高三数学试卷 第 1 页 共 11 页
松江区 2019 学年度第二学期模拟考质量监控试卷
高三数学
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 2020.5
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择
题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写
结果，第 1～6 题每个空格填对得 4 分，第 7～12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零
分．
1．若集合 ， ，则 = ▲ ．
2．已知复数 ， （ 是虚数单位），若 是纯虚数，则实数 =
▲ ．
3．已知动点 到定点 的距离等于它到定直线 的距离，则点 的轨迹方程为
▲ ．
4．等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 = ▲ ．
5．若 的展开式中 项的系数为 ，则实数 = ▲ ．
6．已知数列 的首项 ，且满足 ，数列 的前 项和为
，则 ▲ ．
7．用半径为 米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是 ▲ 立方米．
8．若函数 是偶函数，则 = ▲ ．
9．已知等边 的边长为 ，点 是其外接圆上的一个动点，则 的取值范围
是 ▲ ．
10．已知函数 ，若对于任意的 ，总存在 ，使得
，则 的最小值为_ ▲ ．
11．已知集合 ，元素 称为集合
的特征元素．对于 中的元素 与 ，定义：
．当 时，若 是集合 中的非特征元素，则
{2,4,6,8}=A 2{ | 4 0}= − ≤B x x x A B
1z = a + 2i 2z 2 3i= + i 1 2z z⋅ a
P (1,0) : 1l x = − P
{ }na n nS 1 5 3 74, 12a a a a+ = + = 7S
8( )x a+ 5x 56 a
{ }na 1 1=a 1 01 2
+ =n na a *( )n N∈ { }na n
nS lim→∞
=nn
S
2
2( ) log (2 1)xf x kx= + + k
ABC∆ 2 3 P PA PB⋅
( ) cos(2 )6
π= −f x x 1 [ , ]4 4
π π∈ −x 2 [ , ]x m n∈
1 2( ) ( ) 0+ =f x f x −m n
1 2{( , , , ) 1, 1,2, , }= = ± = n n iA x x x x i n 1 (1,1, ,1)= n nA
nA 1 2( , , , )= na a a a 1 2( , , , )= nb b b b
1 1 2 2( )⊗ = × + × + + ×n n nf a b a b a b a b 9=n a 9A高三数学试卷 第 2 页 共 11 页
的概率为 ▲ ．
12．已知函数 且 为常数 和 且 为常
数 ，有以下命题：
①当 时，函数 没有零点；
② 当 时， 恰有 3 个不同的零点 ，则
；
③对任意的 ，总存在实数 ，使得 有 4 个不同的零点
，且 成等比数列．
其中的真命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
13．若 为坐标原点， 是直线 上的动点，则 的最小值为
(A) (B) (C) (D)
14．若 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是
(A) (B) (C) (D) 或
15．在正方体 中， 、 两点分别从点 和点
出发，以相同的速度在棱 和 上运动至点 和点 ，在
运动过程中，直线 与平面 所成角 的变化范围为
(A) (B)
(C) (D)
16．已知实数 ，且 ，则当 取
得最大值时， 这 个数中，值为 的个数为
(A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个
9 9(1 ) 1f a⊗ =
2
0( )
log ( ) 0
ax xf x x
x x
+ >=
− a ( ) ( ) ( )F x f x g x= −
1 2 3 4x x x x< < < 1 2 4 3, , ,x x x x
O P 2 0− + =x y OP
2
2 2 3 2
1− ≤x a 1 2≤ ≤x a
1 2≤ ≤a 1a ≥ 2≤a 1≥a 2≤a
1 1 1 1ABCD A B C D− P Q B
1A BA 1 1A D A 1D
PQ ABCD θ
[ , ]4 3
π π 2[arctan ,arctan 2]2
[ ,arctan 2]4
π 2[arctan , ]2 2
π
1 2 100, , , [ 1,1]x x x ∈ − 1 2 100x x x π+ + + =
2 2 2
1 2 100x x x+ + +
1 2 100, , ,x x x 100 1
50 51 52 53高三数学试卷 第 3 页 共 11 页
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
如图，已知四棱锥 的底面是正方形， 底面 ，
， 是侧棱 的中点．
（1）求异面直线 与 所成的角；
（2）求点 到平面 的距离．
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知函数 ．
（1）求 的最大值和最小正周期 ；
（2）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，且
，求 面积的最大值．
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业 A 公司扩大生产提
供 (万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服．A 公司
在收到政府 (万元)补贴后，防护服产量将增加到 (万套)，其中 为工厂
工人的复工率（ ）．A 公司生产 万件防护服还需投入成本 (万
元) ．
（1）将 A 公司生产防护服的利润 (万元)表示为补贴 (万元)的函数；
（2）对任意的 (万元)，当复工率 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确
到 0.01）.
−P ABCD ⊥PA ABCD
2AP AB AD= = = E PB
AE PD
B ECD
2( ) 2cos 2 3sin cos= +f x x x x
( )f x T
∆ABC A B C a b c ( ) 32
=Af
1=a ∆ABC
( [0,10])∈x x
x 126 4t k x
= ⋅ − + k
[0.5,1]k ∈ t (20 8 50 )+ +x t
y x
[0,10]∈x k
P
A
E
B C
D高三数学试卷 第 4 页 共 11 页
20．(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题
满分 6 分．
如图，已知椭圆 经过圆 与 轴的两个
交点和与 轴正半轴的交点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 为椭圆 上的动点，点 为圆 上的动点，求线段 长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线 交椭圆 于 两点，交圆 于 两点，且满足
，求证：线段 的中点 在定直线上．
21．(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题
满分 8 分．
已知函数 的定义域为 ，若存在实常数 及 ，对任意 ，当
且 时，都有 成立，则称函数 具有性质 .
（1）判断函数 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）若函数 具有性质 ，求 及 应满足的条件；
（3）已知函数 不存在零点，当 时具有性质 （其中 ），
记 ,求证：数列 为等比数列的充要条件是 或 .
2 2
2 2: 1( 0)x yM a ba b
+ = > > 2 2: ( 1) 4N x y+ + = x
y
M
P M Q N PQ
l M A B、 N C D、
AC DB= AB E
( )f x D λ ( 0)a a ≠ x D∈ x a D+ ∈
x a D− ∈ ( ) ( ) ( )f x a f x a f xλ+ + − = ( )f x ( , )λM a
2( )f x x= ( , )λM a
( ) sin2 sing x x x= + ( , )λM a λ a
( )=y h x ∈x R 1( ,1)+M t t 0, 1> ≠t t
( )na h n= *( )∈n N { }na 2
1
a ta
= 2
1
1a
a t
=高三数学试卷 第 5 页 共 11 页
松江区 2019 学年度第二学期模拟考质量监控试卷
高三数学参考答案
一．填空题
1． 2．3 3． 4． 5．1 6．2
7． 8． 9． 10． 11． 12．②
二、选择题
13．B 14．A 15．C 16．B
三．解答题
17．如图，已知四棱锥 的底面是正方形， 底面 ，
， 是侧棱 的中点．
（1）求异面直线 AE 与 PD 所成的角；
（2）求点 B 到平面 ECD 的距离．
解：（1）连 AC、BD，两直线交于点 O，连 EO，
因为 E、O 分别是 PB、DB 的中点，所以 EO//PD，
所以 就是异面直线 AE 与 PD 所成的角 …………3 分
因为 为正方形，且 ，
所以 …………4 分
所以 …………6 分
（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
∵ ，点 E 是棱 PB 的中点，
∴ ， ， ， ， ， ，
， ，…………8 分
设平面 ECD 的法向量 ，
则由 得
取 z＝2，得 ，…………11 分
∴点 B 到平面 ECD 的距离：
{2,4} 2 4=y x 28
3
3
π 1
2
− [ 2,6]−
3
π 18
73
−P ABCD ⊥PA ABCD
2AP AB AD= = = E PB
∠AEO
ABCD 2AP AB AD= = =
1 22
= = = =AE AO EO PD
60∠ = °AEO
2AP AB AD= = =
(2,0,0)B (0,0,2)P (1,0,1)E (0,2,0)D (2,2,0)C (0,2,0)=BC
(2,0,0)=DC (1, 2,1)DE = −
( , , )=n x y z
0
0
⋅ = ⋅ =
n DC
n DE
{ 2 0
2 0
x
x y z
=
− + =
(0,1,2)n =高三数学试卷 第 6 页 共 11 页
…………14 分
18．已知函数 ．
（1）求 的最大值和最小正周期 ；
（2）在 中，内角 、 、 的所对的边分别为 、 、 ，已知 ，且
，求 面积的最大值.
解：（1）
………4 分
∴ ， ………………………………5 分
………………………………6 分
（2）由 得
因为 ，所以 ，得 ， ………………8 分
因为 ，由余弦定理，得 ，………………10 分
由 得 ，当且仅当 时取得等号………12 分
∴ 面积 ，
∴ 面积的最大值为 ………………14 分
19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业 A 公司扩大生产提
供 (万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服．A 公司
在收到政府 (万元)补贴后，防护服产量将增加到 (万件)，其中 为工厂工
人的复工率（ ）．A 公司生产 万件防护服还需投入成本 (万
元) ．
（1）将 A 公司生产防护服的利润 (万元)表示为补贴 (万元)的函数；
（2）对任意的 (万元)，当复工率 达到多少时， A 公司才能不产生亏损？（精确
到 0.01）.
2 2 555
BC n
d
n
⋅
= = =
2( ) 2cos 2 3sin cos= +f x x x x
( )f x T
∆ABC A B C a b c ( ) 32
=Af
1=a ∆ABC
2( ) 2cos 2 3sin cos 1 cos2 3sin 2 1 2sin(2 )6
π= + = + + = + +f x x x x x x x
max ( ) 3=f x
2
2
π π= =T
( ) 32
=Af sin( ) 16A
π+ =
(0, )A π∈
6 2A
π π+ =
3A
π=
1=a 2 21 2 cos 3b c bc
π= + −
2 21 2b c bc bc bc bc= + − ≥ − = 1bc ≤ b c=
∆ABC 1 1 3 3sin2 2 2 4ABCS bc A bc∆ = = ⋅ ≤
∆ABC 3
4
( [0,10])∈x x
x 126 4t k x
= ⋅ − + k
[0.5,1]k ∈ t (20 8 50 )+ +x t
y x
[0,10]∈x k高三数学试卷 第 7 页 共 11 页
解：（1） ………………4 分
， …………6 分
（2）若对任意的 ，公司都不产生亏损，
则 在 恒成立 …………8 分
即 ，记 ，则 ，
此时
由于函数 在 单调递增 …………10 分
所以当 时， …………12 分
∴
即当工厂工人的复工率达到 时，对任意的 ，公司都不产生亏损. ……14 分
20．如图，已知椭圆 经过圆 与 轴的两个
交点和与 轴正半轴的交点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 为椭圆 上的动点，点 为圆 上的动点，求线段 长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线 交椭圆 于 两点，交圆 于 两点，且满足
，求证：线段 的中点 在定直线上．
解：（1）在方程 中，令 ，解得
.令 ，解得 ..
椭圆 方程为： .…………4 分
（2） …………6 分
设 ， ，则
…8 分
80 (20 8 50 ) 30 20 8= − + + = − −y t x t t x
12 36030 (6 ) 20 8 180 8 204 4
= − − − = − − −+ +
kk x k xx x [0,10]x∈
[0,10]∈x
360180 8 20 04
− − − ≥+
kk xx [0,10]∈x
1 ( 4)(2 5)
45 2
+ +≥ ⋅ +
x xk x 2= +t x [2,12]∈t
( 4)(2 5) ( 2)(2 1) 22 52
+ + + += = + ++
x x t t tx t t
2( ) 2 5= + +f t t t [2,12]t ∈
[2,12]∈t max
1( ) (12) 29 29.1676f t f= = + ≈
1 29.167 0.64845
≥ × ≈k
0.65 [0,10]∈x
2 2
2 2: 1( 0)x yM a ba b
+ = > > 2 2: ( 1) 4N x y+ + = x
y
M
P M Q N PQ
l M A B、 N C D、
AC DB= AB E
2 2( 1) 4x y+ + = 0, 0y x= >
3, 3x a= ∴ = 0, 0x y= > 1, 1y b= ∴ =
∴ M
2
2 13
x y+ =
| | | | | | | | 2PQ PN NQ PN≤ + = +
( , )P x y (0, 1)N −
2 2 2 2 2 21 9| | ( 1) 3 3 ( 1) 2 2 4 2( )2 2PN x y y y y y y= + + = − + + = − + + = − − +
N
•
A P
D
O
x
y
Q
C
B
E·高三数学试卷 第 8 页 共 11 页
时，
…………10 分
（3）解法一：设
…………12 分
设 ，代入 得：
即：
代入 得：
即 …………14 分
，
所以点 E 在直线 上 …………16 分
解法二：设
…………12 分
也是弦 的中点，
2
1 2 1 2
2 1( ) 2 3 2 3( ) 2 13 3y y k x x m k m m m∴ + = + + = − + = − − + =
1
2y∴ = max
3| | 22PN =
max
3| | 2 22PQ∴ = +
1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y D x y
3 1 3 1 2 4 2 4( , ), ( , )AC x x y y DB x x y y= − − = − −
3 1 2 4 3 1 2 4, ,AC DB x x x x y y y y= ∴ − = − − = −
1 2 3 4 1 2 3 4,x x x x y y y y∴ + = + + = +
: ( 0)l y kx m k= + ≠
2
2 13
x y+ =
2
2( ) 13
x kx m+ + =
2 2 2
1 2
2
1 2( ) 2 1 0, 13
3
kmk x kmx m x x
k
+ + + − = ∴ + = −
+
2 2( 1) 4x y+ + = 2 2( 1) 4x kx m+ + + =
2 2 2
3 4 2
2 ( 1)( 1) 2 ( 1) ( 1) 4 0, 1
k mk x k m x m x x k
++ + + + + − = ∴ + = − +
2
22
2 2 ( 1) 1 2,1 1 3 3
3
km k m k mkk
+∴− = − ∴ + =++
1 2
2
2 2 31 2
3 3
km kmx x k
k m
∴ + = − = − = −
+
3 1,2 2E Ex k y∴ = − =
1
2y =
1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y D x y
3 1 3 1 2 4 2 4( , ), ( , )AC x x y y DB x x y y= − − = − −
3 1 2 4 3 1 2 4, ,AC DB x x x x y y y y= ∴ − = − − = −
1 2 3 4 1 2 3 4,x x x x y y y y∴ + = + + = +
E∴ CD
, , | | | |EN DC EN AB AN BN⊥ ∴ ⊥ ∴ =
N
•
A P
D
O
x
y
Q
C
B
E·高三数学试卷 第 9 页 共 11 页
…………14 分
代入化简，得：
所以点 E 在直线 上．…………16 分
21．已知函数 的定义域为 ，若存在实常数 及 ，对任意 ，当
且 时，都有 成立，则称函数 具有性质 ，
集合 叫做函数 的 性质集.
（1）判断函数 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）若函数 具有性质 ，求 的 性质集；
（3）已知函数 不存在零点，且当 时具有性质 （其中 ），
若 ,求证：数列 为等比数列的充要条件是 或 .
解：（1）若函数 具有 性质，则存在实常数 及 ，使得
对任意的 都成立…………2 分
即：
，不合题意，舍
函数 不具有 性质 …………4 分
（2）由题意：存在实常数 及 ，
使得 对任意的 都成立
即：
化简，得：
…(1)对任意的 都成立…………6 分
在(1)中令 ，得： ，代入(1)，得：
2 2 2 2
1 1 2 2( 1) ( 1) ,x y x y∴ + + = + +
2 2 2 2
1 1 2 23 3 , 3 3x y x y= − = −
1 2 1 2 1 2 1 2( )( 1) 0, 0, 1y y y y y y y y− + − = − ≠ ∴ + =
1 2
1 1( )2 2Ey y y∴ = + =
1
2y =
( )f x D λ ( 0)a a ≠ x D∈ x a D+ ∈
x a D− ∈ ( ) ( ) ( )f x a f x a f xλ+ + − = ( )f x ( , )λM a
{( , )}λ=M a ( )f x M
2( )f x x= ( , )λM a
( ) sin2 sing x x x= + ( , )λM a ( )g x M
( )=y h x ∈x R 1( ,1)+M t t 0, 1> ≠t t
( )na h n= *( )∈n N { }na 2
1
a ta
= 2
1
1a
a t
=
2( )f x x= M λ ( 0)a a ≠
2 2 2( ) ( )x a x a xλ+ + − = x
2 2 22 2x a xλ+ =
2, 0aλ∴ = =
∴ 2( )f x x= M
λ ( 0)a a ≠
( ) ( ) ( )g x a g x a g xλ+ + − = x
[sin2( ) sin( )] [sin2( ) sin( )] (sin2 sin )x a x a x a x a x xλ+ + + + − + − = +
(2cos2 )sin2 (2cos )sin 0a x a xλ λ− + − = x
2x
π= 2cos 0a λ− = 2cos2 0a λ− =高三数学试卷 第 10 页 共 11 页
所以 解得 或 …………8 分
所以 或 …………10 分
（3）证明：由函数 不存在零点，且具有性质 知，
对任意的 ，都有
即 ……① …………12 分
∴ ，
记 ，则 ……② …………14 分
充分性：当 时， ，反复代入②式得
即对任意的 ，都有 ，∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
同理，当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列…………16 分
必要性：若数列 是等比数列，不妨设 ，则
又由①知 ∴ ，
∴ ，即 ∴ 或 即 或 . …………18 分
证法二
由函数 不存在零点，且具有性质 知，
对任意的 ，都有
2cos 0
2cos2 0
a
a
λ
λ
− =
− =
2
cos 1a
λ =
=
1
1cos 2a
λ = − = −
2
2 , 0,a k k k Z
λ
π
=
= ≠ ∈
1
22 ,3a k k Z
λ
π π
= − = ± ∈
( )=y h x 1( ,1)+M t t
*2,≥ ∈n n N 1( 1) ( 1) ( ) ( )+ + − = +h n h n t h nt
1 1
1( )n n na a t at+ −+ = +
1 1 1n n
n n
a a ta a t
+ −+ = +
1n
n
n
ab a
+=
1
1 1
n
n
b tb t−
+ = + *2,≥ ∈n n N
2
1
a ta
= 1b t= 2 3, , ,nb t b t b t= = =
*∈n N 1n
n
n
ab ta
+= = { }na 1a t
2
1
1a
a t
= { }na 1a 1
t
{ }na 2 3
1 2
0a a sa a
= = ≠ 2
1
1 1b sb s
+ = +
2
1
1 1b tb t
+ = + 1 1+ = +s ts t
1 1 −− = − = s ts t t s ts
=s t 1=s t
2
1
a ta
= 2
1
1a
a t
=
( )=y h x 1( ,1)+M t t
*2,≥ ∈n n N 1( 1) ( 1) ( ) ( )+ + − = +h n h n t h nt高三数学试卷 第 11 页 共 11 页
即 ……① …………12 分
对①变形可得如下两式
……②
……③
由②得 ……④
由③得
……⑤
④-⑤得：
∴ …………16 分
当. 时， ，当 时， ，此时 是等比数列；
当 且 时，显然 不是等比数列． …………18 分
1 1
1( )n n na a t at+ −+ = +
1 1
1( )n n n na ta a tat+ −− = −
1 1
1 1( )n n n na a t a at t+ −− = −
1 1 1 2 2 12 1
1 1 1( ) ( ) ( )n n n n n n na ta a ta a ta a tat t t+ − − − −− = − = − = = −
2 1
1 1 1 2 2 1
1 1 1 1( ) ( ) ( )n
n n n n n na a t a a t a a t a at t t t
−
+ − − −− = − = − = = −
1
2 1 21
1 1 1( ) ( ) ( )n
n nt a a ta t at t t
−
−− = − − −
1 2 2 12 2
1 1 1[ ( ) ( )]1
n
n na t a a a tat t t −= − + −−
∴ 2
1
a ta
= 1
1
n
na a t −= 2
1
1a
a t
= 1
1n n
aa t −= { }na
2
1
a ta
≠ 2
1
1a
a t
≠ { }na
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