人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：圆锥曲线的性质与结论

1 圆锥曲线的性质与结论 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系 位置关系：相交、相切、相离． 判定条件：设直线 ： ，椭圆方程 ： ，由 消去 （或消去 ）得： ． ， 相交，直线与椭圆有两个交点； 相离，直线与椭圆无交点； 相切，直线与椭圆有一个交点． 2.直线与双曲线的位置关系 位置关系：相交、相切、相离； 对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切； 判定条件：设直线 ： ，双曲线 ： ，由 消去 （或消去 ）得： ．若 ， ， 相交，直线与双曲线有两个交点； 相离，直线与双曲线无交点； 相切．直线与双曲线有一个交点． 若 ，得到一个一次方程，与双曲线相交，有一个交点， 与双曲线的渐近线平行． l 0Ax By C+ + = C ( ) 0f x y =， 0 ( ) 0 Ax By C f x y + + =  = ， y x 2 0ax bx c+ + = 2 4b ac∆ = − 0∆ > ⇔ 0∆ < ⇔ 0∆ = ⇔ l 0Ax By C+ + = C ( ) 0f x y =， 0 ( ) 0 Ax By C f x y + + =  = ， y x 2 0ax bx c+ + = 0a ≠ 2 4b ac∆ = − 0∆ > ⇔ 0∆ < ⇔ 0∆ = ⇔ 0a = l2 3.直线与抛物线的位置关系 位置关系：相交、相切、相离． 对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切； 判定条件：设直线 ： ，抛物线 ： ，由 消去 （或消去 ）得： ．若 ， ， 相交； 相离； 相切． 若 ，得到一个一次方程，与抛物线相交，有一个交点， 与抛物线的对称轴平行． 4.圆锥曲线的弦：连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦． 求弦长方法： 1）将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求； 2）如果直线的斜率为 ，被圆锥曲线截得弦 两端点坐标分别为 ，则弦长公式为 ． 两根差公式：如果 满足一元二次方程： ， 则 （ ）． 注意： （1）讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元（ 或 ），若消去 得到 ，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注意的是： ①二次项系数 可能有 或 两种情况，只有当 ，才能用 判断根的个数； ②直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切． l 0Ax By C+ + = C ( ) 0f x y =， 0 ( ) 0 Ax By C f x y + + =  = ， y x 2 0ax bx c+ + = 0a ≠ 2 4b ac∆ = − 0∆ > ⇔ 0∆ < ⇔ 0∆ = ⇔ 0a = l k AB 1 1 2 2( ) ( )x y x y， ， ， 2 2 1 2 1 2 1| | 1 1AB k x x y yk  = + − = + −   1 2x x， 2 0ax bx c+ + = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4( ) 4 4b c b acx x x x x x a a a a − ∆ − = + − = − − ⋅ = =   0∆ > x y y 2 0ax bx c+ + = a 0a = 0a ≠ 0a ≠ ∆3 （2）在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方便快捷， 要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较． （3）当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中 点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还 应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．4 二、圆锥曲线的常用结论 1.椭圆 1）点 处的切线 平分 在点 处的外角. 2） 平分 在点 处的外角，则焦点在直线 上的射影 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. 3）以焦点半径 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 4）若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 . 5）若 在椭圆 外 ，则过 作椭圆的两条切线切点为 、 ，则切点弦 的 直线方程是 . 6）椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 为椭圆上任意一点 ， 则椭圆的焦点角形的面积为 . 7）椭圆 的焦半径公式： , ( ， ， ). 8） 是椭圆 的不平行于对称轴的弦， 为 的中点，则 ， 即 。 9）若 在椭圆 内，则被 所平分的中点弦的方程是 . 10）若 在椭圆 内，则过 的弦中点的轨迹方程是 . 2.双曲线 P PT 1 2PFF△ P PT 1 2PFF△ P PT H 1PF 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b + = 0P 0 0 2 2 1x x y y a b + = 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b + = 0P 1P 2P 1 2PP 0 0 2 2 1x x y y a b + = 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 1F 2F P 1 2FPF γ∠ = 1 2 2 tan 2F PFS b γ ∆ = 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 1 0| |MF a ex= + 2 0| |MF a ex= − 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c 0 0( , )M x y AB 2 2 2 2 1x y a b + = M ),( 00 yx AB 2 2OM AB bk k a ⋅ = − 0 2 0 2 ya xbK AB −= 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b + = 0P 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b + = 0P 2 2 0 0 2 2 2 2 x x y yx y a b a b + = +5 1）点 处的切线 平分 2 在点 处的内角. 2） 平分 在点 处的内角，则焦点在直线 上的射影 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. 3）以焦点半径 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切： 在右支；外切： 在左支） 4）若 在双曲线 上，则过 的双曲线的切线方程是 . 5）若 在双曲线 外 ，则过 作双曲线的两条切线切点为 、 ， 则切点弦 的直线方程是 . 6）双曲线 的左右焦点分别为 ， ，点P为双曲线上任意一点 ， 则双曲线的焦点角形的面积为 . 7）双曲线 的焦半径公式：( , ) 当 在右支上时， , . 当 在左支上时， , 8） 是双曲线 的不平行于对称轴的弦， 为 的中点，则 ，即 。 9）若 在双曲线 内，则被 所平分的中点弦的方程是 . 10）若 在双曲线 内，则过 的弦中点的轨迹方程是 P PT 1PF F△ P PT 1PF F△ P PT H 1PF P P 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > 0P 0 0 2 2 1x x y y a b − = 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > 0P 1P 2P 1 2PP 0 0 2 2 1x x y y a b − = 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > 1F 2F 1 2FPF γ∠ = 1 2 2 tan 2 F PF bS γ∆ = 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c 0 0( , )M x y 1 0| |MF ex a= + 2 0| |MF ex a= − 0 0( , )M x y 1 0| |MF ex a= − − 2 0| |MF ex a= − + AB 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > M ),( 00 yx AB 0 2 0 2 ya xbKK ABOM =⋅ 0 2 0 2 ya xbK AB = 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > 0P 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 x x y y x y a b a b − = − 0 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > 0P6 . 3.抛物线 1）基本性质 标准方程： 焦点： 通径： 准线： ； 焦半径： ， 过焦点弦长： ， 2）抛物线切线性质 性质 1：过抛物线一弦 的中点平行于对称轴的直线与抛物线交于点 ，若过 的切线为 ， 则 性质 2：过抛物线上一点 的切线交其对称轴于点 ，则 性质 3：过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上 性质 4：过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直 性质 5：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 性质 6：切线交点与弦中点连线平行于对称轴 性质 7：过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线，则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切 线平分 性质 8：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径 性质 9：从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂足必在抛物线顶点的切线上 2 2 0 0 2 2 2 2 x x y yx y a b a b − = − 2 2 ( 0)y px p= > 02 p    ， 2AB p= 2 px = − 1 2 pCF x= + 1 2 1 22 2 p pCD x x x x p= + + + = + + 2 2 1 2 1 24 px x y y p= = −， AB P P PT PT / / AB P T PF TF=7 性质 10：过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线的连线必 平行于此抛物线的对称轴 性质 11：抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上 3）抛物线焦点弦性质 已知： 过焦点， 为 的中点， 性质 1： 以 为直径的圆与准线相切于 性质 2： 性质 3： 性质 4： 垂直平分 ， 垂直平分 平分 ， 平分 性质 5： 性质 6： 性质 7： 性质 8：以 为直径的圆分别与 轴相切 性质 9： 过原点 ， 过原点 性质 10：过 点作 并延长交准线于 ，则 平行于 轴 性质 11： 性质 12： AB Q AB 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ' 'AQ BQ⊥ ⇔ AB 'Q ' 'A F B F⊥ 'Q F AB⊥ 'Q B 'B F 'Q A ' 'A F AQ⇔ 'A AF∠ 'BQ 'B BF∠ 2'Q F AF BF= 2 2 1 2 1 2,4 px x y y p= = − 2 ' minQ ABS p=  ,AF BF y 'AB O 'A B O A AO 'B 'BB x 1 cos pAF α= − ;( )1 cos pBF AFx αα= ∠ =+ 1 1 2 ;AF BF p + = 1 2 2 2 sin pAB x x p α= + + = 2 2sinABC pS α=  2' ' 4A B AF BF=8 例题分析 1．已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°， 则 C 的离心率为 【解答】F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°， 可得椭圆的焦点坐标 F2（c，0）， 所以 P（ 1 2c， 3 2 c）．可得： 푐2 4푎2 + 3푐2 4푏2 = 1，可得 1 4푒2 + 3 4( 1 푒2 ― 1) = 1，可得 e4﹣8e2+4=0，e ∈（0，1），解得 e= 3 ―1． 　 2．设椭圆퐶： 푥2 4 + 푦2 = 1的左焦点为 F，直线 l：y=kx（k≠0）与椭圆 C 交于 A，B 两点， 则|AF|+|BF|的值是 【解答】如图，设 F2 是椭圆的右焦点，∵O 点为 AB 的中点，丨 OF 丨=丨 OF2 丨，则四 边形 AFBF2 是平行四边形，∴AF=BF2．∴|AF|+|BF|=丨 BF 丨+丨 BF2 丨=2a=4， 　9 3 ．已知椭圆 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎＞푏＞0)的左焦点 F1 ，过点 F1 作倾斜角为 30° 的直线与圆 x2+y2=b2 相交的弦长为 3푏，则椭圆的离心率为 【解答】椭圆 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎＞푏＞0)的左焦点 F1（﹣c，0），过点 F1 作倾斜角为 30°的直 线 y= 3 3 (푥 + 푐)与圆 x2+y2=b2 相交的弦长为 3푏， 可得：( | 3 3 푐| 1 + ( 3 3 )2 )2 = 푏2 ―( 3푏 2 )2，可得：b=c，则 a= 2푐，则椭圆的离心率为： 2 2 　 4．已知 F1，F2 是椭圆 E： 푥2 푎2 + 푦2 푏2=1（a＞b＞0）的左右焦点，若 E 上存在不同两点 A， B，使得 → 퐹1퐴 = 3 → 퐹2퐵，则该椭圆的离心率的取值范围为 【解答】延长 AF1 交椭圆于 A1，根据椭圆的对称性，则 → 퐹2퐵= → 퐴1퐹1， → 퐹1퐴= 3 → 퐴1퐹1， 设直线 AA1 的方程 x=my﹣c，A（x1，y1），A1（x2，y2）， 联立{푥 = 푚푦 ― 푐 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1，整理得：（b2m2+a2）y2﹣2b2mcy﹣b4=0，则 y1+y2= 2푏2푚푐 푏2푚2 + 푎2，y1y2=﹣ 푏4 푏2푚2 + 푎2，由 → 퐹1퐴= 3 → 퐴1퐹1，则 y1=﹣ 3y2， 解得：y2= 2푏2푚푐 (1 ― 3)(푏2푚2 + 푎2) ，y1= ―2 3푏2푚푐 (1 ― 3)(푏2푚2 + 푎2) ， 由 y1y2= ―2 3푏2푚푐 (1 ― 3)(푏2푚2 + 푎2) • 2푏2푚푐 (1 ― 3)(푏2푚2 + 푎2) =﹣ 푏4 푏2푚2 + 푎2， 整理得：m2= (2 ― 3)푎2 2 3푐2 ― (2 ― 3)푏2＞0， 则 2 3c2﹣（2﹣ 3）b2＞0，即 푐2 푎2＞2 ― 3 2 + 3=（2﹣ 3）2，10 ∴椭圆的离心率 e= 푐 푎＞2﹣ 3，∴椭圆的离心率的取值范围（2﹣ 3，1）， 　 5．如图，F 为椭圆 푥2 푎2+푥2 푏2=1（a＞b＞0）的右焦点，过 F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，点 A，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积是△OPF 面积的 5 2 倍，则该椭圆的离心率是 【解答】设 P（c，y0），则 푐2 푎2 + 푦0 2 푏2 = 1，可得 P（c，﹣ 푏2 푎 ）． S△푂퐴퐵 = 1 2푎푏，푆△푂푃퐹 = 1 2푐 ⋅ 푏2 푎 ， ∵△OAB 的面积是△OPF 面积的 5 2倍，∴ab= 5 2 ⋅ 푏2푐 푎 ，⇒2a2=5bc，∴푐 푏 = 2，或 1 2 ⇒ 푏 푐 + 푐 푏 = 5 2，∴푐 푏 = 2，或 1 2．∴e= 푐2 푎2 = 푐2 푐2 + 푏2= 5 5 或 2 5 5 ． 6．过双曲线 M：x2﹣ 푦2 3 =1 的左焦点 F 作圆 C：x2+（y﹣3）2= 1 2的切线．此切线与 M 的左 支、右支分别交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点到 x 轴的距离为 【解答】过双曲线 M：x2﹣ 푦2 3 =1 的左焦点 F（﹣2，0），11 圆 C：x2+（y﹣3）2= 1 2的圆心（0，3），半径为： 2 2 ， 双曲线 M：x2﹣ 푦2 3 =1 的左焦点 F 作圆 C：x2+（y﹣3）2= 1 2的切线． 设切线方程为：y=k（x+2），可得 |2푘 ― 3| 1 + 푘2 = 2 2 ，解得 k=1 或 k= 17 7 ＞ 3（舍去）， 所以切线方程为：y=x+2．代入双曲线方程，化简可得：2x2﹣4x﹣7=0， 可得中点的横坐标为：x0=1，纵坐标 y0=3．则线段 AB 的中点到 x 轴的距离为：3． 　 7．已知双曲线 푥2 푎2﹣ 푦2 푏2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线截椭圆 푥2 4 +y2=1 所得弦长为 4 3 3 ，则 此双曲线的离心率等于 【解答】双曲线 푥2 푎2﹣ 푦2 푏2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx﹣ay=0，则：{푏푥 ― 푎푦 = 0 푥2 4 + 푦2 = 1， 消去 y 可得：x= ± 2푎 푎2 + 4푏2，y=± 2푏 푎2 + 4푏2 一条渐近线截椭圆 푥2 4 +y2=1 所得弦长为 4 3 3 ， 可得： 4푎2 + 4푏2 푎2 + 4푏2 = 4 3，可得 2a2=b2=c2﹣a2，解得 e= 푐 푎 = 3． 8．已知双曲线 푥2 푎2 ― 푦2 푏2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为 F1（﹣c，0），F2（c，0），过双 曲线上一点 P（c，y0）作 y 轴的垂线，垂足为 M，若 PF1⊥MF2，则该双曲线的离心率为 【解答】不妨设 P 在第一象限，则 P（c， 푏2 푎 ），故 M（0， 푏2 푎 ），12 ∴k푃퐹1= 푏2 푎 2푐= 푏2 2푎푐，k푀퐹2= 푏2 푎 ―푐=﹣ 푏2 푎푐， ∵PF1⊥MF2，∴ 푏2 2푎푐•（﹣ 푏2 푎푐）=﹣1，即 b2= 2ac，∴푏2 푎2= 2e，即 e2﹣ 2e﹣1=0， 解得 e= 2 + 6 2 或 e= 2 ― 6 2 （舍）． 9．已知双曲线퐶： 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎＞0，푏＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2 作平行于 C 的渐近线的直线交 C 于点 P，若 PF1⊥PF2，则 C 的渐近线方程为 【解答】如图，设 P（x，y），根据题意可得 F1（﹣c，0）、F2（c，0）， 双曲线的渐近线为：y= 푏 푎x， 直线 PF2 的方程为：y= 푏 푎（x﹣c），① 直线 PF1 的方程为：y=﹣ 푏 푎（x+c），② 又点 P（x，y）在双曲线上，∴푥2 푎2﹣ 푦2 푏2=1，③ 联立①③，可得 x= 푎2 + 푐2 2푐 ，联立①②，可得 x= 푏2 ― 푎2 푎2 + 푏2•c= 푏2 ― 푎2 푐 ， ∴푎2 + 푐2 2푐 = 푏2 ― 푎2 푐 ，∴a2+a2+b2=2b2﹣2a2，∴b2=4a2，∴b=2a，∴C 渐近线方程为 y=±2x13 10．已知双曲线 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎＞0，푏＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的 右支上，且|PF1|=4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是 【解答】根据题意，双曲线 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎＞0，푏＞0)中，点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|﹣|PF2|=2a，又由|PF1|=4|PF2|， 则|푃퐹2| = 2푎 3 ， 则有 2푎 3 ≥ 푐 ― 푎， 变形可得： 2 3≥e﹣1， 即可得：e≤5 3， 则双曲线的离心率取值范围为(1， 5 3]． 11．已知双曲线 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F1 作圆 C： x2+y2=a2 的切线 l，点 M 在直线 l 上，且|MF1|﹣|MF2|=2a，且∠F1MF2=45°，则双曲线的 渐近线方程为 【解答】∵|MF1|﹣|MF2|=2a，∴M 在双曲线的右支上， 设直线 l 与圆 C：x2+y2=a2 的切点为 A，则 OA=a，OA⊥F1M， ∴F1A= 푂퐹1 2 ― 푂퐴2= 푐2 ― 푎2=b， ∴直线 l 的斜率为 tan∠AF1O= 푎 푏，∴直线 MF1 的方程为 y= 푎 푏x+푎푐 푏 ， 设 l 与 y 轴交于 B 点，则 B（0， 푎푐 푏 ），∴yM= 2푎푐 푏 ，14 把 yM= 2푎푐 푏 代入 y= 푎 푏x+푎푐 푏 可得 xM=c，∴M（c， 2푎푐 푏 ）， 又 F2（c，0），∴MF2⊥x 轴， ∵∠F1MF2=45°，∴∠A1FO=45°，∴tan∠AF1O= 푎 푏=1，即 a=b． ∴双曲线的渐近线方程为：y=±x． 12．若抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点在直线 x+2y﹣2=0 上，则 p 等于 【解答】根据题意，抛物线 C 方程为 y2=2px（p＞0），其抛物线的焦点在 x 轴正半轴上， 其焦点坐标为（ 푝 2，0）， 又由抛物线的焦点在直线 x+2y﹣2=0 上，则有 푝 2﹣2=0，解可得 p=4， 13．点 P 是双曲线 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1右支上一点，F1、F2 分别为左、右焦点．△PF1F2 的内切圆 与 x 轴相切于点 N．若点 N 为线段 OF2 中点，则双曲线离心率为 【解答】∵△PF1F2 的内切圆与 x 轴相切于点 N．， 设切点分别为 N，A，B，并设 PA=PB=x，BF1=NF1=y，AF2=NF2=z， 根据双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a，∴（x+y）﹣（x+z）=2a，y+z=2c，解得 z=c﹣a， ∵点 N 为线段 OF2 中点，∴z= 1 2c，∴1 2c=c﹣a，∴c=2a，∴e=2．15 14．等腰直角三角形 ABC 中，A=90°，A，B 在双曲线 D 的右支上，且线段 AB 经过双曲 线的右焦点 F，C 为双曲线 D 的左焦点，则 |퐴퐹| |퐹퐵|= 【解答】设|AF|=m，则|AC|=m+2a，∵|AC|=|AB|，∴|BF|=m+a，|BC|=m+3a， ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴|BC|= 2|AC|，即 m+3a= 2（m+2a）， ∴m=（ 2﹣1）a，∴|AF|=（ 2﹣1）a，|BF|= 2a，∴|퐴퐹| |퐵퐹|= 2 ― 1 2 = 2 ― 2 2 ． 15．已知点 A 是抛物线 C：x2=2py（p＞0）的对称轴与准线的交点，过点 A 作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 P，Q，若△APQ 的面积为 4，则 p 的值为 【解答】设过点 A 与抛物线相切得直线方程为 y=kx﹣ 푝 2）． 由{푦 = 푘푥 ― 푝 2 푥2 = 2푝푦 得 x2﹣2pkx+p2，△=4k2p2﹣4p2=0，可得 k=±1， 则 Q（p， 푝 2），P（﹣p， 푝 2），∴△APQ 的面积为 S= 1 2 × 2푝 × 푝 = 4，∴p=2．16 16．已知抛物线 y2=4x，过焦点 F 的弦 AB（点 A 在一象限），P（0，6），O 为坐标原点， 则四边形 OPAB 面积的最小值为 【解答】设 A（x1，y1），B（x2，y2）且 x1，y1＞0，易知 F（1，0）， 设直线 AB：x=my+1 由{푥 = 푚푦 + 1 푦2 = 4푥⇒푦2 ―4푚푦 ― 4 = 0，所以푦1푦2 = ―4⇒푦2 = ― 4 푦1 ， ∴푆푂푃퐴퐵 = 푆△푂푃퐴 + 푆△푂퐹퐴 + 푆△푂퐹퐵 = 3푦1 2 4 + 1 2푦1 + 2 푦1 (푦1＞0)， 设 f（x）= 3 4x2+1 2x+2 푥，x＞0，∴f′（x）= 3 2x+1 2﹣ 2 푥2= (푥 ― 1)(3푥2 + 4푥 + 4) 2푥2 ， 易知 f（x）在（0，1）减，（1，+∞）增，所以当 y1=1 时，(푆푂푃퐴퐵)푚푖푛 = 9 4， 17．已知 F1，F2 是双曲线 C： 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A，B 是双曲线的 左右顶点，M 是以 F1，F2 为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点，若∠AMB=45°，则 该双曲线的离心率是　 5　．17 【解答】双曲线 C： 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程玩：bx﹣ay=0， 以 F1，F2 为直径的圆：x2+y2=c2，可得{푏푥 ― 푎푦 = 0 푥2 + 푦2 = 푐2，不妨设 M（a，b）， 可知 MB⊥x 轴．∠AMB=45°，所以∠MAB=45°， ∴푘푀퐴 = 푏 ― 0 푎 ― ( ― 푎)=1，可得 b=2a，可得 c2﹣a2=4a2，解得 e= 5． 18．设双曲线 푦2 푎2 ― 푥2 푏2 = 1(푎＞0，푏＞0)的虚轴长为 2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线方 程为　y=± 2x　． 【解答】双曲线 푦2 푎2 ― 푥2 푏2 = 1(푎＞0，푏＞0)的虚轴长为 2，a=1，푐 = 3，则 b= 2， 双曲线的渐近线方程为：푦 =± 2푥． 故答案为：푦 =± 2푥． 19．已知点 M，N 分别是椭圆퐶： 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎＞푏＞0)的左右顶点，F 为其右焦点，|MF|18 与|FN|的等比中项是 3，椭圆的离心率为 1 2． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设不过原点 O 的直线 l 与该轨迹交于 A，B 两点，若直线 OA，AB，OB 的斜率依次 成等比数列，求△OAB 面积的取值范围． 【解答】（1）|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，3是|MF|与|FN|的等比中项． ∴（a+c）（a﹣c）=3， ∴b2=a2﹣c2=3．又푒 = 푐 푎 = 1 2，解得 a=2，c=1， ∴椭圆 C 的方程为 푥2 4 + 푦2 3 = 1． （2）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0． 故可设直线 l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线和椭圆{3푥2 + 4푦2 ― 12 = 0 푦 = 푘푥 + 푚，消去 y 可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0， 由题意可知，△=64km﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0， 即 4k2+3＞m2， 且푥1 + 푥2 = ― 8푘푚 3 + 4푘2，푥1푥2 = 4푚2 ― 12 3 + 4푘2 ， 又直线 OA，AB，OB 的斜率依次成等比数列，所以 푦1 푥1 ⋅ 푦2 푥2 = 푘2， 将 y1，y2 代入并整理得 m2（4k2﹣3）=0， 因为 m≠0，푘 =± 3 2 ，0＜m2＜6，且 m2≠3， 设 d 为点 O 到直线 l 的距离，则有푑 = 2|푚| 7 ，|퐴퐵| = 1 + 푘2|푥1 ― 푥2| = 7 3 18 ― 3푚2， 所以푆△푂퐴퐵 = 1 2|퐴퐵|푑 = 1 3 3푚2(6 ― 푚2)＜ 3， 所以三角形面积的取值范围为(0， 3)．19 20．已知椭圆퐶： 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎＞푏＞0)过抛物线 M：x2=4y 的焦点 F，F1，F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，且 → 퐹1퐹 ⋅ → 퐹1퐹2 = 6． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l 与抛物线 M 相切，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，求△OAB 面积的最大 值． 【解答】（1）∵F（0，1），∴b=1，又 → 퐹1퐹 ⋅ → 퐹1퐹2 = 6， ∴2푐2 = 6，푐 = 3．又 a2﹣b2=c2，∴a=2， ∴椭圆 C 的标准方程为 푥2 4 + 푦2 = 1． （2）设直线 l 与抛物线相切于点 P（x 0，y0），则푙：푦 ― 푥2 0 4 = 푥0 2 (푥 ― 푥0)，即푦 = 푥0 2 푥 ― 푥2 0 4 ， 联立直线与椭圆{푦 = 푥0 2 푥 ― 푥2 0 4 푥2 4 + 푦2 = 1 ，消去 y，整理得(1 + 푥2 0)푥2 ― 푥3 0푥 + 1 4푥4 0 ―4 = 0． 由 △= 16(푥2 0 +1) ― 푥4 0＞0，得0＜푥2 0＜8 + 4 5． 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则：푥1 + 푥2 = 푥3 0 1 + 푥2 0 ，푥1푥2 = 푥4 0 ― 16 4(1 + 푥2 0) ． 则|퐴퐵| = 1 + 푥2 0 4 |푥1 ― 푥2| = 1 + 푥2 0 4 (푥1 + 푥2)2 ― 4푥1푥2 = 4 + 푥2 0 2 ⋅ 16(푥2 0 + 1) ― 푥4 0 1 + 푥2 0 原点 O 到直线 l 的距离푑 = 푥2 0 2 푥2 0 + 4 ． △OAB 面积푆 = 1 2푑 ⋅ |퐴퐵|= 1 8 푥2 0 16(푥2 0 + 1) ― 푥4 0 1 + 푥2 0 = 1 8 [16(푥2 0 + 1) ― 푥4 0] ⋅ 푥4 0 1 + 푥2 0 ≤ 1 + 푥2 0 1 + 푥2 0 = 1， 当且仅当16(1 + 푥2 0) ― 푥4 0 = 푥4 0，即푥2 0 = 4 + 2 6取等号，20 故△OAB 面积的最大值为 1． 21．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 푥2 푎2 + 푦2 푏2=1（a＞b＞0）的离心率为 2 2 ，椭 圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为 2 2． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）动直线 l：y=kx+m（m≠0）交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M．点 N 是 M 关 于 O 的对称点，⊙N 的半径为|NO|．设 D 为 AB 的中点，DE，DF 与⊙N 分别相切于点 E，F，求∠EDF 的最小值． 【解答】（Ⅰ）∵椭圆 C 的离心率为 2 2 ，∴푎2 ― 푏2 푎2 = 1 2，a2=2b2， ∵椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为 2 2，∴椭圆 C 过点（ 2，1）， ∴ 2 푎2+ 1 푏2=1，∴b2=2，a2=4，∴椭圆 C 的方程为 푥2 4 +푦2 2 =1． （Ⅱ）设 A，B 的横坐标为 x1，x2， 则 A（x 1，kx1+m），B（x 2，kx2+m），D（ 푥1 + 푥2 2 ， 푘 2(푥1 + 푥2) +m）， 联立{푥2 4 + 푦2 2 = 1 푦 = 푘푥 + 푚 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0， ∴x1+x2=﹣ 4푘푚 1 + 2푘2，∴D（﹣ 2푘푚 1 + 2푘2， 푚 1 + 2푘2）， ∵M（0，m），则 N（0，﹣m），21 ∴⊙N 半径|m| ，|DN|=( 푚 1 + 2푘2 + 푚)2 + ( ―2푘푚 1 + 2푘2)2= |2푚| 1 + 2푘2 푘4 + 3푘2 + 1，设∠EDF=α， ∴sin 훼 2= 퐸푁 퐷푁= 푂푁 퐷푁= 푚 2푚 1 + 2푘2 푘4 + 3푘2 + 1 = 1 + 2푘2 2 푘4 + 3푘2 + 1 ， 令 y= 1 + 2푘2 2 푘4 + 3푘2 + 1 ，则 y′= 1 2 푘(4푘2 + 1) 푘4 + 3푘2 + 1(푘4 + 3푘2 + 1) ， 当 k=0 时，sin 훼 2取得最小值，最小值为 1 2．∴∠EDF 的最小值是 60°． 22．已知抛物线 C1：x2=2py（p＞0）过点 A（2，1），且它的焦点 F 也是椭圆 C2： 푦2 푎2 + 푥2 푏2 = 1（a＞b＞0）的一个焦点，椭圆上的点到焦点 F 的最小值为 2． （Ⅰ）求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程； （Ⅱ）设 M，N 是抛物线 C1 上的两个动点，且 → 푂푀 ⋅ → 푂푁=﹣4． ①求证：直线 MN 必过定点，并求定点 Q 坐标； ②直线 MN 交椭圆 C2 于 R、S 两点，当 S△FNS 最大时，求直线 MN 的方程． 【解答】（I）把 A（2，1）代入 C1 得：4=2p，p=2．∴C1 方程为 x2=4y．故 F（0，1）， 又 F（0，1）是椭圆 C2： 푦2 푎2 + 푥2 푏2 = 1的焦点，且椭圆上的点到焦点 F 的最小值为 2， ∴{푎2 ― 푏2 = 푐2 푎 ― 푐 = 2 푐 = 1 ，解得 a=3，b=2 2，∴椭圆 C2 的标准方程为： 푦2 9 + 푥2 8 =1． （II）①∵直线 MN 与抛物线交于 M，N 两点，∴直线 MN 斜率必存在． 设直线 MN 的方程为 y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立方程组{푦 = 푘푥 + 푏 푥2 = 4푦，消去 y 可得：x2﹣4kx﹣4b=0，∴x 1x2=﹣4b，∴y 1y2= 푥1 2 4 ⋅ 푥2 2 4 =b2， ∴ → 푂푀 ⋅ → 푂푁=x1x2+y1y2=b2﹣4b=﹣4，即 b=2．∴直线 MN 的方程为 y=kx+222 ∴直线 MN 过定点 Q（0，2）． ②联立方程组{ 푦 = 푘푥 + 2 푦2 9 + 푥2 8 = 1，消去 y 可得：（9+8k2）x2+32kx﹣40=0 设 R（x3，y3），S（x4，y4），则 x3+x4=﹣ 32푘 9 + 8푘2，x3x4=﹣ 40 9 + 8푘2 ∴|RS|= 1 + 푘2 ( ― 32푘)2 (9 + 8푘2)2 + 160 9 + 8푘2= 4 1 + 푘2 144푘2 + 90 9 + 8푘2 又 F（0，1）代直线 MN 的距离 d= 1 푘2 + 1 ，∴S△FSR= 1 2 × |RS|×d= 6 2 8푘2 + 5 8푘2 + 9 ， 令 8푘2 + 5=t，则 t≥ 5，∴S△FSR= 6 2푡 푡2 + 4 = 6 2 푡 + 4 푡 ， 由对勾函数的性质可知当 t= 5时，S△FSQ 取得最大值，此时 k=0．∴直线 MN 方程为 y=2． 23．已知椭圆 C： 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎＞푏＞0)的左右焦点分别为 F1，F2，左顶点为 A，离心率 为 2 2 ，点 B 是椭圆上的动点，△ABF1 的面积的最大值为 2 ― 1 2 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设经过点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，线段 MN 的中垂线为 l'．若 直线 l'与直线 l 相交于点 P，与直线 x=2 相交于点 Q，求 |푃푄| |푀푁|的最小值． 【解答】（1）由已知，椭圆 C： 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎＞푏＞0)的离心率为 2 2 ，则 e= 푐 푎 = 2 2 ，即 a2=2c2．∵a2=b2+c2，∴b=c． 设 B 点的纵坐标为 y0（y0≠0）． 则푆△퐴퐵퐹1 = 1 2(푎 ― 푐) ⋅ |푦0| ≤ 1 2(푎 ― 푐)푏= 2 ― 1 2 ， 即( 2푏 ― 푏)푏 = 2 ―1．∴b=1，푎 = 2．∴椭圆 C 的方程为 푥2 2 + 푦2 = 1．23 （2）由题意知直线 l 的斜率不为 0，故设直线的方程为 x=my﹣1， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），P（xP，yP），Q（2，yQ）． 联立{푥2 + 2푦2 = 2 푥 = 푚푦 ― 1，消去 x，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0． 此时△=8（m2+1）＞0．∴푦1 + 푦2 = 2푚 푚2 + 2 ，푦1푦2 = ― 1 푚2 + 2 ． 由弦长公式，得|푀푁| = 1 + 푚2|푦1 ― 푦2| = 1 + 푚2 4푚2 + 4푚2 + 8 푚2 + 2 ． 整理，得|푀푁| = 2 2 ⋅ 푚2 + 1 푚2 + 2 ． 又푦푃 = 푦1 + 푦2 2 = 푚 푚2 + 2 ，∴xP=myP﹣1= ―2 푚2 + 2 ． ∴|푃푄| = 1 + 푚2|푥푃 ―2|= 1 + 푚2 ⋅ 2푚2 + 6 푚2 + 2 ． ∴|푃푄| |푀푁|= 2푚2 + 6 2 2 푚2 + 1 = 2 2 ⋅ 푚2 + 3 푚2 + 1 = 2 2 ( 푚2 + 1 + 2 푚2 + 1 ) ≥ 2， 当且仅当 푚2 + 1 = 2 푚2 + 1 ，即 m=±1 时等号成立． ∴当 m=±1，即直线 l 的斜率为±1 时， |푃푄| |푀푁|取得最小值 2．