2020 年新课标二高考数学(文科)预测卷 （二）
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在
答题卡上
一、选择题
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.设复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 ，则 ( )
A. B. C. D.3
3.若双曲线 （ ）的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
4.已知 ，且 ，则 a 与 b 的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.已知 , ,则 ( )
A. B. C. D.
6.如图,在等腰直角三角形 中, , ,以 为直径作半圆,再以 为直径作半
圆,若向整个几何图形中随机投掷一点,那么该点落在阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
{ }2| 2 0A x x x= − ≥ { }| 1B y y= > − A B∩ =
( ]10− , ( ] 110 2
− ∪ + ∞ , , 11 2
− , 1 ,2
+∞
(1 )2−, ( )1 2iz − + =
4 3i− − 4 3i− 3 4i+
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0, 0a b> > ( )1, 2−
3 5
2 5
1 2= =，a b ( ) ( )5 2+ ⊥ −a b a b
(0,π)α ∈ 2sin 2 cos2 1α α= − cosα =
5
5
5
5
− 2 5
5
2 5
5
−
ABC AB BC= 90ABC∠ = ° AC AB
4
π 1+
2
π 1+
2 2
π 1+
1
π 1+
7.平面 过正方体 的顶点 A, 平面 , 平面 , 平面
,则 所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.函数 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.函数 的部分图象如图所示，关于函数 有下述四个结论:
① ② ；③当 时， 的最小值为 ；④ 在 上单调递
增.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①②④ B.②④ C.①② D.①②③④
α 1 1 1 1ABCD A B C D− / /α 1 1CB D α ABCD m= α
1 1ABB A n= ,m n
3
2
2
2
3
3
1
3
3( )cos( )
e x
x x xf x
+=
( ) ( )(sin 0 0 π)f x x ωω ϕ ϕ= + > <
0a > 1a ≠ ( ),−∞ +∞
( ) 2y f x x= − −
1 3[ , ]5 5
1 2[ , ]5 5
1 3 13[ , ] { }5 5 20
∪ 1 2 13[ , ] { }5 5 20
∪
2 2 1 0x x ax∀ ∈ − + >R,
: 3 3 0l mx y m+ + − = 2 2 12x y+ = ,A B ,A B
,C D 2 3AB = CD =
,x y
1
2 1 0
3 2 0
y
x y
x y c
≥
− + ≥
+ − ≤
2z y z= −
ABC△ A B C, , a b c, , ( )sin cos 2 cos sin2 2
A AC C= −
，则 的面积为 .
三、解答题
17.已知 为数列 的前 n 项和，满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 n 项和 .
18.如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 的中点.
(1)证明:平面 平面 .
(2)求三棱锥 的体积.
19.下面给出了根据我国 2012 年~2018 年水果人均占有量 y(单位:kg)和年份代码 x 绘制的散点图和线
性回归方程的残差图(2012 年~2018 年的年份代码 x 分别为 1~7).
3cos , 45A a= = ABC△
nS { }na ( ) 21n nn a S n+ = + 3 5a =
{ }na
( ) 11 1 3 22
na
n nb a −= + + × { }nb nT
1 1 1ABC A B C− 3BC = 1AB = 1 2AA AC E= = ， 1AA
EBC ⊥ 1 1EB C
1C BC E−
附:回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: , .
(1)根据散点图分析 y 与 x 之间的相关关系;
(2)根据散点图相应数据计算得 ,求 y 关于 x 的线性回归方程;(精确到
0.01)
(3)根据线性回归方程的残差图,分析线性回归方程的拟合效果.
20.已知椭圆 直线 过焦点 并与椭圆 C 交于 两点，且当直线
平行于 x 轴时， .
(1)求椭圆 C 的标准方程.
(2)若 ，求直线 的方程.
21.已知函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性.
(2)若 在区间 内有两个极值点，求实数 a 的取值范围.
22.在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，曲线 C 的极坐标方程为 ，
以极点为坐标原点 O，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线 与曲线
C 交于 两点.
(1)写出直线 的直角坐标方程以及曲线 C 的参数方程.
(2)若射线 与直线 交于点 N，求 的取值范围.
23.设函数 .
(1)解不等式 ；
y a bx= + 1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y bx= −
7 7
1 1
1074, 4517i i i
i i
y x y
= =
= =∑ ∑
( )2 2
2 2: 1 0y xC a ba b
+ = > > l 1(0 )F , M N, l
2MN =
2MF FN= l
( ) 2
2 ( )ln
xaef x x ax x
= + − ∈R
0a ≤ ( )f x
( )f x (0 )2,
l cos 4ρ θ = 2cos 2sinρ θ θ= +
(: 0 )0 1l y kx x k′ = ≥ < >
by xa
= ±
( )1,2 2 1b
a
= × 2b a=
2 2 5c a b a= + = e 5c
a
= =
( ) ( )5 2+ ⊥ −a b a b ( ) ( )5 2 0⋅+ − =a b a b 2 25 2 3 0− − ⋅ =a b a b
1=a 2=b 1⋅ = −a b
1cos , 2
⋅= = −⋅
a ba b a b
0 , 180° ≤ < °a b 2sin 2 cos2 1α α= − 24sin cos 2sinα α α∴ = − (0,π)α ∈ sin 0,2cos sinα α α∴ > = − cos 0α∴ < 2 2sin cos 1α α+ = 2 2 1 55cos 1,cos ,cos5 5 α α α∴ = = = −
解析：如图，不妨设 ，则 .由图易知区域②的面积 等于以 为直径
的半圆的面积减去区域①的面积，所以 ，而
，所以阴影部分的面积为 ，又整个图形的面积
，所以由几何概型概率的计算方法知，所求概率为 .
7.答案：A
解析：如图,设平面 平面 ,平面 ,因为 平面 ,
所以 ,则 所成角等于 所成的角,延长 ,过 作 ,连接
,则 为 ,同理 为 ,而 ,则 所成的角即为 所
成的角,即为 ,故 所成角的正弦值为 ,故选 A
8.答案：A
解析：由题意知
2 2AC = 2, 2AO AB= = S′ AB
( )221 1π 1 π 22 4 ABC AOBS S S ′ = × × − × × − = △ △
1 2 2 12AOBS = × × =△ 2 2AOBS =△
( )21 π 2 1 π 12S = × × + = + 2
π 1+
1 1CB D ∩ 'ABCD m= 1 1CB D 1 1 'ABB A n= / /α 1 1CB D
/ / ', / / 'm m n n ,m n ', 'm n AD 1D 1 1/ /D E B C
1 1,CE B D CE m′ 1 1B F 'n 1 1 1/ / , / /BD CE B F A B ', 'm n 1 ,A B BD
60 ,m n 3
2
3( )cos( ) ( )
e x
x x xf x f x
− −− = = −
所以函数 是奇函数,排除 C,D 选项,因为当 时, ,所以排除 B,选 A
9.答案：C
解析：根据题意，得函数 的最小正周期 ，所以 ，
又易知 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，①正确
，所以②正确；
当 时， ， ， 的最小值为 ，所以③不
正确；
令 ，解得 ，所以 的单调递增区
间为 ，当 时 的单调递增区间为 ，所以④不正确故选
C
10.答案：D
解析：由三视图可知，这个四面体为三棱锥，且三棱锥的每个顶点都在边长为 4 的正方体上，如下
图所示
三棱锥底面为直角边长等于 4 的等腰直角三角形，同时三棱锥的高为 4，三条侧棱长分别为
,
( )f x π(0, )2x∈ ( ) 0f x >
( )f x 2π 5 12 4 4T ω
= × −
= πω =
1 1π 2 π4 k k
ω ϕ+ = + ∈Z， 1 1
3 π 2 π4 k kϕ = + ∈Z，
0 πϕ< < 3π 4 ϕ = ( ) 3πsin π 4f x x + = 1 π 3πsin2 2 4f = + 3π 2cos 4 2 = = − 51, 2x ∈ 3π 7π 13ππ ,4 4 4x + ∈ 3π 2sin ,14 2πx + ∈ − ( )f x 2 2 − π 3π π2 π π 2 π2 4 2k x k k− + ≤ + ≤ + ∈Z， 5 12 24 4k x k k− + ≤ ≤ − + ∈Z, ( )f x 5 12 , 2 ,4 4k k k − + − + ∈ Z 1k = − ( )f x 13 9,4 4 − − 2 2 2 2 2 2 24 4 4 2, 4 4 4 2, 4 4 4 4 3+ = + = + + =
由图可知四面体的外接球与正方体的外接球为同一个外接球，所以外接球的半径
,故外接球表面积 ，故选项 D 正确.
11.答案：C
解析：设 ， 在 l 上的射影分别为 ，则 ，故
.又 ，所以 .因为
，所以 ，当且仅当
时等号成立,故 .故选 C
12.答案：C
解析：因为函数 在区间 上为单调函数，且当 时， 在 上
单调递增，所以 ，解得 .函数 有两个不同的零点等价于
有两个不同的实数根，所以函数 的图像与直线 有两个不同的交点，
作出函数 的大致图像与直线 ，如图，当 时，由 ，得
，易知函数 的图像与直线 在 内有唯一交点，则函数
的图像与直线 在 内有唯一交点，所以 或 .综上可知实数 a 的取值范围
是 .
13.答案：
解析：因为命题“ ”是假命题，
2 2 24 4 4R 2 32
+ += = 24 R 48S π π= =
,AF a BF b= = ,A B ,M N ,AF AM BF BN= =
2 2
AM BN a bPQ
+ += = AF BF⊥ 2 2 2 2AB AF BF a b= + = +
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 22 2 2 2 2
a b a ba b a b ab a b
+ ++ = + − ≥ + − = ( )2 2 2
2
a ba b
++ ≥ a b=
( )2 2
2
222 2 2
PQ a b a b
AB a ba b
+ += ≤ =
++ ×
( )f x ( ),−∞ +∞ 1x > ( )2( ) 1 5f x x a= − + ( )1,+∞
0 1
1 0 0 5
a
a
< R,
所以原命题的否定“ ”为真命题，
所以 ，解得 或 1.所以实数 a 的取值范围为 .
14.答案：4
解析：设圆心到直线 的距离为 d,
则弦长 ,
得 ,
即 ,
解得 ,
则直线 ,
数形结合可得 .
15.答案：23
解析：作出可行域如图中阴影部分所示,
易知 ,所以
2
0 02 1 0x x ax∃ ∈ − + ≤R,
24 4 0a∆ = − ≥ 1a ≤ − a ≥ [ )1( 1−∞ − ∪ + ∞, ］ ,
: 3 3 0l mx y m+ + − =
2| | 2 12 2 3AB d= − =
3d =
2
3 3
3
1
m
m
−
=
+
3
3m = −
: 3 6 0l x y− + =
4cos30
ABCD = =°
12
c ≥ 2c ≥
作出直线 并平移,分析可知,当平移后的直线经过直线 和直线
的交点时, 取得最大值,由 解得 ,故 ,解得
16.答案：6
解析：由题设得， ，
所以 ， ，
所以 ， .
所以 ，即 .又 ， ， ，
所以 ，所以 ，
所以 的面积 .
17.答案：(1)由 ，得 ①，
所以 ②，
由②-①，得 ，所以 ，
故数列 是公差为 2 的等差数列.
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 .
(2)由(1)得， ，
所以 .
解析：
2 0x y− + = 3 2 0x y c+ − = 2 1 0x y− + =
2z y x= − 3 2 0
2 1 0
x y c
x y
+ − =
− + =
2
7
2 3
7
cx
cy
− = + =
2 3 22 117 7
c c+ −× − =
23c =
( )22sin cos 2 2 cos sin cos2 2 2
A A AC C= −
( ) ( )sin 1 cos 2 cos sinC A C A+ = − sin sin cos 2sin cos sinC C A A C A+ = −
sin sin cos cos sin 2sinC C A C A A+ + = ( )sin sin 2sinC C A A+ + =
sin sin 2sinC B A+ = 2c b a+ = 3cos 5A = 4a = 8c b+ =
2 2 24 2 cosb c bc A− + − ( )2 2 2 cosb c bc bc A= + − − 15bc =
ABC△ 1 1 4sin 3 5 62 2 5S bc A= = × × × =
( ) 21n nn a S n+ = + ( )1n nna S n n= + −
( ) ( )1 11 1n nn a S n n+ ++ = + +
( ) 1 11 2n n nn a na a n+ ++ − = + 1 2n na a+ − =
{ }na
3 5a = 1 12 2 2 5a d a+ = + × = 1 1a =
( )1 2 1 2 1na n n= + − = −
13 4n
nb n −= + ×
( )0 1 11 2 3 4 4 4n
nT n −= + +…+ + × + + +
( )1 1 432 1 4
nn n + −= + × −
( )1 4 12
nn n += + −
18.答案：(1)易知 ，
， ， ， ， ，
又 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， .
为 的中点， ， ，
， .
又 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 .
(2)由(1)知 ，
， ， 平面 ， 平面 .
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 点 E 到平面 的距离为线段 的长.
.
解析：
19.答案：(1)根据散点图可知 y 与 x 正线性相关.
(2)由所给数据计算得
,
,
,
1BB CB⊥
3BC = 1AB = 2AC = 2 2 2BC AB AC∴ + = BC AB∴ ⊥
1BA BB B∩ = 1BA BB ⊂， 1 1ABB A
BC∴ ⊥ 1 1ABB A
1B E ⊂ 1 1ABB A 1BC B E∴ ⊥
E 1AA 1 1AE A E∴ = = 2 2
1 2BE B E∴ = =
2 2 2
1 1BE B E B B∴ + = 1BE B E∴ ⊥
BE BC B∩ = BE BC ⊂， BCE 1B E∴ ⊥ BCE
1B E ⊂ 1 1B C E ∴ EBC ⊥ 1 1EB C
BC AB⊥
1AB BB⊥ 1B B BC B∩ = 1B B BC ⊂， 1 1B C CB AB∴ ⊥ 1 1B C CB
1 1//A A B B 1B B ⊂ 1 1B C CB 1A A ⊄ 1 1B C CB
1 //A A∴ 1 1B C CB ∴ 1 1B C CB AB
1 1C BC E E BC CV V− −∴ =
1
1
3 BC CS AB= ⋅ ⋅△
1 1 33 2 13 2 3
= × × × × =
1 (1 2 ... 7) 47x = + + + =
7
2
1
( ) 28i
i
x x
=
− =∑
7 7 7
1 1 1
( )( ) 4517 4 1074 221i i i i i
i i i
x x y y x y x y
= = =
− − = − = − × =∑ ∑ ∑
,
,
所求线性回归方程为 .
(3)由题中的残差图知历年数据的残差均在-2 到 2 之间,说明线性回归方程的拟合效果较好.
解析：
20.答案：(1)当直线 平行于 x 轴时，直线 ，
则 ，即
又 ， ， ， .
椭圆 C 的标准方程为 .
(2)当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时不满足 .
且由(1)知当 时也不满足.
设直线 的斜率为 k，则直线 的方程为
设 ， .
联立得方程组 ，
消去 y 并整理，得 .
， .
， ，
7
1
4
2
1
( )( ) 221 7.8928( )
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
= = ≈
−
∑
∑
1074 7.89 4 121.877a y bx= − = − × ≈
7.89 121.87y x= +
l : 1l y =
2
2
12 1 2MN b a
−
= = 2
2
1 11 2b a
=
−
1c = 2 2 2a b c= + 2 2a∴ = 2 1b =
∴
2
2 12
y x+ =
l l 0x = 2MF FN=
0k =
l l 1( 0)y kx k= + ≠
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
2
2
1
12
y kx
y x
= +
+ =
( )2 22 2 1 0k kxx+ + − =
1 2 2
2
2
kx x k
∴ + = − + 1 2 2
1
2x x k
= − +
2MF FN=
1 22x x∴ = −
，即 ，解得
直线 的方程为 .
解析：
21.答案：(1)由题意可得 的定义域为 ，
，
当 时，易知 ，
所以，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)由(1)可得 ，
当 时 ，
记 ，则 ，
因为 在区间 内有两个极值点，
所以 在区间 内有两个零点，所以 .
令 ，则 ，
①当 ，即 时，在 上， ，所以在 上，
单调递减， 的图象至多与 x 轴有一个交点，不满足题意
②当 ，即 时，在 上， ，所以在 上，
单调递增， 的图象至多与 x 轴有一个交点，不满足题意.
( )2
1 2
1 2
1
2
x x
x x
+∴ = − ( )2 24 2 2k k= + 14
7k = ±
∴ l 14 17k x= ± +
( )f x (0 )+ ∞,
( ) ( )
2 3
21 2 xae xf x x x x
−′ = − − ( )( )
3
2xx ae x
x
− −
=
0a ≤ 0xx ae− >
( ) 0f x′ < 0 2x< < ( ) 0f x′ > 2x >
( )f x (0 )2, ( )2 + ∞,
( ) ( )( )
3
2xx ae x
f x x
− −′ =
0 2x< < 3 2 0x x − < ( ) xg x x ae= − ( ) 1 xg x ae′ = − ( )f x (0 )2, ( )g x (0 )2, 0a >
( ) 0g x′ = lnx a= −
ln 0a− ≤ 1a ≥ (0 )2, 0( )g x′ < (0 )2, ( )g x ( )g x ln 2a− ≥ 2 10 a e < ≤ (0 )2, ( ) 0g x′ > (0 )2,
( )g x ( )g x
③当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 知，要使 在区间 内有两个零点，
必须满足 ，解得 ，
综上所述，实数 a 的取值范围是 .
解析：
22.答案：(1)依题意，直线 的直角坐标方程为 .
曲线 ，故 ，故 ，
故曲线 C 的参数方程为 ，(φ 为参数).
(2)设 ， ，则 ， .
所以
.
因为 ，故 ，所以 ，所以 .
所以 ，故 的取值范围是 .
解析：
23.答案：(1) ，
所以不等式 等价于 ，或 ，或 ，
0 ln 2a< − < 2 1 1ae < < ( )g x (0 )lna−, ( ln 2)a− , ( )0 0g a= − < ( )g x (0 )2, ( ) ( ) 2 ln ln 1 0 2 2 0 g a a g ae − = − − > = −
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