高三期初考试试卷数学
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
1.已知集合 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据补集定义直接求解可得结果.
【详解】由补集定义可知：
本题正确结果：
【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.
2.在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 为参数），则圆 的普通
方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用 消去参数即可得到结果.
【详解】由 可得：
即圆 的普通方程为：
【点睛】本题考查参数方程化普通方程，属于基础题.
3.设 ，则“ ”是“ ”的______________条件．（从“充分不必
要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
{ }1,0,2,3U = − { }0,3A = UC A =
{ }1,2−
{ }1,2UC A = −
{ }1,2−
xOy C
3 2cos (2 2sin
x t ty t
= +
= − + C
( ) ( )2 23 2 4x y− + + =
2 2cos sin 1t t+ =
2 2cos sin 1t t+ = ( ) ( )2 23 2 4x y− + + =
C ( ) ( )2 23 2 4x y− + + =
x R∈ 2 1x − < 2 2 0x x+ − >
由 ，得 1＜x＜3；由 x2+x﹣2＞0 得 x＞1 或 x＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的
定义进行判断即可．
【详解】由|x﹣2|＜1 得﹣1＜x﹣2＜1，得 1＜x＜3，
由 x2+x﹣2＞0 得 x＞1 或 x＜﹣2，
（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），
故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等
式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.
4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为_______.
【答案】8
【解析】
2 1x − < S
【分析】
按照程序框图运行程序，直到 时输出结果即可.
【详解】按照程序框图运行程序，输入 ，
不 偶数，则 ， ，循环
是偶数，则 ， ， ，循环
不是偶数，则 ， ，输出结果：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果，属于基础题.
5.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三
年级抽 10 人，已知该校高二年级共有学生 300 人，则该校学生总数是_____人.
【答案】900
【解析】
【分析】
计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数.
【详解】由题意可知，高二年级抽取： 人 抽样比为：
该校学生总数为： 人
本题正确结果：
【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占
比相同.
6.两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______.
【答案】
【解析】
分析】
利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，
根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】两位女同学相邻的排法共有： 种排法
四位同学排成一列共有： 种排法
是
【
4i ³
1i = 0S =
1i = 0 1 1S = + = 1 1 2 4i = + = < 2i = 1j = 11 2 2 5S = + × = 2 1 3 4i = + = < 3i = 5 3 8S = + = 3 1 4 4i = + = ≥ 8S = 8 45 20 10 15− − = ∴ 15 1 45 3 = ∴ 1300 9003 ÷ = 900 1 2 2 3 2 3 2 6 12A A = × = 4 4 4 3 2 24A = × × =
两位女同学不相邻的概率：
本题正确结果：
【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排
法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题.
7.已知 ， ，则 _______.
【答案】
【解析】
分析】
根据二倍角公式可将已知等式化简为 ，根据 可求得
；根据同角三角函数关系，结合 可求得结果.
【详解】由二倍角公式可知： ，
又 ，即
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够
利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.
8.设函数 为参数，且 的部分图象如图
所示，则 的值为______.
【
∴ 12 1
24 2p = =
1
2
(0, )2
πα ∈ 2sin 2 cos2 1α α= + sinα =
5
5
24sin cos 2cosα α α= 0, 2
πα ∈
1tan 2
α = 0, 2
πα ∈
sin 2 2sin cosα α α= 2cos2 2cos 1α α= −
24sin cos 2cosα α α∴ =
0, 2
πα ∈ cos 0α∴ ≠ 2sin cosα α∴ = 1tan 2
α =
5sin 5
α∴ =
5
5
( ) ( )(sin , ,f x A x Aω ϕ ω ϕ= + )0, 0,0A ω ϕ π> > < < ϕ
【答案】
【解析】
【分析】
根据图象首先求得 最小正周期 ，从而解得 ；代入 可得
到 ，结合 即可求得结果.
【详解】由图象可得 最小正周期： ，即
又 ，
，
又
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方
式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.
9.已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 __________.
【答案】-3
【解析】
【分析】
当 时 ， 代入条件即可得解.
3
π
( )f x 2T
ππ ω= = 2ω = 7
12f A
π = −
23 k
πϕ π= + 0 ϕ π< < ( )f x 4 7 3 12 6T π π π = × + = 2π πω = 2ω∴ = 7 7sin12 6f A A π π ϕ = + = − 7 3 26 2 k π πϕ π∴ + = + k Z∈ 23 k πϕ π∴ = + k Z∈ 0 ϕ π< < 3 πϕ∴ = 3 π ( )f x 0x < ( ) eaxf x = − (ln 2) 8f = a = 0x > 0x− > ( ) ( ) axf x f x e−= − − =
【详解】因为 是奇函数，且当 时 ， ．
又因为 ， ，
所以 ，两边取以 为底的对数得 ，所以 ，即 ．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转
化思想得出答案．
10.若 ，则 的值为___.
【答案】1
【解析】
【详解】令 ，得 ；
令 ，得 ；
两式相加得
．
点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如
的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令
即可；对形如 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 即
可.
11.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ，角 的平分线
交边 于点 ，其中 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理可得 ；利用 和 可
构造方程求得 ，代入余弦定理的式子可求出 ，代入三角形面积公式求得
结果.
( )f x 0x > 0x− > ( ) ( ) axf x f x e−= − − =
ln 2 (0,1)∈ (ln 2) 8f =
ln2 8ae− = e ln 2 3ln 2a− = 3a− = 3a = −
4 2 3 4
0 1 2 3 4(2 3)x a a x a x a x a x+ = + + + + 2 2
0 2 4 1 3( ) ( )a a a a a+ + − +
1x = 4
2 30 1 4(2 3) a a a a a+ = + + + +
1x = − 1 42 3
4
0( 2 3) a a a a a= + −− + − +
2 2
0 2 4 1 3 0 2 4 1 3 0 2 4 1 3( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a+ + − + = + + + + ⋅ + + − −
4 4 4(2 3) ( 2 3) ( 1) 1= + ⋅ − + = − =
2( ) ,( ) ( , )n nax b ax bx c a b R+ + + ∈
1x = ( ) ( , )nax by a b+ ∈R 1x y= =
ABC∆ A B C， ， , ,a b c
3A
π= 4 7a = A
BC D 3 3AD = ABCS∆ =
12 3
( )2 3 112b c bc+ − = ABC ACD ABDS S S∆ ∆ ∆= + 1 sin2ABCS bc A∆ =
1
3b c bc+ = 48bc =
【详解】
由余弦定理 可得：
又
，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的
应用；本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得 和 之间的关系，进而结
合余弦定理求得所需的值.
12.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方
多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各
局胜负相互独立，比赛停止时一共已打 局， 则 的期望值 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先确定 所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数
学期望计算公式求得结果.
【详解】由题意可知 所有可能的取值为：
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )22 2 3 112b c bc b c bc+ − = + − =
( )1 1 3 3sin sin2 2 2 2 4ABC ACD ABD
A AS S S b AD c AD b c∆ ∆ ∆= + = ⋅ + ⋅ = +
1 3sin2 4ABCS bc A bc∆ = = ( )3 3 3
4 4bc b c∴ = + 1
3b c bc∴ + =
( )21 3 1129 bc bc∴ − = 48bc =
3 48 12 34ABCS∆∴ = × =
12 3
b c+ bc
2
3
1
3
ξ ξ ( )E ξ =
266
81
ξ
ξ 2,4,6
则 ； ；
本题正确结果：
【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个
取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型.
13.已知 ，则 的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两角和差正切公式可构造方程求得 或 ；利用两角和差余弦公式和二
倍角公式可将 化为 ，根据正余弦齐次式的
求解方法可化简为 ，代入 即可求得结果.
【详解】
解得： 或
( ) 2 22 1 52 3 3 9P ξ = = + =
( ) 3 3
1 1
2 2
1 2 1 2 204 3 3 3 3 81P C Cξ = = × + × =
( ) 5 20 166 1 9 81 81P ξ = = − − =
( ) 5 20 16 2662 4 69 81 81 81E ξ∴ = × + × + × =
266
81
2tan tan( )4 3
πα α − = cos(2 )4
πα −
2
10
1tan 3
α = − tan 2α =
cos 2 4
πα − ( )2 22 cos sin 2sin cos2
α α α α− +
2
2
2 1 tan 2tan
2 1 tan
α α
α
− +× + tanα
tan tan tan 1 24tan tan tan tan4 1 tan 31 tan tan 4
παπ αα α α απ αα
− − − = ⋅ = ⋅ = + +
1tan 3
α = − tan 2α =
( )2cos 2 cos2 cos sin 2 sin cos2 sin 24 4 4 2
π π πα α α α α − = + = +
( ) 2 2
2 2
2 2
2 2 cos sin 2sin coscos sin 2sin cos2 2 cos sin
α α α αα α α α α α
− += − + = × +
2
2
2 1 tan 2tan
2 1 tan
α α
α
− += × +
当 时，
当 时，
综上所述，
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角
和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能
够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.
14.设直线 分别是函数 图象上点 处的切线， 与 垂直相
交于点 ，且 与 分别与 轴相交于点 ，则 的面积的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先可确定 分别在分段函数的两段上，设 ， 且 ，通过
导数可求得切线斜率；根据 相互垂直可得到 ；通过 的方程可求得 两点
坐 标 ， 从 而 得 到 ； 联 立 求 得 点 横 坐 标 ， 从 而 将 面 积 表 示 为
，根据 可求得 面积的取值范围.
【详解】由题意可知， 分别在分段函数的两段上
设 ， 且
1tan 3
α = −
1 212 29 3cos 2 14 2 101 9
πα
− − − = × = +
tan 2α = 2 1 4 4 2cos 2 4 2 1 4 10
πα − + − = × = +
2cos 2 4 10
πα − =
2
10
1 2,l l ln ,0 1( ) ln , 1
x xf x x x
− < 1 2,P P 1l 2l
P 1l 2l y ,A B PAB∆
( )0,1
1 2,P P ( )1 1 1,P x y ( )2 2 2,P x y 1 20 1x x< < < 1 2,l l 1 2 1=x x 1 2,l l ,A B 2AB = 1 2,l l P PAB∆ 1 1 2 1PABS x x ∆ = + ( )1 0,1x ∈ PAB∆ 1 2,P P ( )1 1 1,P x y ( )2 2 2,P x y 1 20 1x x< < < ( ) 1 ,0 1 1 , 1 xxf x xx − <
′ =
， ，即：
方程为： ； 方程为：
，
联立 可得 点横坐标为：
且 在 上单调递减
，即 的面积的取值范围为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查三角形面积取值范围的求解问题，求解取值范围的常用方法是能够将所求
三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；本题的解题
关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化
简消元.
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明或演算步骤.
15.已知矩阵 ，矩阵 ，直线 经矩阵 所对应的变换
得到直线 ，直线 又经矩阵 所对应的变换得到直线 .
（1）求 的值；
（2）求直线 的方程.
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
1
1
1
lk x
∴ = −
2
2
1
lk x
=
1 2
1 2
1 1 1l lk k x x
∴ ⋅ = − ⋅ = −
1 2 1=x x
1l∴ ( )1 1
1
1 lny x x xx
= − − −
2l ( )2 2
2
1 lny x x xx
= − +
( )10,1 lnA x∴ − ( )20,ln 1B x − ( )1 2 1 21 ln ln 1 2 ln 2AB x x x x∴ = − − − = − =
1 2,l l P 1 2
1 2 1 2
2 2x x
x x x x
=+ +
1 2 1 2
1
1
1 2 2 2
12PABS AB x x x x x x
∆∴ = ⋅ = =+ + +
( )1 0,1x ∈
1y x x
= + ( )0,1 1
1
1 1 1 2x x
∴ + > + =
0 1PABS∆∴ < < PAB∆ ( )0,1 ( )0,1 0A a = 1 0 0B b = 2 0 1 : 4 0l x y− + = A 2l 2l B 3 : 4 0l x y+ + = ,a b 2l 1 2a = 1b = − 2 4 0x y− − =
（1）根据矩阵的乘法运算可建立关于 的方程组，解方程组求得结果；（2）根据（1）可
得矩阵 ，得到变换公式，从而可得所求方程.
【详解】（1） 变换到 的变换公式为：
可得到直线 即直线
，解得： ，
（2）由（1）知： 变换到 的变换公式为：
直线 的方程为： ，即
【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和直线在矩阵下的线性变换，关键是能够通过矩阵运算得
到线性变换的公式，属于常考题型.
16.在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对边的长， ，
．
（1）求角 的值；
（2）若 ，求△ABC 的面积．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin A，由正弦定理化简已知等式可求
，结合范围 0＜B＜π，可求 B 的值．
（2）由（1）及正弦定理可求 b 的值，利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，根据三角
形面积公式即可计算得解．
【详解】（1）在△ABC 中，因为 ， ，
,a b
A
0 2 0 1 2 0
0 0 0
aBA b a b
= = 1l∴ 3l 2x ax
y by
′
′
=
=
2 4 0ax by+ + = 1 : 4 0l x y− + =
2 1
1
a
b
=∴ = −
1
2a = 1b = −
0 1
1 02
A
=
1l∴ 2l 1
2
x y
y x
= ′
′
=
∴ 2l 2 4 0y x− + = 2 4 0x y− − =
cos 2 cosa B b A=
3cos 3A =
B
6a =
π
4B = 6 3 2
4S
+=
1sinBtanB cosB
= =
3cos 3A = 0 πA< ( )2,1,F t BDF ( )2 , , 2n t t= −
1 2 2
4 2cos ,
3 2 4
tn n
t
−< >=
+
2
4 2 1
33 2 4
t
t
− =
+
A
( )2,1,0C ( )0,0,2E ( )0,1,0B ( )1,0,0D
， ，
设平面 的法向量
，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为
即直线 与平面 所成角的正弦值为：
（2）设 ，则
设平面 的法向量
，令 ，则 ，
由（1）知，平面 的法向量
又二面角 的余弦值为 ，解得：
线段 的长为：
【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的
问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的
计算能力有一定要求，属于常考题型.
18.如图，一楼房高 为 米，某广告公司在楼顶安装一块宽 为 米的广告牌，
为拉杆，广告牌的倾角为 ，安装过程中，一身高为 米的监理人员 站在楼前观察该
广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设 米，该监
理人员观察广告牌的视角 .
( )2, 1,2CE∴ = − − ( )1, 1,0BD = − ( )0, 1,2BE = −
BDE ( )1 1 1 1, ,n x y z=
1 1 1
1 1 1
0
2 0
BD n x y
BE n y z
⋅ = − =∴ ⋅ = − + =
1 1z = 1 2y = 1 2x = ( )1 2,2,1n∴ =
CE BDE θ
1
1
4 2 2 4sin 3 3 9
CE n
CE n
θ
⋅ − − +∴ = = =×⋅
CE BDE 4
9
( )0CF t t= > ( )2,1,F t ( )2,0,BF t∴ =
BDF ( )2 2 2 2, ,n x y z=
2 2 2
2 2 2
0
2 0
BD n x y
BF n x tz
⋅ = − =∴ ⋅ = + =
2 2z = − 2x t= 2y t= ( )2 , , 2n t t∴ = −
BDE ( )1 2,2,1n =
1 2
1 2 2 2 2
1 2
2 2 2 4 2cos ,
3 4 3 2 4
n n t t tn n n n t t t
⋅ + − −∴ < >= = =⋅ + + +
E BD F− − 1
3 2
4 2 1
33 2 4
t
t
−∴ =
+
8
7t =
∴ CF 8
7
AB 19 3 BC 4 CD
60 3 EF
AE x=
BFC θ∠ =
（1）试将 表示为 的函数；
（2）求点 的位置，使 取得最大值.
【答案】（1） ；（2）当 米时， 取得最大
值.
【解析】
【分析】
（1）作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ，交 于 ；作 ，垂
足 为 ； 在 和 分 别 用 表 示 出 和 ， 根 据
，利用两角和差正切公式可求得结果；（2）根据（1）的结论，
设 ，可得 ，利用基本不等式可求得 时， 取最
大值，又 在 上单调递增，可知 时， 最大，从而可得到结果.
【详解】（1）作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ，交 于 ；作 ，
垂足为 ，如下图所示：
在 中，
tanθ x
E θ
( )2
2 3 36 3tan 22 1080
x xx x
θ += >− + 12 10 18AE = − θ
CG AB⊥ G FH AB⊥ H CG M BN CG⊥
N Rt CFM∆ Rt BFH∆ x tan CFM∠ tan BFH∠
( )tan tan CFM BFHθ = ∠ − ∠
18t x= +
2 3tan 1440 38t t
θ =
+ − 12 10t = tanθ
tanθ 0, 2
π
12 10t = θ
CG AB⊥ G FH AB⊥ H CG M BN CG⊥
N
Rt CFM∆ 4sin 60 19 3 3 20 3tan 4cos60 2
CM CN NMCFM MF AE BN x x
+ + −∠ = = = =− − −
在 中，
监理人员必须在 的右侧
综上所述：
（2）由（1）可得：
令 ，则
（当且仅当 ，即 时取等号）
当 ，即 时， 取最大值
又 且 在 上单调递增 最大时， 最大
当 米时， 取得最大值
【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，涉及到两角和差正切公式的应用、利用基本不
等式求解函数的最值问题；关键是能够建立起准确的函数模型，在求解最值时，将函数化为
符合基本不等式的形式；易错点是忽略了函数模型中定义域的要求.
19.已知函数 ， ，其中 a 为常数．
Rt BFH∆ 18 3tan BH AB EFBFH HF AE x
−∠ = = =
( ) tan tantan tan 1 tan tan
CFM BFHCFM BFH CFM BFH
θ ∠ − ∠∴ = ∠ − ∠ = + ∠ ∠
2
20 3 18 3
2 3 36 32
2 108020 3 18 31 2
xx x
x x
x x
− +−= = − ++ ⋅−
G 2x∴ >
( )2
2 3 36 3tan 22 1080
x xx x
θ += >− +
( )2 2
2 3 36 3 18tan 2 3 22 1080 2 1080
x x xx x x x
θ + += = ⋅ >− + − +
18t x= + ( )20,t ∈ +∞
( ) ( )2
2 3tan 2 3 144018 2 18 1080 38
t
t t t t
θ∴ = ⋅ =
− − − + + −
1440 14402 24 10t tt t
+ ≥ ⋅ =
1440t t
= 12 10t =
2 3 3tan
24 10 38 12 10 19
θ∴ ≤ =
− −
∴ 12 10t = 12 10 18x = − tanθ
0, 2
πθ ∈ tanθ 0, 2
π
tanθ∴ θ
∴ 12 10 18AE = − θ
( ) ( )ln 4 2 5f x a x a = − + − ( ) 1lng x a x
= −
当 时，设函数 ，判断函数 在 上是增函数还
是减函数，并说明理由；
设函数 ，若函数 有且仅有一个零点，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） ，
【解析】
【分析】
代入 a 的值，求出 的解析式，判断函数的单调性即可；
由题意把函数 有且仅有一个零点转化为 有且只有 1 个
实数根，通过讨论 a 的范围，结合二次函数的性质得到关于 a 的不等式组，解出即可．
【详解】（1）由题意，当 时， ，则 ，
因为 ，又由 在 递减，
所以 在 递增，
所以根据复合函数的单调性，可得函数 在 单调递增函数；
由 ，得 ，即 ，
若函数 有且只有 1 个零点，
则方程 有且只有 1 个实数根，
化简得 ，
即 有且只有 1 个实数根，
时， 可化为 ，即 ，
此时 ，满足题意，
当 时，由 得：
( )1 3a = ( ) ( ) ( )2 22 1h x f x f x= − − ( )h x ( )0,+∞
( )2 ( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( )F x
( ]1,2 {3∪ 4}
( )1 ( )h x
( )2 ( )F x ( ) ( )24 a x a 5 x 1 0− + − + =
a 3= ( ) ( )f x ln x 1= + ( ) ( )2
2
2xh x ln x 0x 1
= ≠+
2
2 2
2x 22x 1 x 1
= −+ + 2
2
x 1+
( )0, ∞+
2
22 x 1
− +
( )0, ∞+
( )h x ( )0, ∞+
( )2 ( )F x 0= ( ) ( )f x g x= ( ) 1ln 4 a x 2a 5 ln a x
− + − = −
( )F x
( ) 1ln 4 a x 2a 5 ln a x
− + − = −
( ) 14 a x 2a 5 a x
− + − = −
( ) ( )24 a x a 5 x 1 0− + − + =
a 4=① ( ) ( )24 a x a 5 x 1 0− + − + = x 1 0− + = x 1=
(4 ) 1 2 5 3 0
1 3 0
a a
a
− ⋅ + − = >
− = >
② a 4≠ ( ) ( )24 a x a 5 x 1 0− + − + =
，解得： 或 ，
当 即 时，方程 有且只有 1 个实数根，
此时 ，满足题意，
当 即 时，
若 是 的零点，则 ，解得： ，
若 是 的零点，则 ，解得： ，
函数 有且只有 1 个零点，所以 或 ， ，
综上，a 的范围是 ， ．
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的
零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数 有且仅有一个零点转化为
方程有且只有 1 个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转
化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
20.已知实数 ，设函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）对任意 均有 求 的取值范围.
注： 为自然对数的底数.
【答案】（1） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ；（2） .
【解析】
【分析】
( ) ( )4 a x 1 x 1 0 − − − = 1
4x a
= − x 1=
( )i 1 14 a
=− 3a = ( ) ( )24 5 1 0a x a x− + − + =
(4 ) 1 2 5 2 0
1 2 0
a a
a
− ⋅ + − = >
− = >
( )ii 1 14 a
≠− 3a ≠
1x = ( )F x (4 ) 1 2 5 0
1 0
a a
a
− ⋅ + − >
− > 1a >
1
4x a
= −
( )F x
(4 ) 1 2 5 0
1 01
4
a a
a
a
− ⋅ + − >
− >
−
2a >
( )F x 1
2
a
a
>
≤
1
2
a
a
≤
> 1 a 2∴ < ≤ ( ]1,2 {3∪ 4} ( )F x 0a ≠ ( )= ln 1, 0.f x a x x x+ + >
3
4a = − ( )f x
2
1[ , )ex∈ +∞ ( ) ,2
xf x a
≤ a
e 2.71828...=
( )f x ( )3,+∞ ( )0,3 20 4a< ≤
(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.
(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即
可.
【详解】(1)当 时， ，函数的定义域为 ，且：
，
因此函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
(2)由 ，得 ，
当 时， ，等价于 ，
令 ，则 ，
设 ， ，
则 ，
（i）当 时， ，
则 ，
记 ，
则
列表讨论：
x （ ） 1 （1，+∞）
p′（x） ﹣ 0 +
3
4a = − ( ) 3 ln 14f x x x= − + + ( )0, ∞+
( ) ( )( )
( )
3 4 33 1 3 1 2' 4 2 1 4 1 4 1 3 1 2
x xx xf x x x x x x x x x
− +− + += − + = =
+ + + + +
( )f x ( )3,+∞ ( )0,3
1(1) 2f a
≤ 20 4a< ≤ 20 4a< ≤ ( ) 2f x a x≤ 2 2 1 2ln 0x x xa a +− − ≥ 1t a = 2 2t ≥ 2( ) 2 1 2lng t t x t x x= − + − 2 2t ≥ 2 1 1( ) 1 2lnxg t x t xx x += − + − − 1 ,7x ∈ +∞ 11 2 2x + ≤ ( ) (2 2) 8 4 2 1 2lng x g x x x= − + − 1( ) 4 2 2 1 ln , 7p x x x x x= − + − ≥ 2 2 1 2 1 2 1 ( 1)[1 ( 2 2 1)]( ) 1 1 1( 1)( 1 2 ) x x x x x x xp x xx x x x x x x x x ′ + − − + − + + −= − − = = + + + + + + 1 7 1 17 ，
P（x） p（ ） 单调递减 极小值 p（1） 单调递增
（ii）当 时， ，
令 ，
则 ，
故 上单调递增， ，
由（i）得 ，
，
由（i）（ii）知对任意 ，
即对任意 ，均有 ，
综上所述，所求的 a 的取值范围是 ．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的
知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解
析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参
数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应
用．
在
1
7
( ) (1) 0, ( ) (2 2) 2 ( ) 0p x p g t g p x∴ = ∴ =
2
1 1, 7x e
∈
1 2 ln ( 1)( ) 1
2
x x xg t g x x
− − +≥ + =
2
1 1( ) 2 ln ( 1), , 7q x x x x x e
= + + ∈
ln 2( ) 1 0xq x
x
′ += + >
( )q x 2
1 1, 7e
1( ) 7q x q ∴ ≤
1 2 7 1 2 7 (1) 07 7 7 7q p p = − < − = 1 ( )( ) 0, ( ) 1 0 2 q xq x g t g x x ∴ < ∴ ≥ + = − >
2
1 , , [2 2, ), ( ) 0x t g te
∈ +∞ ∈ +∞ ≥
2
1 ,x e
∈ +∞ ( ) 2f x a
x≤
20, 4
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