2019-2020 学年度高三阶段性考试
数学（文科）
注意事项:
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择
题答案使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区城书写的答案无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
进行交集的运算即可．
【详解】 或
A∩ ＝{3}．
故选：B．
【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及交集补集的运算，属于基础题．
2.已知向量 （1，2）， （2，﹣2）， （m，1）．若 ∥（2 ），则 m＝（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
{ }0,1,2,3A = { }1 3B x x= − ≤ < ( )A B =R ∅ { }3 { }1,2 { }0,1,2 { }1 3 { 1RB x x B x x= − ≤ < ∴ = < −， 3}x ≥ R B a = b = c = c a b+
可以求出 ，根据 即可得出 2m﹣4＝0，解出 m＝2．
【详解】 ，
∵ ，
∴2m﹣4＝0，
∴m＝2．
故选：C．
【点睛】考查向量坐标的加法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．
3.设有下面四个命题， ：若 是锐角，则 ， ：若 ，则 是锐角，
：若 ，则 ， ：若 ，则 其中真命题为( )
A ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
若 是锐角，即 ，故 ，即 为真命题；由于 ，而 不
是 锐 角 ， 故 若 ， 则 是 锐 角 为 假 命 题 ， 即 为 假 ； 当 时 ，
，而 故若 ，则 为假命题，
即 为假；若 ，即 ， 同号，故 成立，即
为真命题，故正确的命题为 ， ，故选 C.
4.设 是首项为 ，公差为-1 的等差数列， 为其前 n 项和，若 成等比数列，
则 =（ ）
A. 2 B. -2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
.
( )2 4 2a b+ = ， ( )2c a b+
( )2 4 2a b+ = ，
( )2c a b+
1p α cos 0α > 2p cos 0α > α
3p sin 2 0α > cos 0α > 4p tan 0α > sin 2 0α >
1p 2p 2p 3p 1p 4p 3p 4p
α 0 2
πα< < cos 0α > 1p 7 1cos 03 2
π = > 7
3
π
cos 0α > α 2p 7
6
πα =
7 3sin 2 sin 03 2
πα = = > 7cos cos 06
πα = < sin2 0α > cos 0α >
3p tan 0α > sinα cosα sin 2 2sin cos 0α α α= > 4p
1p 4p
{ }na 1a nS 1 2 4, ,S S S
1a
1
2
1
2
−
把已知 用数列的首项 和公差 表示出来后就可解得 ．，
【详解】因为 成等比数列，所以 ，即
故选 D.
【点睛】本题考查等差数列的前 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属
于基础题．
5.若函数 （ ，且 ）在 上既是奇函数又是增函数，则
的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用的奇偶性求出 k，利用函数的单调性判断 a，然后判断函数的图象．
【详解】函数 f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0 且 a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，
可得 f（0）＝0，ka0﹣a﹣0＝0，k＝1，
函数是增函数，可知 a＞1，则 g（x） loga（x﹣1），
函数的图象是 y＝logax 的图象向右平移 1 个单位．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，函数的图象的判断，考查计算能
力．
6.已知 ，则 ()
A. B. C. D.
2
2 1 4S S S= 1a d 1a
1 2 4S S S， ， 2
2 1 4S S S= 2
1 1 1 1
1(2 1) (4 6) .2a a a a− = − = −，
n
( ) x xf x ka a−= − 0a > 1a ≠ ( ),−∞ +∞
( ) log ( )ag x x k= −
( )x kalog −= =
(0, ),2sin 2 cos2 12
πα α α∈ = + cosα =
2 5
5
5
5
3
3
1
5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二倍角的正弦、余弦公式，化简等式，再根据同角的三角函数的关系式，结合
，可以求出 ，最后选出答案.
【详解】因为 ，所以 ，因此有
，而
，所以有 ，故本题选 A.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了数学
运算能力.
7.已知奇函数 在 上是增函数，若 ， ， ，
则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意： ，
且： ，
据此： ，
结合函数的单调性有： ，
即 .
本题选择 C 选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函
(0, )2
πα ∈ cosα
(0, )2
πα ∈ cos 0α >
22sin 2 cos2 1 4sin sincos 2cos 1 1 cos 2a aαα α α α= − + ⇒ == + ⇒
2 2cos sin 1α α+ = 2 5cos 5
α =
( )f x R 2
1log 5a f = −
( )2log 4.1b f= ( )0.82c f=
, ,a b c
a b c< < b a c< < c b a< < c a b< < ( )2 2 1log log 55a f f = − = 0.8 2 2log 5 log 4.1 2,1 2 2> > < < 0.8 2 2log 5 log 4.1 2> >
( ) ( ) ( )0.8
2 2log 5 log 4.1 2f f f> >
,a b c c b a> > <
ABC△ , ,A B C , ,a b c sin ,2sin ,sinA B C
tan 15A = a
b
=
1
2
2
3 2
【解析】
【分析】
由题意结合正弦定理和余弦定理确定 的值即可.
【详解】由题意可得： ，即 ，
由 可得： ，
由余弦定理有： ，
将 代入上式： ，
整理可得： ，则 .
本题选择 C 选项.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角
化边”.
10.设函数 的最小正周期为 ，且
，则（）
A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减
C. 在 上单调递增 D. 在 上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用辅助角公式变形，再利用函数为偶函数求出参数 的值，然后求出函数的单调区间即
可.
【 详 解 】 解 ： ， 因 为 ， 所 以 . 又 因 为
， ，所以 ，所以 ，经检验 在
a
b
sin sin 4sinA C B+ = 4 , 4a c b c b a+ = = −
15tanA = 15 1sin ,cos4 4A A= =
2 2 2 2 2 12 cos 2a b c bc A b c bc= + − = + −
4c b a= − ( ) ( )22 2 14 42a b b a b b a= + − − −
( )2 0b b a− = 2 0, 2ab a b
− = =
( ) ( ) ( )sin cos 0 2xf xx
πω ϕ ω ϕ ω ϕ = + + + > ( )f x
2 1 1a x− − < < − ( ) 0f x′ < ( )f x 1x > − ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x 1x = −
( )f x 1x = − 0a⇔ ≠
∴ 2a = ( )f x 1x = −
A
( )f x R ( 1) 2 ( )f x f x+ = ( ]0,1x∈ ( )f x x= −
任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因 f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝ f（x+1），分段求解析式，结合图象可得．
【详解】因为 f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝ f（x+1），
∵x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x∈[ ，0），
∴x∈（﹣1，0]时，x+1∈（0，1]，f（x）＝ f（x+1）＝﹣ （x+1）∈[ ，0）；
∴x∈（﹣2，﹣1]时，x+1∈（﹣1，0]，f（x）＝ f（x+1）＝﹣ （x+2）∈[﹣ ，0），
∴x∈（﹣3，﹣2]时，x+1∈（﹣2，﹣1]，f（x）＝ f（x+1）＝﹣ （x+3）∈[﹣ ，0），
作出函数图像：
∴x∈（﹣2，﹣1]时， f（x）＝﹣ （x+2）＝ ，解得 x＝ ，
为
( ],x m∈ −∞ 1( ) 8f x ≥ − m
( ], 2−∞ − 3, 2
−∞ −
( ], 1−∞ −
3, 4
−∞ −
1
2
1
2
1−
1
2
1
2
1
2
−
1
2
1
4
1
4
1
2
1
8
1
8
1
4
1
8
− 3
2
−
∴由图可知：若对任意 x∈（﹣∞，m]，都有 f（x） ，则 m ．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.设 是边长为 的正三角形， 是 的中点， 是 的中点，则
的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量加法的平行四边形法则可知， 2 ，然后结合向量
数量积的基本运算即可求解．
【详解】∵△ABC 是边长为 2 的正三角形，E 是 BC 的中点，F 是 AE 的中点，
由向量加法的平行四边形法则可知， 2
∴ 3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了平面向量加法的平行四边形法则及向量数量积的基本运算性质的简
单应用，属于基础试题．
14.已知数列 满足 则 =________
【答案】
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 意 可 知 ， 相 加 ， 可 得
，
所以
考点：本题考查数列的递推公式
1
8
≥ − 3
2
≤ −
ABC∆ 2 E BC F AE
( )AB FB FC⋅ +
3
FB FC+ = ( )1
2FE AE AB AC= = +
FB FC+ = ( )1
2FE AE AB AC= = +
( ) ( ) 21 1 1 1 1 14 2 22 2 2 2 2 2AB FB FC AB AB AC AB AB AC⋅ + = ⋅ + = + ⋅ = × + × × × =
{ }na 1 11, n na a a n−= − = na
( )
2
1n n +
2 1 3 2 12, 3, , n na a a a a a n−− = − = ⋅⋅⋅ − =
1 2 3na a n− = + +⋅⋅⋅+
( )11 2 3 2n
n na n
+= + + +⋅⋅⋅+ =
点评：解决本题的关键是掌握求数列通项公式的方法：累加法
15.点 在曲线 上移动，若曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 的
取值范围是__________．
【答案】
【解析】
，所以 ，即 ，所以 ．
点睛：由斜率 范围求直线倾斜角 范围时，应注意直线倾斜角 的范围是 ，因此要分
类讨论： ， ， ，否则易出错．
16.已知函数 ， ，若 ，则
_______
【答案】
【解析】
【分析】
令 ， 求 导 得 在 上 单 调 递 减 ， 在 上 单 调 递 增 ， 得
,按 ， 分 种情况
进行讨论，求 的最大值和最小值即可.
【详解】令 ，则 ，
易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，故 .
当 ，即 时， ， ，
此时 ，不合题意，舍去；
当 ，即 时， ，
，
P : 3 cos 1C y x= + C P α α
π 2π0, ,π3 3
∪
' 3siny x= − ' [ 3, 3]y ∈ − tan [ 3, 3]α ∈ − 2[0, ] [ , )3 3
π πα π∈ ∪
k θ θ [0, )π
0 (0, )2k
πθ> ⇔ ∈ 0 0k θ= ⇔ = 0 ( , )2k
πθ π< ⇔ ∈ 3( ) 3 2f x x x m m= − − + [0,2]x∈ max min( ) ( ) 3f x f x− = m = 1 2 ± ( ) 3 3g x x x= − ( )g x [ ]0,1 [ ]1,2 ( ) ( ) ( )2 2, 1 2, 0 0g g g= = − = ( )2 2m g≥ ( ) ( ) ( )1 2 2 2 1g m g m g，≤ < < 3 ( )f x ( ) 3 3g x x x= − ( ) ( )( )23 3 3 1 1g x x x x= = +′ − − ( ) 3 3g x x x= − [ ]0,1 [ ]1,2 ( ) ( ) ( )2 2, 1 2, 0 0g g g= = − = ( ) ( ) ( )1 2g g x g≤ ≤ ( )2 2 2m g≥ = 1m ≥ ( ) ( )min 2 3 2f x f m= = − ( ) ( )max 1 3 2f x f m= = + ( ) ( )max min 4f x f x− = ( ) ( )1 2 2g m g≤ < 1 1m− ≤ < ( )minf x m= ( ) ( ) ( ){ }max max 1 3 2, 2 2f x f m f m= = + = −
若 ，即 ，则 ，解得 ；
若 ，即 ，则 ，解得 ；
当 ，即 时， ， ，
此时 ，不合题意，舍去.
综上所述， .
故答案为：
【点睛】本题考查了函数求最值的问题，也考查了去掉绝对值的方法，分类讨论的思想，属
于中档题.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知 为等差数列 的前 n 项和，且 .
（1）求数列 通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求 ，可以列出一个关于首项和公差的二元一次方程组，解这个方程组，
求出首项和公差，进而求出等差数列 的通项公式；
（2）直接利用等比数列的前 n 项和公式求出 .
【详解】解：（1）由 ，解得 ，
所以 .
（2） ，所以 的前 项和 .
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式、等比数列前 n 项和公式，考查了
的
3 2 2m m+ ≥ − 0m ≥ 3 2 3m m+ − = 1
2m =
3 2 2m m+ < − 0m < 2 3m m− − = 1 2m = − ( )2 1m g< 1m < − ( ) ( )min 1 2f x f m= = − − ( ) ( )max 2 2f x f m= = − + ( ) ( )max min 4f x f x− = 1 2m = ± 1 2 ± nS { }na 7 228, 2S a= = { }na 14 na nb −= { }nb nT na n= 4 1 3 n nT −= 7 228, 2S a= = { }na nT 2 1 7 1 2 7 21 28 a a d S a d = + = = + = 1 1 1 a d = = na n= 14n nb −= { }nb n 1 4 4 1 1 4 3 n n nT − −= =−
数学运算能力、解方程组的能力.
18. 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】（1）因为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）由 ， ， ，
得 .
解得 .
由余弦定理可得 ，
解得 .
【点睛】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了
二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．
19.已知函数 在 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 的方程 f（x）＝kex（其中 e 为自然对数的底数）恰有两个不同的实根，求实
数 的值.
【答案】（1） （2） 或
【解析】
【分析】
ABC∆ A B C a b c 23sin 2 2sinB B=
B
4a = 6 3ABCS∆ = b
3B
π= 2 7b =
23sin2 2sinB B=
22 3sin cos 2sinB B B=
0 B π< < sin 0B ≠ tan 3B = 3B π= 6 3ABCS∆ = 4a = 3B π= 1 4 sin 6 32 3c π⋅ ⋅ ⋅ = 6c = 2 2 24 6 2 4 6 cos 283b π= + − × × × = 2 7b = 2( ) 1f x ax bx= + + 3x = 5 8y x= − ( )f x x k 2( ) 1f x x x= − + 1 ek = 2 3 ek =
（1）求出原函数的导函数，依题意， ，得到关于 a，b 的不等式组，求得 a，b 的
值，则函数解析式可求；
（2）方程 f（x）＝kex，即 x2﹣x+1＝kex，得 k＝（x2﹣x+1）e﹣x，记 F（x）＝（x2﹣x+1）
e﹣x，利用导数求其极值，可知当 k 或 k 时，它们有两个不同交点，因此方程 f（x）＝
kex 恰有两个不同的实根；
【详解】（1）f（x）＝ax2+bx+1， ，
依题设，有 ，即 ，
解得 ，∴ .
（2）方程 f（x）＝kex，即 x2﹣x+1＝kex，，可化为 ，
记 ，则 ，
令 ，得 ，
当 变化时， 、 的变化情况如下表：
- + -
↘ 极小 ↗ 极大 ↘
所以当 时， 取极小值 ；当 时， 取极大值 ，
又 时， ，且 ；
时， ，
( )
( )
' 3 5
3 7
f
f
= =
1
e
= 2
3
e
=
( ) 2f x ax b=′ +
( )
( )
3 5
3 7
f
f
= =
′
6 5
9 3 1 7
a b
a b
+ =
+ + =
1
1
a
b
=
= −
( ) 2 1f x x x= − +
2 1
ex
x xk
− +=
( ) 2 1
ex
x xg x
− += ( ) ( )( )1 2
ex
x xg x
− − −′ =
( ) 0g x′ = 1 1x = 2 2x =
x ( )g x′ ( )g x
x ( ),1−∞ 1 ( )1,2 2 ( )2,+∞
( )g x′ 0 0
( )g x
1x = ( )g x 1
e 2x = ( )g x 2
3
e
x → +∞ ( ) 0g x → ( ) 0g x >
x → −∞ ( )g x → +∞
可知当 k 或 k 时，它们有两个不同交点，因此方程 f（x）＝kex 恰有两个不同的实根；
【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，
考查函数零点的判定及函数值的变化趋势，属中档题．
20.已知函数
（1）求 单调减区间；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， .（2）
【解析】
【分析】
（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化简，利用正弦函数的单调性即可求解；
（2）由 x 的范围求得相位的范围，进一步得到 f（x）的值，再把 c＜f（x）＜c+2 恒成立转
化为关于 c 的不等式组求解．
【详解】（1）
=
=
由 解得 ，
所以 单调减区间为 ， .
（2）因
所以 ，
所以
.
为
1
e
= 2
3
e
=
( ) 1( ) 3sin cos cos 2f x x x x= − +
( )f x
0, 2x
π ∈ ( ) 2c f x c< < + c 5,3 6 π πkπ kπ + + k ∈Z 11, 2 − − ( ) 2 13sin cos cos 2f x x x x= − + 3 1sin2 cos22 2x x− sin 2 6x π − 32 2 22 6 2k x k π π ππ π+ ≤ − ≤ + 5 3 6k x k π ππ π+ ≤ ≤ + k Z∈ ( )f x 5,3 6k k π ππ π + + k Z∈ 0 2x π≤ ≤ 526 6 6x π π π− ≤ − ≤ 1 sin 2 12 6x π − ≤ − ≤
由不等式 恒成立，得 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查 y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，
是中档题．
21.已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：由已知可得由已知得 ，从而 ，由此能证明
数列 是等比数列，从而求出 ．
（2）由已知得 ，由此利用错位相减法求出数列 的前 项和
试题解析：（1）∵ ①
②
②-①得
即
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
∴
（2）由 ，∴
∴ ③
( ) 2c f x c< < + 1 2 2 1 c c < − + >
11 2c− < < − c 11, 2 − − { }na n nS 1n nS a= − + 1 1 2a = na n n nb a = { }nb n nT 1 2n na = ( ) 11 2 2n nT n += − ⋅ + 1 1 1n n n n nS S a a a+ + +− = = − + 1 1 2n na a+ = { }na 1 2n na = 2n nb n= × { }nb n nT 1n nS a= − + 1 1 1n nS a+ += − + 1 1n n na a a+ += − + 1 1 2n na a+ = { }na 1 2 1 2 11 1 1 2 2 2 n n na − = × = 1 2n na = 2n n n nb na = = × 2 32 2 2 3 2 2n nT n= + × + × + + ×
左右两边乘于 2 得 ④
③-④得
∴
【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前 项和的求法，
解题时要注意构造法和错位相减法的合理运用．
22.已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 在区间 上存在极值，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）设 ，对任意 恒有 ，求实数 的取值范
围。
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出导函数得到斜率，利用点斜式得到切线方程；
（Ⅱ）求出函数的极值，再探讨函数在区间（m，m ）（其中 a＞0）上存在极值，寻找关于
m 的不等式，求出实数 m 的取值范围；
（Ⅲ）先求导，再构造函数 h（x）＝lnx ，求出 h（x）的最大值小于 0 即可．
【详解】解：（I）.
故切线的斜率为 ，又 f（e）=
∴切线方程为： ，即
（II）.当 时，
当 x>l 时，
( )2 3 12 2 2 2 1 2 2n n
nT n n += + × + + − + ×
2 3 12 2 2 2 2n n
nT n +− = + + + + − ×
( ) 12 1 2
21 2
n
nn +
−
= − ×−
( ) 11 2 2nn += − ⋅ −
( ) 11 2 2n
nT n += − ⋅ +
n
1 ln( ) xf x x
+=
( )y f x= ( , ( ))e f e
( )f x 1( , )( 0)3m m m+ > m
1( ) [ ( ) 1]xg x xf xa
+= − (0,1)x∈ ( ) 2 2g x x< − a 2 3 0x e y e+ − = 2 13 m< < 0 1a< ≤ 1 3 + ( )2 1 1 a x x −+ + ( ) 2 ln' xf x x −= ( ) 2 1f e e ′ = − 2 e ( )2 2 1y x ee e − = − − 2 3 0x e y e+ − = 0 1x< < ( ) 0,f x′ >
( ) 0f x′ 0）上存在极值，
∴00 时，由 可得 恒成立
设 ，则
求导得：
设
①当 0
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