数学试卷(文科)
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合 A= ，B= ， 则 A B=
A.[1，2] B.[1，2) C.(1，2] D.(1，2)
2.已知复数 z 满足 z(1+i)=2i，则复数 z 的虚部是
A.1 B.一 1 C.i D. i
3.已知向量 a=(4，一 3) ， b=(一 1，2) ， a，b 的夹角为 θ， 则 sin θ=
A. B. C. D.
4.若各项均为正数的等比数列 满足 a3=3a1 2a2，则公比 q=
A.1 B.2 C.3 D.4
5.某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)
如图 2 所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为
A.6.25% B.7.5% C.10.25% D.31.25%
6.已知 a= ， b= ， c= 则
A.a b c B.c b a C.b c a D.c a b
7.若 x，y 满足约束条件 则 z=4x 十 y 的最大值为
A. 5 B. 1 C.5 D.6
8.已知函数 f(x) =—asin3x 十 a 十 b(a 0，x R) 的值域为[一 5， 3] ， 函数 g(x) =b cos ax，
则 g(x)的图象的对称中心为
A. B.
9.过双曲线 C： =1(a 0，b 0)的右焦点 F 作双曲线 C 的一条弦 AB，且 =0，若
以 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的左顶点，则双曲线 C 的离心率为
A. B. C.2 D.
10.在三棱锥 P-ABC 中，PA 平面 ABC，AB=2，AC=3， BAC=120°，D 为线段 BC 上的动点。
若 PC 与底面 ABC 所成角为 30°， 则 PD 与底面 ABC 所成角的正切值的最大值为
A. B. C. D.
11.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(一 x)，且在[0，十 )上是增函数，不等式 f(ax+2) f(一
1)对于 x [1，2]恒成立，则 a 的取值范围是
A.[ ， ] B. [ ， ] C. [ ，0] D. [0，1]
12.已知函数 f(x)= 恰有一个极值点为 1， 则实数 t 的取值范围是
A.( ] B. ( ]
C. ( ] D. ( ]
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡中的横线上。
13.等差数列 的前 n 项和为 Sn，已知 a5 S7=2，S9=18，则 a6= 。
14.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，《周髀算经》中称直角三角形较短的直角
边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数。现从 1~5 这 5
个数中随机抽取 3 个不同的数，则这三个数为勾股数的概率为 。
15.如图， 圆锥 VO 的母线长为 l， 轴截面 VAB 的顶角 AVB=150°，
则过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面 VCD， 则△VCD 面积的最大
值是 ，此时 VCD= 。(本题第一空 3 分，第
二空 2 分)
16.已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，P 为抛物线 C 上一点，且 P 在
第一象限，当 取得最小值时，点 P 的坐标为 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每道试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ccosB bsinC=0，cosA=cos2A。
(1)求 C；
(2) 若 a=2，求△ABC 的面积 S△ABC。
18.(12 分)
《中央广播电视总台 2019 主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大
赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李洪岩
等 17 位担任专业评审。从 2019 年 10 月 26 日起，每周六 20：00 在中央电视台综合频道播出。
某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取
了 100 名大学生进行调查。下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直
方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于 80 分钟的学生称为“赛迷”。
(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由；
(2)已知抽到的 100 名大一学生中有男生 50 名，其中 10 名为“赛迷”。试完成下面的 2×2 列联
表，并据此判断是否有 90%的把握认为“赛迷”与性别有关。
19.(12 分)
如图 1， 在等腰梯形 A BF1F2 中，两腰 AF2=BF1=2，底边 AB=6，F1F 2=4，D，C 是 AB 的三
等分点， E 是 F1F2 的中点。分别沿 CE，DE 将四边形 BCEF1 和 ADEF2 折起，使 F1，F2 重合
于点 F，得到如图 2 所示的几何体。在图 2 中，M，N 分别为 CD，EF 的中点。
(1) 证明：MN 平面 ABCD。
(2) 求几何体 ABF-DCE 的体积。
20.(12 分)
已知函数 f(x) =bx2 alnx 的图象在点(1，f(1) )处的切线的斜率为 a 2。
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)当 0 a 时，证明：f(x) 。
21.(12 分)
已知 F1，F2 分别为椭圆 C： =1 的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于 x 轴的动
弦，直线 m：x=4 与 x 轴交于点 A，直线 MF2 与直线 AN 的交点为 B。
(1)证明：点 B 恒在椭圆 C 上。
(2)设直线 n 与椭圆 C 只有一个公共点 P，直线 n 与直线 m 相交于点 Q，在平面内是否存在
定点 T，使得 PTQ=恒成立?若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 (α 是参数)，以原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
(2)在曲线 C 上取一点 M，直线 OM 绕原点 O 逆时针旋转，交曲线 C 于点 N，求 的
最大值。
23.[选修 4 一 5：不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)= + 。
(1)解不等式 f(x) 3x 一 2；
(2)若函数 f(x)最小值为 M，且 2a+3b=M(a 0，b 0)，求 的最小值。
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