2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学（理）（五）试题（解析版）

第 1 页 共 21 页 2020 届全国 100 所名校最新高考模拟示范卷高三数学（理） （五）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化简集合 ，按照并集定义，即可求解. 【详解】 ， . 故选:B. 【点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题. 2． 是虚数单位， 则 （ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由复数除法的运算法则求出 ，再由模长公式，即可求解. 【详解】 由 . 故选:C. 【点睛】 本题考查复数的除法和模，属于基础题. 3．1777 年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等 距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的 针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针 2212 枚，与直 线相交的有 704 枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针， 则针落地后与直线相交的概率约为（ ） { }2| 2 0A x x x= − − ≤ { | 2 1}B x x= − < ≤ A B = { | 1 2}x x−   { | 2 2}x x− <  { | 2 1}x x− <  { | 2 2}x x− ≤ ≤ A }{ | 1 2}, { | 2 1A B x xx x= − ≤ ≤ = − < ≤ { | 2 2}A B x x∪ = − < ≤ i 2 1 iz i = − | |z = 2 2 2 z 2 2 (1 ) 1 ,| | 21 i iz i zi += = − + =−第 2 页 共 21 页 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】 . 故选:D. 【点睛】 本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 4．函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对 分类讨论，当 ，函数 在 单调递减，当 ，根据对勾 函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】 当 时，函数 在 上单调递减， 所以 ， 的递增区间是 ， 所以 ，即 . 故选:B. 【点睛】 本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 5．下列命题中是真命题的是（ ） ①“ ”是“ ”的充分不必要条件； ②命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ”； ③数据 的平均数为 6，则数据 的平均数是 6； ④当 时，方程组 有无穷多解. 1 2π 3 π 2 π 1 π 704 1 2212 π≈ 1( )f x ax x = + (2, )+∞ a 1 ,4  +∞   1 ,4  +∞  [1, )+∞ 1, 4  −∞   a 0a ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > 0a ≤ 1( )f x ax x = + (2, )+∞ 0a > 1( )f x ax x = + 1 , a  +∞   12 a ≥ 1 4a ≥ 1x > 2 1x  0x∀ > sin 1x 0 0x∃ > 0sin 1x > 1 2 8, , ,x x x 1 2 82 5,2 5, ,2 5x x x− − − 3a = − 2 3 2 1 0 6 x y a x y a − + =  − =第 3 页 共 21 页 A．①②④ B．③④ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【解析】根据充分不必要条件定义和不等式关系，即可判定①的真假；根据全称命题 的否定形式，可判定②的真假；根据数据线性关系的平均数性质，可判定③的真假； 将 代入方程组，即可判定方程组解的情况. 【详解】 ① ，则有 ，但 ，则 或 ， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以①正确； ②命题“ ，都有 ”的否定是 “ ，使得 ”，所以②正确； ③由 ，可得 ， 故③错误； ④当 时， 即为 ， 即 ，所以方程组 有无穷多解，④正确. 故选：A. 【点睛】 本题考查命题真假的判定，涉及到充分不必要条件的判定、命题的否定、平均数的性质、 方程组解的讨论，属于基础题. 6．已知 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据指数函数的单调性，可得 ，再利用对数函数的单调性，将 与 对比，即可求出结论. 【详解】 由题知 ， ，则 . 故选:A. 3a = − 1x > 2 1x ≥ 2 1x ≥ 1x > 1x < − 1x > 2 1x ≥ 0x∀ > sin 1x ≤ 0 0x∃ > 0sin 1x > ( ) 6E X = (2 5) 2 ( ) 5 2 6 5 7E X E X− = − = × − = 3a = − 2 6a x y a− = 9 6 3x y− = − 3 2 1 0x y− + = 2 3 2 1 0 6 x y a x y a − + =  − = 1 5 4 55 , log 5, log 2a b c= = = , ,a b c a b c> > a c b> > b a c> > c b a> > 1 55 1a = > ,b c 11, 2 1 05 4 4 15 5 1,1 log 5 log 2 2a b= > = > = > = 5 5 1log 2 log 5 2c = < = a b c> >第 4 页 共 21 页 【点睛】 本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.. 7．在 中， ，则 的面积为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】根据已知求出 ，再由余弦定理求出 ，根据面积公式即可求解. 【详解】 ， 由余弦定理可得 或 （舍去） . 故选：A. 【点睛】 本题考查三角形面积，利用余弦定理解三角形是关键，属于基础题. 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器—— 商鞅铜方升.如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若 是方程 的根， 则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A．1.5 倍 B．2 倍 C．2.5 倍 D．3.5 倍 【答案】C 【解析】令 ，再结合 在 的单调性，可求出 ，根据三视图的对应长度关系，即可求解. 【详解】 化为 ， 令 ， 且 在 上为增函数， ABC 2 5sin , 1, 4 22 5 C BC AB= = = ABC 3 2 5 cos ,sinC C b 2 3 4cos 1 2sin , sin , 1, 4 22 5 5 CC C a c= − = − ∴ = = = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 6 3131 0,( 5) 0, 55 5b b b b b + − = − + = =   31 5b = − 1 1 4sin 1 5 22 2 5ABCS ab C∴ = = × × × =△ x 1.352 2.35x x− = − 1.35( ) 2 2.35, (1.35) 0xf fxx − += =− ( )f x R x 1.352 2.35x x− = − 1.352 2.35 0x x− + − = 1.35( ) 2 2.35, (1.35) 0xf fxx − += =− ( )f x R第 5 页 共 21 页 方程 有唯一解 ， 俯视图的面积为 ， 正视图面积为 5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的 2.5 倍. 故选：C. 【点睛】 本题考查方程的解与函数零点的关系、三视图间的关系，考查数形结合思想，属于基础 题. 9．设函数 ，若 在 上有且仅有 5 个零点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 求出 范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立 不等 量关系，即可求解. 【详解】 当 时， ， ∵ 在 上有且仅有 5 个零点， ∴ ，∴ . 故选:A. 【点睛】 本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题. 10．已知曲线 ，动点 在直线 上，过点 作曲线的两条切线 ，切 点分别为 ，则直线 截圆 所得弦长为（ ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【解析】设 ，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进 而得到切线方程，将 点坐标代入切线方程，抽象出直线 方程，且过定点为已知圆 1.352 2.35x x− = − 1.35x = 1.35 1 3 (5.4 1.35) 13.5× + × − = ( ) sin ( 0)5f x x πω ω = + >   ( )f x [0,2 ]π ω 12 29,5 10     12 29,5 10     12 29,5 10     12 29,5 10      0 2x π≤ ≤ 5xω π+ ω [0,2 ]x πÎ ,25 5 5x π π πω πω + ∈ +   ( )f x [ ]0,2π 5 2 65 ππ ωπ π≤ + < 12 29 5 10 ω≤ < 2 4x y= P 3y = − P 1 2,l l ,A B AB 2 2 6 5 0x y y+ − + = 3 2 3 2 2 1 2 1 2, , , , ( , 3)4 4 x xA x B x P t     −       P AB第 6 页 共 21 页 的圆心，即可求解. 【详解】 圆 可化为 . 设 ， 则 的斜率分别为 ， 所以 的方程为 ，即 ， ，即 ， 由于 都过点 ，所以 ， 即 都在直线 上， 所以直线 的方程为 ，恒过定点 ， 即直线 过圆心 ， 则直线 截圆 所得弦长为 4. 故选:C. 【点睛】 本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解 题的关键，属于中档题. 11．对于函数 ，若 满足 ，则称 为函数 的一对“线性对称点”．若实数 与 和 与 为函数 的两对“线性对称 点”，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知有 ，可得 ，只需求出 的最小值， 根据 2 2 6 5 0x y y+ − + = 2 2( 3) 4x y+ − = 2 2 1 2 1 2, , , , ( , 3)4 4 x xA x B x P t     −       1 2,l l 1 2 1 2,2 2 x xk k= = 1 2,l l ( ) 2 1 1 1 1: 2 4 x xl y x x= − + 1 12 xy x y= − ( ) 2 2 2 2 2: 2 4 x xl y x x= − + 2 22 xy x y= − 1 2,l l ( , 3)P t − 1 1 2 2 3 2 3 2 x t y x t y − = − − = − ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 3 2 x t y− = − AB 3 2 x t y− = − (0,3) AB (0,3) AB 2 2 6 5 0x y y+ − + = ( )f x 1 2,x x ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x f x x+ = + 1 2,x x ( )f x a b +a b c ( ) 3xf x = c 3log 4 3log 4 1+ 4 3 3log 4 1− 3 3 3b c a b ca ++ ++ = 13 1 3 1 c a b+= + − 3a b+第 7 页 共 21 页 ，利用基本不等式，得到 的最小值，即可得出结论. 【详解】 依题意知， 与 为函数 的“线性对称点”， 所以 ， 故 （当且仅当 时取等号）. 又 与 为函数 的“线性对称点， 所以 ， 所以 ， 从而 的最大值为 . 故选:D. 【点睛】 本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义， 正确求出 的表达式是解题的关键，属于中档题. 12．在正方体 中，如图， 分别是正方形 的中 心.平面 将正方体分割为两个多面体，则点 所在的多面体与点 所在的多面体 的体积之比是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，延长 ，与 的延长线交于点 ， 为 的中位线，则 ，连 并延长分别交 于 ，连 并 延长交 与 ，平面四边形 为所求的截面，进而求出 在各边的位置， 3 3 3a b a b+ = + 3a b+ a b ( ) 3xf x = 3 3 3 2 3 3 2 3a b a b a b a b+ += + =≥ ⋅ 3 4a b+ ≥ a b= +a b c ( ) 3xf x = 3 3 3b c a b ca ++ ++ = 3 1 43 13 1 3 1 3 a b c a b a b + + += = + ≤− − c 3log 4 1− c 1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1 1,ABCD BCC B 1D MN C 1A 2 3 1 2 2 5 1 3 1 1 1/ / , 2BN AD BN AD= 1D N AB F BN 1AD F∆ 1BF = FM ,BC AD ,P Q 1 ,D Q PN 1 1B C H 1D HPQ , ,P Q H第 8 页 共 21 页 利用割补法求出多面体 的体积，即可求出结论. 【详解】 设正方体的棱长为 1，连接 ，则 ， 延长 ，与 的延长线交于点 ，则 为 的中位线， ，连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ， 取 中点 ，连接 ，则 ， ，连接 ，并延长交 于点 ，连接 ， 则 ，平面 即为截面，取 中点 ，连接 ， 则点 所在的多面体的体积 ， 点 所在的多面体的体积 . 故选：B. 【点睛】 本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键， 考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题. 二、填空题 13． 的展开式中常数项是___________. 【答案】-160 【解析】试题分析：常数项为 . 【考点】二项展开式系数问题. 1 1QPHD C CD 1 1,BC AD 1 1 1/ / , 2BN AD BN AD= 1D N AB F BN 1AD F∆ 1BF AB∴ = = FM BC P AD Q AB G MG 2 3 BP BF GM FG = = 1 2, 23 3BP AQ BP∴ = = = PN 1 1B C H 1D H 1 1 3HC = 1HD QP PC E 1 ,C E QE C 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 12 3 2 3 3D DQ C CE C D H EQPV V V− −    = + = × × × + × × × =       1A 1 2 2 1 2 11 ,3 3 2 VV V = − = ∴ = 61(2 )x x − 3 3 3 4 6 1(2 ) ( ) 160T C x x = − = −第 9 页 共 21 页 14．已知平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 ________. 【答案】 【解析】根据已知求出 ，利用向量的运算律，求出 即可. 【详解】 由 可得 ， 则 ， 所以 . 故答案为: 【点睛】 本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题. 15．已知函数 在点 处的切线经过原点，函数 的最小值为 ，则 ________. 【答案】0 【解析】求出 ，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出 的值， 求 ，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解. 【详解】 ， ， ， 切线 的方程： ， 又 过原点，所以 ， ， ， . 当 时， ；当 时， . 故函数 的最小值 ，所以 . 故答案为:0. 【点睛】 本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题.. 16．设 为双曲线 的左、右焦点，过左焦点 且斜率为 a b 3 π ( 3, 1)a = − 1b| |= | 2 |a b− =  13 | |b 2| 2 |a b−  ( 3, 1)a = − 2 2| | ( 3) ( 1) 2a = + − = | | | |cos 13a b a b π⋅ = ⋅ =    2 22| 2 | (2 ) 4 4 13a b a b a a b b− = − = − ⋅ + =        13 ( ) ln 2f x x x a= − (1, (1))f ( )( ) f xg x x = m 2m a+ = ( ), (1), (1)f x f f′ ′ a ( )g x′ ( ) 1 lnf x x′ = + (1) 1f ′ = (1) 2f a= − 1l 2 1y a x+ = − 1l 2 1a = − ( ) ln 1f x x x= + 1( ) lng x x x = + 2 2 1 1 1( ) xg x x x x −′ = − = (0,1)x∈ ( ) 0g x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )( ) f xg x x = (1) 1g = 1, 2 0m m a= + = 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1F第 10 页 共 21 页 的直线与 在第一象限相交于一点 ，若 是等腰三角形，则 的离心率 ______________. 【答案】2 或 【解析】设直线倾斜角为 ，则 ，求出 ，由已知可得 或 ， 利用双曲线定义结合余弦定理，建立 关系，化简整理即可求解. 【详解】 设直线倾斜角为 ，则 ， 在第一象限， 是等腰三角形，所以 或 . 若 ，则 ， 由余弦定理得 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）. 若 ，则 ， 由余弦定理得 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）. 故答案为：2 或 . 【点睛】 本题考查双曲线的性质，焦点三角形要注意双曲线定义和余弦定理的应用，考查计算求 解能力，属于中档题. 15 7 C P 1 2F PF△ C e = 4 3 α 15tan 7 α = cosα 1 1 2F P F F= 2 1 2F P F F= ,a c α 15 7tan ,cos7 8 α α= = P 1 2F PF△ 1 1 2F P F F= 2 1 2F P F F= 1 1 2F P F F= 1 1 2 12 , 2 2F P F F c F P c a= = = − 2 2 2 2 4 4 (2 2 ) 7 8 8 c c c a c + − − = 23 8 4 0e e− + = 2e = 2 3e = 2 1 2F P F F= 2 1 2 12 , 2 2F P F F c F P c a= = = + 2 2 24 (2 2 ) 4 7 8 ( ) 8 c c a c c c a + + − =+ 23 4 0e e− + = 4 3e = 1e = − 4 3第 11 页 共 21 页 三、解答题 17．新高考取消文理科，实行“ ”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和 自主选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新 高考的了解情况，随机调查 50 人，并把调查结果制成下表： 年龄（岁） 频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 （1）把年龄在 称为中青年，年龄在 称为中老年，请根据上表完成 列联表，是否有 95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 附： . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）若从年龄在 的被调查者中随机选取 3 人进行调查，记选中的 3 人中了解 新高考的人数为 ，求 的分布列以及 . 【答案】（1）填表见解析；有 95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年） 有关联（2）详见解析 【解析】（1）根据数据列出列联表，求出 的观测值，对照表格，即可得出结论； （2）年龄在 的被调查者共 5 人，其中了解新高考的有 2 人， 可能取值为 0， 3 3+ [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [15,45) [45,75) 2 2× 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2( )P K k k [55,65) X X ( )E X 2K [55,65) X第 12 页 共 21 页 1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解. 【详解】 解析：（1） 列联表如图所示， 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计 30 20 50 ， 所以有 95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联. （2）年龄在 的被调查者共 5 人，其中了解新高考的有 2 人， 则抽取的 3 人中了解新高考的人数 可能取值为 0，1，2， ， . 所以 的分布列为 0 1 2 . 【点睛】 本题考查独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题. 18．已知等差数列 的前 项和为 ，若公差 ， 且 成等比 数列． （1）求 的通项公式； 2 2× 2 50 (22 12 8 8) 5.56 3.84130 20 20 30K × × − ×= ≈ >× × × [55,65) X 3 1 1 3 2 3 3 3 5 5 1 6 3( 0) , ( 1)10 10 5 C C CP X P XC C = = = = = = = 5 12 2 3 3 3( 2) 10 C CP X C = = = X X P 1 10 3 5 3 10 1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X = × + × + × = { }na n nS 0d ≠ 4 14S = 1 3 7a a a， ， { }na第 13 页 共 21 页 （2）求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意建立方程组 求解即可 （2） ，然后即可求出前 项和 【详解】 （1）由题意可得 ，即 ， 又因为 ，所以 ，所以 ． （2）因为 ， 所以 ． 【点睛】 常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减 法 19．如图，在菱形 中， ，平面 平面 是线段 的中点， . （1）证明： 平面 . （2）求直线 与平面 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 1 1 n na a +       n nT 1na n= + 2( 2)n nT n = + ( ) ( ) 1 2 1 1 1 4 34 142 2 6 a d a d a a d × + =  + = + 1 1 1 1 1 ( 1)( 2) 1 2n na a n n n n+ = = −+ + + + n nT ( ) ( ) 1 2 1 1 1 4 34 142 2 6 a d a d a a d × + =  + = + 1 2 1 2 3 7 2 a d d a d + =  = 0d ≠ 1 2 1 a d =  = 1na n= + 1 1 1 1 1 ( 1)( 2) 1 2n na a n n n n+ = = −+ + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 2 2 2 2( 2)n nT n n n n = − + − +…+ − = − =+ + + + ABCD ,3 2BAD EDC π π∠ = ∠ = CDE ⊥ , // ,ABCD EF DB M AE 1 12DE EF BD= = = //DM CEF BF AEF 10 4第 14 页 共 21 页 【解析】（1）设 与 的交点为 ，连接 ，则有 平面 ， 平面 ，进而可证平面 平面 ，即可证明结论； （2）由已知 ，平面 平面 ，可得 平面 ，连接 ，可证 平面 ，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定 坐标，求出平面 的法向量，进而求出直线与平面所成角的正弦，再由三角函数关 系，即可求出结论. 【详解】 （1）设 与 的交点为 ，连接 . 因为 ， 平面 平面 ， 所以 平面 . 又 是 的中位线，所以 ， 又 平面 平面 ，所以 平面 . 又 ，所以平面 平面 . 又 平面 ，故 平面 . （2）因为 ，平面 平面 ， 平面 平面 平面 ， 所以 平面 . 连接 ，则 ， 故四边形 是平行四边形， 故 ，从而 平面 . 以 为坐标原点， 分别为 轴， 轴， 轴， 建立空间直角坐标系，则 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， 平面 的一个法向量为 ， AC BD O MO , ,OD EF OM CE  OD  CEF OM  CEF OMD∥ CEF DE CD⊥ CDE ⊥ ABCD ED ⊥ ABCD OF OF ⊥ ABCD O , , ,A B E F AEF AC BD O MO OD EF OD ⊄ ,CEF EF ⊂ CEF OD  CEF OM ACE△ / /OM CE OM ⊄ ,CEF CE ⊂ CEF OM  CEF OM OD O= OMD∥ CEF MD ⊂ OMD MD  CEF DE DC⊥ CDE ⊥ ABCD CDE ∩ ,ABCD CD DE= ⊂ CDE ED ⊥ ABCD OF ,EF OD EF OD= ODEF ED OF∥ OF ⊥ ABCD O , ,OA OB OF x y z ( 3,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0, 1,1)A B F E − (0,1,0), ( 3,0,1), (0, 1,1)EF AF BF= = − = −   AEF ( , , )n x y z= 0 3 0 n EF y n AF x z  ⋅ = = ⋅ = − + =   1x = 3z = AEF (1,0, 3)n =第 15 页 共 21 页 设直线 与平面 所成角为 ， ， ， 所以直线 与平面 所成角的余弦值为 . 【点睛】 本题考查空间线面位置关系，证明直线与平面平行、用向量法求直线与平面所成的角， 考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 20．已知函数 . （1）讨论函数 的极值； （2）是否存在实数 ，使得不等式 在 上恒成立？若存在，求 出 的最小值：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在； 的最小值是 1 【解析】（1）对 （或 ）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值 点，若不恒成立，求出 的解，即可求出结论； （2）令 ，可证 恒成立，而 ， 由（2）得， 在 为减函数， 在 上单调递减， 在 都存在 ，不满足 ，当 时，设 ，且 ，只需求出 在 单调递 增时 的取值范围即可. 【详解】 BF AEF θ sinθ = | | 6| cos , | 4| | | | n BFn BF n BF ⋅< > = = ⋅      2 10cos 1 sin 4 θ θ= − = BF AEF 10 4 21( ) ( 1) ln ( )2f x m x x m= − − ∈R ( )f x m 1 1 1( ) xf x x e −> − (1, )+∞ m m ( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( ) 0, ( ) 0f x f x′ ′> < 1 1 1 , (1, )( ) xh ex xx −− ∈ +∞= ( ) 0, (1, )h x x> ∈ +∞ (1) 0f = 0, ( )m f x≤ (1, )+∞ 0 1, ( )m f x< < 11, m      (1, )+∞ ( ) 0f x < ( ) ( )f x g x> m 1≥ ( )2 1 1 1 1( ) 1 ln2 xF x m x x x e −= − − − + (1) 0F = ( )F x (1, )+∞ m第 16 页 共 21 页 （1）由题知， ， ①当 时， ，所以 在 上单调递减，没有极值； ②当 时，令 ，得 ， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增， 故 在 处取得极小值 ，无极大值. （2）不妨令 ， 设 在 恒成立， 在 单调递增， ， 在 恒成立， 所以当 时， ， 由（1）知，当 时， 在 上单调递减， 恒成立； 所以若要不等式 在 上恒成立，只能 . 当 时， ，由（1）知， 在 上单调递减， 所以 ，不满足题意. 当 时，设 ， 因为 ，所以 ， 21 10, ( ) mxx f x mxx x −′> = − + = 0m 2 1( ) 0mxf x x −′ = < ( )f x (0, )+∞ 0m > 2 1( ) 0mxf x x −′ = = 1x m = 10,x m  ∈   ( ) 0, ( )f x f x′ < 1 ,x m  ∈ +∞   ( ) 0, ( )f x f x′ > ( )f x 1x m = 1 1 1 1ln2 2 2f m m m   = + −   1 1 1 1 1( ) x x x e xh x x e xe − − − −= − = 1 1( ) , (1, ), ( ) 1 0x xu x e x x u x e− −′= − ∈ +∞ = − > (1, )+∞ ( )u x (1, )+∞ ( ) (1) 0u x u∴ > = 1 0xe x−∴ − > (1, )+∞ (1, )x∈ +∞ ( ) 0h x > 0, 1m x > ( )f x (1, )+∞ ( ) (1) 0f x f< = 1 1 1( ) xf x x e −> − (1, )+∞ 0m > 0 1m< < 1 1 m > ( )f x 11, m      1 (1) 0f f m   < =   1m 2 1 1 1 1( ) ( 1) ln2 xF x m x x x e −= − − − + 1, 1m x > 1 1 1 1 1, 1,0 1, 1 0x x xmx x e e e − − −> < < − < − − + + −第 17 页 共 21 页 ， 所以 在 上单调递增，又 ， 所以当 时， 恒成立，即 恒成立， 故存在 ，使得不等式 在 上恒成立. 此时 的最小值是 1. 【点睛】 本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论 思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 21．已知椭圆 的短轴长为 ，离心率 ，其右焦点为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过 作夹角为 的两条直线 分别交椭圆 于 和 ，求 的取 值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由已知短轴长求出 ，离心率求出 关系，结合 ，即可求 解； （2）当直线 的斜率都存在时，不妨设直线 的方程为 ，直线 与椭圆方程联立，利用相交弦长公式求出 ， 斜率为 ，求出 ，得到 关于 的表达式，根据表达式的特点用“ ”判别式法求出 范围，当 有 一斜率不存在时，另一条斜率为 ，根据弦长公式，求出 ，即可求出结论. 【详解】 （1）由 得 ，又由 得 ， 3 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1) 0x x x x x x x − − + − += = > ( )F x (1, )+∞ (1) 0F = (1, )x∈ +∞ ( ) 0F x > ( ) ( ) 0f x h x− > 1m 1 1 1( ) xf x x e −> − (1, )+∞ m 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 3 1 2e = F C F 4 π 1 2,l l C ,P Q ,M N | | | | PQ MN 2 2 14 3 x y+ = 49 97 49 97,48 48  − +     b ,a c 2 2 2a b c= + 1 2,l l 1l ( 1), 1y k x k= − ≠ 1l | |PQ 2l 1 1 k k + − | |MN | | | | PQ MN k ∆ | | | | PQ MN 1 2,l l ±1 | | | | PQ MN 2 2 3b = 3b = 2 2 2 2 2 2 1 4 c a be a a −= = = 2 23 4a b=第 18 页 共 21 页 则 ，故椭圆 的方程为 . （2）由（1）知 ， ①当直线 的斜率都存在时， 由对称性不妨设直线 的方程为 ， 由 ， ，设 ， 则 ， 则 ， 由椭圆对称性可设直线 的斜率为 ， 则 ， . 令 ，则 ， 当 时， ，当 时，由 得 ，所以 ， 即 ，且 . ②当直线 的斜率其中一条不存在时， 根据对称性不妨设设直线 的方程为 ， 斜率不存在， 2 24, 3a b= = C 2 2 14 3 x y+ = ( )1,0F 1 2,l l 1l ( 1), 1y k x k= − ≠ ( )2 2 2 2 2 2 ( 1) 4 3 8 4 12 03 4 12 0 y k x k x k x kx y = − ⇒ + − + − = + − = ( )2144 1 0k∆ = + > ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12, ,4 3 4 3 k kx x x xk k −+ = =+ + ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 2 12 1 | | 1 4 3 4 k PQ k x x x x k + = + + − =  + 2l 1 1 k k + − ( ) ( ) 2 2 2 2 112 12 24 11| | 7 1 213 4 1 k kkMN k kk k + + ⋅  +− = = + ++ + ⋅ −  ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 12 1 7 1 2 7 1 2| | | | 3 4 6 824 1 k k k k kPQ MN k kk + + + + + = ⋅ =+ ++ 2 2 727 7 8 74 8 6 8 8 24 32 k k k k + += + = ++ + 2 8 7 24 32 kt k += + 232 8 24 7 0tk k t− + − = 0t = 7 8k = − 0t ≠ 64 4 32 (24 7) 0t t′∆ = − × − ≥ 7 97 7 97 48 48t − +≤ ≤ 2 49 97 7 8 7 49 97 48 8 24 32 48 k k − + +≤ + ≤+ 49 97 | | 49 97 48 | | 48 PQ MN − +≤ ≤ | | 8 | | 7 PQ MN ≠ 1 2,l l 1l 1y x= − 2l第 19 页 共 21 页 则 ， ， 此时 . 若设 的方程为 ， 斜率不存在， 则 ， 综上可知 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系，注意根与系数关系、弦长公式、函数 最值、椭圆性质的合理应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于难题. 22．在平面直角坐标系中，曲线 （ 为参数），在以原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 . （1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，求 的最小值及此时点 的直角坐 标. 【答案】（1） ； （2）最小值为 ，此时 的直 角坐标为 【解析】（1）根据 消去参数 ，曲线 参数方程化为普通方程；曲 线 极坐标方程展开， 代入，即可求出直角坐标方程； （2）设点 ， 的最小值为点 到直线 距离的最小值，根 据点到直线距离公式，结合辅助角公式，转化为求余弦型函数的最小值，即可求出结论. 【详解】 （1）由 （ 为参数）， 得 的普通方程为 ； 24| | 7PQ = 22| | 3bMN a = = | | 8 49 97 49 97,| | 7 48 48 PQ MN  − += ∈    2l 1y x= − 1l | | 7 49 97 49 97,| | 8 48 48 PQ MN  − += ∈    | | | | PQ MN 49 97 49 97,48 48  − +     1 2 2cos: 2sin xC y α α = +  = α O x 2 : sin 13C πρ θ − =   1C 2C P 1C Q 2C | |PQ P 2 2( 2) 4x y− + = 3 2 0x y− + = 3 1− P (2 3,1)− 2 2sin cos 1α α+ = α 1C 2C cos , sinx yρ θ ρ θ= = (2 2cos ,2sin )P α α+ | |PQ P 2C 1 2 2cos: 2sin xC y α α = +  = α 1C 2 2( 2) 4x y− + =第 20 页 共 21 页 由 ，得 ， 即 ，又由 ， 得曲线 ； （2）由题意，可设点 的直角坐标为 ， 因为 是直线，所以 的最小值，即为 到 的距离 的最小值， . 当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ， 此时 的直角坐标为 . 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，利用圆的参数方 程求点到直线距离的最值，考查计算求解能力，属于中档题. 23．已知 . （1）求不等式 的解集； （2）设 ，在同一坐标系内画出函数 和 的图象， 并根据图象写出不等式 的解集. 【答案】（1） （2）作图见解析；不等式的解集为 【解析】（1）分类讨论去绝对值，将 化为分段函数，分类讨论求解不等式； （2）分类讨论化简 ，分别做出 图象，根据函数图象，即可求出 的解集. 【详解】 （1） ， 当 时， ，得 ； sin 13 πρ θ − =   1 3sin cos 12 2 ρ θ ρ θ− = 3 cos sin 2 0ρ θ ρ θ− + = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 : 3 2 0C x y− + = P (2 2cos ,2sin )α α+ 2C | |PQ P 2C ( )d α 2 3 cos 2sin 2 3 2 ( ) 2cos 3 12 6d α α πα α − + +  = = + + +   5 2 ,6 k k πα π= + ∈Z ( )d α 3 1− P (2 3,1)− ( ) | 2 1| | 1|f x x x= + + − ( ) 9f x  ( ) 9 | 1| | 2 4 |g x x x= − + − − ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x { | 3 3}x x−   { | 1 2}x x−   ( )f x ( )g x ( ), ( )f x g x ( ) ( )f x g x 3 , 1 1( ) 2 1 1 2, 12 13 , 2 x x f x x x x x x x   ≥ = + + − = + − <