破解椭圆中最值问题的常见策略---4.11

1 破解椭圆中最值问题的常见策略 有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考 查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性 强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问 题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为 解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。 题型一 求离心率的最值问题 策略一：建立 的不等式或方程 例 1：若 为椭圆 的长轴两端点， 为椭圆上一点，使 ， 求此椭圆离心率的最小值。 分析：建立 之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想， 但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中 的取值进行求解离心率的最值。 解析：不妨设 ，则 ， 利用到角公式及 得： （ ）， 又点 在椭圆上，故 ，消去 ， 化简得 又 即 则 ，从而转化为关于 的高次不等式 解得 。 故椭圆离心率的最小值为 。（或 ，得： ，由 ， 故 ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立 之间的关系。常用椭圆上的点 表示成 ， cba ,, BA, )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x Q 0120=∠AQB cba ,, yx, ),(),0,(),0,( yxQaBaA − ax ykax yk BQAQ −=+= , 0120=∠AQB 0120tan 1 = −++ −−+ ax y ax y ax y ax y ax ±≠ A 2 2 2 22 yb aax −=− x 2 2 3 2 c aby = by ≤ b c ab ≤ 2 2 3 2 4222 3)(4 ccaa ≤− e 0443 24 ≥−+ ee 13 6 1 2,F F 1 2FQ F Q⊥ ααβαβα cossin 2 cossinsinsin90sin 2 2121 0 +=+ +=== aPFPFPFPFc 2 2 )45sin(2 1 0 ≥ + = αe 2 23 题型二 求点点（点线）的最值问题 策略三：建立相关函数并求函数的最值 例 3：点 A、B 分别是椭圆 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上， 且位于 轴上方， 。（1）求点 P 的坐标；（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于 ，求椭圆上的点到点 M 的距离 的最小值。 分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数 的最值问题进行求解。 解析：（1）略 （2）直线 AP 的方程是 － +6=0。 设点 M( ,0),则 M 到直线 AP 的距离是 。 于是 = ,又－6≤ ≤6,解得 =2。 设椭圆上的点( , )到点 M 的距离 , 由于－6≤ ≤6, ∴当 = 时,d 取得最小值 点评：对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数——二次函数的最 值问题求解。 12036 22 =+ yx x PFPA ⊥ || MB d x 3 y m 2 6+m 2 6+m 6+m m m x y d 2 2 2 2 2 25 4 9( 2) 4 4 20 ( ) 159 9 2d x y x x x x= − + = − + + − = − + m x 2 9 154 策略四：利用椭圆定义合理转化 例 4：定长为 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 上移动，求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 的最短距离。 解析：设 F 为椭圆的右焦点，如图作 于 A'， BB'⊥ 于 B'，MM'⊥ 于 M'，则 当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。故 M 到椭圆右准线的最短距离为 。 点评： 是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值， 是 AB 过焦点的充要条件。通过 定义转化避免各种烦琐的运算过程。 ( ) e d e ABBFAFee BF e AFBBAA MM 222 1 2 1 2|| // / =≥+=      += + =5 y O xF2F1 A2A1 P M 题型三 求角的最值问题 例 5：如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，长轴 A1A2 的长为 4，左准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1。 (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线 l 1：x＝m(|m|＞1)，P 为 l 1 上的动点，使∠F1PF2 最大的点 P 记为 Q，求点 Q 的坐标 (并用 m 表示) 。 分析：本题考查解析几何中角的最值问题常采用到角 （夹角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，结合 本题的实际，考虑用夹角公式较为妥当。 解析：（Ｉ）（过程略） （II）设 P( ①当 时， ②当 时, 只需求 的最大值即可。 直线 的斜率 ，直线 的斜率 利用夹角公式得： 当且仅当 = 时， 最大，最大值为 。 点评：对于此类最值问题关键是如何将角的最值问题转化成解析几何中的相关知识最值问题，一般 可用到角（夹角）公式、余弦定理、向量夹角进行转化为求分式函数的值域问题。 题型四 求（三角形、四边形等）面积的最值问题 2 2 14 3 yx + = 0, ),| | 1m y m > 0 0y = 1 2 0F PF∠ = 0 0y ≠ 1 2 10 2F PF PF M π< ∠ < ∠ < ∴ 1 2tan F PF∠ 1PF 0 1 1 yK m = + 2PF 0 2 ,1 yK m = − 02 1 1 2 2 2 1 2 0 2 | |tan | |1 1 yK KF PF K K m y −∴ ∠ = =+ − + 1 1 ||12 ||2 2 0 2 0 − = ⋅− ≤ mym y 2 1m − 0| |y 1 2F PF∠ 1 1arctan 2 −m6 y Q P N M F O x 例 6： 、 、 、 四点都在椭圆 上， 为椭圆在 轴正半轴上的焦点．已知 与 共线， 与 共线，且 ．求四边形 的面积的最小值和最大值． 分析：本题是向量与解析几何的结合，主要是如何选择一个适当的面积计算公式达到简化运算过程， 并结合分类讨论与求最值的思想。 解析：①如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F(0,1)，且 PQ⊥MN，直线 PQ、 NM 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 ，又 PQ 过点 F(0,1)，故 PQ 的方程为 = +1 将此式代入椭圆方程得(2+ ) +2 －1=0 设 P、Q 两点的坐标分别为( ， )，( ， )，则 从而 亦即 (1)当 ≠0 时，MN 的斜率为－ ，同上可得： 故所求四边形的面积 令 = 得 ∵ = ≥2 当 =±1 时 =2，S= 且 S 是以 为自变量的增函数。∴ ②当 =0 时，MN 为椭圆长轴，|MN|=2 ，|PQ|= 。∴S= |PQ||MN|=2 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2，最小值为 。 点评：对于此类最值问题关键是选择一个适当或合理的面积公式转化成常见函数——反比例函数形 式的最值问题。 题型五 求线段之和（或积）的最值问题 策略五：利用垂线段小于等于折线段之和。 P Q M N 2 2 12 yx + = F y PF FQ MF FN 0PF MF⋅ =  PMQN k y kx 2k 2x kx 1x 1y 2x 2y 2 2 1 22 2 2 2 2 2,2 2 k k k kx xk k − − + − + += =+ + 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 8(1 )| | ( ) ( ) (2 ) kPQ x x y y k += − + − = + 2 2 2 2(1 )| | 2 kPQ k += + k 1 k 2 2 12 2(1 (1 ) ) | | 12 ( ) kMN k + − = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 14(1 )(1 ) 4(2 )1 | || | 1 22 (2 )(2 ) 5 2 k kk kS PQ MN k kk k + + + + = = = + + + + u 2 2 1k k + 4(2 ) 12(1 )5 2 5 2 uS u u += = −+ + u 2 2 1k k + k u 16 9 u 16 29 S≤ < k 2 2 1 2 16 97 例 7：若椭圆 内有一点 ， 为右焦点，椭圆上的点 使得 的 值最小，则点 的坐标为 （ ） A． B． C． D． 提示：联系到 将 用第一定义转化成点到相应准线的距离问题，利用垂线段最短的思想 容易得到正确答案。选 。思考：将题中的 2 去掉会怎样呢？ 策略六：利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边 例 8：如图，在直线 上任意取一点 ，经过 点且以椭圆 的焦点作 椭圆，问当 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？ 分析：要使所作椭圆的长轴最短，当然想到椭圆的定义。基本的解题思路如下：长轴最短 三点一 直线 寻求对称 对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解 题方法。通过此对称性主要利用 解析：椭圆的两焦点分别为 （－3，0）、 （3,0）， 作 关于直线 的对称点 ，则直线 的方程为 由方程组 　　得 的坐标（－6，3）， 由中点坐标公式得的 坐标（－9,6）,所以直线 的方程 。 解方程组 　　得 点坐标（－5,4）。由于 ，　　 点评：对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最短、垂线 段最短的思想。 除了上述几类之外，高考中还有数量积的最值问题、直线斜率（或截距）的最值问题等等，由 此可见对于椭圆中的最值问题所涉及范围较广，从中也渗透了求最值的一些常规方法，运用定义、 平面几何知识可更有效地将最值问题转化成形的最值问题。 134 22 =+ yx ( )1,1P F M ||2|| MFMP + M 2 6( ,1) 3 ± 2 6( ,1) 3 3(1, )2 ± 3(1, )2 1 2e = ||2 MF B 09: =+− yxl M M 1312 22 =+ yx M → → → |||||| / 1221 FFNFNF ≥+ 1F 2F 1F l ' 1F ' 11FF 3−=+ yx    −=− −=+ 9 3 yx yx P ' 1F ' 12 FF 32 =+ yx    −=− =+ 9 32 yx yx M 5621802 ' 1 === aFF P M y O l F1 F2 x ' 1F N8