2020 届高三下学期 4 月调研
理科数学
全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。)
1.已知集合 ， ， ，则 的取值
范围是
A. B. C.
D.
2.若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的模为
A. B. C.
D.
3.已知平面 ，则“ ”是“ ”成立的
A. 充要条件 B. 充分不必要条
件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条
件
4.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该
校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加，要求甲、
乙、丙这 3 名同学中至少有 1 人参加，且当这 3 名同学都参加时，甲和乙的朗诵
顺序不能相邻，那么选派的 4 名学生不同的朗诵顺序的种数为
2{ | 2 8 0}P x x x= − − ≤ { | }Q x x a= ≥ ( )C P Q∪ =R R a
( )2, ∞− + ( )4, ∞+ ( ], 2∞− −
( ],4∞−
z 1zi
z i
=− i z
2
2 2 2 2
4 2
A. 720 B. 768
C. 810 D. 816
5.函数 的图象的大致形状是
6.设数列 为等差数列， 为其前 项和，若 ， ， ，则
的最大值为
A. 3 B. 4 C.
D.
7.已知: ，则 的取值范围是
A. B. C.
D.
8.已知椭圆 ， 为其左、右焦点， 为椭圆 上除长轴
端点外的任一点， 为 内一点，满足 ， 的内心为 ，
且有 （其中 为实数），则椭圆 的离心率 （ ）
A． B． C．
D．
9.将函数 的图象向右平移个单位后关于 轴对称，则 的值可能为
（ ）
A. B. C.
( ) sin
2ex
xf x =
{ }na nS n 1 13S ≤ 4 10S ≥ 5 15S ≤
4a
7−
5−
3sin cos 2
α β+ = cos2 cos2α β+
[ ]2,2− 3 ,22
−
32, 2
−
3 3,2 2
−
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F P C
G 1 2F PF∆ 1 23PG PF PF= +
1 2F PF∆ I
1 2IG F Fλ= λ C e =
1
3
1
2
2
3
3
2
D.
10.已知函数 ，若 ，且
，则
A. B.
C. D. 随 值变化
11.已知 是双曲线 的左右焦点，以 为直径的圆与双
曲线的一条渐近线交于点 ，与双曲线交于点 ，且 均在第一象限，当直
线 时，双曲线的离心率为 ，若函数 ，则
A. 1 B.
C. 2 D.
12. 已 知 定 义 在 上 的 函 数 的 导 函 数 为 ， 且 ，
，则 的解集为
A. B. C.
D.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知向量与 的夹角是 ，且 ，则向量与 的夹角是__________．
14.已知实数 ， 满足约束条件 则 的最小值是_________.
15.已知集合 ，从集合 中取出
个不同元素，其和记为 ；从集合 中取出 个不同元素，其和记为 ．若
，则 的最大值为____．
16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球 的一个内接
四面体 中， ， 过球心 ，若该四面体的体积为 1，且 ，
( ) log 1 ( 0, 1)af x x a a= − > ≠ 1 2 3 4x x x x< < < ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x= = = 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x + + + = 2 4 8 a 1 2F F、 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2F F
M N M N、
1 / /MF ON e ( ) 2 22 ,f x x x x
= + − ( )f e =
3
5
R ( )f x ( )f x′ ( ) ( )3 3 1f x f x′+ >
( ) 11 6f = ( ) 1
16 2 0xf x e −− + ≤
[ )1 + ∞， ( )1 + ∞，
( ]1−∞， ( )1−∞，
则球 的表面积的最小值为______.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。)
17. （本题满分 12 分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为， ，，且
．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 ，点 ， 是线段 的两个三等分点， ， ，求 的
值．
18. （本题满分 12 分）如图，在边长为 4 的正方形 中，点 分别是 的中
点，点 在 上，且 ，将 分别沿 折叠，使 点重合于点
，如图所示 .
试判断 与平面 的位置关系，并给出证明；
求二面角 的余弦值.
19. （本题满分 12 分）已知椭圆 ，抛物线 的焦点均在 轴上， 的中心和
的顶点均为原点 ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是 ，
， ， ．
1C 2C x 1C 2C
O ( )3, 2 3−
( )2,0− ( )4, 4− 22, 2
（1）求 ， 的标准方程；
（2）是否存在直线 满足条件：①过 的焦点 ；②与 交于不同的两点
且满足 ？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．
20. （本题满分 12 分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取 4000
名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.
（1）求这 4000 名考生的半均成绩 （同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生考试成绩 z 服从正态分布 ，其中 分别取考生的
平均成绩 和考生成绩的方差 ，那么抽取的 4000 名考生成绩超过 84.81 分（含
84.81 分）的人数估计有多少人？
（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中
随机抽取 4 名考生，记成绩不超过 84.81 分的考生人数为 ，求 .（精确到
0.001）
附：① ；
② ，则 ；
③ .
21. （本题满分 12 分）已知函数 .
（1）当 时,讨论函数 的单调性；
（2）当 时,若不等式 在 时恒成立,求实数 的取值
范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
1C 2C
l 2C F 1C ,M N
OM ON⊥
22. （本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立
极坐标系.已知直线的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为
（ ）.
（Ⅰ）设 为参数，若 ，求直线 的参数方程；
（Ⅱ）已知直线 与曲线 交于 ， ，设 ，且 ，
求实数 的值.
23. （本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若对任意 ，都存在 ，使得 成立，试求实数 的取
值范围.
x
cos 33
πρ θ + = C
4 cosaρ θ= 0a >
t 12 3 2y t= + l
l C P Q ( )0 2 3M −， 3| |PQ MP MQ= ⋅
a
( ) ( )2 2 3 , 2 3 2.f x x a x g x x= − + + = − +
( ) 5g x < 1x R∈ 2x R∈ ( ) ( )1 2f x g x= a
参考答案
1.C 2.A 3.A 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B
9.D 10.A 11.C 12.C
13. 14.-8 15.44 16.
17.(1) ；(2) .
解：(Ⅰ)∵ ，
则由正弦定理得： ，
∴ ，∴ ，
又 ，∴
(Ⅱ)由题意得 ， 是线段 的两个三等分点，设 ，
则 ， ，
又 ， ，在 中，由余弦定理得 ，
解得 （负值舍去），则 ，又在 中，
.
或解：在 中，由正弦定理得： ，
∴ ，又 ，
，∴ ，
∴ 为锐角，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，∴ ， ，
∴在 中，
．
18. 解：（1） 平面 ．证明如下：在图 1 中，连接 ，交 于 ，交 于
，
则 ，
在图 2 中，连接 交 于 ，连接 ，在 中，有 ， ，
．
平面 ， 平面 ，故 平面 ；
（2）连接 交 与点 ，图 2 中的三角形 与三角形 PDF 分别是图 1 中的
与 ， ，又 ， 平面 ，则
，又 ， 平面 ，
则 为二面角 的平面角．
可知 ，则在 中， ，则 ．
在 中， ，由余弦定理，得 ．
二面角 的余弦值为 ．
19.解：（Ⅰ）设抛物线 ，则有 ，
据此验证四个点知 ， 在抛物线上，
易得，抛物线 的标准方程为
设椭圆 ，把点 ， 代入可得
所以椭圆 的标准方程为
（Ⅱ）由椭圆的对称性可设 的焦点为 F（1，0），
当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为
直线 l 交椭圆 于点
，不满足题意
( )2
2 : 2 0C y px p= ≠ ( )2
2 0y p xx
= ≠
( )3, 2 3− ( )4, 4−
2C 2
2 : 4C y x=
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ( )2,0− 22, 2
2 24, 1a b= =
1C
2
2 14
x y+ =
2C
1x =
1C 3 31, , 1,2 2M N
−
· 0OM ON ≠
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ， 并设
由 ，消去 y 得， ，
于是
①，
由 得 ②
将①代入②式，得 ，解得
所以存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为 或
20.（1） 分；（2）634 人；（3）0.499
解：（1）由题意知：
中间值
概率
∴ ，
∴ 名考生的竞赛平均成绩 为 分.
（2）依题意 服从正态分布 ，其中 ， ， ，
∴ 服从正态分布 ，而
，∴ .
∴竞赛成绩超过 分的人数估计为 人 人.
（3）全市竞赛考生成绩不超过 分的概率 .而 ，
∴ .
21.解：（1） 在 上单调递增，在 上单调递减；（2） .
解析：（1）由题意，知 ,
∵当 a0 时，有 .
( )1y k x= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
( )
2 2
1{
4 4
y k x
x y
= −
+ = ( ) ( )2 2 2 21 8 4 1 0k x k x k+ − + − =
( )22
1 2 1 22 2
4 18 , ·1 4 1 4
kkx x x xk k
−
+ = =+ +
2
1 2 2
3· 1 4
ky y k
−= +
OM ON⊥
1 2 1 2 0x x y y+ =
( )2 2 2
2 2 2
4 1 3 4 01 4 1 4 1 4
k k k
k k k
− − −− = =+ + + 2k = ±
2 2 0x y− − = 2 2 0x y+ − =
∴x>1 时， ；当 00 在(1，x0)上恒成立，不合题意.
综上所述，实数 b 的取值范围为[，+∞ ).
22. (Ⅰ) （ 为参数）；(Ⅱ) .
解：（Ⅰ）直线 的极坐标方程为
所以 ，即 ，
因为 为参数，若 ，代入上式得 ，
3
2{
12 3 2
x t
y t
=
= − +
t 5 1a = −
l cos 33
πρ θ + =
1 3cos sin 32 2
ρ θ ρ θ− = 1 3 32 2x y− =
t 12 3 2y t= − + 3
2x t=
所以直线 的参数方程为 （ 为参数）；
（Ⅱ）由 （ ），得 （ ），
由 ， 代入，得 （ ）
将直线 的参数方程与 的直角坐标方程联立，
得 .（*）
.
， ，
设点 ， 分别对应参数 ， 恰为上述方程的根.
则 ， ， ，
由题设得 .
则有 ，得 或 .
因为 ，所以 .
23.(Ⅰ) ；(Ⅱ)
解析：（Ⅰ）由题设，得 ，
，
，
所求不等式的解集为 ，
（Ⅱ）由题意，知 ，
，
，
，
l
3
2{
12 3 2
x t
y t
=
= − +
t
4 cosaρ θ= 0a > 2 4 cosaρ ρ θ= 0a >
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 4x y ax+ = 0a >
l C
( )2 2 3 1 12 0t a t− + + =
( ) ( )2 22 3 1 4 12 1 4 0a a ∆ = + − × = + − >
( )1 2 2 3 1t t a+ = + 1 2 12t t =
P Q 1t 2t
1MP t= 2MQ t= 1 2PQ t t= −
2
1 2 1 2| |t t t t− =
( ) 2
2 3 1 60 0a − + − = 5 1a = − 1 5a = − −
0a > 5 1a = −
{ }|0 3 x x< < ( ) [ ), 5 1, .−∞ − ∪ − +∞ 2 3 2 5x − + < 2 3 3 3 2 3 3x x∴ − < ⇔ − < − < 0 3x∴ < < ∴ { }|0 3 x x< < ( ){ } ( ){ }| | y y f x y y g x= ⊆ = ( ) ( ) ( )2 2 3 2 2 3 3f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = + ( ) 2 3 2 2g x x= − + ≥ 3 2a∴ + ≥
或 或
故所求实数 的取值范围是
3 2a∴ + ≤ − 3 2, 5a a+ ≥ ∴ ≤ − 1.a ≥ −
a ( ) [ ), 5 1, .−∞ − ∪ − +∞
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