四川省成都市新都区2020届高三数学文科诊断测试试卷（附解析Word版）

新都区 2020 届高三毕业班摸底测试 数学试题（文） 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴 在规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置 上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题有且只有一个正确选项．） 1.已知全集 U＝R，集合 ，则图中的阴影部分表示的集合 为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 B={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1 或 x＜0}， 由题意可知阴影部分对应的集合为∁U（A∩B）∩（A∪B）， ∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R， 即∁U（A∩B）={x|x≤1 或 x＞2}， ∴∁U（A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1 或 x＞2}， 即（﹣∞，1]U（2，+∞） 故选：A { } 20 2 , { 0}A x x B x x x= ≤ ≤ = − > ( 1] (2, )−∞ ∪ +∞， ( 0) (1 2)−∞ ∪， ， [1 )2， (1 2]， 2.设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 对复数 进行运算得 ，从而求得 . 【详解】因为 ， 所以 ，所以 . 故选：B. 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力. 3.已知数列 为等差数列， 为其前 n 项和， ，则 （ ） A. 2 B. 7 C. 14 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等差数列通项公式，将等式 化成 ，再由等差数列的前 项和公式 得 . 【详解】因为 ， 所以 ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列通项公式、前 项和公式，考查基本运算求解能力. 4.已知 ，则 （ ） 1 21 iz ii −= ++ z z+ =— 1 i− − 1 i+ 1 i− 1 i− + z z i= | | 1z z i+ = + 21 (1 ) 22 2 21 (1 )(1 ) 2 i i iz i i i ii i i − − −= + = + = + =+ + − | | 1z = | | 1z z i+ = + { }na nS 5 6 32 a a a+ = + 72S = 5 6 32 a a a+ = + 4 2a = n 7 42S 2 7 28a= ⋅ = 5 6 32 a a a+ = + 1 1 1 1 42 4 5 2 3 2 2a d a d a d a d a+ + = + + + ⇒ + = ⇒ = 7 42S 2 7 28a= ⋅ = n 2sin cos 3 α α+ = sin 2α = A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接对等式两边平方，利用倍角公式得 的值. 【详解】因为 ， 所以 . 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力. 5.已知定义在 R 上的函数 在 单调递减，且满足对 ，都有 ，则符合上述条件的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知函数要满足为偶函数且在 单调递减，对解析式进行逐个验证. 【详解】对 A，函数 为偶函数，但在 单调递增， 故 A 错误； 对 B，函数 为偶函数，且在 单调递减，故 B 正确； 对 C，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，不具有奇偶性， 故 C 错误； 对 D，函数 为偶函数，但在 不具有单调性，故 D 错误； 7 9 − 2 9 − 2 9 7 9 sin 2α 2sin cos 3 α α+ = 2 22 2 7(sin cos ) ( ) 1 2sin cos3 9 9sin 2α α α αα+ = ⇒ + = −=⇒ ( )f x (0,, )+∞ x R∀ ∈ ( ) ( ) 0f x f x− − = ( ) 2 1f x x x= + + 1( ) 2 x f x  =    ( ) ln 1f x x= + ( ) cosf x x= (0,, )+∞ ( ) 2 2 2 1, 0,1 1, 0. x x xf x x x x x x  + + ≥= + + =  − + (4) (2)f f= ( ) (2)f b f> ( ) ( ) ( )f c f b f a< < 0a > 0b > 3 1 3 n a b a b + ≥ + 【答案】B 【解析】 【分析】 对不等式等价变形为 恒成立，利用基本不等式求右边式子的最小值，从而 求得 n 的最大值. 【详解】因为不等式 恒成立， 所以 恒成立. 因为 ，等号成立当且仅当 ， 所以 ，故 的最大值为 . 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题、基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算求解 能力，求解过程中利用基本不等式求最值要注意等号成立的条件. 8.函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 考查该函数的奇偶性，在 处的取值以及该函数在 上的单调性可辨别出图象。 【 详 解 】 令 ， 定 义 域 为 ， ， 该函数为偶函数，且 ，排除 C 选项， 3 1( )( 3 )n a ba b ≤ + + 3 1 3 n a b a b + ≥ + 3 1( )( 3 )n a ba b ≤ + + 3 1( )( 3 ) 6 6 6 129 aa ba b a b b+ + = + + ≥ + = 3a b= 12n ≤ n 12 3cos xy x e= − 0x = ( )0, ∞+ ( ) 3cos xf x x e= − R ( ) ( ) ( )3cos 3cosx xf x x e x e f x− = − − = − = ( ) 00 3cos0 2 0f e= − = > 当 时， ，则 ， 当 时， ， ，则 ， 当 时， ，则 ， 所以， 函数 在 上单调递减，符合条件的图象为 B 选项中的图象。 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定 义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用 导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。 9.在由正数组成的等比数列 中，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 根据等比中项得 ，由对数相加真数相乘得 ， 将目标式化简后，利用诱导公式求得式子的值. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查等比中项性质、对数运算法则、诱导公式的综合运用，考查运算求解能力 和转化与化归思想. 10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边 形 ABCDEFGH，其中 ，则给出下列结论： ① ； 【 0x > ( ) 3cos xf x x e= − ( ) 3sin xf x x e′ = − − 0 πx< < 3sin 0x− < 0xe− < ( ) 3sin 0xf x x e′ = − − < x π≥ 3>xe ( ) 3sin 3 0x xf x x e e′ = − − ≤ − < 3cos xy x e= − ( )0, ∞+ { }na 3 4 5 3a a a π= ( )3 1 3 2 3 7sin log log loga a a+ +…+ 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 3 4 3a π= 3 1 3 7 3 43 7 2log log log loga a a a=+ +…+ 3 4 5 3a a a π= 3 3 4 43 3a a π π= ⇒ = ( ) 7 3 1 3 42 3 7 3 3sin log log log si 2 7) s nn( i sinl 3og 3a a a a π π+ … = =+ =+ = | | 1OA = 2 2OA OD⋅ = −  ② ； ③ 在 向量上的投影为 ． 其中正确结论的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 对①，利用数量积的定义计算；对②，先求 ，结合图象发现 的方 向与 是相反向量；对③，利用投影的定义求解. 【详解】对①， 的夹角为 ，所以 ，故① 正确； 对②， ，所以 ， ，利用向量的加法法则，由图可发现 的方向与 方向相反， 所以 ，故②正确； 对③， 在 向量上的投影为 ，因为 ，所以 ，故③错误. 故选：B. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的相关概念，向量数量积的定义、投影，考查数 形结合思想和运算求解能力，求解过程中要充分利用图形提取信息，特别对③可以减少计算 量. 2OB OH OE+ = −   AH AB 2 2 − | | 2OB OH+ =  OB OH+  2OE ,OA OD  135 2| || | cos135 2OA OD OA OD⋅ = = −    2 22( ) 2 2OB OH OB OH OB OH+ = + + ⋅ =      | | 2OB OH+ =  | 2 | 2OE− = OB OH+  2OE 2OB OH OE+ = −   AH AB | | cos135AH  | | 1AH ≠ 2| | cos135 2AH ≠ − 11.已知定义在 上的函数 ，且 ，若方程 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 方程 有两个不相等的实数根 函数 与函数 图象有两个 交点，分别作出两个函数图象，通过观察图象得到 的取值. 【详解】方程 有两个不相等的实数根 函数 与函数 图 象有两个交点. 因为 ，所以函数 的周期 ， 所以函数 的周期 ， 因为函数 ，函数 的图象如图所示： 观察图象，当直线的斜率为 时，两个函数图象有且仅有两个交点， 结合选项和图象分析，所以实数 k 的取值集合是 . 故选：C. 【点睛】本题考查函数的零点与两个函数图象交点横坐标的等价关系、函数的周期，考查转 R ( ) [ ) [ ) 2 2 2, 0,1 2 , 1,0 x xf x x x  + ∈=  − ∈ − ( ) ( )2f x f x+ = ( ) 2 0f x kx− − = 1,13     1 1,3 3  −   { 1,1}− 11, 3  − −   ( ) 2 0f x kx− − = ⇔ ( ) 2y f x= − y kx= k ( ) 2 0f x kx− − = ⇔ ( ) 2y f x= − y kx= ( ) ( )2f x f x+ = ( )y f x= 2T = ( ) 2y f x= − 2T = ( ) [ ) [ ) 2 2 , 0,12 , 1,0 x xf x x x  ∈− = − ∈ − y kx= 1k = ± { 1,1}− 化与化归思想、数形结合思想的灵活运用，求解时要注意作图的准确性. 12.已知定义在 R 上的奇函数 ，对任意 且 ，都有 ，若不等式 对 恒成立，则实数 a 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性、单调性，将不等式 化成 在 恒成立，接利用参变分离、构造函数，求得 的取值范围. 【详解】由题意知，函数在 单调递减， 因为 为奇函数，所以 在 R 上单调递减. 因为 对 恒成立， 所以 对 恒成立， 所以 对 恒成立， 令 ，则 在 恒成立， 所以 在 单调递减，且 ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合运用，考查参变分离及利用导数研究函数的 最值，考查数形结合思想、转化与化归思想的运用，求解时注意恒成立问题的等价转化，即 在 恒成立，等价于 . ( )f x [ )1 2, 0,x x ∈ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x −