( 1) 4 3g x f x mx m x m x m= + + = + − − + 2( ) 2 3 0f x mx m+ + = 1 22x x< < (2) 0g < 23 4 4 0m m+ − < 22 3m− < < 2( 2, )3 − x ( ) 2 4 4 0f x mx m+ − + > 2 2( 1) 4 0x m x m+ − − > ( 2)( 2 ) 0x x m− + > 1m = − 2( 2) 0x − > 2x ≠ ( ,2) (2, )−∞ ∪ +∞ 1m > − 2x m< − 2x > ( , 2 ) (2, )m−∞ − ∪ +∞ 1m < − 2x < 2x m> − ( ,2) ( 2 , )m−∞ ∪ − +∞ { }na 1 1 n n a n a n + = + 1 1a = { }na 2 n n ab n = + { }nb nS 1 na n = 3 4 2( 1)( 2 2 3 )nS n n n= + +− +(1)由 ,且 ,得到 ,即可求解; (2)由 ,利用裂项法,即可求解. 【详解】(1)由题意,数列 满足 ,且 , 可得 , 即数列 通项公式为 . (2)由 , 所以 . 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解,以及数列的“裂项法”求和,其中解答中 数列利用数列的递推关系式,合理利用“累积法”和“裂项法”求解是解答的关键,着重考 查了推理与运算能力,属于基础题. 20.过抛物线 焦点 F 作倾斜角为 的直线,交抛物线于 A,B 两点,点 A 在 x 轴上方. (1)当线段 AB 中点的纵坐标是 2 时,求抛物线的方程; 的 1 1 n n a n a n + = + 1 1a = 32 1 1 2 1 n n n a aaa a a a a − = × × × × 1 1 1 1 ( 2) 2 2nb n n n n  = = − + +  { }na 1 1 n n a n a n + = + 1 1a = 32 1 1 2 1 1 21 2 1 3 1n n n a naaa a na na a − = × × × × = × × −× × =  1 na n = 1 1 1 1 ( 2) 2 2nb n n n n  = = − + +  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 5 1 1 2nS n n n n           = × − + − + − +…+ − + −          − + +           1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 2 3[ ]2 1 2 1 2 2 2 ( 1)( 2) 4 2( 1)( 2) n n n n n n n n + + = + + − − = ⋅ − = − + + + + + +  2 2 ( 0)y px p= > 4 π(2)求 的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)求得抛物线的焦点坐标,设直线 ,联立方程组,运用韦达定理和中点公 式,求得 的值,即可得到抛物线的标准方程; (2)设直线 ,联立方程组,解方程求得交点的纵坐标,再由抛物线的定义, 化简即可求解. 【详解】(1)由题意,设 , ,直线 , 则由 ,整理得 ,可得 , 因为线段 中点的纵坐标是 2,可得 ,解得 , 所以抛物线的方程为 . (2)由 ,可得 ,解得 , , 由抛物线的方程,可得 , 由抛物线定义 . 的 AF BF 2 4y x= 3 2 2+ : 2 pAB x y= + p : 2 pAB x y= + 2 1 1,2 yA yp       2 2 2,2 yB yp       : 2 pAB x y= + 2 2 2 px y y px  = +  = 2 22 0y py p− − = 1 2 2y y p+ = AB 1 2 2 4y y p+ = = 2p = 2 4y x= 2 2 2 px y y px  = +  = 2 22 0y py p− − = 1 ( 2 1)y p= + 2 ( 2 1)y p= − 2 2 1 2 1 2,2 2 y yx xp p = = 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 2 2 2 2 2 y p y pAF p y pBF y p y + + += = = = ++ −+【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程以及简单的几何性质的应用,其中解答中设出 直线的方程,联立方程组,合理利用根与系数的关系是解答的关键,着重考查了推理与运算 能力,属于基础题. 21.已知数列 的前 n 项和 .数列 是等比数列,且 , . (1)分别求出数列 , 的通项公式; (2)若 ,则求出数列 的前 n 项和 . 【答案】(1) ; (2) 【解析】 【分析】 (1)运用数列的递推式 ,化简可得 ,再由 是等比数列, 结合等比数列的通项公式,即可求解; (2)求得 ,利用乘公比错位相减法,即可求得数列的前 项和,得到答案. 【详解】(1)由题意,数列 的前 n 项和 , 当 时,可得 , 当 时, , 当 时, 适合上式, 所以数列的通项公式为 , 又由 , . { }na 2 2nS n n= + { }nb 1 1 2b a= − 2 2 3b a= − { }na { }nb n n n ac b = { }nc nT 2 1na n= + 12n nb −= 1 2 510 2n n nT − += − 11 1 2), (n n na nS a S S −= ≥−= na { }nb 1 2 1 2 n n n n a nc b − += = n { }na 2 2nS n n= + 1n = 11 21 2 3Sa == + = 2n ≥ 2 2 1 2 ( 1) 2( 1) 2 1n n na S S n n n n n−− = + − − − − = += 1n = 1 3a = 2 1na n= + 1 1 2 1b a= − = 2 2 3 2b a= − =因为数列 是等比数列,即数列 构成首项为 ,公比为 等比数列, 所以 的通项公式为 . (2)由 ,则数列 的前 n 项和 ,可得 ; 则 , 两式相减,可得 , 所以 . 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用,以及“错位相减法”求和的应用,此类题 目是数列问题中的常见题型,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是 在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数,能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计 算能力等. 22.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 , ,短半轴长为 2. (1)求椭圆 E 的标准方程; 的{ }nb { }nb 1 2q = { }nb 12n nb −= 1 2 1 2 n n n n a nc b − += = { }nc nT 0 1 2 n 1 3 5 7 2n 1 2 2 2 2nT − += + + +…+ 1 2 3 n 1 3 5 7 2n 1 2 2 2 2 2nT += + + +…+ 1 2 1 1 3 1 1 1 2 122 1 2 2 2 2n n n nT − + = + + +…+ −   n 1 n n 1 n n 1 1(1 ) 2n 1 2 2n 1 2n 52 23 2 5 51 2 2 2 21 2 − − − + + += + ⋅ − = − − = − − 1 2 510 2n n nT − += − 1( 1,0)F − 2 (1,0)F(2)过焦点 的直线 l 交椭圆 E 于 A,B 两点,满足 ,求直线 l 的方程. 【答案】(1) ;(2) 或 . 【解析】 【分析】 (1)由题意,求得 , ,得到 ,即可求得椭圆的标准方程; (2)设直线 ,设 ,联立方程组,求得 ,再根据 ,代入直线的方程得到 ,代入求得 的值,即 可求解. 【详解】(1)由题意,椭圆 E 的两个焦点分别为 , ,短半轴长为 2, 可得 , ,则 , 所以椭圆 E 的标准方程 ; (2)由题意知直线 与 轴不重合,设直线 ,设 , 联立方程组 ,整理得 , 可得 , , 又由 ,则 ,得 , 代入直线可得 ,即 , 代入可得 ,解得 , 所以直线 的方程为 , 即直线 的方程为: 或 . 2F 1 1F A F B⊥  2 2 15 4 x y+ = 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − = 1c = 2b = 2 2 5a b c= + = : 1l x ny= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 2,y y y y+ 1 1F A F B⊥  ( ) ( )2 1 2 1 2n 1 y y 2n y y 4 0+ + + + = n 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 1c = 2b = 2 2 5a b c= + = 2 2 15 4 x y+ = l x : 1l x ny= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 24 5 20 1 x y x ny  + =  = + ( )2 24 5 8 16 0n y ny+ + − = 1 2 2 8n 4n 5y y+ = − + 1 2 2 16 4n 5y y = − + 1 1F A F B⊥  1 1 0F A F B⋅ =  ( ) ( )1 1 2 21, 1, 0x y x y+ ⋅ + = ( ) ( )1 1 2 22, 2, 0ny y ny y+ ⋅ + = ( ) ( )2 1 2 1 2n 1 y y 2n y y 4 0+ + + + = ( )2 2 2 16 8nn 1 ( ) 2n ( ) 4 04n 5 4n 5 + − + × − + =+ + 2 1 4n = l 1 12x y= ± + l 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − =【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解 答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程,应用一元二次方程根与系数的关 系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的 逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

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