抽象函数方程教师版

1 第一讲 八类抽象函数方程性质的探讨 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出函数满足的一些特征或性质的 函数．抽象函数方程的性质因能有效考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及后继学习 的潜能一直是高考的热点。本节主要探讨八类典型抽象函数方程的性质． 类型 1 型 原型 正比例函数 性质 设函数 定义在 上，满足 ，若 时， 恒大于 ，则 有如下性质：① ；② 是 上的奇函数；③ 在 上单调递增． 证明 ①令 ，得 ，故 ； ②令 ， ，有 ， ，故 是 上的奇函数； ③任取 ， ，设 ，则 ，于是 ，令 ， ， 则 ，得 ，故 是 上的增函数． 思考 1 （ ， ， 均不为零）型 原型 反比例函数 分析 对 两边取倒数，得 ，令 ，有 ，由类型 1 知， ，故 （ ）． 类型 2 型 原型 一次函数 性质 已知函数 定义域为 ，对任意 都有 ，且 ，当 时， ，则 在 上单调递增． 证明 令 ，得 ；令 ， ，得 ． ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ = + ( )0y kx k= ≠ ( )f x R ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ = + 0x > ( )f x 0 ( )f x (0) 0f = ( )f x R ( )f x R 0m n= = (0) (0) (0)f f f+ = (0) 0f = m x= n x= − ( ) ( ) (0) 0f x f x f+ − = = ( ) ( )f x f x− = − ( )f x R 1x 2x R∈ 1 2x x> 1 2 0x x− > ( )1 2 0f x x− > 1m n x+ = 2m x= 1 2n x x= − ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x f x x= + − ( )2f x> ( )f x R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f m f nf m n f m f n + = + ( )f m ( )f n ( )f m n+ ( ) af x x = ( )0a ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f m f nf m n f m f n + = + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f m n f m f n = ++ ( ) ( ) 1g x f x = ( ) ( ) ( )g m n g m g n+ = + ( )g x kx= ( ) 1 af x kx x = = 1a k = ( ) ( ) ( )f m n f m f n b+ = + + ( )0y kx b k= − ≠ ( )f x R ,m n R∈ ( ) ( ) ( )f m n f m f n b+ = + + ( ) 0f b = x b> ( ) 0f x > ( )f x R m n b= = ( )2f b b= 2m b= n b= − ( ) 2f b b− = − 2 任取 ， ，设 ，令 ， ，则 ，有 ， ． 因为 ，则 ，于是 ，因此 ，故 是 上的增函数 或者在 两边同时加上 ，令 ， 问题可转化为类型 1． 思考 2 (或 )（ ）型 分析 若 是定义在正整数集 上的函数，对任意 ，满足 (或 )（ ），则 （ ）． 令 ， ，运用累加法可得 （ ， ）． 类型 3 型 原型 指数函数 性质 已知定义在 上的函数 满足对任意 都有 ，且 当 时， ，则有如下性质：① ；② ；③当 时， ；④ 在 上单调递增； 证明 ①令 ， ，有 ，因为 ，故 ； ②令 ， ，有 ； ③当 时， ，则 ， ，故 ； 1x 2x R∈ 1 2x x> 1m n x+ = 2n x= 1 2m x x= − ( ) ( ) ( )1 1 2 2f x f x x f x b= − + + ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x f x x b− = − + ( )1 2f x x b b b= − + − + ( ) ( )1 2f x x b f b b b= − + + − + + ( )1 2f x x b= − + 1 2x x> 1 2x x b b− + > ( )1 2 0f x x b− + > ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x R ( ) ( ) ( )f m n f m f n b+ = + + b ( ) ( )g x f x b= + ( ) ( ) ( )f x y f x f y kx+ = + + ( ) ( ) ( )f x y f x f y kxy+ = + + 0k ≠ ( )f x N+ ,x y N+∈ ( ) ( ) ( )f x y f x f y kx+ = + + ( ) ( ) ( )f x y f x f y kxy+ = + + 0k ≠ ( ) 2f x ax bx= + x N+∈ 1y = ( ) ( ) ( )1 1f x f x f kx+ = + + ( ) ( )2 12 2 k kf x n f n = + −   2ax bx= + 2 ka = ( )1 2 kb f= − ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ =  ( )0, 1xy a a a= > ≠ R ( )f x ,m n R∈ ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ =  0x > ( ) 1f x > ( )0 1f = ( ) ( ) 1f x f x− = 0x < ( )0 1f x< < ( )f x R 1m = 0n = ( ) ( ) ( )1 1 0f f f=  ( )1 0f ≠ ( )0 1f = m x= n x= − ( ) ( ) ( )0 1f f x f x= − = 0x < 0x− > ( ) 1f x− > ( ) 10 1f x < ( )1 2 1f x x− > 1m n x+ = 2n x= 1 2m x x= − ( ) ( ) ( )1 1 2 2f x f x x f x= −  ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 21f x f x f x x f x− = − −   ( )1 2 1f x x− > ( )2 0f x > ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x R ( ) ( ) ( )f m n f m f n= + logay x= ( )0, 1a a> ≠ ( )f x ( )0,+∞ 1x > ( ) 0f x > 0m > 0n > ( ) ( ) ( )f m n f m f n= + ( )f x ( )1 0f = ( ) ( )xf f x f yy   = −   ( )f x ( )0,+∞ 0 1x< < ( ) 0f x < 1m n= = ( )1 0f = m n x= n y= xm y = ( ) ( )xf x f f yy  = +   ( ) ( )xf f x f yy   = −   1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x> 1 2 1x x > 1 2 0xf x   >    1m n x= 2n x= 1 2 xm x = ( ) ( )1 1 2 2 xf x f f xx  = +    ( )2f x> ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x ( )0,+∞ 0 1x< < 1 1x > 1 0f x   >   m x= 1n x = 4 有 ，即 ， 因为 ，所以 ． 类型 5 型 原型 幂函数 性质 若函数 满足对任意 都有 ，且 不恒为 ， 当 时 ，则有如下性质：① ；②当 时， ；③ 在 上单调递增． 证明 ①令 ， ，则 ，因为 不恒为 ，故 ； ②当 时，令 ， ，则 ，因为 ，所以 ， 故 ； ③任取 ， ，设 ，则 ，于是 ， 令 ， ，则 ，有 ，又 ，所以 ，得 ，故 是 上的增函数． 类型 6 型 原型 函数 性质 设 是定义在 上不恒为零的函数，对一切实数 都满足 ，则有如下性质：① ；② 是偶函数；③若 ，则 是以 为周期的函数； 证明 ①令 ，则 ，于是 或 ； 当 时，令 ， ，有 ，于是 ，与 不恒为零矛盾，故 ； ( ) ( ) 11f f x f x  = +    ( ) 10 f x f x  = +    1 0f x   >   ( ) 0f x < ( ) ( ) ( )f m n f m f n=  ny x= ( )f x ,m n R∈ ( ) ( ) ( )f m n f m f n=  ( )f x 0 1x > ( ) 1f x > ( )1 1f = 0 1x< < ( )0 1f x< < ( )f x ( )0,+∞ m x= 1n = ( ) ( ) ( )1f x f x f=  ( )f x 0 ( )1 1f = 0 1x< < m x= 1n x = ( ) ( ) 11 1f f x f x  = =    1 1x > 1 1f x   >   ( )0 1f x< < 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x> 1 2 1x x > 1 2 1xf x   >    1m n x= 2n x= 1 2 xm x = ( ) ( )1 1 2 2 xf x f f xx  =     ( )2 0f x > ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 1xf x f x f f xx   − = −      0> ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( ) ( )2f m n f m n f m f n+ + − =  cosy x= ( )f x R ,m n ( ) ( ) ( ) ( )2f m n f m n f m f n+ + − =  ( )0 1f = ( )f x ( ) 0f t = ( )f x 4t 0m n= = ( ) ( ) 22 0 2 0f f=    ( )0 0f = ( )0 1f = ( )0 0f = m x= 0n = ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 0f x f x f x f+ + − = ( ) 0f x = ( )f x ( )0 1f = 5 ②令 ， ，有 ，得 ，故 为偶函 数； ③ 令 ， ， 得 ， 由 得 ， 将 上 式 中 的 换 成 得 ： ， 即 ，于是 ，故 是以 为周期 的函数． 类型 7 ( )型 原型 正切函数 性质 设 是定义在 上的函数，对一切实数 都满足 ( )，则有如下性质：① ；② 是奇函数；③ 若 ，则 是以 为周期的函数； 证明 ①令 ，得 ，有 ，故 ； ②令 ， ，有 ，又 ，从而 ，故 是奇函数； ③ 若 ， 令 ， ， 有 ， 从 而 ， ， 故 是以 为周期的函数； 0m = n x= ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 0f x f x f x f+ + − = ( ) ( )f x f x− = ( )f x m x= n t= ( ) ( ) ( ) ( )2f x t f x t f x f t+ + − =  ( ) 0f t = ( ) ( ) 0f x t f x t+ + − = x x t+ ( ) ( )2 0f x t f x+ + = ( ) ( )2f x t f x+ = − ( ) ( )4 2f x t f x t+ = − + ( ) ( )f x f x= − − =   ( )f x 4t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 f m f nf m n f m f n ++ = − ( ) ( ) 1f m f n ≠ ( ) tanf x x= ( )f x R ,m n ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 f m f nf m n f m f n ++ = − ( ) ( ) 1f m f n ≠ ( )0 0f = ( )f x ( ) 1f t = ( )f x 4t 0m n= = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 00 1 0 f ff f += −    ( ) ( )20 0 1 0f f + =  ( )0 0f = m x= n x= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 f x f xf f x f x + −= − − ( )0 0f = ( ) ( ) 0f x f x+ − = ( )f x ( ) 1f t = m x= n t= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 f x f tf x t f x f t ++ = − ( ) ( ) 1 1 f x f x += − ( ) ( ) ( ) 12 1 f x tf x t f x t + ++ = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 11 1 f x f x f x f x ++ −= +− − ( ) 1 f x = − ( ) ( ) 14 2f x t f x t + = − + ( ) 1 1 f x = − = − ( )f x= ( )f x 4t 6 类型 8 型 原型 复合函数 性质 定义在 上的函数 满足对实数 都有 ，且 时 ，则有如下性质： ① ； ② 为奇函数； ③ 是 上的减函数． 证明 ①令 得 ，所以 ； ②令 ， ，有 ，从而 ，故 为奇函数； ③任取 ，不妨设 ， ， 由 ， 得 ，即 ，故 ，则 ． 又 ，即 ． 所以 ，于是 ，得 ， 故 是 上的减函数． 从以上分析不难看出，抽象函数方程问题中的特殊值、单调性、奇偶性和周期性等问题往往 紧密联系，赋值、使用定义与合理变形是突破这类问题的关键．另外，有些抽象函数问题有 具体的函数原型，若能由抽象函数的结构，联想到相似结构的原型函数，并由原型函数的相 关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某些性质，常常有利于顺利地解决问题． ( ) ( ) 1 m nf m f n f mn + + =  +  ( ) 1ln1 xf x x −= + ( )1,1− ( )f x ,m n ( ) ( ) 1 m nf m f n f mn + + =  +  ( )0,1x∈ ( ) 0f x < ( )0 0f = ( )f x ( )f x ( )1,1− 0m n= = ( ) ( ) ( )0 0 0f f f+ = ( )0 0f = m x= n x= − ( ) ( ) 21 x xf x f x f x − + − =  −  ( )0 0f= = ( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( )1 2, 1,1x x ∈ − 1 2x x> ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 21 x xf x f x f x f x f x x  −− = + − =  −  1 1x < 2 1x < 1 2 1x x − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 111 1 x x x x x x x x x x − − − +− =− − ( )( )1 2 1 2 1 1 01 x x x x − += ( ) ( ) ( )log log loga a af x y f x f y+ = + ( ) ( )logah x f x= ( ) ( ) ( )h x y h x h y+ = + ( )h x kx= ( ) ( )1 log 1ak h f= = ( ) kx xf x a c= = ( )1 0kc a f= = > ( ) xf x c= ( )1 0c f= > ( ) 0f x ≡ x R∈