湖南省三湘名校教育联盟2020届高三数学(文)上学期第一次大联考试卷(附解析Word版)
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湖南省三湘名校教育联盟2020届高三数学(文)上学期第一次大联考试卷(附解析Word版)

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资料简介
三湘名校教育联盟·2020 届高三第一次大联考 文科数学 本试卷共 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷 上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 ,集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求得集合 ,得到 或 ,再根据集合的交集运算,即可 求解. 【详解】由题意,集合 , , 则 或 ,所以 . 故选:B. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念 和运算,以及正确求解集合 是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 2.若复数 满足 ,则 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C U = R ( ){ }| 2 0A x x x= − ≤ { }1,0,1,2,3B = − ( )∩ =UC A B { }1− { }1,3− { }1,2,3 { }1,0,2,3− { | 0 2}A x x= ≤ ≤ { | 0UC A x x= < 2}x > ( ){ }| 2 0 { | 0 2}A x x x x x= − ≤ = ≤ ≤ { }1,0,1,2,3B = − { | 0UC A x x= < 2}x > ( ) { }1,3UC A B∩ = − A z ( )1 1 2i z i− = + z 【解析】 【分析】 先由复数的除法得 ,再求其共轭复数即可得解. 【详解】由 ,可得 . 在复平面内对应的点为 位于第三象限. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念,属于基础题. 3.“ ”是“ ”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分 也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 以及充分不必要条件的定义可得. 【详解】因为 , 所以  , 所以 ”是“ ”的充分不必要条件. 故选 A. 【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题. 4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所 得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人 所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多 少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,丙所得为( ) A. 钱 B. 1 钱 C. 钱 D. 钱 【答案】B 【解析】 【分析】 1 3 2 2z i= − + ( )1 1 2i z i− = + 1 2 (1 2 )(1 ) 1 3 2 1 3 1 2 2 2 2 i i i iz ii + + + + −= = = = − +− 1 3 2 2z i= − − 1 3( , )2 2 − − 0 1x< < 2log ( 1) 1x + < 2log ( 1) 1 1 1x x+ < ⇔ − < < 2log ( 1) 1 1 1x x+ < ⇔ − < < (0,1) ( 1,1)− 0 1x< < 2log ( 1) 1x + < 2 3 4 3 5 3 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d,由题意求得 a= ﹣6d,结合 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5 即可得解. 【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, 则由题意可知,a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d,即 a=﹣6d, 又 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了等差数列 应用,属于基础题. 5.已知函数 , 是 的导函数,则函数 的图像大致为 () A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 因为 ,显然 是奇函数,求导易得 在 R 上单调 递增. 【详解】因为 ,显然 是奇函数, 又 ,所以 在 R 上单调递增.只有 C 符合, 故选 C. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 的 2( ) 2cosf x x x= + ( )f x′ ( )f x ( )y f x′= ( ) 2 2sin 2( sin )f x x x x x′ = − = − ( )f x′ ( )f x′ ( ) 2 2sin 2( sin )f x x x x x′ = − = − ( )f x′ ( ) 2 2cos 0f x x′′ = − ≥ ( )f x′ 6.已知 , 均为单位向量, ,则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知结合向量数量积的性质可求 ,代入即可求解. 【详解】解: , 均为单位向量,且 , , , 则 , 故选:B. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用,属于基础试题. 7.在 中, , , ,则 的面积为( ) A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 可得 ,进而得 ,再利用面积公式即可得 解. 【 详 解 】 因 为 , 解 得 . 所以 . a b 3a b+ = ( ) ( )2 (a b a b+ ⋅ − =   ) 1 2 − 1 2 3 2 − 3 2 a b⋅  a b a b 3+ = 2 23 a 2a b b∴ = + ⋅ +   1a b 2 ∴ ⋅ = ( ) ( ) 2 2 12a b a b 2a a b b 2       + ⋅ − = − ⋅ − = ABC∆ 1AB = 3AC = 1AB BC⋅ =  ABC∆ 1 2 5 2 5 ( )AB BC AB AC AB⋅ = ⋅ −     2cos 3A = 5sin 3A = 2 ( ) 1 3cos 1 1AB BC AB AC AB AB AC AB A⋅ = ⋅ − = ⋅ − = × − =        2cos 3A = 2 5sin 1 cos 3A A= − = 所以 的面积为 . 故选:C. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式,属于基础题. 8.要得到函数 的图像,只需将函数 的图像( ) A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 由三角恒等变换的公式,化简得 ,再结合三角函数的图象的变换,即可 求解. 【详解】由题意,函数 , 将 向左平移 个单位,可得 , 故选:A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角恒等变换的应用,其中解答中熟练 利用三角恒等变换的公式,化简得到 的解析式,再结合三角函数的图象变换求解是解答 的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 9.设 , , ,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 ABC∆ 1 1 5 5sin 1 32 2 3 2AB AC A⋅ ⋅ = × × × = ( ) cos2 sin 26f x x x π = − −   ( ) sin 2g x x= 12 π 12 π 6 π 6 π ( ) sin(2 )6g x x π= + ( ) 1 3cos2 sin 2 cos2 ( cos2 sin 2 )6 2 2f x x x x x x π = − − = − −   3 1sin 2 cos2 sin(2 )2 2 6x x x π= + = + ( ) sin 2g x x= 12 π ( ) sin[2( )] sin(2 )12 6f x x x π π= + = + ( )g x 4log 3a = 8log 6b = 0.12c = a b c> > b a c> > c a b> > c b a> > 由对数的运算化简可得 , ,结合对数函数的性质,求得 , 又由指数函数的性质,求得 ,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,对数的运算公式,可得 , , 又由 ,所以 ,即 , 由指数函数 性质,可得 , 所以 . 故选:D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质,以及指数函数的图象与性质的应用,其中 解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质,求得 的范围是解答的关键,着重考 查了推理与运算能力,属于基础题. 10.定义在 R 上的奇函数 满足 ,且当 时, , 则 () A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和 可推出函数的周期为 4,再根据周期性可求得. 【详解】∵ , , ∴ , , . 故选 A. 的 2log 3a = 3 2log 6b = 1a b< < 0.12 1c = > 2 4 2 2 2 log 3 1log 3 log 3 log 3log 4 2a = = = = 32 8 2 2 2 log 6 1log 6 log 6 log 6log 8 3b = = = = 33 6 2< < 3 2 2 2log 3 log 6 log 2 1< < = 1a b< < 0.1 02 2 1c = > = c b a> > , ,a b c ( )f x (1 ) (1 )f x f x+ = − [0,1]x∈ ( ) (3 2 )f x x x= − 29( )2f = 1− 1 2 − 1 2 (1 ) (1 )f x f x− = + ( ) ( )f x f x− = − (1 ) (1 )f x f x− = + ( 1) ( 1) ( 3)f x f x f x+ = − − = − 4T = 29 29 3 1 1 1( ) ( 16) ( ) ( ) (3 2 ) 12 2 2 2 2 2f f f f= − = − = − = − − × = − 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题. 11.设函数 ,若关于 x 的方程 对任意的 有三个 不相等的实数根,则 a 的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为当 时, 恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于 x 的方程 对任意的 有三个不相等的实数根 所以当 时, , 有一根, 当 时, 恒有两个正根,由二次函数的图象可知 对任意的 恒成立,所以 解得 .故选 B. 【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题. 12.已知 是 的导函数,且 , ,则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意构造函数 ,借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】令 ,则 , ∴ 在 R 上为增函数,∴ 可化为 ,∴ . 2 e 1, 0( ) , 0 x xf x x ax x  −=  − >  ( ) 0f x m+ = (0,1)m∈ ( , 2]−∞ − [2, )+∞ [ 2,2]− ( , 2] [2, )−∞ − +∞ 0x > 2x ax m− = − ( ) 0f x m+ = (0,1)m∈ 0x (0,1)m∀ ∈ 1xe m− = − 0x > 2x ax m− = − 2 02 4 0 a a m  >  = − > (0,1)m∈ 2 4a ≥ 2a ( )f x′ ( )( )f x x∈R ( ) ( )f x f x′ > (1)f e= ( ) e 0xf x − < ( , )e−∞ (e, )+∞ ( ,1)−∞ (1, )+∞ ( )( ) x f xF x e = ( )( ) x f xF x e = ( ) ( )( ) 0x f x f xF x e ′ −′ = > ( )F x ( ) 0xf x e− < ( ) (1)F x F< 1x 675 n≤ nS 0nS < 674n = nS na nS { }na n nS 5 19a = 5 55S = { }na 1 1 n na a +       n nT 4 1na n= − ( )3 4 3 n n + 1 1 1 1 1 4 4 1 4 3n na a n n+  = − − +  d 1 1 4 19 5 10 55 a d a d + =  + = 1 3 4 a d =  = ( )3 4 1 4 1na n n= + − = − ( )( )1 1 1 1 1 1 4 1 4 3 4 4 1 4 3n na a n n n n+  = = − − + − +  ∴ . 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和,属于基础题. 18.在 中,角 所对的边分别为 , . (1)求 ; (2) 为边 上一点, , ,求 . 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【详解】分析:(1)由余弦定理可得 ,从而可得 ,进而得解; (2)在 中,由正弦定理可得: ,①,在 中, ,②,联立①和②可得解. 详解:(1)由已知条件和余弦定理得: 即: 则 又 , . (2)在 中,由正弦定理可得: ,① 在 中, ,② 由①②可得: ,即: , 化简可得: . 点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中 1 1 1 1 1 1 1 4 3 7 7 11 4 1 4 3nT n n  = − + − +⋅⋅⋅+ − − +  ( )3 4 3 n n = + ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 22( ) 2 cosa b ac B bc− = + A D BC 3BD DC= 2DAB π∠ = tanC 2 3 π 3 3 7 2 2 2a b c bc− − = cosA ABC△ sin sin120 c BC C =  Rt ABC ( )sin 30 cC BD + = 2 2 2 2 22 2 2 2 a c ba b ac bcac + −− = ⋅ + 2 2 2a b c bc− − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = − 0 A π< ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 2log log log na a a+ +⋅⋅⋅+ ( )( )1 1 2 16 n n n= + + { }na 2logn n nb a a= ⋅ { }nb n nT 2n na = ( ) 11 2 2n nT n += − ⋅ + 1n = 1 2a = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 2 1log log log na a a −+ +⋅⋅⋅+ ( )( )1 1 2 16 n n n= − − 2n na = 2n nb n= ⋅ 1n = ( )2 2 1log 1a = 1na > 1 2a = 2n ≥ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 2 1log log log na a a −+ +⋅⋅⋅+ ( )( )1 1 2 16 n n n= − − ( ) ( )( ) ( )( )2 2 1 1log 1 2 1 1 2 16 6na n n n n n n= + + − − − 2n= 2n na = 1n = 2n na = (2) , ∴ , , 两式相减得 , ∴ . 【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和,属于中档题. 21.设函数 . (1)若 在其定义域上是增函数,求实数 的取值范围; (2)当 时, 在 上存在两个零点,求 的最大值. 【答案】(1) ;(2)-2. 【解析】 分析:(1)由 在其定义域上是增函数,∴ 恒成立,转化为最值问题,然后 进 行 分 离 参 数 求 解 新 函 数 单 调 性 研 究 最 值 即 可 . ( 2 ) 当 时 , , 得 出 函 数 的 单 调 性 和 极 值 , 然 后 根 据 在 上存在两个零点,列出等价不等式求解即可. 详解: (1)∵定义域为 , , ∵ 在其定义域上是增函数,∴ , , ∵ ,∴实数 的取值范围是 . (2)当 时, , 由 得 ,由 得 , ∴ 在 处取得极大值 ,在 处取得极小值 , 的 2n nb n= ⋅ 1 21 2 2 2 2n nT n= ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ 2 3 12 1 2 2 2 2n nT n += ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ 1 2 12 2 2 2n n nT n +− = + +⋅⋅⋅+ − ⋅ ( ) 11 2 2nn += − ⋅ − ( ) 11 2 2n nT n += − ⋅ + 2( ) 2 lnf x x ax x= − + + ( )f x a 3a = ( )f x [ , )( )ne n Z+∞ ∈ n ( ,2 2]−∞ ( )f x ( )' 0f x ≥ 3a = ( ) ( )( )2 2 1 12 3 1' x xx xf x x x − −− += = ( )f x )( ),ne n Z +∞ ∈ ( )0,+∞ ( ) 1' 2f x x a x = − + ( )f x ( )' 0f x ≥ 12a x x ≤ + 12 2 2x x + ≥ a ( ,2 2−∞  3a = ( ) ( )( )2 2 1 12 3 1' x xx xf x x x − −− += = ( )' 0f x > ( )10, 1,2x  ∈ ∪ +∞   ( )' 0f x < 1 ,12x  ∈   ( )f x 1 2x = 1 3 1ln 02 4 2f   = + >   1x = ( )1 0f = ∴ 是一个零点,当 , ,故只需 且 , ∵ , ,∴ 的最大值为-2. 点睛:考查导函数的单调性的应用以及零点问题,对于此类题型求参数的取值范围,优先要 想到能否参变分离,然后研究最值即可,二对于零点问题则需研究函数图像和 x 轴交点的问 题,数形结合解此类题是关键,属于较难题. 22.已知函数 . (1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程; (2)当 时, ,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)当 时,利用导数的几何意义求得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程; (2)当 时,将 恒成立转化为 恒成立,由 使不等式成立得到 ,然后构造函数 求导,对 分三种情况讨论可得. 【详解】(1)当 时, , . , ,∴切线方程为 ,即 . (2)当 时, ,即 ,令 ,则 , , 当 时, ,满足题意; 当 时, ,∴ 在 上递增,由 与 的图 像可得 在 上不恒成立; 当 时,由 解得 ,当 时, ,当 时, ,∴ 在 上的最小值为 ,∴ 1x = 1x > ( ) 0f x > 1 2 ne < ( ) 0nf e ≤ ( ) 2 1 2 2 1 3 1 32 1 0e ef e e e e − + −= − + − = > ( )2 4 2 1 3 0f e e e − = − < n ( ) e 2xf x ax a= + + + 0a = ( )y f x= (1, (1))f 0x ( ) 2f x  2y ex= + [ 1,0]− 0a = 0x ≤ ( ) 2f x  e 0x ax a+ +  0x = 1a ≥ − ( ) exh x ax a= + + a 0a = ( ) e 2xf x = + (1) e 2f = + ( ) exf x′ = (1) ef ′ = (e 2) e( 1)y x− + = − 2y ex= + 0x e 2 2x ax a+ + +  e 0x ax a+ +  ( ) exh x ax a= + + (0) 0h  1a − 0a = ( ) e 0xh x = > 0a > ( ) 0xh x e a′ = + > ( )h x ( ,0]−∞ xy e= ( 1)y a x= − + ( ) 0h x  ( ,0]−∞ 1 0a− ( )h x ( ,0]−∞ (ln( ))h a− ,解得 . 综上可得实数 a 的取值范围是 . 【点睛】本题考查了导数的几何意义,不等式恒成立,利用导数求函数的最值,属难题. (ln( )) ln( ) 0h a a a− = −  1 0a−

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