四川高三联合诊断考试
数学试题（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已如集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用集合的交集运算求解
【详解】由 可得 中 ，则
答案选 A
【点睛】本题考查集合的交集运算，整体简单，需注意数集与范围集合相交最终为数集
2.若 ，则
A. B. C. -1 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
需对运算公式进行变形，由 ，再进行化
简即可
详解】由
答案选 D
【点睛】本题考查复数的基本运算，处理技巧在于变形成除法运算形式
3.从 中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是
A. B. C. D.
【
{ } { }22, 1,0,1 , | 1A B x x= − − = A B =
{ }2, 1,1− − { }| 1,0− { }0,1
{ }2, 1,0− −
{ }2| 1B x x= B 1 1x x≥ ≤ −或 A B = { }2, 1,1− −
2000(1 )( ) 2i z i i− + = z =
i− i
2000 2000
2000 2 2(1 )( ) 2 1 1
i ii z i i z i z ii i
− + = ⇒ + = ⇒ = −− −
2000 2000
2000 2 2 2(1 )( ) 2 11 1 1
i ii z i i z i z i ii i i
− + = ⇒ + = ⇒ = − = − =− − −
0,1,2,3,4
6 8 10 12
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，末尾是 0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论．
【详解】由题意，末尾是 0，2，4
末尾是 0 时，有 4 个；末尾是 2 时，有 3 个；末尾是 4 时，有 3 个，所以共有 4+3+3=10 个
故选：C．
【点睛】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
4.某运动队由足球运动员 18 人，篮球运动员 12 人，乒乓球运动员 6 人组成（每人只参加一
项），现从这些运动员中抽取一个容量为 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都
不用删除个体，那么样本容量 的最小值为
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】
从系统抽样和分层抽样的特点考虑，系统抽样相当于等间距抽样，分层抽样相当于按比例抽
样
【详解】由题已知，总体样本容量为 36 人，当样本容量为 时，系统抽样的样距为 ，分
层抽样的样比为 ，则采用分层抽样抽取的足球运动员人数为 ，篮球运动员人
数为 ，乒乓球运动员人数为 ，可知 是 6 的整数倍，最小值为 6
答案选 A
【点睛】本题考查了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时应对两种抽样方法进行分析和
讨论，以便求出样本容量
5.设函数 ，若 ，则
A. 1 或 B. 或 C. D. l
【答案】B
【解析】
n
n
n 36
n
36
n 1836 2
n n× =
1236 3
n n× = 636 6
n n× = n
0
( ) 1 , 02
x
lnx x
f x
x
>
= >
b a c> >
c a b> >
a c b> >
∴当 x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x）＜0，函数 y＝xf（x）单调递减，
当 x∈（0，+∞）时，函数 y＝xf（x）单调递减．
∵ ，
，
，
∴ ，
∴a＞b＞c，
故选：A．
【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意导数性质、函数性质的合
理运用，属于中档题．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已如向量 ，若 ，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算分别表示出 和 的表达式，再根据 求出 值即可
【详解】 ， ， ，由 可得
，解得
答案为：
【点睛】本题考点为利用向量的坐标运算表示模长和数量积，进行基本运算，需要加以理解
的是模长和数量积都是数值的具体体现
14.已知等差数列 ，的首项 ，公差 .其前 项和为 ，若
，则 ________
【答案】5
1 10 2 2sin＜ ＜
11 2 2ln ln e =＞ ＞
1
2
1 24log =
1
2
1 122 4sin ln log＜ ＜
(1,1), (2, )a b t= = | |a b a b− = ⋅ t =
1
3
−
| |a b− a b⋅ | |a b a b− = ⋅ t
( )1,1a b t− = − − 2a b t⋅ = + ( )2| | 1 1a b t− = + − | |a b a b− = ⋅
( )21 1 2t t+ − = + 1
3t = −
1
3t = −
{ }na 1 1a = 2d = n nS
2 24k kS S+ − = k =
【解析】
【分析】
根据题意，求出数列 的通项公式，再根据 算出 值
【详解】由 ，公差 ，得 ，再由 ，可得
答案为：
【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，需熟记公式
15.已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若
，则 ________
【答案】8
【解析】
【分析】
运用椭圆的定义，可得三角形 ABF2 的周长为 4a＝20，再由周长，即可得到 AB 的长．
【详解】椭圆 1 的 a＝5，
由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a，
则三角形 ABF2 的周长为 4a＝20，
若|F2A|+|F2B|＝12，
则|AB|＝20﹣12＝8．
故答案为：8
【点睛】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．
16.如图，在第一象限内，矩形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 分别在函数 ，
的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若 A 点的纵坐标是 2，则 D 点的坐标是
________
{ }na 2 12 24kk k kS S a a++ +− = + = k
1 1a = 2d = 2 1na n= − 2 12 24kk k kS S a a++ +− = + = 5k =
5k =
1 2 1n m n n n mS S a a a a− − +− = + + + +
1 2,F F
2 2
125 9
x y+ = 1F A B，
2 2 12F A F B+ = | |AB =
2 2
25 9
x y+ =
1
2
2
2
y log x y x= =，
3( )2
xy =
【答案】
【解析】
【分析】
先求出 A、B、C 的坐标，设出点 D 的坐标，再根据矩形 ABCD 得出 ，利用向量坐标
运算求出点 D 的坐标．
【详解】由题意可得，A、B、C 点坐标分别为（ ，2），（4，2），（4， ），
设 D（m，n），
再由矩形的性质可得 ，
故（m ，n﹣2）＝（0， 2），
∴m 0，n﹣2 ．
解得 m ，n ，故点 D 的坐标为（ ， ），
故答案为：（ ， ）．
【点睛】本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，向量相等的条件，
属于基础题．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，
计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：
1 9,2 16
AD BC=
1
2
9
16
AD BC=
1
2
− 9
16
−
1
2
− = 23
16
= −
1
2
= 9
16
= 1
2
9
16
1
2
9
16
吨），用水量不超过 的部分按平价收费，超过 的部分按议价收费，为了了解全布市民用用
水量分布情况，通过袖样，获得了 100 位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照
…… 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）若该市政府看望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 （吨），估计 的值，并说明理
由。
【答案】（1）0.30；（2）估计月用水量标准为 2.9 吨，85%的居民每月的用水量不超过标准
【解析】
【分析】
（1）利用频率分直方图中的矩形面积的和为 1 求 即可
（2）先大体估计一下 所在的区间，再根据区间 的频率之和为 0.85，求解 的值
【详解】（1）由直方图，可得
，
解得 .
（2）因为前 6 组频率之和为
而前 5 组的频率之和为
所以 .
由
解得 .因此，估计月用水量标准为 2.9 吨，85% 居民每月的用水量不超过标准.的
x x
[0,0.5),[0.5,1) [4,4,5]
a
x x
a
x [ ]0, x x
(0.08 0.16 0.40 0.52 0.12 0.08 0.04) 0.5 1a a+ + + + + + + + × =
0.30a =
0.08 0.16 0.30 0.40 0.52 0.30 0.5 0.88 0.85.+ + + + + × = >（ ）
0.08 0.16 0.30 0.40 0.52 0.5 0.73 0.85.+ + + + × = 0 时，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，函数 有
极小值 ，无极大值
【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极
值，考查了分类讨论的数学思想，属中档题．
21.已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，又过 两点分别作
抛物线的切线，两条切线交于 点。
（1）证明：直线 的斜率之积为定值；
（2）求 面积的最小值
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
1a =
2
( ) ln2
xf x x= −
1( )f x x x
′ = − ( ) 01f ′ =
1(1) 2f =
y f x= （ ） (1, (1))f 1 0 ( 1)2y x− = × −
1
2y =
2
( ) ln2
xf x a x= −
2
( ) ( 0)a x af x x xx x
′ −= − = >
0a ≤ ' 0f x >（ ） f x（ ） (0, )+∞
0a > ' 0f x =（ ） x a= a− 0 x a< < ' 0f x f x ' 0f x f x>（ ） ，（ ） ( , )a +∞
f x（ ） x a= (1 ln )( ) 2
a af a
−=
0a ≤ f x（ ） (0, )+∞ f x（ ）
f x（ ） (0, )a ( , )a +∞ f x（ ）
(1 ln )
2
a a−
2 8x y= 0 4M（ ，） ,A B ,A B
P
,PA PB
PAB△
32 2
（1）设直线方程为 ，通过联立直线与抛物线方程得到 ，用韦达
定理表示出 ，再利用导数的几何意义表示出两切线的乘积，即可解得
（2）先采用设而不求得方法联立 和 得
再利用弦长公式表示出 ，结合点 到直线 距离公式表示出三角形面积，分析因式特
点，即可求解
【详解】（1）证明：由题意设 的方程为 ，
联立 ，得 因为 ，
所以设 ，则
设直线 的斜率分别为 ，
对 求导得 ，
所以 ，
所以， （定值）
（2）解：由（1）可得直线 的方程为
①
直线 的方程为
②
联立①②，得点 坐标为 ，
由（1）得 ，
所以 .
于是 ，
的
4y kx= + 2 8 32 0x kx− − =
1 2 32x x = −
( )2
1 1
18 4
x xy x x− = − ( )2
2 2
28 4
x xy x x− = − 4 4P k −（ ， ）
| |AB P ABl
l 4y kx= +
2
4
8
y kx
x y
= +
=
2 8 32 0x kx− − = 2( 8 ) 4 ( 32) 0k∆ = − − × − >
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 32x x = −
PA PB， 1 2,k k
2
8
xy =
4
xy′ =
1 2
1 2,4 4
x xk k= =
1 2 1 2
1 2
32 24 4 4 4 16
x x x xk k
−= ⋅ = = = −×
PA
( )2
1 1
18 4
x xy x x− = −
PB
( )2
2 2
28 4
x xy x x− = −
P 1 2 1 2,2 8
x x x x+
1 2 1 28 , 32x x k x x+ = = −
4 4P k −（ ， ）
2 2| | 8 1 2AB k k= + +
点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当 ，即 时， 的面积取得最小值
【点睛】本题主要考查了用解析法解决过定点的直线与抛物线的基本关系量的证明，抛物线
中三角形面积的最值求法。解题过程中结合导数几何意义求解斜率之积大大减小了运算步骤，
（2）中设而不求的基本方法也使得点 的求解过程变得简单；在解决圆锥曲线与动直线问题
中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具，要求考生要能熟练运用
22.在极坐标系中，已如圆 的圆心 ，半径 .
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）若 ，直线 的参数方程 （ 为参数）直线 交用 于
两点，求长 的取值范围
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理表示出三边关系即可表示出圆的极坐标方程
（2）联立直线的参数方程和圆的标准方程表示成关于 的一元二次方程，用韦达定理表示出
根与系数的关系，结合弦长公式 进行求解
【详解】如图：
P AB
( )2
2
4 2
1
k
d
k
+
=
+
( )2 216 2 2PABS k k∆ = + +
2 0k = 0k = PAB∆ 32 2
P
C 2, 4C
π
3r =
C
0, 4a
π ∈ l
2 cos
2 sin
x t
y t
α
α
= +
= + t l C ,A B
| |AB
2 2 (cos sin ) 1 0ρ ρ θ θ− + − = | | [2 2,2 3)AB ∈
t
1 2| | | |AB t t= −
设圆上任意一点坐标为 P ，由余弦定理得：
整理得： （经检验，当圆心极点与圆上的点三点在一直线上时
也适合）.
所以圆 的极坐标方程为
（2）因为 .
所以圆的直角坐标方程为 ，
将直线 的参数方程代入圆的直角坐标方程得：
，
整理得： ，设 为该方程的两根，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以
所以
【点睛】本题主要考查了圆的极坐标方程的求法，用直线的参数方程来求解圆的弦长的问题，
用直线来表示与圆锥曲线的弦长可表示为
23.
设函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）若 ，使得 ，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
( , )ρ θ
2 2 2( 3) ( 2) 2 2 cos 4
πρ ρ θ = + − × × −
2 2 (cos sin ) 1 0ρ ρ θ θ− + − =
C 2 2 (cos sin ) 1 0ρ ρ θ θ− + − =
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
2 2 2 2 1 0x y x y+ − − − =
l
2 2(2 cos ) (2 sin ) 2(2 cos ) 2(2 sin ) 1 0t t t tα α α α+ + + − + − + − =
2 (2cos 2sin ) 1 0t tα α+ + − = 1 2,t t
1 2 1 22cos 2sin , 1t t t tα α+ = − − = −
( )2
1 2 1 2 1 2| | | | 4 8 4sin 2AB t t t t t t α= − = + − = + 0, 4
∈
πα 2 0, 2
πα ∈
| | [2 2,2 3)AB ∈
1 2| | | |AB t t= −
( ) 2 1 2f x x x= − − +
( ) 0f x >
0x R∃ ∈ ( ) 2
0 2 4f x m m+ < 1| 33 或x x x < − >
1 5
2 2m− < ;
( ) ( ) ( )f x 1
2f
21 4 22f m m < − ( ) ( ) 2 1 2f x x x= − − + 3, 2 13 1, 2 2 13, 2 x x x x x x − + < − = − − − ≤ ≤ − >
( ) 0f x = 1
3x = − 3x =
( ) 0f x > 1{ | 3x x < − 3}x >
( ) 0x R∈ ( ) 2
0 2 4f x m m+ < ( ) 2 0 4 2f x m m< − ( )f x 1 1 53 12 2 2f = − × − = − 25 4 22 m m− < − 1 5 2 2m− <
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