高三阶段性抽测一
数学
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.把答案填写在答题卷相应位置上.
1.设集合 ， ，若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算结果求出参数 ，再求两集合的并集即可
【详解】 ， ， ， ，
故答案为:
【点睛】本题考查根据集合的交集结果求参数，集合的并集运算，属于基础题
2.已知 且 ，则“ ”是“ ”的__________条件、(填“充要”，“充分不
必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)．
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
由已知条件结合不等式性质即可判断
【详解】当 时，不等式两边同时除以 ，得 ，充分条件成立；
当 时，解得 或 ，故必要条件不成立，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，属于基础题
3.已知幂函数 过点 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
{ }1,3A = { }1,5B a= + { }3A B = A B =
{ }1,3,5
a
{ }3A B = 1 3a∴ + = 2a = { }3,5B = A B = { }1,3,5
{ }1,3,5
a R∈ 0a ≠ 1a > 1 1a
< 1a > a 1 1a
< 1 1a < 1a > 0a < 1a > 1 1a
< ( )y f x= 19, 3 (25)=f 1 5
【详解】设 f(x)＝xα，则 ＝9α，∴α＝－ ，即 f(x)＝ ，f(25)＝
4.函数 y= 的定义域为___________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数表达式得到使得函数有意义只需要 ,解这个不等式取得交集即可.
【详解】由 得－1
2
1 0
3 4 0
x
x x
+ >
− − + >
( )1,1−
13 27
x < x 3x < − 13 27 x < 33 3x −< 3xy = 3x < − θ 3sin 5θ = − ( )tan π θ− = 3 4 y
【详解】由 ，
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的基本定义，三角函数诱导公式的使用，属于基础题
7.定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 .
【答案】7
【解析】
由 ， 因 为 ， 所 以
共 7 个
考点：三角函数图像
8.函数 的单调递增区间为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求导，根据导数正负求解单增区间即可
【详解】由题可知， ， ，令 得 ，当
时， ， 单调递增； 时， ， 单
调递减，故 的单调递增区间为
故答案为：
【点睛】本题考查根据导数求解函数增减区间，属于基础题
2 2
3sin 35 4
yθ y
y
= − = ⇒ = −
+ ( ) 3tan tan 4
y
x
π θ θ− = − = − =
3
4
1sin 2 cos cos 0 sin 2x x x x= ⇒ = =或 [0,3 ]x π∈
3 5 5 13 17, , , , , , ,2 2 2 6 6 6 6x
π π π π π π π=
( ) 21ln 2f x x x x= − −
1 5(0, )2
− +
0x > ( ) 21 1' 1 x xf x xx x
− − += − − = ( )' 0f x = 5 1
2x
−=
1 5(0, )2x
− +∈ ( ) 0f ' x > ( )f x 1 5( , )2x
− +∈ +∞ ( )' 0f x < ( )f x ( ) 21ln 2f x x x x= − − 1 5(0, )2 − + 1 5(0, )2 − +
9.已知 ，则 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 的值.将所求表达式化为只含 的式子，由此求得
表达式的值.
【 详 解 】 依 题 意
.
而
.
【点睛】本小题主要考查利用诱导公式、二倍角公式和降次公式进行化简求值，考查化归与
转化的数学思想方法，属于中档题.
10.若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 得 ，结合 ，可解得 ，即可求
解
【详解】由 ，化
简 得 或 （ 舍 去 ） ， 故 ，
1cos 3 3x
π − =
25cos 2 sin3 3x x
π π − + −
5
3
πcos 2 3x +
πcos 2 3x +
π πcos 2 cos 2 π3 3x x + = − + −
2πcos 2 3x = − −
2 π 1 71 2cos 1 23 9 9x = − − = − × =
25cos 2 sin3 3x x
π π − + −
2π1 cos 2π 3cos 2 2π3 2
x
x
− − = + − +
πcos 2 3x = +
1 π 1cos 22 3 2x + + +
3 π 1cos 22 3 2x = + +
3 7 1 5
2 9 2 3
= × + =
1 cos 1
sin 2
α
α
+ = cos 2sinα α+ =
1
1 cos 1
sin 2
α
α
+ = ( )2 1 cos sinα α+ = 2 2sin cos 1α α+ = cos ,sinα α
( ) ( )2 2 21 cos 1 2 1 cos sin 4 1 cos sin 1 cossin 2
+ = ⇒ + = ⇒ + = = −α α α α α αα
3cos 5
α = − cos 1α = − ( ) 4sin 2 1 cos 5α α= + =
3 8cos 2sin 15 5
+ = − + =α α
故答案为：1
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，解题易错点为忽略 应舍去的情况，
属于基础题
11.已知周期为 的偶函数 ，当 时， ，则 ＝
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
可利用周期性将 转化成区间在 对应的数值，结合偶函数性质进行求解即可
【 详 解 】 为 周 期 偶 函 数 ，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查根据周期函数和偶函数性质求解具体函数值，属于基础题
12.过曲线 上一点 处的切线分别与 轴， 轴交于点 、 ，
是坐标原点，若 的面积为 ，则 _．
【答案】
【解析】
【分析】
求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的
方程，分别令 x=0 和 y=0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横
坐标．
【详解】由题意可得 y0=x0﹣ ，x0＞0，
∵y′=1+ ，
的
cos 1α = −
2 ( )f x [ ]0,1x∈ ( ) 2 1xf x = − ( )2log 48f
1
3
2log 48 [ ]1,0x∈ −
( )f x 2T =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
4log 48 = log 48 6 6 log 48 log 64 log 48 log 3f f f f f ∴ − = − = − =
[ ]2
4log 0,13
∈ 2
4log 3
2
4 1log 2 1=3 3f ∴ = −
1
3
1 ( 0)y x xx
= − > 0 0( , )P x y x y A B O
OAB∆ 1
3 0x =
5
0
1
x
2
1
x
∴切线的斜率为 1+ ，
则切线的方程为 y﹣x0+ =（1+ ）（x﹣x0），
令 x=0 得 y=﹣ ；
令 y=0 得 x= ，
∴△OAB 的面积 S= ，
解得 x0= （负的舍去）．
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法和三角形的面积的计算，意
在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数 在点 处的导数
是曲线 在 处的切线的斜率，相应的切线方程是
.
13.已知 的三个内角 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，外接圆半径为 1，且满足
，则 面积的最大值为_________．
【答案】
【解析】
由 ， 利 用 正 弦 定 理 可 得 ： ， ， ∵
， ， ∴
， ∴
， 即
，∵ ，∴ ，
2
0
1
x
0
1
x 2
0
1
x
0
2
x
0
2
0
2
1
x
x+
0
2
0 0
21 2 1
2 1 3
x
x x
⋅ ⋅ =+
5
5
( )y f x= 0x
0( )f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x
0 0 0( )( )y y f x x x′− = −
ABC
tan 2
tan
A c b
B b
−= ABC
3 3
4
1r = 2 sin 2sinc r C C= = 2 sin 2sinb r B B= =
sintan cos
AA A
= sintan cos
BB B
=
tan sin cos 4sin 2sin 2sin sin
tan cos sin 2sin sin
A A B C B C B
B A B B B
− −= = =
sin cos cos 2sin sin 2sin cos sin cosA B A C B C A B A= − = −（ ）
sin cos cos sin sin sin 2sin cosA B A B A B C C A+ = + = =（ ） sin 0C ≠ 1cos 2A =
即 ， ∴ ， ∴
，∴ （当且仅当
时，取等号），∴ 面积为 ，则 面积的最大值
为 ，故答案为 .
14.已知函数 ， ，若函数
有 个零点(互不相同)，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
可先对 求导，结合图像判断 有三个交点的区间，又函数 ，可先画
出 的图像，结合图像判断 有两个交点的取值范围，结合 取值范围进一步判断即
可
【详解】由 ，令 得 或 ，
当 ， 单调递增；当 ， 单调递减；
当 ， 单调递增，
函数的极大值为 ，极小值为 ，画出函数图像，如图：
当 有三个交点时， ；
再根据题意画出 图像，如图：
3A
π= 2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= =
2 2 2 2 2 2 2 22 sin 3 2 3bc b c a b c r A b c bc= + − = + − = + − ≥ −（ ） 3bc ≤ b c=
ABC
1 1 3 3 3sin 32 2 2 4S bc A= ≤ × × = ABC
3 3
4
3 3
4
( ) 3 23 1f x x x= − + ( )
24 4 2, 0
1 2 1, 02
x x x
g x
x x
− + >= − + + ≤
( )( )y g f x a= − 6 a
1( ,2)2
( )f x ( )f x t= ( )y g t a= −
( )g x ( )g t a= t
( ) ( )3 2 23 1 ' 3 6f x x x f x x x= − + ⇒ = − ( )' 0f x = 0x = 2x =
( ) ( ),0 , ' 0x f x∈ −∞ > ( )f x ( ) ( )0,2 , ' 0x f x∈ < ( )f x ( ) ( )2, , ' 0x f x∈ +∞ > ( )f x
∴ ( )0 1f = ( )2 3f = −
( )f x t= ( )3,1t ∈ −
( )g x
当 时，要使 ，即函数图像在 时， 与 要有两
个交点，如图：
，故
故答案为：
【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数取值范围，分段函数图像的画法，导数判断函
数最值，数形结合的思想，综合性强，属于难题
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
15.已知函数 的最小正周期 .
(1)求函数 的单调增区间；
(2)若把 图像向左平移 个单位，得到 的图像，当 时，求函数
的最大值和最小值及对应的 的值.
【答案】（1） ；
（2） 时， 有最小值 ； 时， 有最大值 ；
【解析】
【分析】
（1）先对 化简可得 ，再根据正弦型函数的通式求解即可；
( )3,1t ∈ − ( ) 0y g t a= − = ( )3,1t ∈ − y a= ( )y g t=
( ) 13 2g − = 1( ,2)2a ∈
1( ,2)2
( ) 2 3sin cosf x x xω ω= − ( )2 2cos sin 0x xω ω ω+ > T π=
( )f x
( )f x 6
π ( )g x ,02x
π ∈ −
( )g x
x
( ),6 3k k k Z
π ππ π − + + ∈
3x
π= − ( )g x 2− 0x = ( )g x 1
( )f x ( ) 2sin(2 )6f x x= − π
（2）先求出平移之后 的解析式，根据 可求得 ，结合函
数求最值即可
【详解】(1)因为
由 ， ，得 ，所以
因为 ，
所以
所以 的单调增区间为
(2)若把 图像向左平移 个单位，得到 ，
因为 ，所以
则有
当 ，即 时， 有最小值
当 ，即 时， 有最大值
【点睛】本题考查复合型三角函数解析式的求法，函数单调区间的求法，函数图像的平移法
则，在给定区间函数的值域，属于中档题
16. 中，已知 ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】（1） ；
（2） ；
【解析】
在
( )g x ,02x
π ∈ −
5 26 6 6x
π π π− ≤ + ≤
( ) 2 3sin cosf x x xω ω= − 2 2cos sinx xω ω+
3sin 2 cos2x xω ω= −
2sin(2 )6x
πω= −
0>ω 2
2T
π πω= = 1ω = ( ) 2sin(2 )6f x x= − π
( )2 2 22 6 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ − ≤ + ∈
( )
6 3k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈
( )f x ( ),6 3k k k Z
π ππ π − + + ∈
( )f x 6
π ( ) 2sin(2 )6g x x
π= +
,02x
π ∈ −
5 26 6 6x
π π π− ≤ + ≤
11 2sin(2 )6 2x
π− ≤ + ≤
2 6 2x
π π+ = −
3x
π= − ( )g x 2−
2 6 6x
π π+ = 0x = ( )g x 1
ABC∆ 5cos 13A = 4sin 5B =
tan 2A
cosC
120
119
−
33
65
【分析】
（1）根据同角三角函数求出 ，再由二倍角的正切公式求解即可；
（2）由 求出 ，根据 的正负结合 分类讨论进一步确定 ，再
由 求解即可
【详解】(1)在 中，因为 ， ，所以 .
所以 ，
所以 .
(2)因为 ，所以 .
当 时， ，
，
因为 ，所以 ，
所以
当 时，
与 矛盾，舍去，
所以 的值为 .
【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，正切角的二倍角公式的使用，三角函数的诱导
公式，两角和的余弦公式，属于基础题
17.如图：已知某公园 四处景观分别位于等腰梯形 的四个顶点处，其中 ， 两地
的距离为 千米， ， 两地的距离为 千米， .现拟规划在 (不包
括端点)路段上增加一个景观 ，并建造观光路直接通往 处，造价为每千米 万元，又重
新装饰 路段，造价为每千米 万元.
.
的
tan A
sin B cos B cos B ( )sin A B+ cos B
( )cos cosC A B= − +
ABC∆ 5cos 13A = sin 0A > 12sin 13A =
12tan 5A =
2
2tan 120tan 2 1 tan 119
AA A
= = −−
4sin 5B = 2 3cos 1 sin 5B B= ± − = ±
3cos 5B = ( ) 56sin sin cos cos sin 065A B A B A B+ = + = >
( ) 33cos cos cos sin sin 065A B A B A B+ = − = − < A B C π+ + = 2 A B π π< + < ( ) ( ) 33cos cos cos 65C A B A Bπ= − − = − + = 3cos 5B = − ( )sin sin cosA B A B+ = 16cos sin 065A B+ = − < 0 A B π< + < cosC 33 65 ABCD A B 4 C D 2 60DAB B∠ = ∠ = ° CD P A 10 PC 8
(1)若拟修建观光路 路段长为 千米，求 路段的造价；
(2)设 ，当 为何值时， ， 段的总造价最低.
【答案】（1） 万元；
（2） ；
【解析】
【分析】
（1）结合等腰梯形的性质和余弦定理即可求解；
（2）结合正弦定理代换出 ，进而表示出 ，列出总造价的表达式，结合导数即可求
解
【详解】(1) 如图:
作 ， ，垂足分别为 ， ，
则有 ，所以 ，所以 .
设 ，
在三角形 中，由余弦定理
得到 ，整理得到
所以 或 (舍去)
所以 ， 段造价为 万元.
故 段造价为 万元.
(2)因为在三角形 中， ， ，
所以 ，由正弦定理得， ，
所以 ， .
设总造价为 ，则
AP 7 PC
BAP θ∠ = cosθ AP PC
8
4
5
,AP PD PC
ED AB⊥ CF AB⊥ E F
DC EF= 1AE BF= = 2AD =
PD x=
APD 2 2 2 2 cosAP AD PD AD DP ADP= + − ⋅ ⋅ ∠
27 4 4 cos120x x= + − ° 2 2 3 0x x+ − =
1x = 3x = −
1PC = PC 8
PC 8
APD APD PAB θ∠ = ∠ = 120ADP∠ = °
60DAB θ∠ = °− ( )sin sin sin 60
AP AD PD
ADP θ θ= =∠ °−
3
sinAP θ= ( )2sin 60
sinPD
θ
θ
°−=
y ( )10 8 2y AP PD= + − = ( )16sin 6010 3 16sin sin
θ
θ θ
°−+ −
，
则有 ，
令 ，得 ，令 ，
列表：
极小值
由列表当 ，即 时， 有最小值.
故当 时， ， 段的总造价最低.
【点睛】本题考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理解三角形，导数研究
实际问题中造价最低问题，属于难题
18.已知函数 ， 是实数.
(1)若函数 是定义在 上的奇函数，求 的值，并求方程 的解；
(2)若 对任意的 恒成立，求 的取值范围；
(3)若 ，方程 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3） 或 ；
【解析】
【分析】
（1）可根据奇函数性质 ，也可根据特殊点 求 ，再进行验证即可；
( )2 3 5 4cos 24sin
−= +θ
θ
π0 θ 3< < ( ) 2 2 3 4 5cos siny θ θ −′ = 0y′ = 4cos 5 θ = 0 4cos 5 θ = 0 (0, )3 πθ ∈ θ ( )00,θ 0 θ 0( , )3 πθ y′ − 0 + y ↓ ↑ 0 θ θ= 4cos 5 θ = y 4cos 5 θ = AP PC ( ) ( )1 2 2x xf x k −= − + k ( )f x R k ( ) 15 4f x = − ( ) 4f x ≥ [ ]1,2x∈ k 2k = ( ) ( )2 2 6 9f x af x a= − − a 0k = 2x = 11 4k ≥ 11 2a ≤ − 7a ≥ ( ) ( )f x f x− = − ( )0 0f = k
令 结合一元二次方程的解法即可求解；
（2）可采用分离常数法得 对任意的 恒成立，令 ，
，令 ，则 ，结合二次函数性质即可求解；
（3） 时， ， 化简得
，采用构造函数法，令 ，转化为方程
在 上有解，再结合二次函数对称轴与增减性进一步求解即可
【详解】(1)方法一：因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
整理得 对任意 恒成立，
所以 .
方法二：因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，解得
检验：当 时， ，
此时，
所以
此时 .
因为 ，即 ，整理得
解得 或 (舍).
所以 .
(2)因为 对任意 恒成立，
所以 ，即 对任意的 恒成立.
令 ，则 ，
的
( ) 15
4f x = −
24 11 ( )2 2x xk − ≥ − [ ]1,2x∈ 1
2x t=
1 1,4 2t ∈
( ) 2 4g t t t= − + ( )max1k g t− ≥
2k = ( ) 2 2x xf x −= + ( ) ( )2 2 6 9f x af x a= − −
( )2 22 2 2 2 2 6 9x x x xa a− −+ = + − − 2 2x x u−+ =
2 2 6 7 0u au a− + + = [2, )+∞
( )f x R
( ) ( )f x f x− = − x∈R
( ) ( )1 2 2 1 2 2x x x xk k− −− + = − − − x∈R
( )22 1 0xk + = x∈R
0k =
( )f x R ( )0 0f = 0k =
0k = ( ) 2 2x xf x −= − +
( ) ( ) ( )2 2 2 2x x x xf x f x− −− = − + = − − + = −
0k =
( ) 2 2x xf x −= − +
( ) 15
4f x = − 152 2 4
x x−− + = − ( )2
4 2 15 2 4 0x x− ⋅ − =
2 4x = 12 4
x = −
2x =
( ) 4f x ≥ [ ]1,2x∈
( )1 2 2 4x xk −− + ≥ 24 11 ( )2 2x xk − ≥ − [ ]1,2x∈
1
2x t= 1 1,4 2t ∈
令 ，所以
在 上单调递增，
所以
所以 ，所以 .
(3)当 时， ，因为 ，
所以 .
令 ，则 ，
转化为方程 在 上有解.
令 ，
①当 时， 在 为增函数
所以 ，得 .
②当 时，需 ，
即 ，解得 ，
所以 或 .
【点睛】本题考查根据奇函数性质求解参数，求解指数型函数方程的解，分离常数法求最值，
构造函数法求最值，利用二次函数性质研究函数最值，逻辑推理能力，属于难题
19.若函数 对定义城内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使得
成立，则称该函数为“ 函数”.
(1)判断函数 是否为“ 函数”，并说明理由；
(2)若函数 在定义域 上为“ 函数”，求 的取值范围；
(3)已知函数 在定义域 上为“ 函数”.若存在实数
，使得对任意的 ，不等式 都成立，求实数 的
( ) 2 4g t t t= − + ( )max1k g t− ≥
( ) ( )22 4 2 4g t t t t= − + = − − + 1 1,4 2
( )max
1 7( )2 4g t g= =
71 4k − ≥ 11
4k ≥
2k = ( ) 2 2x xf x −= + ( ) ( )2 2 6 9f x af x a= − −
( )2 22 2 2 2 2 6 9x x x xa a− −+ = + − −
2 2x x u−+ = 2u ≥
2 2 6 7 0u au a− + + = [2, )+∞
( ) 2 2 6 7h u u au a= − + +
2a < ( )h u [2, )+∞ ( )2 0h ≤ 11 2a ≤ − 2a ≥ 0∆ ≥ ( ) ( )2 2 2 4 6 7 0 a a a ≥ − − + ≥ 7a ≥ 11 2a ≤ − 7a ≥ ( )y f x= 1x 2x ( ) ( )1 2 0f x f x+ = Y ( ) sinf x x= Y ( ) 2logg x x= [ ],m n Y 2m n+ ( ) ( )2 22 1 4h x x b x b= − + + − [ ]1,2− Y [ ]1,2x∈ − t R∈ ( ) ( )2 5 4h x t p t x≥ − + − − + p
取值范围.
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2） ；
（3） 或 ；
【解析】
【分析】
（1）通过列举的方式可判断不是反函数；
（2）由函数 在定义域 上为“ 函数”可得 ， ，
可代换为 ，结合导数可求得范围；
（3）由“ 函数”定义可先求证函数在 上单调，且 ，求得参数
，由 对于任意实数 恒成立整理得
，变形成关于 的二次不等式 ，再令
进一步求得 值即可
【详解】(1) 不是为“ 函数”.
若 ，当 或 时，满足 ，
此时 不唯一，所以 不是为“ 函数”.
(2)因为函数 在 为増函数，且在 上为“ 函数”，
所以 ，即 .
又因为 ，所以 .
所以 .
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 .
2 3m n+ >
13
4p ≥ 1
2p ≤ −
( ) 2logg x x= [ ],m n Y ( ) ( ) 0g m g n+ = 1mn =
2m n+ 2m m
+
Y [ ]1,2− ( ) ( )1 2 0h h− + =
2b = ( ) ( )2 5 4h x t p t x≥ − + − − + t R∈
( )2 25 5 4x x t p t x− ≥ − + − − + t 2 2 4 0t xt x px+ + − − ≥
0∆ ≤ P
( ) sinf x x= Y
1 6x
π= 2 6x
π= − 2
7
6x
π= ( ) ( )1 2 0f x f x+ =
2x ( ) sinf x x= Y
( ) 2logg x x= [ ],m n [ ],m n Y
( ) ( ) 0g m g n+ = 1mn =
0 m n< < 0 1m< < 22m n m m + = + ( ) 2F m m m = + ( ) 2 2 2 2 21 mF m m m −′ = − = 0 1m< < ( ) 0F m′ < ( )F m ( )0,1 ( ) ( )1 3F m F> = 2 3m n+ >
(3)若 图像对称轴 ，设 ，且 ， 关于 对
称，
此时， ，由条件可知，存在 ，使 ，这与“ 函数”定义
矛盾.
所以 在 上单调，且 ，
由 ，得 ，解得 或 .
检验： 在 上单调，所以 .
不等式即 ，
整理得 ，由题意知，上式对任意 恒成立.
得 ，
整理得 ，由题意知，存在 使得上式成立，
所以 或 .
解得 或 .
【点睛】本题考查函数新定义的理解，利用不等式和导数求解参数取值范围，二次函数恒成
立问题转化，函数与方程的转化思想，属于难题
20.设函数 ， ，其中 .
(1)若 ，证明：当 时， ；
(2)设 ，且 ，其中 是自然对数的底数.
①证明 恰有两个零点；
②设 如为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明： .
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②证明见解析；
【解析】
( )h x ( )2 1 1,22
bx
+= ∈ − ( )1 2, 1,2x x ∈ − 1x 2x 2 1
2
bx
+=
( ) ( )1 2h x h x= 3x
( ) ( )
( ) ( )1 3
2 3
0
0
h x h x
h x h x
+ = + = Y
( )h x [ ]1,2− ( ) ( )1 2 0h h− + =
( ) ( )1 2 0h h− + = 2 2 0b b− − = 2b = 1b = −
( )h x [ ]1,2− 2b =
( )2 25 5 4x x t p t x− ≥ − + − − +
2 2 4 0t xt x px+ + − − ≥ t R∈
( )2 24 4 0x x px− − − ≤
23 4 16 0x px− − ≥ [ ]1,2x∈ −
3 4 16 0p+ − ≥ 12 8 16 0p− − ≥
13
4p ≥ 1
2p ≤ −
( ) lnf x x= ( ) ( )1g x a x= − a R∈
1a = 1x > ( ) ( )f x g x< ( ) ( ) ( ) xF x f x g x e= − 10 a e < < e ( )F x 0x ( )F x 1x ( )F x 1 0x x> 0 13 2x x− >
【分析】
（1）将条件转化，构造函数 ，通过导数证明，当
时， 即可；
（2）先求得 ，先判断 的增减性，设导数为零的点为 ，可证
在 内单调递增，在 内单调递减，再结合（1）的性质可得 ，即
，将 代换可得 ，再结合（1）的性质放缩，即可求证
【详解】令
当 时， ，所以 在 上递减，
又 在 上连续，
所以当 时， ，即当 时，
(2)证明：① ，得
令 ，由 ，
可知 在 内单调递减，又 ，且
.
故 在 有唯一解，从而 在 内有唯一解，
不妨设为 ，则
当 时， ，所以 在 内单调递增；
当 时， ，所以 在 内单调递减，
( ) ( ) ( ) ( )ln 1h x f x g x x a x= − = − − 1x >
( ) 0h x < ( ) 21 xax eF x x −′ = ( )F x′ 0x ( )F x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( ) ( )0 1 0 0 F x F x ′ = = ( ) 0 1 2 0 1 1 1 ln 1 x x ax e x a x e = = − a 01 2 0 1 1 ln 1 xx x xe x − = − ( ) ( ) ( ) ( )ln 1h x f x g x x a x= − = − − ( ) 1 11 xh x x x −′ = − = 1x > ( ) 0h x′ < ( )h x ( )1,+∞ ( )h x [ )1,+∞ 1x > ( ) ( )1 0h x h< = 1x > ( ) ( )f x g x< ( ) ( ) ( ) ( )ln 1x xF x f x g x e x a x e= − = − − ( ) 21 xax eF x x −′ = ( ) 21 xG x ax e= − 10 a e < < ( )G x ( )0,+∞ ( )1 1 0G ae= − >
21 1 1(ln ) 1 (ln )G aa a a
= − 21 11 (ln ) 0a a
= − < ( ) 0G x = ( )0,+∞ ( ) 0F x′ = ( )0,+∞ 0x 0 11 lnx a < < ( )00,x x∈ ( ) ( ) ( )0 0G x G xF x x x ′ = > = ( )F x ( )00, x
( )0 ,x x∈ +∞ ( ) ( ) ( )0 0G x G xF x x x
′ = < = ( )F x ( )0 ,x +∞
因此 是 的唯一极值点.
由(1)知 .从而
又因为 ，所以 在 内有唯一零点.
又 在 内有唯一零点 ，从而 在 内恰有两个零点.
②由题意， ，即 ，
从而 ，即 .
因为当 时， ，又 ，故
两边取对数，得 ，于是
整理得 .
【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，导数在零点、极值点上的具体应用，放
缩法的应用，思维转化能力，属于难题
0x ( )F x
ln 1x x< − 1ln1 1 1(ln ) ln ln (ln 1) aF a ea a a = − − 1 1 1ln ln ln 1 (ln ) 0ha a a = − + = = ( )F x ( )0 ,x +∞
( )F x ( )00, x 1 ( )F x ( )0,+∞
( )
( )1
0
0
F x
F x
′ = = ( )
0
1
2
0
1 1
1
ln 1
x
x
ax e
x a x e
= = −
011
1 2
0
1ln xxxx ex
−−= 01
2
0 1
1
ln
1
xx x xe x
− = −
1x > ln 1x x< − 1 0 1x x> > ( )
01
2
0 1 2
0
1
1
1
xx x xe xx
− −< =− 01 2 0ln lnxxe x− < ( )1 0 0 02ln 2 1x x x x− < < − 0 13 2x x− >
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