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咸阳市 2020 年高考模拟检测(二)
数学(文科)试题
一、选择题
1.已知全集 , , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知复数 ( 为虚数单位),则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知向量 , ,则 ( )
A. B. C. D.
4.边长为 的正方形内有一个半径为 的圆,向正方形中机扔一粒豆子(忽略大小,视为质点),
若它落在该圆内的概率为 ,则圆周率 的值为( )
A. B. C. D.
5.已知奇函数 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
6.已知 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,且 , ,则“ ”是“ ”
的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图,其中正
视图及侧视图均为等腰梯形,两底的边长分别为 和 ,高为 ,则该刍童的表面积为( )
U = R { }0A x x= > { }1B x x= > − ( )U A B =
( ]1,0− ( )1,1− ( )1,− +∞ [ )0,1
4
1z i
= + i z
2 2i 2− 2i−
( )1,2a = ( )1,0b = 2a b+ =
5 5 7 25
m 2
mn n 31, 2
1
2 O- 4 -
线与椭圆 分别相交于 、 两点.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的定圆与直线 总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.
21.已知函数 .
(Ⅰ)若 在 上存在极大值,求 的取值范围;
(Ⅱ)若 轴为曲线 的一条切线,证明:当 时, .
22 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 曲 线 的 参 数 方 程 为 ( 为 参 数 ),曲 线
.
(Ⅰ)在以 为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求 的极坐标方程;
(Ⅱ)若射线 与 相交于异于极点的交点为 ,与 的交点为 ,求 .
23.已知关于 的不等式 有解,记实数 的最大值为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)正数 满足 ,求证 .
咸阳市 2020 年高考模拟检测(二)
数学(文科)试题参考答案
一、选择题
1.A 2.C 3.B 4.C 5.D 6.A 7.B 8.C 9.D 10.A 11.D 12.C
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,则 ,
解得: , .
C M N
C
MN
( ) 3 2 4
27f x x ax= − +
( )f x ( )1, 3a a− + a
x ( )y f x= 1x ≥ − ( ) 23
27f x x≥ −
xOy 1C 1
1 cos: sin
xC y
α
α
= +
=
α
2
2
2 : 12
xC y+ =
O z 1 2,C C
( )06
πθ ρ= ≥ 1C A 2C B AB
x 2 3 1x x m− − + ≥ + m M
M
, ,a b c 2a b c M+ + = 1 1 1a b b c
+ ≥+ +
6
3−
3
1
2
{ }na d 1
1
3
2 9 20
a d
a d
+ =
+ =
1 1a = 2d =- 5 -
∴ , .
(Ⅱ)(错位相减法)
①
①式两边同乘 ,得 ②
①-②可得 .
,
,
.
18.解:(Ⅰ)根据表中数据,计算 , ,
.
,
∴ 关于 的线性回归方程为: ,
当 时, .
预测某学生每周课外阅读时间为 小时时其语文作文成绩为 .
(Ⅱ)设这 人阅读时间依次为 、 、 、 、 、 的同学分别为 、 、 、 、 、 ,
从中任选 人,基本事件是 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 共 种,
其中至少 人课外阅读时间不低于 小时的事件是、 、 、 、 、 、 、 、 、
共 种,
故所求的概率为 .
19.证明:(Ⅰ)连接 交 于 ,连接 ,
∵ 为矩形,∴ 为 的中点,
又 为 的中点,∴ ,
2 1na n= − 2
nS n=
2 3
1 3 5 2 1...2 2 2 2n n
nT
−= + + + +
1
2 2 3 4 1
1 1 3 5 2 1...2 2 2 2 2n n
nT +
−= + + + +
2 3 1
1 1 1 1 1 2 12 ...2 2 2 2 2 2n n n
nT +
− = + + + + −
2 3 1
1 1 1 1 1 1 2 12 ...2 2 2 2 2 2 2n n n
nT +
− = + + + + − −
1
1 1 1 2 12 12 2 2 2n n n
nT +
− = − − −
2 33 2n n
nT
+= −
3.5x = 45y =
6
1
6 222
1
6 1001 6 3.5 45 3.291 6 3.56
i i
i
i
i
x y xy
b
x x
=
=
− − × ×= = =− ×−
∑
∑
45 3.2 3.5 33.8a y bx= − = − × =
y x 3.2 33.8y x= +
7x = 3.2 7 33.8 56.2y = × + =
7 56.2
6 1 2 3 4 5 6 A B C D E F
2 AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF
DE DF EF 15
1 5 AE AF BE BF CE CF DE DF
EF 9
9 3
15 5P = =
BD AC O EO
ABCD O BD
E PD EO PB- 6 -
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
(Ⅱ)由题设 , ,∴ 的面积为 .
∵棱锥 的体积为 ,∴ 到平面 的距离为 .
∵ 平面 ,∴平面 平面 ,
过 在平面 内作 ,垂足为 ,则 平面 ,
而 平面 ,于是 .
∵ ,∴ .则
20.解:(Ⅰ)椭圆 经过点 ,∴ ,又∵ ,
解之得 , .∴椭圆 的方程为 .
(Ⅱ)当直线 的斜率不存在时,由对称性,设 , ,
∵ 在椭圆 上, ,解得 .
到直线 的距离为 .
当直线 的斜率存在时,设 的方程为 ,
由 得 .
设 , ,则 , .
EO AEC PB AEC
PB AEC
3AD = 1CD = ADC△ 3
2
E ACD− 3
9 E ABCD 2
3
PA ⊥ ABCD PAD ⊥ ABCD
E PAD EF AD⊥ F EF ⊥ ABCD
PA ⊥ ABCD EF PA
1PA = : 2:3ED PD = : 1: 2PE ED =
C 31, 2
2 2
1 9 14a b
+ = 1
2
c
a
=
2 4a = 2 3b = C
2 2
14 3
x y+ =
MN ( )0 0,M x x ( )0 0,N x x−
,M N C
2 2
0 0 14 3
x x+ = 2
0
12
7x =
O MN 0
2 21
7d x= =
MN MN y kx m= +
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 4 8 4 12 0k x km m+ + + − =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2
8
3 4
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= +- 7 -
∵ ,∴
.
∴ ,即 .
到直线 的距离为 ,
故存在定圆 与直线 总相切.
21.(Ⅰ) ,令 ,得 , ,
当 时, , 单调递增, 无极值,不合题意
当 , 在 处取得极小值,在 处取得极大值
则 ,∴ .
当 时, 在 处取得极大值,在 处取得极小值
则 ,∴
综上所述, 的取值范围为 .
(Ⅱ)证明:依题意得 或 ,即 (舍)或 ,∴ .
设函数 ,
,
当 或 时 ;当 时 ,
∴ 在 处取得极小值,且极小值为 .
又∵ ,
∴当 时, ,
故当 时, .
22.解:(Ⅰ)曲线 ( 为参数)可化为普通方程: ,
OM ON⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ =
( )( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 0x x kx m kx m k x x km x x m+ + + = + + + + =
( ) 2 2 2
2 2
2 2
4 12 81 03 4 3 4
m k mk mk k
−+ ⋅ − + =+ + ( )2 27 12 1m k= +
O MN 2
12 2 21
7 71
md
k
= = =
+
2 2 12
7x y+ = MN
( ) ( )23 2 3 2f x x ax x x a′ = − = − ( ) 0f x′ = 1 0x = 2
2
3
ax =
0a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )f x
0a > ( )f x 2
3
ax = 0x =
1 0 3a a− < < + 0 1a< <
0a < ( )f x 2
3
ax = 0x =
21 33
aa a− < < + 9 0a− < <
a ( ) ( )9,0 0,1−
( )0 0f = 2 03
af =
4 027
= 34 4 027 27a− + = 1a =
( ) ( ) 3 223 127g x f x x x x x = − − = − − +
( ) ( )( )3 1 1g x x x′ = + −
11 3x− ≤ < − 1x > ( ) 0g x′ > 1 13 x− < < ( ) 0g x′ <
( )g x 1x = ( )1 0g =
( )1 0g − =
1x ≥ − ( ) 0g x ≥
1x ≥ − ( ) 23
27f x x≥ −
1
1 cos: sin
xC y
α
α
= +
=
α ( )2 21 1x y− + =- 8 -
由 可得曲线 的极坐标方程为 ,
曲线 的极坐标方程为 .
(Ⅱ)射线 与曲线 的交点 的极径为 ,
射线 与曲线 的交点 的极径满足 ,解得 ,
∴ .
23.解:(Ⅰ) ,
若不等式 有解,则满足 ,
解得 .∴ .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知正数 满足 ,
∴ ,
.
当且仅当 , 时,取等号.
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 1C 2cosρ θ=
2C ( )2 21 cos 2ρ θ+ =
( )06
πθ ρ= ≥ 1C A 1 2cos 36
πρ = =
( )06
πθ ρ= ≥ 2C B 2 2
2 1 sin 26
πρ + = 2
2 10
5
ρ =
1 2
2 103 5AB ρ ρ= − = −
( ) ( )2 3 2 3 5x x x x− − + ≤ − − + =
2 3 1x x m− − + ≥ + 1 5m + ≤
6 4m− ≤ ≤ 4M =
, ,a b c 2 4a b c+ + =
( ) ( )1 1 1 1 1
4 a b b ca b b c a b b c
+ = + + + + + + + +
1 12 2 2 14 4
b c a b b c a b
a b b c a b b c
+ + + + = + + ≥ + ⋅ = + + + +
a c= 2a b+ =