天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
专题五 平面向量
第十四讲 向量的应用
答案部分
2019 年
1.解析 设 ，
，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
2.解析：正方形ABCD的边长为1，
可得 ， ， ，
,
由于 2，3，4，5， 取遍 ，
可得 ， ，
可取 ，可得所求最小值为 0；
( )2AD AB AAO C
λλ= = +
1( ) (1 ) 3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC
µµ µ µ µ µ−= + = + = + − = − + = +
1
2 3
2
λ µ
λ µ
− =
=
1
2
1
4
λ
µ
=
=
1 1 ( )2 4AO AD AB AC= = + 1
3EC AC AE AB AC= − = − +
2 21 1 3 1 26 6 ( ) ( ) ( )4 3 2 3 3AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC⋅ = × + × − + = − + ⋅ + =
2 21 3
2 2AB AB AC AC− + ⋅ +
2 21 3
2 2AB AC AB AB AC AC⋅ = − + ⋅ + 2 21 3
2 2AB AC=
2
2 3AB
AC
=
3AB
AC
=
AB AD AC+ = BD AD AB= − 0AB AD⋅ =
1 2 3 4 5 6| |AB BC CD DA AC BDλ λ λ λ λ λ+ + + + +
1 2 3 4 5 5 6 6| |AB AD AB AD AB AD AD ABλ λ λ λ λ λ λ λ= + − − + + + −
1 3 5 6 2 4 5 6| ( ) ( ) |AB ADλ λ λ λ λ λ λ λ= − + − + − + +
2 2
1 3 5 6 2 4 5 6( ) ( )λ λ λ λ λ λ λ λ= − + − + − + +
( 1,2,3,4,5,6)i iλ = 1±
1 3 5 6 0λ λ λ λ− + − = 2 4 5 6 0λ λ λ λ− + + =
5 6 1 3 2 41, 1, 1, 1λ λ λ λ λ λ= = = = = − =
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
由 ， ，
可取 可得所求最大值为 ．
3.解析 因为 ， ， ，所以在等腰三角形 中， ，
又 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
又 ，
所以
.
2010-2018 年
1．A【解析】以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形 中， ， ，
所以 ， ， ，设 , ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
1 3 5 6 4λ λ λ λ− + − = 2 4 5 6 4λ λ λ λ− + + =
2 4 5 6 1 31, 1, 1, 1, 1,λ λ λ λ λ λ= = − = = = = − 2 5
AB BE= //AD BC 30A∠ = ABE 120BEA∠ =
2 3AB = 2AE = 2
5BE AD= −
AE AB BE= + 2
5AE AB AD= −
BD BA AD AB AD= + = − +
( ) 2 22 7 2
5 5 5BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⋅ = − + ⋅ − = − + ⋅ − =
2 27 2cos5 5AB AB AD A AD− + ⋅ − = 7 3 212 5 2 3 25 15 2 5
− + × × × − × = −
y
x
BA
D
E
C
A AB x
ABCD 1AB AD= = 120BAD∠ = °
(0,0)A (1,0)B 1 3( , )2 2D − (1, )C m ( , )E x y
3 3( , )2 2DC m= − 1 3( , )2 2AD = −
AD CD⊥ 3 3 1 3( , ) ( , ) 02 2 2 2m − ⋅ − =
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
即 ，解得 ，即 ，
因为 在 上，所以 ，由 ，
得 ，即 ，
因为 ， ，
所以
，令 ， ．
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递
增，所以 ．
所以 的最小值为 ，故选 A．
2．A【解析】解法一 设 为坐标原点， ， ， ，
由 得 ，即 ，所以点 的轨迹是
以 为圆心，l 为半径的圆．因为 与 的夹角为 ，所以不妨令点 在射线
( )上，如图，
y= 3x
O C
B
A
y
x
3 1 3 3( ) ( ) 02 2 2 2m× − + − = 3m = (1, 3)C
E CD 3 32 y≤ ≤ CE CDk k=
333 2
11 1 2
y
x
−− =− +
3 2x y= −
( , )AE x y= ( 1, )BE x y= −
2 2 2 2( , ) ( 1, ) ( 3 2) 3 2AE BE x y x y x x y x y y⋅ = ⋅ − = − + = − − + +
24 5 3 6y y= − + 2( ) 4 5 3 6f y y y= − + 3[ , 3]2y∈
2( ) 4 5 3 6f y y y= − + 3 5 3[ , ]2 8
5 3[ , 3]8
2
min
5 3 5 3 21( ) 4 ( ) 5 3 68 8 16f y = × − × + =
⋅ AE BE 21
16
O OA= a ( , )OB x y= =b = (1,0)e
2 4 3 0− ⋅ + =b e b 2 2 4 3 0x y x+ − + = 2 2( 2) 1x y− + = B
(2,0)C a e 3
π
A
3y x= 0x >
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
数形结合可知 ．故选 A．
解法二 由 得 ．
设 ， ， ，所以 ， ，
所以 ，取 的中点为 ．则 在以 为圆心， 为直径的圆上，如
图．
设 ，作射线 ，使得 ，所以
．故选 A．
3．A【解析】如图建立直角坐标系，
则 ， ， ， ，由等面积法可得圆的半径为 ，
所以圆的方程为 ，
所以 ， ， ，
由 ，得 ，所以 = ，
设 ，即 ，
点 在圆上，所以圆心到直线 的距离小于半径，
E FO C
BA
y
x
P
A
B C
D
min| | | | | | 3 1CA CB− = − = − a b
2 4 3 0− ⋅ + =b e b 2 24 3 ( ) ( 3 ) 0− ⋅ + = − ⋅ − =b e b e b e b e
OB= b OE= e 3 OF= e EB− = b e 3 FB− b e =
0EB FB⋅ = EF C B C EF
OA= a OA 3AOE
π∠ = | | | ( 2 ) (2 ) |− = − + − ≥a b a e e b
| ( 2 ) | | (2 ) | | | | | 3 1CA BC− − − = − − ≥a e e b
(0,1)A (0,0)B (2,1)D ( , )P x y 2
5
2 2 4( 2) 5x y− + =
( , 1)AP x y= − (0, 1)AB = − (2,0)AD =
AP AB ADλ µ= + 2
1
x
y
µ
λ
=
− = −
λ µ+ 12
x y− +
12
xz y= − + 1 02
x y z− + − =
( , )P x y 1 02
x y z− + − =
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
所以 ，解得 ，所以 的最大值为 3，
即 的最大值为 3，选 A．
4．B【解析】如图，以 为 轴， 的垂直平分线 为 轴， 为坐标原点建立平
面直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
，
当 时，所求的最小值为 ，故选 B．
5．C【解析】如图所示，四边形 是正方形， 为正方形的对角线的交点，易得
，而 ，∴ 与 为钝角， 与 为锐
角．根据题意
，∴ ，同理 ．
做 于 ，又 ．
∴ ，而 ，
∴ ，而 ，
∴ ，即 ，
∴ ，选 C．
y
xD
P CB
A
| 2 | 2
1 514
z−
+
≤ 1 3z≤ ≤ z
λ µ+
BC x BC DA y D
(0, 3)A ( 1,0)B − (1,0)C ( , )P x y
( , 3 )PA x y= − − ( 1 , )PB x y= − − − (1 , )PC x y= − −
( 2 , 2 )PB PC x y+ = − −
2 2( ) 2 2 ( 3 ) 2 2(PA PB PC x y y x y⋅ + = − − = + − 23 3 3)2 2 2
− −≥
3(0, )2P 3
2
−
ABCE F
AO AF< 90AFB∠ = AOB∠ COD∠ AOD∠ BOC∠ 1 2 ( )I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA− = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅ = | || | cos 0OB CA AOB∠
AG BD⊥ G AB AD=
OB BG GD OD< = < OA AF FC OC< = < | | | | | | | |OA OB OC OD⋅ < ⋅ cos cos 0AOB COD∠ = ∠ < OA OB OC OD⋅ > ⋅
1 3I I>
3 1 2I I I< a b | |0 cos 1| |
θ< 1 1 2c d
+ < 1 1 2c d + = 0, 0c d< < 1 1 c d + 1 1 2c d + = 1c > 0d < 1 1c < 1 0d < 1 1 1c d + < 1 1 2c d + = 3− (0, )E t (0, 2)±F t (1, ) ( 2, 2)⋅ = ⋅ − ± AE BF t t 2 22 ( 2) 2 2 ( 1) 3= − + ± = ± − = ± −t t t t t 1= ±t AE BF⋅ 3− [ 5 2,1]− ( , )P x y 20PA PB⋅ ≤ 2 5 0x y− + ≤ 2 5 0x y− + ≤ P MN 2 2 2 5 0 50 x y x y − + = + = (1,7)M ( 5, 5)N − − P [ 5 2,1]−
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
20． 【解析】 ， ,则
，
．
21． 【解析】由题意令 ， ， ，
则由 可得 ①，
令 ②
得 对一切实数 恒成立，
所以 ．
故 ．
故最大值为 ．
22． 【解析】由
．所以 ， ．
23． 【解析】 因为 ， ，
，
，
，
3
11
03 2 cos60 3AB AC⋅ = × × = 1 2
3 3AD AB AC= +
1 2 2 1 2( )( ) 3 4 9 3 43 3 3 3 3 3AD AE AB AC AC AB
λ λλ⋅ = + − = × + × − × − × = −
3
11
λ =
1
2 (1,0)=e (cos ,sin )α α=a (2cos ,2sin )β β=b
| | | | 6+ ae be |cos | 2 |cos | 6α β+
sin 2sin mα β+ =
2 2① +② 24[|cos cos | sin sin ] 1 mα β α β+ + ,α β
4[|cos cos | sin sin ] 1α β α β+
12(cos cos sin sin ) 2[|cos cos | sin sin ] 2
α β α β α β α β⋅ = + + a b
1
2
1
2
1
6- 1 1 1 1 ( )3 2 3 2MN MC CN AC CB AC AB AC = + = + = + −
1 1
2 6AB AC xAB yAC = − = + 1
2x = 1
6y = -
29
18
1
9DF DCλ= 1
2DC AB=
1 1 9 1 9
9 9 18CF DF DC DC DC DC AB
λ λ
λ λ λ
− −= − = − = =
AE AB BE AB BCλ= + = +
1 9 1 9
18 18AF AB BC CF AB BC AB AB BC
λ λ
λ λ
− += + + = + + = +
( ) 1 9
18AE AF AB BC AB BC
λλ λ
+ ⋅ = + ⋅ +
2 21 9 1 9118 18AB BC AB BC
λ λλ λλ λ
+ + = + + + ⋅
1 9 19 94 2 1 cos12018 18
λ λλλ λ
+ += × + + × × × °
2 1 17 2 1 17 2929 2 18 9 2 18 18
λ λλ λ= + + ≥ ⋅ + =
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
当且仅当 即 时的最小值为 ．
24． 【解析】
，因此 ．
25． 【解析】因为 ，菱形的边长为 2，所以 .
因为 ，由 ，
所以 ，解得 ．
26． 【解析】设 ，由 ，得 ，向量
，故
的最大值为圆 上的动点到点 距离的最大值，
其最大值为圆 的圆心 到点 的距离加上圆的半径，
即 ．
27． 【解析】以 为坐标原点， ， 所在的直线分别为 ， 轴建立直角坐标
系，则 ， ， ， ．设 (0≤ ≤ )，
由 ，∴ ， =( (1 ,2)= ．
28． 【解析】如图过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，过 C 作 y 轴的垂线，
垂足为 A，根据题意可知圆滚动了 2 个单位的弧长，
BA
D C
E
F
2 1
9 2
λλ = 2
3
λ = 29
18
9 3 1
( 1) ( 1)(cos ,sin cos ) (cos ,sin6 6 6 6 6k k
k k k k ka a
π π π π π
+
+ +⋅ = + ⋅ +
( 1)cos )6
k π+ 2 ( 1) 3 3 2cos sin cos cos sin6 6 6 6 4 6
k k k kπ π π π π π π+ + += + + = + +
1 (2 1)cos2 6
k π+ 11
1
0
3 3 12 9 34k k
k
a a +
=
⋅ = × =∑
2 120BADÐ = 2AB AD× = -
1 1
3AE AF AB AD AD ABλ
æ ö æ ö÷ ÷ç ç× = + × +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
1AE AF× =
4 4 12(1 ) 13 3λ λ+ − + = 2λ =
1 7+ ( , )D x y | | 1CD = 2 2( 3) 1x y− + =
OA OB OD+ + ( 1, 3)x y= − + 2 2| | ( 1) ( 3)OA OB OC x y+ + = − + +
2 2( 3) 1x y− + = (1, 3)−
2 2( 3) 1x y− + = (3,0) (1, 3)−
2 2(3 1) (0 3) 1 1 7− + + + = +
2 A AB AD x y
( 2,0)B ( 2,1)E (0,2)D ( 2,2)C ( ,2)F x x 2
2 1AB AF x⋅ = ⇒ = (1,2)F AE BF
)1,2 ⋅ − 2 2
(2 sin 2,1 cos2)− −
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
∴ ，可知 ，此时点 的坐标为
另解 1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为 ，
且 ，则点 P 的坐标为 ，
即 .
29． 【解析】根据已知得 ， ，
所以 （ ）= ．
30．【解析】(1)∵ ，∴ ，故 ，∴ ．
（2）∵ 与 的夹角为 ，∴ ，
故 ，又 ，∴ ， ，即 ．
故 的值为 ．
31．【解析】（Ⅰ）已知 ，
过点 ，∴
BA C
E D
P
2 cos(2 ) 2 sin 2,2Px
π= − − = − 1 sin(2 ) 1 cos2,2Py
π= + − = −
+=
+=
θ
θ
sin1
cos2
y
x
22
3,2 −==∠ πθPCD
−=−+=
−=−+=
2cos1)22
3sin(1
2sin2)22
3cos(2
π
π
y
x
)2cos1,2sin2( −−=OP
2PCD∠ = 2 2PCB
π∠ = −
1
4
− 1 ( )2AD AB AC= + 2
3BE AC AB= −
AD BE⋅ = 1 ( )2 AB AC+ ⋅ 2
3 AC AB− 1 2 1 1( 1 )2 3 3 4AB AC− − ⋅ = −
⊥m n 0⋅ =m n 2 2sin cos 02 2x x− = tan 1x=
m n 3
π
2 2sin cos 12 2cos , 1 1 2
x x−⋅< >= = =×
m nm n | m || n |
1sin( )4 2x
π− = (0, )2x
π∈ ( , )4 4 4x
π π π− ∈ −
4 6x
π π− = 5
12x
π
=
x 5
12
π
( ) sin2 cos2f x m x n x= ⋅ = +a b
)(xf )2,3
2(),3,12( −ππ
( ) sin cos 312 6 6f m n
π π π= + =
23
4cos3
4sin)3
2( −=+= πππ
nmf
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
∴
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意知
设 的图象上符合题意的最高点为
由题意知 ．所以 ，即到点 的距离为 1 的最高点为 ．
将其代入 得 ，
又∵ ，所以 ，
因此
由 ， 得
∴ 的单调增区间为 ．
32．【解析】（Ⅰ）∵ ，
且 ，∴ ，∵ ，∴解得 ．
所以 ．
（Ⅱ）∵ ，∴ ，∵ ，
， ，
∴ ，故 ．
33．【解析】（1） ＝ ，
＝
1 3 32 2
3 1 22 2
m n
+ =
− − = −
=
=
1
3
n
m
)62sin(22cos2sin3)(
π+=+= xxxxf
( ) ( ) 2sin(2 2 )6g x f x x
πϕ ϕ= + = + +
( )y g x= 0( ,2)x
2
0 1 1x + = 0 0x = (0,3) (0,2)
( )y g x= sin 2 16
πϕ + =
0 ϕ π< < 6 πϕ = ( ) 2sin 2 2cos22g x x x π = + = 2 2 2 ,k x k k Zπ π π− + ≤ ≤ ∈ zkkxk ∈≤≤+− ,2 πππ ( )f x [ , ],2 k k k π π π− + ∈Z 1cos , 3, cos 23 3 acB b BA BC ca B= = ⋅ = = = 2 2 2-cos 2 a c bB ac += c 6, 5a a c= + = a c> 3, 2a c= =
3, 2a c= =
1cos 3B = 2 2sin 3B = 3, 3, 2a b c= = =
2 2 2-c 7cos 2 9
a bC ab
+= = 4 2sin 9C =
23cos( - ) cos cos sin sin 27B C B C B C= + = 23cos( - ) 27B C =
−a b (cos cos ,sin sin )α β α β− −
2| |−a b 2 2(cos cos ) (sin sin )α β α β− + −
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
＝ ．
所以， ，所以， ．
（2） ，①2＋②2 得： ．
所以， ＝ ， ＝ ＋ ，
带入②得： ( ＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ( ＋ )＝1，
所以， ＋ ＝ ．所以， ＝ ， ＝ ．
34．【解析】由题意，抛物线 E 的焦点为 ，直线 的方程为 ．
由 得 ．
设 A，B 两点的坐标分别为 ， ，
则 、 是上述方程的两个实数根．
从而 ， ．
所以点 的坐标为 ， ．
同理可得点 的坐标为 ， ．
于是 ．
由题设，有 k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，
所以 ．
故 ．
(2)【解析】由抛物线的定义得 ， ，
所以 ，
从而圆 的半径 ．
故圆 的方程为 ．
ba ⊥
=+
=+
②1sinsin
①0coscos
βα
βα
π
3
2 π
3
2
π
3
2
2
3
3
π
3
π
2
π
6
5π
6
π
2 2(cos cos sin sin ) 2α β α β− ⋅ + ⋅ =
cos cos sin sin 0α β α β⋅ + ⋅ =
1cos( ) 2
α β− = −
α β− α β
sin β sin β cos β 1
2 sin β sin β
β α β
(0, )2
pF 1l 1 2
py k x= +
1
2
2
2
py k x
x py
= +
=
2 2
12 0x pk x p− − =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
1x 2x
1 2 12x x pk+ = 2
1 2 1 2 1( ) 2y y k x x p pk p+ = + + = +
M 2
1 1( , )2
ppk pk + 2
1 1( , )FM pk pk=
N 2
2 2( , )2
ppk pk + 2
2 2( , )FN pk pk=
2 2 2
1 2 1 2( )FM FN p k k k k⋅ = +
21 2
1 20 ( ) 12
k kk k
+< < = 2 2 2(1 1 ) 2FM FN p p⋅ < + = 1| | 2 pFA y= + 2| | 2 pFB y= + 2 1 2 1| | 2 2AB y y p pk p= + + = + M 2 1 1r pk p= + M 2 2 2 2 2 1 1 1( ) ( ) ( )2 px pk y pk pk p− + − − = +
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
化简得 ．
同理可得圆 的方程为 ．
于是圆 ，圆 的公共弦所在直线 的方程为 ．
又 k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则 l 的方程为 x＋2y＝0.
因为 p>0，所以点 到直线 l 的距离
故当 时， 取最小值 ．
由题设，得 ＝ ，解得 ．
故所求的抛物线 E 的方程为 ．
35．【解析】（I）由 ，
，及
又 ，所以 .
（II）
= .
当 所以
36．【解析】（1）由 ， ，
， ，
由已知得 = ．
化简得曲线 C 的方程： ．
（2）假设存在点 满足条件，则直线 的方程是 ， 的方程
是 ．
2 2 2 2
1 1
32 (2 1) 04x y pk x p k y p+ − − + − =
N 2 2 2 2
2 2
32 (2 1) 04x y pk x p k y p+ − − + − =
M N l 2 2
2 1 2 1( ) ( ) 0k k x k k y− + − =
M
2
2 2 1
1 1 1 1
1 7[2( ) ]| 2 | | 2 1| 4 8
5 5 5
p kpk pk p p k kd
+ ++ + + += = =
1
1
4k = − d 7
8 5
p
7
8 5
p 7 5
5 8p =
2 16x y=
2 2 2 2( 3sin ) (sin ) 4sina x x x= + =
2 2 2(cos ) (sin ) 1b x x= + = 2, 4sin 1a b x= =得
1[0, ], sin2 2x x
π∈ =从而
6x
π=
2( ) 3sin cos sinf x a b x x x= ⋅ = ⋅ +
3 1 1 1sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 6 2x x x
π− + = − +
[0. ] sin 2 - 1.3 2 6x x
π π π= ∈ 时， （ ）取最大值 3( ) .2f x 的最大值为
( 2 ,1 )MA x y= − − − (2 ,1 )MB x y= − −
2 2( 2 ) (2 2 )MA MB x y+ = − + − ( ) ( , ) (0,2) 2OM OA OB x y y⋅ + = ⋅ =
2 2( 2 ) (2 2 )x y− + − 2 2y +
2 4x y=
(0, )( 0)P t t > PA 1
2
ty x t
−= + PB
1
2
ty x t
−= +
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
曲线 C 在 Q 处的切线 的方程是 ，它与 轴的交点为
由于 ，因此 ．
①当 时， ，存在 ，使得 ．即 与直线
平行，故当 时不符合题意．
② 时， ，所以 与直线 一定相交．
分别联立方程组 ，解得 的横坐标分别是
， ，则
又 ，有 ，
又 ，
于是 = ，
对任 意 ，要使 为常数 ，即只 需 满足 ，解得
，此时 ，故存在 ，使得 与 的面积之比是常数
2．
37．【解析】由 知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设
①
再设
解得 ②
l
2
0 0
2 4
x xy x= − y
2
0(0, )4
xF −
02 2x− < < 01 12 x− < < 1 0t− < < 1 11 2 2 t −− < < − 0 ( 2,2)x ∈ − 0 1 2 2 x t −= l PA 1 0t− < < 1t − 01 1 ,2 2 xt − − l ,PA PB
0
2
0
1
2
2 4
ty x t
xxy x
− = +
= −
,D E
2
0
0
4
2( 1 )D
x tx x t
+= + −
2
0
0
4
2( 1)E
x tx x t
+= + −
2
0
2 2
0
4(1 ) ( 1)E D
x tx x t x t
+− = − − −
2
0
4
xFP t= − −
2 2
0
2 2
0
( 4 )1 1
2 8 ( 1)PDE E D
x ttS FP x x t x∆
+−= ⋅ ⋅ − = ⋅ − −
2 2
0 041 4 (1 )2 4 2QAB
x xS∆
−= ⋅ ⋅ − =
2 2 2
0 0
2 2
0
( 4) ( 1)4
1 ( 4 )
QAB
PDE
x x tS
S t x t
∆
∆
− − − = ⋅− +
4 2 2 2
0 0
4 2 2
0 0
4 ( 1) 4( 1)4
1 8 16
x t x t
t x tx t
− + − + − ⋅− + +
0 ( 2,2)x ∈ − QAB
PDE
S
S
∆
∆
t
2
2 2
4 ( 1) 8
4( 1) 16
t t
t t
− − − =
− =
1t = − 2QAB
PDE
S
S
∆
∆
= 1t = − QAB∆ PDE∆
MPQM λ=
.)1(),(),,(),,(),,( 2
0
2
0
22
0 yxyxyyxxxMyxQyxP λλλ −+=−=− 则则
),1,1().(,),,( 010111 yxyyxxQABQyxB −−=−−= λλ 即由
−+=
−+=
.)1(
,)1(
01
1
λλ
λλ
yy
xx
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
将①式代入②式，消去 ，得
③
又点 B 在抛物线 上，所以 ，再将③式代入 ，得
故所求点 P 的轨迹方程为
38．【解析】（1）（方法一）由题设知 ，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为 、 ．
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:
E 为 B、C 的中点，E（0，1）又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为 BC= 、AD= ；
（2）由题设知： =(－2,－1)， ．
由( )· =0，得： ，
从而 所以 ．
或者： ， ．
0y
−+−+=
−+=
.)1()1(
,)1(
22
1
1
λλλλ
λλ
yxy
xx
2xy = 2
11 xy = 2
11 xy =
.012),1(,0
.0)1()1()1(2
,)1(2)1()1()1(
,))1(()1()1(
22222
222
=−−+>
=+−+−+
++−+=−+−+
−+=−+−+
yx
yx
xxyx
xyx
得两边同除以因 λλλ
λλλλλλ
λλλλλλλλ
λλλλλλ
.12 −= xy
(3,5), ( 1,1)AB AC= = −
(2,6), (4,4).AB AC AB AC+ = − =
| | 2 10,| | 4 2.AB AC AB AC+ = − =
4 2 2 10
4 2 2 10
OC (3 2 ,5 )AB tOC t t− = + +
OCtAB − OC (3 2 ,5 ) ( 2, 1) 0t t+ + ⋅ − − =
5 11,t = − 11
5t = −
2
·AB OC tOC= (3,5),AB =
2
11
5| |
AB OCt
OC
⋅= = −
微信/支付宝扫码支付