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铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 满足 ，则在复平面内复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
5．命题“ ， ”的否定是（ ）
{ 1,0,1,2,3}A = − { }2| 2 0B x x x= − > A B =
{3} {2,3} { 1,3}− {0,1,2}
z 1
iz i
= + z
( 1,1)m λ= + ( 2,2)n λ= + ( ) ( )m n m n+ ⊥ − λ =
4− 3− 2− 1−
sin 2 3y x
π = − sin2y x=
3
π
3
π
6
π
6
π
x R∃ ∈ 2 2 1 0x x− +
x R∀ ∈ 2 2 1 0x x− + ≥ x R∀ ∈ 2 2 1 0x x− + < 5cm 4cm 2cm 248 25 62 125 63 125 25 248 A BCD− , , ,A B C D O BC CD⊥ AC ⊥ BCD 2 2AC = 2BC CD= = O 4π 8π 16π 2 2π 1( ) cos1 x x ef x xe −= + 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F 1F 3
π
y
A B、 1
1 ( )2OA OB OF= +
5 2 3+ 3
10．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余
三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记
为 ，例如 ．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的
等于（ ）
A．39 B．38 C．37 D．36
1l．已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 两点， 为抛物线的焦点，若 ，
为坐标原点，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
N m n
n NMODm= 2 11 3MOD= n
2 8y x= (1,0)M ,A B F | | 6AF = O
OAB
5 2 5 2
2
2 5
2 2 5
12．已知函数 ，函数 ，若方程 恰有三个实数解，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13．已知 展开式中 的系数是____________；
14．设不等式组 表示的平面区域为 ，若直线 经过区域 内的点，则实数 的取值
范围是_______；
15．在 中，角 的对边分别为 ， ， ，且 为锐角，则 面积
的最大值为______；
16．已知下列命题：
①函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
②若函数 在 上有两个零点，则 的取值范围是 ；
③当 时，函数 的最大值为 0；
④函数 在 上单调递减；
上述命题正确的是_________（填序号）．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（一）必考题：共 60 分．
2
1 , 0
( ) 1 2 , 02
xe x
f x
x x x
− ≥= +
X X
( )2
0P K k≥
0k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ABCD D
8 3 C F 60° D
C
,OP OQ C ,P Q
2
2
b
a
− POQ
ln( ) x xf x e a
= −
（1）若 在 上是减函数，求实数 的最大值；
（2）若 ，求证： ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．
22．选修 4—4：极坐标与参数方程（本题满分 10 分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 两点．求 ．
23．选修 4—5：不等式选讲（本题满分 10 分）
已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
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铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷
理科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D C A C A C B B D
( )f x [1,2] a
0 1a< < 2 ln( ) af x a +≥ xOy l 1 2 x t y t = + = t O x C 2sin 4cos 0ρ θ θ− = l C l C ,A B | |AB ( ) | 2 3| | 1|f x x x= − + + ( ) 5f x ≤ ( ) | 2 |f x x a≥ + [0,1] a
1．答案：C，解析： 或
2．答案：A，解析： ，故选 A．
3．答案：B，解析：
4．答案：D，解析： ，因此，将函数 的图象向右平移 个
单位长度可得到函数 的图象，故选：D．
5．答案：C．
6．答案：A，解析：依题意，矩形面积 ，设黑色部分的面积为 ，根据几何概型的知识，
得 ，故答案选 A．
7．答案：C，解析：由题意可知 两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，
，求的外接球的表面积 ，选 C
8．答案：A，解析： ， ，即知 是 上奇函数，
又当 时，有 ，结合选项，只有 A 符合题意．
9．答案：C，解析：如图， ， 为 的中点，
中， ，所以 ，因 是 中点，
所 以 是 中 位 线 ， 所 以 且 ， 在 中 ， ，
，所以 ，
由双曲线定义知： ，
{ | 2B x x= > 0}x < (1 ) 1 1 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i i i iz ii i i − += = = = ++ + − (2 3) ( 1) 3 ( 1) 0 3λ λ+ × − + × − = ⇒ = − sin 2 sin 23 6y x x π π = − = − sin2y x= 6 π sin 2 3y x π = − 25 4 20S cm= × = S′ 248 500 S S ′ = , ,CA CB CD 2 2 2 2(2 ) (2 2) 2 2 16R = + + = 24 16S Rπ π= = 1( ) cos1 x x eg x xe −− = + ( ) ( )g x g x∴ − = − 1( ) cos1 x x eg x xe −= + R 0, 2x π ∈ ( ) 0g x < 1 1 ( )2OA OB OF= + A∴ 1BF 1Rt AFO 1 603AFO π °∠ = = 3AO c= O 1 2F F AO 1 2F F B 2 2 3BF c= 2 1 2BF F F⊥ 1 2Rt F F B 2 1 90BF F °∠ = 1 2 30F BF °∠ = 1 1 22 2 2 4BF F F c c= × = × = 1 22 4 2 3a BF BF c c= − = −
所以 ．故选 C．
10．答案：B，解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被
3 除余 2，②被 5 除余 3，由已知中四个答案中的数据可得，故输出的 为 38，故选：B．
11．答案：B，解析：抛物线 的准线方程为 ，设 ， ，过点 作准线的
垂线 ，如图，由抛物线的定义可知， ， ， ， ，设直线
的方程为 ，
由 得 ，
， ， ， 的面积
．
1 2 3
2 3
c
a
= = +
−
n
2 8y x= 2x = − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y A
AH | | | | 6AF AH= = 1 2 6x∴ + = 1 4x∴ = 1 4 2y =
AB ( 1)( 0)y k x k= − ≠
2
( 1)
8
y k x
y x
= −
=
( )2 2 2 22 8 0k x k x k− + + =
1 2 1x x∴ = 2
1
1 1
4x x
= = 2 2y∴ = − OAB∴
1 2
1 1 1 5 21 1 (4 2 2)2 2 2 2OAB AOM BOMS S S y y∆ ∆ ∆= + = × + × = × + =
12．答案：D，解析：依题意，画出 的图象，
如图．直线 过定点 ，由图象可知，函数 的图象与 ， 的图
象相切时，函数 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为 ，
由 ，
得 ，化简得 ，解得 或 （舍去），
要使方程 恰有三个实数解，则函数 的图象恰有三个交点，
结合图象可知 ，所以实数 的取值范围为 ，故选 D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13．答案：36，解析：因为 展开式的通项公式为 ， ，1，
2，…，9，所以令 ，解得 ，所以 展开式中 的系数是 ．故答案
为：36．
14．答案： ，解析：作出可行域如图：因为函数 的图象（虚线部分）是过点 ，且斜
率为 的直线 ，由图知，当直线 过点 时， 取最大值 2，当直线 过点 时， 取最小值
2
1 , 0
( ) 1 2 , 02
xe x
f x
x x x
− ≥= +
1 1 1 1( ) 1 1 1 1 2 (1 ) 1 11 1 1 1f x x x x xx x x x
= + = − + + = − − + + ≤ − − ⋅ + = − − − − −
（当且仅当 ，即 时取等号），所以函数 的最大值为 ，故③不正确．
④ ，当 时， ，此时 单调递减，
故④正确；综上，命题正确的序号为①②④．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（一）必考题：共 60 分．
17．解答：（1）设 的公差为 ，则 ， ，
成等比数列， ，又 ， ， ，
即 的通项公式为 ． 6 分
（2）由（1）得， ，
． 12 分
18．解答：（1）证明： 矩形 和菱形 所在的平面相互垂直， ，
矩形 菱形 ， 平面 ，
平面 ， ，
菱形 中， ， 为 的中点， ， ，
， 平面 ． 6 分
（2）由（1）可知 两两垂直，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空
间直角坐标系，
11 1x x
− = − 0x = 1( ) 1f x x x
= + − 1−
( ) sin cos 2 sin 4f x x x x
π = + = +
5,2 4x
π π ∈
3 3,4 4 2x
π π π + ∈ ( )f x
{ }na ( 0)d d ≠ 2 1a a d= + 5 1 4a a d= +
1 2 5, ,a a a
2
2 1 5a a a∴ = 5 1
5 45 252
dS a
×= + = 1 1a∴ = 2d =
{ }na 2 1na n= −
2 1( 1) (2 1) 2n n
nb n −= − − +
1 3 4 1
2 1 3 5 7 (4 1) 2 2 2 n
nT n −= − + − + − + − + + + +
( )1 3 4 1( 1 3) ( 5 7) [ (4 3) (4 1)] 2 2 2 nn n −= − + + − + +…+ − − + − + + + +
( )2
4 12 1 4 1 22 2 21 4 3 3
n
nn n+× −
= + = ⋅ + −−
ABCD ABEF AD AB⊥
ABCD ABEF AB= AD∴ ⊥ ABEF
AG ⊂ ABEF AD AG∴ ⊥
ABEF 60ABE °∠ = G BE AG BE∴ ⊥ AG AF∴ ⊥
AD AF A= AG∴ ⊥ ADF
, ,AD AF AG A AG x AF y AD z
， ，则 ， ，
故 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，得 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
由图可知 为钝角，所以二面角 的余弦值为 ． 12 分
19．解答：（1）根据统计数据，计算平均数为：
3AB = 1BC = 1AD = 3
2AG =
(0,0,0)A 3 3, ,12 2C
−
(0,0,1)D 3 ,0,02G
3 3, ,12 2AC
= −
(0,0,1)AD = 3 ,0,02AG =
ACD ( )1 1 1 1, ,n x y z=
1 1 1 1
1 1
3 3 02 2
0
AC n x y z
AD n z
⋅ = − + =
⋅ = =
1 3y = 1 (1, 3,0)n =
ACG ( )2 2 2 2, ,n x y z= 2 2 2 2
2 2
3 3 02 2
3 02
AC n x y z
AG n x
⋅ = − + =
⋅ = =
2 2y = 2 (0,2, 3)n =
D AC G− − θ 1 2
1 2
| | 2 3 21|cos | 7| | | | 2 7
n n
n n
θ ⋅= = =
⋅ ×
θ D AC G− − 21
7
−
天 4 分
（2）根据题意，补充完整的列联表如下：
潜伏期 天 潜伏期 天 总计
50 岁以上（含 50 岁） 65 35 100
50 岁以下 55 45 100
总计 120 80 200
则 ，
经查表，得 ，
所以，没有 的把握认为潜伏期与年龄有关． 8 分
（3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 ，
设 调 查 的 20 名 患 者 中 潜 伏 期 超 过 6 天 的 人 数 为 ， 则 服 从 二 项 分 布 ： ，
， ，1，2，…，20，
则
所以， 的期望为 ． 12 分
20．解答：（1）由题意得： ， ， ， ．
直线 的斜率 ， ，
由 得 ， 椭圆 的标准方程为 ． 6 分
1 (1 85 3 205 5 310 7 250 9 130 11 15 13 5) 5.41000x = × × + × + × + × + × + × + × =
6< 6≥ 2 2 (65 45 55 35) 200 25 2.083120 80 100 100 12K × − × ×= = ≈× × × 2 2.083 3.841K ≈ < 95% 400 2 1000 5 = X X 2~ 20, 5X B 20 20 2 3( ) 5 5 k k kP X k C − = = 0k = 2( ) 20 85E X = × = X ( ) 8E X = ( , )D a b ( ,0)F c 2 2 8 3a b× = 2 3ab∴ = DF 0tan60 3b bk a c a c ° −= = = =− − 3( )b a c∴ = − 2 2 2 2 3 3( ) ab b a c a b c = = − = + 2 3 1 a b c = = = ∴ C 2 2 14 3 x y+ =
（2） 的面积为定值 ，理由如下：设 ， ，
①当直线 斜率存在时，设方程为 ．
由 得： ，
则 ，即 ，
， ，
，
又点 到直线 的距离 ， ．
， ，
化简可得： ，满足 ，
； 10 分
②当直线 斜率不存在时， 且 ， 可设 ， ，则点
的坐标分别为 ， ，此时 ；
综上所述： 的面积为定值 12 分
21．解答：（1） ，
POQ 3 ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y
PQ y kx m= +
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
( )( ) ( )2 2 2 2 2 264 4 3 4 4 12 48 4 3 0k m k m k m∆ = − + − = − + > 2 24 3m k< + 1 2 2 8 3 4 kmx x k ∴ + = − + 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k −= + ( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 1 2 1 2 2 4 3 1 4 3 | | 1 4 3 4 k k m PQ k x x x x k ⋅ + − + ∴ = + + − = + O PQ 2 | | 1 md k = + 2 2 2 1 2 3 | | 4 3| |2 3 4POQ m k mS PQ d k − +∴ = ⋅ = + 1 2 1 2 3 4OP OQ y yk k x x ⋅ = = − ( ) 2 2 22 2 221 2 1 2 2 1 2 2 8 33 4 4 12 4 3 4 k m mk x x km x x m kk mx x k − ++ + + +∴ = + = −− + 2 22 3 4m k= + 0∆ >
2 2 2 2
2 2
2 3 | | 4 3 2 3 | | 2 33 4 2POQ
m k m m m mS k m
− + −∴ = = =+
PQ 3
4OP OQk k⋅ = − OP OQk k= − ∴ 3
2OPk = 3
2OQk = −
,P Q 62, 2P
62, 2Q
−
1 2 6 32POQS = × × =
POQ 3
1( ) ( 0)xf x e xax
′ = − >
在 上，因为 是减函数，所以 恒成立，
即 恒成立，只需 ．
令 ， ，则 ，因为 ，所以 ．
所以 在 上是增函数，所以 ，所以 ，解得 ．
所以实数 的最大值为 ． 6 分
（2） ， ．令 ，则 ，
根据题意知 ，所以 在 上是增函数． 8 分
又因为 ，
当 从正方向趋近于 0 时， 趋近于 ， 趋近于 1，所以 ，
所以，存在 ，使 ，
即 ， ，
所以对任意 ， ，即 ，所以 在 上是减函数；
对任意 ， ，即 ，所以 在 上是增函数，
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
由于 ， ，
则
[1,2] ( )f x 1( ) 0xf x e ax
′ = − ≤
1 xxea
≥ ( )
max
1 xxea
≥
( ) xt x xe= [1,2]x ∈ ( ) e ex xt x x′ = + [1,2]x ∈ ( ) 0t x′ >
( ) xt x xe= [1,2] ( ) 2
max
2xxe e= 21 2ea
≥ 2
10 2a e
< ≤ a 2 1 2e ln( ) ( 0)x xf x e xa = − > 1( ) xf x e ax
′ = − 1( ) ( 0)xg x e xax
= − > 2
1( ) xg x e ax
′ = +
( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞
11 1 0ag ea
= − >
x 1
ax
+∞ xe 1( ) 0xg x e ax
= − < 0 10,x a ∈ ( ) 0 0 0 1 0xg x e ax = − = 0 0 1xe ax = ( )0 0 0ln ln lnx ax a x= − = − − ( )00,x x∈ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x ( )00, x ( )0,x x∈ +∞ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,x +∞
0x x= ( )f x ( )0f x
0
0
1xe ax
= 0 0ln lnx x a− = +
( ) 0 0 0
0 0 0
0 0 0
ln 1 ln 1 1 1 1 2 lnln (2 ln )x x x a af x e x a x aa ax a a x a x a
+ += − = + = + + ≥ ⋅ + =
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， ． 12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．
22．选修 4—4：极坐标与参数方程（本题满分 10 分）
解答：（1）由题意，将 （ 为参数）中的参数 消去，可得
即直线 的普通方程为 ，
由 ，可得 ，又由 ， ，代入可得 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 ． 5 分
（2）令 ，则有 （ 为参数）．
将其代入方程 中，得 ，其中 ．
设点 对应的参数分别为 ，则 ， ，
所以 10 分
（用其他方法求出 ，按照相应步骤给分）
23．选修 4—5：不等式选讲（本题满分 10 分）
解答：（1）
0
0
1x x
= 0 1x =
0 1a< < 2 ln( ) af x a +≥ 1 2 x t y t = + = t t 2 2y x= − l 2 2y x= − 2sin 4cos 0ρ θ θ− = 2 2sin 4 cosρ θ ρ θ= cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 4y x= C 2 4y x= 5 5t t′= 51 5 2 5 5 x t y t ′ ′ = + = t′ 2 4y x= 24 4 5' 4 05 5t t′− − = 2 4 5 44 ( 4) 05 5 ∆ = − − × × − >
,A B 1 2,t t′ ′
1 2 5t t′ ′+ = 1 2 5t t′ ′⋅ = −
( )2
1 2 1 2 1 2| | 4 5 20 5AB t t t t t t′ ′ ′ ′ ′ ′= − = + − ⋅ = + =
| | 5AB =
( ) 5 | 2 3| | 1| 5f x x x≤ ⇔ − + + ≤
或 或
或 或
综上，不等式 的解集为 5 分
（2）对 ， 恒成立，即 在 恒成立，
即 ，则有 ， ，
在 恒成立，
10 分
1
2 3 1 5
x
x x
< −⇔ − + − − ≤ 31 2 2 3 1 5 x x x − ≤ ≤ − + + + ≤ 3 2 2 3 1 5 x x x >
− + + ≤
x φ⇔ ∈ 31 2x− ≤ ≤ 3 7 712 3 3x x≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
( ) 5f x ≤ 7| 1 3x x − ≤ ≤
[0,1]x∀ ∈ ( ) | 2 |f x x a≥ + | 2 3| | 1| | 2 |x x x a− + + ≥ + [0,1]x ∈
4 | 2 |x x a− ≥ + 4 0x− ≥ 4 2 4x x a x∴ − ≤ + ≤ −
4,
4 3
a x
a x
≥ − −∴ ≤ − [0,1]x ∈
4,
1,
a
a
≥ −∴ ≤ [ 4,1]a∴ ∈ −
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