山西省2019-2020高一数学下学期期中试卷(Word版附答案)
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山西省2019-2020高一数学下学期期中试卷(Word版附答案)

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资料简介
数学 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列说法正确的是( ) A.第二象限角大于第一象限角 B.不相等的角终边可以相同 C.若 是第二象限角, 一定是第四象限角 D.终边在 轴正半轴上的角是零角 2.下列说法正确的是( ) A.零向量没有方向 B.向量就是有向线段 C.只有零向量的模长等于 D.单位向量都相等 3.设 是第一象限角,且 ,则 是第( )象限角 A.一 B.二 C.三 D.四 4.下列是函数 图象的对称轴方程的是( ) A. B. C. D. 5.在 中, 是 的中点, ,若 , ,则 ( ) α 2α x 0 2 α cos cosα α= − α cos( )3y x π= + 6x π= 3x π= 5 6x π= 2 3x π= ABC∆ E AC 3BC BF=  AB a=  AC b=  EF = A. B. C. D. 6.设 , ,若 ,则实数 的值为( ) A. B. C. D. 7.设 , 不共线, , , ,若 , , 三点共线, 则实数 的值是( ) A. B. C. D. 8.已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 9.将函数 的图象先左移 ,再纵坐标不变,横坐标缩为原来的 ,所得图象的解析 式为( ) A. B. C. D. 10.函数 , 的值域为( ) A. B. C. D. 11.若函数 , 的图象都在 轴上方,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 12.关于函数 有下述四个结论: ① 是奇函数; ② 在区间 单调递增; ③ 是 的周期; 2 1 3 6a b−  1 1 3 3a b+  1 1 2 4a b+  1 1 3 3a b−  (1, )a m= (2,2)b = (2 )a mb b+ ⊥   m 1 2 2 1 3 − 3− a b 3AB a b= +   2BC a b= +   3CD a mb= +   A C D m 2 3 1 5 7 2 15 2 24 33sin( ) 5cos( )7 7 π πα α+ = − + tan( )14 πα − = 5 3 − 3 5 − 3 5 5 3 cosy x= 4 π 1 2 sin(2 )4y x π= + 1 3sin( )2 4y x π= + 1sin( )2 4y x π= + 3sin(2 )4y x π= + 2( ) 2 sin 3cos 2f x x x= + − 2[ , ]3 6x π π∈ − 4[0, ]3 4[1, ]3 5[1, ]4 5[0, ]4 tan(2 )3y x k π= − + (0, )6x π∈ x k [ 3, )+∞ ( 3, )+∞ ( 3, )− +∞ ( 3,0)− ( ) sin(tan ) cos(tan )f x x x= − ( )f x ( )f x (0, )4 π π ( )f x ④ 的最大值为 . 其中所有正确结论的个数是( ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知一扇形的圆心角为 弧度,半径为 ,则该扇形的面积为 . 14.若 , , ,则向量 与 的夹角为 . 15.若 ,则 的取值范围是 . 16.函数 , 在 上单调递增,则 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17.若角 的终边上有一点 ,且 . (1)求 的值; (2)求 的值. 18.已知 , . (1)求向量 与 的夹角; (2)若 ,且 ,求 的值. 19.已知 . (1)求函数 的最小正周期和最大值,并求出 为何值时, 取得最大值; (2)求函数 在 上的单调增区间; (3)若 ,求 值域. 20.已知矩形 , , , 是平面内一点. ( )f x 2 4 3 2 1 1 1 1a = 2b = 7a b+ =  a b 1 cos 1 cos2 2 1 cos sin2 2 α α α α + + = − α ( ) 2sin( )3f x x πω= + 0ω > [ , ]3 4 π π− ω α ( , 8)P m − 3cos 5 α = − m sin( )cos( )2 tan( )cos( ) ππ α α α π α + + − − − (2,6)a = ( 1,2)b = − a b (2, )c m= ( 3 )a b c+ ⊥   m 1( ) 2sin( )2 4f x x π= − ( )f x x ( )f x ( )f x [ 2 ,2 ]π π− [0,2 ]x π∈ ( )f x ABCD 3AD = 1AB = M (1)若点 满足 ,求 的最小值; (2)若点 在线段 上,求 的范围. 21.函数 ( , )的部分图象如图所示. (1)求函数 的解析式; (2)已知点 ,点 是该函数图象上一点,点 是 的中点,当 , 时,求 的值. 22.中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为 ,其中心 距地面 ,半 径为 ,若某人从最低点 处登上摩天轮,摩天轮匀速旋转,那么此人与地面的 距离将随时间 变化, 后达到最高点,从登上摩天轮时开始计时. (1)求出人与地面距离 与时间 的函数解析式; (2)从登上摩天轮到旋转一周过程中,有多长时间人与地面距离大于 . M (1 ) ( )AM AB AC Rλ λ λ= + − ∈   DM M AC AM BM⋅  ( ) 2sin( )f x xω ϕ= + 0ω > 0 2 πϕ≤ ≤ ( )f x ( ,0)2M π N 0 0( , )P x y MN 0 1 2y = 0 (0, )3x π∈ 0x 160m O 167 2OB m= 153 2OC m= D t 15mint = y t 181 4 m 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】B 【解析】 A 选项,第一象限角 ,而 是第二象限角,∴该选项错误; B 选项, 与 终边相等,但它们不相等,∴该选项正确; 360 30 120°+ ° > ° 120° 360 30°+ ° 30° C 选项,若 是第二象限角,则 , ∴ 是第三象限角或第四象限角或终边在 轴负半轴上的轴 线角,∴该选项错误; D 选项, 角的终边在 轴正半轴上,但不是零角,∴该选项错误. 2.【答案】C 【解析】 零向量的方向是任意的,故 A 选项错误; 有向线段只是向量的一种表示形式,两者不等同,故 B 选项错误; 只有零向量的模长等于 ,故 C 选项正确; 单位向量模长相等,单位向量若方向不同,则不是相等向量,故 D 选项错误. 3.【答案】B 【解析】 ∵ 是第一象限角,∴ , , ∴ , ,∴ 为第一象限角或第二象限角或终边在 轴正半轴 上的轴线角, ∵ ,∴ ,∴ 是第二象限角. 4.【答案】D 【解析】 令 , ,解得 , ,当 时, ,选项 D 符合题 意. 5.【答案】A 【解析】 . 6.【答案】C 【解析】 ,∵ , ∴ ,即 ,解得 . α 2 2 ( )2k k k Z ππ α π π+ < < + ∈ 4 2 4 2 ( )k k k Zπ π α π π+ < < + ∈ y 360° x 0 2 α 360 90 3602k k α° < < °+ ° k Z∈ 720 180 720k kα° < < °+ ° k Z∈ α y cos cosα α= − cos 0α < α 3x k π π+ = k Z∈ 3x k π π= − + k Z∈ 1k = 2 3x π= 1 2 1 2 2 1( )2 3 2 3 3 6EF EC CF AC CB AC AB AC AB AC= + = + = + − = −          2 1 3 6a b= −  2 (2 2 ,4 )a mb m m+ = +  (2 )a mb b+ ⊥   (2 ) 0a mb b+ ⋅ =   2(2 2 ) 8 0m m+ + = 1 3m = − 7.【答案】D 【解析】 ∵ , ,∴ , ∵ , , 三点共线,∴ ,即 , ∴ 解得 . 8.【答案】B 【解析】 由诱导公式可知 , 又 得 , 所以 , . 9.【答案】D 【解析】 向左平移 个单位,故变为 ,纵坐标不变,横坐标缩 为原来的 ,变为 . 10.【答案】A 【解析】 根据 得 , , 令 ,由 得 ,故 ,有 , ,二次函数对称轴为 ,当 时,最大值 ,当 时,最小值 , 综上,函数 的值域为 . 11.【答案】A 【解析】 3AB a b= +   2BC a b= +   2 5AC AB BC a b= + = +     A C D AC CDλ=  2 5 (3 )a b a mbλ+ = +    2 3 5 m λ λ =  = 2 3 15 2m λ =  = 24 3 33sin( ) 3sin[3 ( )] 3sin( )7 7 7 π π πα π α α+ = + + = − + 24 33sin( ) 5cos( )7 7 π πα α+ = − + 3 33sin( ) 5cos( )7 7 π πα α− + = − + 3 5tan( )7 3 π α+ = 3 1 3tan( ) tan[( ) ] 314 7 2 5tan( )7 π π πα α π α − = + − = − = − + cos sin( )2y x x π= = + 4 π 3sin( )4y x π= + 1 2 3sin(2 )4y x π= + 2 2sin cos 1x x+ = 2( ) 3 sin 2 sin 1f x x x= − + + 2[ , ]3 6x π π∈ − sint x= 2[ , ]3 6x π π∈ − 1sin [ 1, ]2x∈ − [0,1]t ∈ 23 2 1y t t= − + + [0,1]t ∈ 1 3t = 1 3t = 4 3y = 1t = 0y = ( )f x 4[0, ]3 ∵ ,∴ ,∴ , 函数 , 的图象都在 轴上方, 即对任意的 ,都有 ,即 , ∵ ,∴ , . 12.【答案】C 【解析】 , ,所以 为非奇非偶函数,①错误; 当 时,令 , ,又 时 单调递增, 单调递 减,根据复合函数单调性判断法则,当 时, , 均为 增函数,所以 在区间 单调递增,所以②正确; ,所以 是 的周期,所以③正确; 假设 的最大值为 ,取 ,必然 , ,则 , 与 , 矛盾,所以 的最大值小于 ,所 以④错误. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.【答案】 【解析】 根据扇形的面积公式可得 . 14.【答案】 【解析】 由 得 ,∴ ,∴ ,∴ . (0, )6x π∈ 2 03 3x π π− < − < 3 tan(2 ) 03x π− < − < tan(2 )3y x k π= − + (0, )6x π∈ x (0, )6x π∈ tan(2 ) 03x k π− + > tan(2 )3x k π− > − tan(2 ) 33x π− > − 3k− ≤ − 3k ≥ ( ) sin(tan ) cos(tan )f x x x= − ( ) sin[tan( )] cos[tan( )]f x x x− = − − − sin(tan ) cos(tan )x x= − − ( )f x (0, )4x π∈ tant x= (0,1)t ∈ (0,1)t ∈ siny t= cosy t= (0, )4x π∈ sin(tan )y x= cos(tan )y x= − ( )f x (0, )4 π ( ) sin[tan( )] cos[tan( )] sin(tan ) cos(tan ) ( )f x x x x x f xπ π π+ = + − + = − = π ( )f x ( )f x 2 ( ) 2f a = sin(tan ) 1a = cos(tan ) 1a = − tan 22a k π π= + k Z∈ tan 2a kπ π= + k Z∈ ( )f x 2 1 2 2 21 1 1| | 1 12 2 2S rα= = × × = 3 π 7a b+ =  2 2 2 7a b a b+ + ⋅ =    1a b⋅ =  1cos 2 a b a b θ ⋅= = ⋅     3 πθ = 15.【答案】 , 【解析】 因为 , 而 ,所以 , 所以 ,所以 , , 所以 , . 16.【答案】 【解析】 结合正弦函数的图象及性质可得 ,解得 , 又 ,∴ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 17.若角 的终边上有一点 ,且 . (1)求 的值; (2)求 的值. 【答案】见解析 【解析】 (1)点 到原点的距离为 , 4 4 2k kπ α π π< < + k Z∈ 21 cos (1 cos ) 1 cos2 2 2 1 cos (1 cos )(1 cos ) sin2 2 2 2 α α α α α α α + + + = = − − + 1 cos 1 cos2 2 1 cos sin2 2 α α α α + + = − 1 cos 1 cos2 2 sin sin2 2 α α α α + + = sin 02 α > 2 22k k απ π π< < + k Z∈ 4 4 2k kπ α π π< < + k Z∈ 2(0, ]3 3 3 2 4 3 2 π π πω π π πω − ⋅ + ≥ −  ⋅ + ≤ 2 3 ω ≤ 0ω > 20 3 ω< ≤ α ( , 8)P m − 3cos 5 α = − m sin( )cos( )2 tan( )cos( ) ππ α α α π α + + − − − P 2 2 2( 8) 64r m m= + − = + 根据三角函数的概念可得 ,解得 , (舍 去)……………………………………………………………………………………4 分 (2)原式 ,…………8 分 由(1)可得 , , ∴原式 . ……………………………………………………………10 分 18.已知 , . (1)求向量 与 的夹角; (2)若 ,且 ,求 的值. 【答案】见解析 【解析】 (1) , , ,……………………………………………………3 分 设向量 与 的夹角为 ,则 , ∴ ,即向量 与 的夹角为 . ……………………………………………6 分 (2) ,由 ,可得 ,……………10 分 ∴ ,解得 . ……………………………………………12 分 19.已知 . (1)求函数 的最小正周期和最大值,并求出 为何值时, 取得最大值; (2)求函数 在 上的单调增区间; (3)若 ,求 值域. 【答案】见解析 2 3cos 564 m m α = = − + 6m = − 6m = sin( )cos( ) ( sin )( sin )2 sintan( )cos( ) ( tan )cos ππ α α α α αα π α α α + + − −= = = −− − − − 2 64 10r m= + = 8 4sin 5r α −= = − 4sin 5 α= − = (2,6)a = ( 1,2)b = − a b (2, )c m= ( 3 )a b c+ ⊥   m 2 ( 1) 6 2 10a b⋅ = × − + × =  2 22 6 2 10a = + = 2 2( 1) 2 5b = − + = a b θ 10 2cos 22 10 5 a b a b θ ⋅= = = ×⋅     4 πθ = a b 4 π 3 ( 1,12)a b+ = −  ( 3 )a b c+ ⊥   ( 3 ) 0a b c+ ⋅ =   2 ( 1) 12 0m× − + = 1 6m = 1( ) 2sin( )2 4f x x π= − ( )f x x ( )f x ( )f x [ 2 ,2 ]π π− [0,2 ]x π∈ ( )f x 【解析】 (1) ,………………………………………………………………1 分 当 , 即 , 时, 的最大值为 .……………………………3 分 (2)令 , 得 , ,…………………………………………5 分 设 , , , 所以 , 即函数 在 上的单调增区间为 .………………………7 分 (3)由 得 ,……………………………………8 分 根据正弦函数图象可知 ,……………………………11 分 所以 .……………………………………………………………12 分 20.已知矩形 , , , 是平面内一点. (1)若点 满足 ,求 的最小值; (2)若点 在线段 上,求 的范围. 【答案】见解析 【解析】 (1)由 可知 , , 三点共线,………………2 分 则 的最小值即为点 到直线 的距离.此时 .……5 分 (2)以点 为原点, 为 轴, 为 轴建立平面直角坐标系, 故 , , , ,………………………………………7 分 由点 在线段 上设 ,……………………………………8 分 2 41 2 T π π= = 1 2 ( )2 4 2x k k Z π π π− = + ∈ 3 42x k π π= + k Z∈ ( )f x 2 12 22 2 4 2k x k π π ππ π− + ≤ − ≤ + 34 42 2k x k π ππ π− + ≤ ≤ + k Z∈ [ 2 ,2 ]A π π= − 3[ 4 , 4 ]2 2B k k π ππ π= − + + k Z∈ 3[ , ]2 2A B π π= − ( )f x [ 2 ,2 ]π π− 3[ , ]2 2 π π− [0,2 ]x π∈ 1 3[ , ]2 4 4 4x π π π− ∈ − 1 2sin( ) [ ,1]2 4 2x π− ∈ − ( ) [ 2,2]f x ∈ − ABCD 3AD = 1AB = M M (1 ) ( )AM AB AC Rλ λ λ= + − ∈   DM M AC AM BM⋅  (1 )AM AB ACλ λ= + −   B M C DM D BC min 1DM DC= =  A AB x AD y (0,0)A (1,0)B (1,3)C (0,3)D M AC ( ,3 )(0 1)M t t t≤ ≤ 故 , ,………………………………………………9 分 所以 ,…………………………10 分 根据二次函数性质可得 .…………………………………12 分 21.函数 ( , )的部分图象如图所示. (1)求函数 的解析式; (2)已知点 ,点 是该函数图象上一点,点 是 的中点,当 , 时,求 的值. 【答案】见解析 【解析】 (1)由题可得 ,∴ , 又 ,且 ,∴ ,………………………………………2 分 ∴ , 将点 代入函数 可得 ,…………4 分 ∴ , ,解得 , , 又∵ ,∴ ,∴ . ………………6 分 (2)∵点 , 是 的中点, , ∴点 的坐标为 ,……………………………………………8 分 ( ,3 )AM t t= ( 1,3 )BM t t= − 2 2( 1) (3 ) 10 (0 1)AM BM t t t t t t⋅ = − + = − ≤ ≤  1[ ,9]40AM BM⋅ ∈ −  ( ) 2sin( )f x xω ϕ= + 0ω > 0 2 πϕ≤ ≤ ( )f x ( ,0)2M π N 0 0( , )P x y MN 0 1 2y = 0 (0, )3x π∈ 0x 7 1 12 3 4T π π− = T π= 2T π ω= 0ω > 2ω = ( ) 2sin(2 )f x x ϕ= + 7( , 2)12 π − ( )f x 72sin[2 ( ) ] 212 π ϕ× + = − 7 26 2 k π πϕ π+ = − + k Z∈ 5 23 k πϕ π= − + k Z∈ 0 2 πϕ≤ ≤ 3 πϕ = ( ) 2sin(2 )3f x x π= + ( ,0)2M π 0 0( , )P x y MN 0 1 2y = N 0(2 ,1)2x π− 又∵点 在 的图象上, ∴ ,………………………………………………………10 分 又 ,∴ , 从而得 ,解得 . ……………………………………12 分 22.中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为 ,其中心 距地面 ,半 径为 ,若某人从最低点 处登上摩天轮,摩天轮匀速旋转,那么此人与地面的 距离将随时间 变化, 后达到最高点,从登上摩天轮时开始计时. (1)求出人与地面距离 与时间 的函数解析式; (2)从登上摩天轮到旋转一周过程中,有多长时间人与地面距离大于 . 【答案】见解析 【解析】 (1)根据题意摩天轮从最低点开始, 后达到最高点, 则 转一圈,所以摩天轮的角速度为 .……………………2 分 则 时,人在点 处,则此时转过的角度为 .……………………4 分 所以 ………………………………………………6 分 (2)登上摩天轮到旋转一周,则 .……………………………………7 分 人与地面距离大于 ,即 , 所以 ,…………………………………………………………………9 分 由 ,解得: .………………………………………………11 分 所以人与地面距离大于 的时间为 分钟. N ( ) 2sin(2 )3f x x π= + 0 2 1sin(4 )3 2x π− = 0 (0, )3x π∈ 0 2 2 243 3 3x π π π− < − < 0 24 3 6x π π− = 0 5 24x π= 160m O 167 2OB m= 153 2OC m= D t 15mint = y t 181 4 m 15min 30min 2 30 15 π πω = = mint C 15 t πθ = 167 153 cos ( 0)2 2 15y t t π= − ≥ 0 30t≤ ≤ 181 4 m 167 153 181cos2 2 15 4y t π= − > 1cos15 2t π < 0 30t≤ ≤ 5 25t< < 181 4 m 25 5 20− = 故有 分钟人与地面距离大于 .………………………………………12 分20 181 4 m

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