江苏省淮安市淮阴区2020届高三数学下学期期初模拟训练六（含答案Word版含附加题）

淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练六 数 学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位 置上． 1．已知集合 ， ，则 __________. 2．某水产养殖场利用 100 个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg）， 其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有______个网箱产量不低于 50 kg． 3．从 中选 个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________． 4．函数 的定义域是____________. 5．已知复数 满足 ，则 ________. 6．已知等比数列 的前 n 项和为 ，前 n 项积为 ，若 ，则 a1 的值为_________. 7．已知双曲线 的离心率为 2，且它的一个焦点到 一条渐近线的距离为 ，则双曲线 的标准方程是 . 8．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，E，F 分别为边 BC，CD 的中点．沿图中虚线折起，使 B，C，D 三点重合，则围成的几 何体的体积为_____. 9．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线 在 y 轴上的截距为____. 10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______. 11．在梯形 中， ∥ ， ， 是线段 上的动点，若 ，则 的取值范围是______. { 2, 1,0,1,2}A = − − { | 0}B x x= > A B = 1 2 3，， 2 ( ) 2 1 3 4 lg xy x x −= − − z ( )( )1 3z i i i+ + = − z = { }na nS nT 3 2 1 54 , 243S a a T= + = 2 2 2 2: 1x yC a b − = 3 C 2( ) lnf x x x= + ( )f x (1, (1))f ABCD AB CD 2, 1AB BC CD= = = M BC 3BD AM⋅ = −  BA BC⋅ 12．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则方程 在区间 上所有的实数解 之和为_____． 13．设 ，且 ，则 ______． 14．已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若存在实数 满足 ，且 ，则 的取值范围为_____． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ，且 . （1）求 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的周长. 16．如图所示，在四棱柱 中， ， ， . （1）求证： （2）若 为线段 的中点，求证： . R ( )f x ( ) ( )f x f xπ+ = − 0, 2x π ∈   ( )f x x= ( ) ( ) 1π− =x f x [ ],3π π− 0, , 0,2 2a π πβ   ∈ ∈       sin 1 cos2 cos 2 sin2cos β α β α α += + tan 2 4 πα β + + =   ( ) [ ] ( ]2 , 0,1 , 1,3x x xf x e x−  ∈=  ∈ e 1 2x x， 1 20 3x x≤ ≤＜ 1 2( ) ( )f x f x= 2 12x x﹣ ABC∆ A B C a b c 30B = ° ( ) ( )2 sin 2 sin 2 sina A b c B c b C− + = + ( )sin A C− ABC∆ 3 3 ABC∆ 1 1 1 1ABCD A B C D− 3AB BC CA= = = 1AD CD= = 1 1AAC C ABCD⊥平面 平面 1BD AA⊥ E BC 1 1 1/ /A E DCC D平面 17．已知椭圆 的左右焦点坐标为 ，且椭 圆 经过点 ． (1)求椭圆 的标准方程； (2)设点 是椭圆 上位于第一象限内的动点， 分别为椭圆 的左顶点和下顶点，直 线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求四边形 的面积． 18．某小区内有一块以 为圆心半径为 20 米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活， 现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形 区域，其 中两个端点 ， 分别在圆周上；观众席为梯形 内且在圆 外的区域，其中 ， ，且 ， 在点 的同侧.为保证视听效果， 要求观众席内每一个观众到舞台 处的距离都不超过 60 米.设 . （1）求 的长（用 表示）； （2）对于任意 ，上述设计方案是否均能符合要求？ ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > ( ) ( )1 23,0 , 3,0F F− E 13, 2P −   E M E ,A B E MB x C MA y D ABCD O OAB A B ABQP O AP AB BQ= = 120PAB QBA∠ =∠ =  AB PQ O O , (0, )3OAB πα α∠ = ∈ AB α α 19．（本题 16 分） 已知 （1）讨论 的单调性； （2）设 有两个极值点 ，若过两点 的直线 与 轴的交点在 曲线 上，求 的值. 20. 已知正项数列 中， ，点 在抛物线 上．数列 中， 点 在经过点 ，以 为方向向量的直线 上． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）若 ，问是否存在 ，使得 成立？ 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由； ），（ Raaxxxxf ∈++= 23 3 1)( )(xf )(xf 21, xx ( ) ( ))(,,)( 221,1 xfxxfx l x )(xfy = a }{ na 61 =a ),( 1+nnn aaA 12 += xy }{ nb ),( nn bnB )1,0( )2,1(=m l }{ na }{ nb   = 为偶数），（ 为奇数），（ nb nanf n n)( ∗∈ Nk )(4)27( kfkf =+ k（3）对任意的正整数 ，不等式 成立，求正 数 的取值范围． 淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练六 数 学（附加卷） 注：本卷共三大题计 4 小题，共计 40 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字 说明证明过程或演算步骤． 21．（A） [选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知点 在变换 T： 作用后，再绕原点逆时针旋转 ，得到点 ．若 点 的坐标为 ，求点 A 的坐标． 21.（B）[选修 4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴 建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数），求直线 与曲线 的交点 P 的直角坐标. 22．（本小题满分 10 分） 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁 钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两 相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间 的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通 过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉．如此继续下去，在最底层的 5 个出口处各放置一个容器 接住小球． （1）理论上，小球落入 4 号容器的概率是多少？ （2）一数学兴趣小组取 3 个小球进行试验，设其中落入 4 号容器的小球个数为 X，求 X 的 分布列与数学期望． n 0 2)11()11)(11( 21 1 ≤ +− − +++ + n n n n an a bbb a  a A 3x x x y y y y ′ +     → =     ′      90° B B ( 4,3)− l ( ) 4 πθ ρ= ∈R x C 4cos , 1 cos2 x y α α =  = + α l C23．（本小题满分 10 分） 已知数列 满足 ． （1）求 的值； （2）对任意正整数 ， 小数点后第一位数字是多少？请说明理由． 淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练六 数学参考答案 一、填空题 1． 2．82 3． 4． 5． 6．1. 7． 8． 9． 10．27 11． 12． 13． 14． 二、解答题 15．（1）因为 ，整理得 ， ∴ ，解得 . 又 ，所以 ，即 ∴ （2）由（1）知 ， ∴ ，解得 54321 { }na 1 1 1 ( *)1 2 2na n Nn n n = + + + ∈+ +  1 2 3, ,a a a n na {1,2} 1 3 ( ) ( ), 1 1,1−∞ − − 10 2 2 13 yx − = 1 3 2− [ ]1,10 4π 1− [0 ]1 2ln−， ． ( ) ( )2 sin 2 sin 2 sina A b c B c b C− + = + ( ) ( )22 2 2a b b c c c b− + = + 2 2 2b c a bc+ − = − 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = − 120A = ° 30B = ° 180 120 30 30C = ° − ° − ° = ° 30C B= = ° ( ) ( )sin sin 120 30 1A C− = °− ° = b c= 120A = ° 21 sin120 3 32 b ° = 2 3b c= =由余弦定理，得 ，即 ∴ 的周长为 16．（1）因为 ，所以 BD 是线段 AC 的垂直平分线. 所 以 . 又 ， ， 所以 .因为 ，所以 （2）连结 AE.因为 ， 所以 因为 E 为 BC 的中点，所以 所以 .所以 . 因为 ， ，所以 在棱柱 中，四边形 为平行四边形，所以 因为 ， ，所以 又 ，所以 . 因为 。 17．(1)因为椭圆焦点坐标为 ，且过点 ， 所以 ，所以 ，从而 ， 故椭圆的方程为 ． (2)设点 ， ， ， 因为 ，且 三点共线，所以 ，解得 ， 2 2 2 12 cos 12 12 2 12 362a b c bc A  = + − = + − × × − =   6a = ABC 4 3 6+ BA BC DA BD= =， BD AC⊥ 1 1AAC C ABCD⊥平面 平面 1 1 = ,AAC C ABCD AC BD ABCD∩ ⊂平面 平面 平面 1 1BD AAC C平面⊥ 1 1 1AA AAC C⊂ 平面 1BD AA⊥ 3, 1AB BC CA DA DC= = = = = 60 , 30BAC BCA DCA∠ = ∠ = ° ∠ = ° 30EAC∠ = ° EAC DCA∠ = ∠ / /AE DC 1 1DC DCC D⊂ 平面 1 1AE DCC D⊄ 平面 1 1/ /AE DCC D平面 1 1 1 1ABCD A B C D− 11AADD 1 1/ /AA DD 1 1 1DD DCC D⊂ 平面 1 1 1AA DCC D平面⊄ 1 1/ /AA AA E平面 1 1 1,AA AE AA E AA AE A⊂ ∩ =平面 ， 1 1 1/ /AA E DCC D平面 平面 1 1 1 1 1/ /A E AA E A E DCC D⊂ 平面 ，所以 平面 ( ) ( )1 23,0 , 3,0F F− 31, 2P  −    1 2 1 492 42 4a PF PF= + = + = 2a = 2 2 4 3 1b a c= − = − = 2 2 14 x y+ = ( )( )0 0 0 0, 0 2,0 1M x y x y< < < < ( ),0C m ( )0,D n ( )2,0A − , ,A D M 0 0 2 2 y n x =+ 0 0 2 2 yn x = +所以 ， 同理 ， ， 因为点 在椭圆上，所以 ，即 ， 18．（1）过点 作 垂直于 ，垂足为 在直角三角形 中， ， 所以 ，因此 （2）由图可知，点 处的观众离点 最远 在三角形 中，由余弦定理可知 因为 ，所以当 ，即 时， ＝800 ＋1600 又 ＝800 ＋1600 所以 答：观众席内每一个观众到舞台 处的距离都不超过 米．设计方案均能符合要求。 19 解: ①当 时， ，且仅当 时， 所以 是 上的增函数 0 0 0 0 0 2 2 21 2 2 y x yBD x x + += + =+ + 0 0 0 2 2 1 x yAC y + += + 0 0 0 0 0 0 2 2 2 21 1 2 2 2 1ABCD x y x yS AC BD x y + + + += ⋅ = ⋅ ⋅+ + ( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 2 2 2 2 1 x y x y + += + + ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 8 4 2 2 2 x y x y x y x y x y + + + + += + + + ( )0 0,M x y 2 20 0 14 x y+ = 2 2 0 04 4x y+ = ( )0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 8 8 22 2 2ABCD x y x yS x y x y + + += =+ + + O OH AB .H OHA 20OA OAH α∠＝ ， ＝ 20cosAH α＝ 2 40cos .AB AH α＝ ＝ P O OAP 2 2 2 22 cos +3OP OA AP OA AP π α= + − ⋅ （ ） ( )2 1 3400 40cos 2 20 40cos cos sin2 2 ＝ α α α α + − × × − −    ( )2400 6cos 2 3sin cos 1α α α= + + ( )400 3cos2 3sin2 4 800 3sin 2 16003 πα α α = + + = + +   0, 3 πα  ∈   2 6 πα = 12 πα = ( )maxOP 3 ( )maxOP 3 3600< 60OP < O 60 1)1(2)( 22' −++=++= axaxxxf 1≥a 0)(' ≥xf 1,1 −== xa 0)(' =xf )(xf R②当 时， 有两根， ， 当 时， ， 在 上是增函数 当 时， ， 在 上 是减函数...(5 分) 当 时， ， 在 上是增函数 （2）由题意 是方程 的两根， 故有 ， 因此： 同理： 因此直线 的方程为： 设直线 与 轴的交点为 ，则 . 由题设知，点 在曲线 上，故 解得 . 20. （1）将点 代入抛物线 得： 数列 是等差数列． ，即 为直线 的方向向量 直线 的斜率 ，直线 的方程为 在直线 上． （2）由题 ①当 是偶数时， 是奇数， 即 1xf )(xf )11,( ax −−−−∞∈ )11,11( aax −+−−−−∈ 0)(' + )}({ nf ∴ == )1()( min fxf 4 5 15 ∴ 4 50 15a< ≤ ( , )A x y A ( 3 , )x y y+ 90° 0 1 1 0 −     0 1 3 4 1 0 3 3 x y y y x y − + − −       = =       +        4 3 3 y x y − = −  + = 9 4 x y = −  = ( 9,4)− l y x= 4cos , 1 cos2 x y α α =  = + 2 2 212cos 2( )4 8 xy xα= = = 1 cos 1α− ≤ ≤ 4 4x− ≤ ≤ C 21 ( 4 4)8y x x= − ≤ ≤ l 21 8 x x= 0x = 8x = l C (0,0) A层中有三层需要向右，一层向左．∴ （2）落入 4 号容器的小球个数 X 的可能取值为 0,1,2,3． ∴ ， ， ∴X 的分布列为 0 1 2 3 答：落入 4 号容器的小球个数 X 的数学期望为 ． 23．解：（1） ， ， （2） 小数点后第一位数字均为 5， 小数点后第一位数字为 6 下证：对任意正整数 ，均有 注意到 故对任意正整数 ，有 下用数学归纳法证明：对任意正整数 ，有 ①当 时，有 ，命题成立； ②假设当 时，命题成立，即 则当 时， ∵ ∴ ∴ ∴ 时，命题也成立； 综合①②，任意正整数 ， ． 由此，对正整数 ， ，此时 小数点后第一位数字均为 6． 所以 小数点后第一位数字均为 5，当 时， 小数点后第一位数字均为 6． 3 4 4 1 1( ) ( )2 4P A C= = 31 27( 0) (1 )4 64P X = = − = 1 2 3 1 1 27( 1) (1 )4 4 64P X C= = × − = 2 2 3 1 1 9( 2) ( ) (1 )4 4 64P X C= = × − = 31 1( 3) ( )4 64P X = = = X P 27 64 27 64 9 64 1 64 27 27 9 1 48 3( ) 0 1 2 364 64 64 64 64 4E X = × + × + × + × = = 3 4 1 1 2a = 2 7 12a = 3 37 60a = 1 2,a a 3a ( 3)n n ≥ 0.6 0.7na< < 1 1 1 1 1 02 1 2 2 1 (2 1)(2 2)n na a n n n n n+ − = + − = >+ + + + + ( 3)n n ≥ 3 0.6na a≥ > ( 3)n n ≥ 10.7 4na n ≤ − 3n = 3 37 1 1 10.7 0.7 0.760 12 4 3 4 3a = = − = − ≤ −× × *( , 3)n k k N k= ∈ ≥ 10.7 4ka k ≤ − 1n k= + 1 1 1 10.7(2 1)(2 2) 4 (2 1)(2 2)k ka a k k k k k+ = + ≤ − ++ + + + 1 1 1 1 1 04 (2 1)(2 2) 4( 1) 4 ( 1) 4 ( 1) 2 2k k k k k k k k k − − = − >+ + + + + + + 1 1 1 4 (2 1)(2 2) 4( 1)k k k k − >+ + + 1 1 1 10.7 0.74 (2 1)(2 2) 4( 1)ka k k k k+ ≤ − + ≤ −+ + + 1n k= + ( 3)n n ≥ 10.7 4na n ≤ − ( 3)n n ≥ 0.6 0.7na< < na 1 2,a a 3, *n n N≥ ∈ na