2020 届高三月考试卷（一）
数学（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设全集为 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合 B 的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．
【详解】B＝{x|log3（x+2）＜1}＝{x|0＜x+2＜3}＝{x|﹣2＜x＜1}，
则∁RB＝{x|x≥1 或 x≤﹣2}，
A∩（∁RB）＝{x|1≤x＜2}，
故选：C．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．
2.命题“ 且 ”的否定形式是（ ）
A. 且
B. 或
C. 且
D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃n0∈N*，f（n0）∈N*且 f（n0）
≤n0”的否定形式是：∀n∈N*，f（n）∉N*或 f（n）＞n．
R { }3{ | 0 2}, | log ( 2) 1A x x B x x= < < = + < ( )RA C B = { | 0 1}x x< { | 0 1}x x< < { |1 2}x x
* *, ( )n N f n N∀ ∈ ∉ ( )f n n>
( )* *
0 0,n N f n N∃ ∈ ∉ ( )0 0f n n>
( )* *
0 0,n N f n N∃ ∈ ∉ ( )0 0f n n>
故选：B．
【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
3.设 ， 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．
【详解】x，y 满足约束条件 的可行域如图：
目标函数 z＝x+y，经过可行域的 A，O 时，目标函数取得最值，
由 解得 A（0，3），
目标函数 z＝x+y 的最大值为：0+3=3，最小值为：0，
目标函数 z＝x+y 的取值范围：[0，3]．
故选：D．
【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关
键．
x y
3 2 6 0
0
0
x y
x
y
+ − ≤
z x y= +
[ 3,0]− [ 3,2]− [0,2] [0,3]
3 2 6 0
0
0
x y
x
y
+ − ≤
≥
≥
0
3 2 6 0
x
x y
=
+ − =
4.设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】由题意可得： ， ， ，
指数函数 单调递减，故 ，
综上可得： .
故选：C.
【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因
幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方
法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据
指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，
既快捷，又准确．
5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是
“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过 30 的素数中，
随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先确定不超过 30 的素数，再确定两个不同的数的和等于 30 的取法，最后根据古典概
型概率公式求概率.
详解：不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个
0.2
0.3
2
1 , log 3, 22a b c − = = =
b c a> > a b c> >
b a c> > a c b> >
( )0.21 0,12a = ∈ 2log 3 1b = > ( )0.3
0.3 12 0,12c − = = ∈
1
2
x
y =
0.2 0.31 1
2 2
>
b a c> >
30 7 23= +
1
12
1
14
1
15
1
18
不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的
数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为 ，选 C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问
题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)
列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具
体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
6.函数 图象向右平移 个单位得到函数 的图象，并且函数
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则实数 的值为（ ）
A B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
由 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 得 到
，函数 在区间 上单调递增，在区间
上单调递减，可得 时， 取得最大值，即 ， ，
，当 时，解得 ，故选 C.
点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变
换“左加右减，上加下减”的规律求解出 ，根据函数 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减可得 时， 取得最大值，求解可得实数 的值.
7.已知函数 ，则关于 的不等式 的解集
为（ ）
A. B. C. D.
的
.
2
10 45C = 7+23=11+19=13+17=30
3 1=45 15
( ) sin ( 0)f x xω ω= >
12
π ( )y g x=
( )g x [ , ]6 3
π π
[ , ]3 2
π π ω
7
4
3
2
5
4
( ) sin ( 0)f x xω ω= >
12
π
[ ]12 12g x sin x sin x
π ωπω ω= − = −（ ） （ ） （ ） ( )g x ,6 3
π π
,3 2
π π
3x
π= ( )g x 23 12 2 k
π ωπ πω π× − = +（ ） k Z∈
0ω > 0k = 2ω =
( )g x ( )g x ,6 3
π π
,3 2
π π
3x
π= ( )g x ω
2
1( ) ln(1 | |) 1f x x x
= + − + x 1(ln ) (ln ) 2 (1)f x f fx
+ < (0, )+∞ (0, )e 1( , )ee (1, )e
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的解析式分析函数的奇偶性与单调性，据此分析可得 f（lnx）+f（ln ）＜
2f（1）⇒2f（lnx）＜2f（1）⇒f（lnx）＜f（1）⇒|lnx|＜1，解可得 x 的取值范围，即可
得答案．
【详解】根据题意，函数 f（x）＝ln（1+|x|） ，则 f（﹣x）＝ln（1+|x|）
f（x），即函数 f（x）为偶函数，
在[0，+∞）上，f（x）＝ln（1+x） ，则 f（x）在[0，+∞）上为增函数，
f（lnx）+f（ln ）＜2f（1）⇒2f（lnx）＜2f（1）⇒f（lnx）＜f（1），
即|lnx|＜1，解可得 x＜e，即不等式的解集为（ ，e）；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析 f（x）的奇偶性与单调性，
属于基础题．
8.在平行四边形 中， ， ， ， 为 的中点， 为平
面 内一点，若 ，则 （ ）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件及向量加减法的几何意义即可得出| |＝| |，再根据向量的数量积公式计算
即可
【详解】由| |＝| |，可得| |＝| |，
取 AM 的中点为 O，连接 ON，则 ON⊥AM，
又 ，
所以 • （ ）2 （ • ） （4
1
x
2
1
1 x
− + 2
1
1 x
− =+
2
1
1 x
− +
1
x
1
e
＜ 1
e
ABCD 4AB = 2AD =
3BAD
π∠ = M DC N
ABCD | | | |AB NB AM AN− = − AM AN⋅ =
AN MN
AB NB− AM AN− AN NM
1
2AM AD AB= +
AM 21 1
2 2AN AM= = 1
2AD AB+ 1
2
= 2 21
4AD AB AD+ + AB 1
2
=
16+2×4 ）＝6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中
档题
9.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，CC1 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，
EF，CD 都相交的直线（ ）
A. 不存在 B. 有且只有两条 C. 有且只有三条 D. 有无数条
【答案】D
【解析】
【详解】在 上任意取一点 ，直线 与 确定一个平面，
这个平面与 有且仅有 个交点 ，
当 取不同的位置就确定不同的平面，
从而与 有不同的交点 ，
而直线 与这 条异面直线都有交点，如图所示，故选 D．
【方法点晴】本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，其中解答中涉及到立体几何中
空间直线相交问题、空间几何体的结构特征、异面直线的概念等知识点的综合考查，着重考
查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中正确把握空间几何体的结
构特征是解答的关键．
1
4
+ × 1
2
×
−
EF M 1 1A D M
CD 1 N
M
CD N
MN 3
10.如图，已知双曲线 ： 的右顶点为 为坐标原点，以 为圆心
的圆与双曲线 的某渐近线交于两点 ．若 且 ，则双曲线 的离
心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：确定△QAP 为等边三角形，设 AQ=6R，则 OP=3R，利用勾股定理，结合余弦定理，
即可得出结论．
因为 且 ，所以△QAP 为等边三角形，设 AQ=2R，则 OP=R，渐近线方
程为
取 PQ 的中点 M，则 ，由勾股定理可得
在△OQA 中，
结合 ，可得
考点：双曲线的简单性质
11.对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
2 2
2 2 1x y
a b
− =
60PAQ∠ = ° 3OQ OP =
2 3
3
7
2
39
6 3
60PAQ∠ = ° 4OQ OP=
0by x A aa
= ，（ ，）， 2 2
abAM
a b
−=
+
( )22 2 2 2 2 2
2 2
6 3 27 abR R ab R a b
a b
−− = ∴ = +
+
（ ） （ ），（ ） （ ） ①
2 2 2
2 2(6 ) (3 ) 1 27 2 6 3 2
R R a R aR R
+ − = ∴ =× × ， ②
2 2 2c a b= + 2 13
5
ce a
=＝ ．
,仿此，若 的“分裂数”中有一个是 73，则 m 的值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
由题意可得 的“分裂数”为 个连续奇数，设 的“分裂数”中第一个数为 ，则由题
意可得： ， ，…， ，
将以上 个式子叠加可得
∴
∴当 时， ，即 73 是 的“分裂数”中第一个数
故选 B
12.设 ，若函数 在
内有 4 个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：当 时，显然有 ，即 不是 的零点；当
时 ， 的 零 点 个 数 即 为 方 程 的 根 的 个 数 ， 则 由
，即 ，则 的零点个数
为函数 与 的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由
3 3 3
1373 152 { 3 { 9 4 {5 1711 19
， ， 3m
3m m 3m ma
3 2 7 3 4 2 2a a− = − = = × 4 3 13 7 6 2 3a a− = − = = × 1 2( 1)m ma a m−− = −
2m − 2
(4 2 2)( 2) ( 1)( 2)2m
m ma a m m
+ − −− = = + −
2
2( 1)( 2) 1ma m m a m m= + − + = − +
9m = 73ma = 39
2 1( 0),( ) {
4 cos 1( 0),
x xf x
x x xπ
+ ≥=
− < ( ) 1( )g x kx x R= − ∈ ( ) ( )y f x g x= − [ ]2,3x∈ − k 11(2 2, )3 112 2, 3 (2 3,4) (2 3,4 0x = ( ) ( )f x g x≠ 0x = ( ) ( )y f x g x= − 0x ≠ ( ) ( )y f x g x= − ( ) ( )f x g x= 2 ( 0){ 4cos ( 0) x xk x x xπ + >=
< ( ) ( )y f x g x= − y k= 2 ( 0){ 4cos ( 0) x xy x x xπ + >=
2 1sin 3sin cos2 2 2 2
C A A+ −
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理可得 b2＝ac，再由 A，B，C 依次成等差数列求得 ，再由余弦定理求得
a＝c，可得△ABC 为正三角形，得到结论.
（2）要求的式子利用三角函数的恒等变换化为 ，再根据角 A 的范围求出
的范围，即得所求．
【详解】 依次成等差数列， ， .
（1） ， .
又 ，
，即 ，
为正三角形， .
（2）
.
， ，
， ，
.
3A
π= 1 3,4 4
3B
π=
1
2 6sin A
π +
1
2 6sin A
π +
, ,A B C 2B A C Bπ= + = −∴ 3B
π∴ =
2sin sin sinB A C=
2b ac∴ =
2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + −
2 2a c ac ac+ − =∴ 2( ) 0a c− = a c∴ =
ABC∆∴
3A
π=
2 1 1 cos 3 1sin 3sin cos sin2 2 2 2 2 2 2
C A A C A
−+ − = + −
3 1 2 3 1 3sin cos sin cos sin2 2 3 2 4 4A A A A A
π = − − = + −
3 1 1sin cos sin4 4 2 6A A A
π = + = +
a c>
2
2 3A
π π<
( ) ( ) ( )1 1 0minh x h a h= − =＜
1a a∴
( ) ( 1) lnp x f x a x= − = 2 1
2 1
ln ln
AB
a x a xk x x
−= −
( ) ap x x
′ = ( )3
3
ap x x
′ =∴
2 1
2 1 3
ln lna x a x a
x x x
−∴ =−
( ) , 0ap x ax
′ = >
1 2
3 2
x xx
+< ⇔ ( ) 1 2 3 2 x xp x p + ′ > ′
2 1
2 1 1 2
ln ln 2a x a x a
x x x x
− >− +
( ) 2
2 1 12
21 1 2
1
2 12ln
1
x
x x xx
xx x x
x
− − > =+ +
2
1
, 1x tx
ι= > 2( 1)ln 1
tt t
−> +
等价于 ，
构造函数 ，
则 ，
令 ，
当 时， ，
在 上为单调递增函数， ，
在 上为单调递增函数，
在 上恒成立，
成立， 得证.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造函数法、换元法、恒成立
问题的等价转化、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于
难题．
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分.
22.在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点 为
极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求 ， 的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程 ，设 与 的交点为 ， ，求 的
面积.
【答案】(1) ； ；(2)
【解析】
【分析】
（1）由条件根据 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 求得 C1，C2 的极坐标方程．
( 1)ln 2( 1)t tι + > −
( ) ( 1)ln 2( 1), 1q t t t t t= + − − >
1( ) ln 1, 1q t t tt
′ = + − >
1( ) ln 1, 1r t t tt
= + − >
1t > 2 2
1 1 1( ) 0tr t t t t
−′ = − = >
( )q t′∴ (1, )+∞ ( ) (1) 0q t q′ > ′ =
( )q t∴ (1, )+∞
( ) (1) 0q t q> =∴
( ) 0q t >∴ (1, )+∞
( 1)ln 2( 1)t t t+ > −∴ 1 2
3 2
x xx
+ − −
{ 1M x x= < − }1x >
析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明 ，再两边平方，因
式分解转化为证明 ，最后根据条件 确定
成立.
【详解】（1）∵ ，∴ .
当 时，不等式可化为 ，
解得 ，∴ ；
当 ,不等式可化为 ，解得 ， 无解；
当 时，不等式可化为 ，解得 ，∴ .
综上所述， 或 .
（2）∵ ，
要证 成立，
只需证 ，
即证 ，
即证 ,
即证 .
由（1）知， 或 ，
∵ ，∴ ，
∴ 成立.
综上所述，对于任意的 都有 成立.
点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、
基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，
使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.
1ab a b+ > +
( )( )2 21 1 0a b− − > 2 21, 1a b> > ( )( )2 21 1 0a b− − >
( ) 2 1 1f x x< + − 1 2 1 1 0x x+ − + + < 1x < − ( )1 2 1 1 0x x− − + + + < 1x < − 1x < − 11 2x− ≤ ≤ − ( )1 2 1 1 0x x+ + + + < 1x < − 1 2x > − ( )1 2 1 1 0x x+ − + + < 1x > 1x >
{ 1M x x= < − }1x >
( ) ( ) ( )1 1 1 1f a f b a b a b a b− − = + − − + + − − + = +≤
( ) ( ) ( )f ab f a f b> − −
1ab a b+ > +
2 21ab a b+ > +
2 2 2 2 1 0a b a b− − + >
( )( )2 21 1 0a b− − >
{ 1M x x= < − }1x >
a b M∈、 2 21, 1a b> >
( )( )2 21 1 0a b− − >
a b M∈、 ( ) ( ) ( )f ab f a f b> − −
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