湖北省鄂州市颚南高中2020届高三数学(文)10月月考试卷(附解析Word版)
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湖北省鄂州市颚南高中2020届高三数学(文)10月月考试卷(附解析Word版)

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资料简介
2019 年高三年级 10 月联考文科数学试卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位, 表示复数 z 的共轭复数,若 ,则 ( ) A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得 ,然后利用复数减法、除法、乘法的运算,化简所求表达式. 【详解】依题意 ,故 ,故选 A. 【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念,考查复数乘法、除法、减法运算,属于基础题. 2.已知集合 , ,则 为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出集合 、 ,然后利用交集的定义可求出集合 . 【详解】当 时,由于函数 是增函数,此时 ,则 . , 因此, . 故选:D. 【点睛】本题考查集合交集的计算,同时也考查了指数函数的值域与对数函数的定义域的求 解,考查计算能力,属于基础题. 3.已知实数 、 、 满足 ,那么“ ”是“ ”成立的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 z 1z i= + z z z z ⋅ =− i− i 1− z 1z i= − ( ) 2 21 - 1 2 z z i i iz z i i i i ⋅ −= = = = −− ⋅ − { }3 , 0xM y y x= = > ( ){ }2lg 3N x y x x= = − M N∩ [ )1,+∞ ( )1,+∞ [ )3,+∞ ( )1,3 M N M N∩ 0x > 3xy = 3 1xy = > ( )1,M = +∞ ( ){ } { } { } ( )2 2 2lg 3 3 0 3 0 0,3N x y x x x x x x x x= = − = − > = − < = ( )1,3M N = a b c c b a< < 0ac < ab ac> 【答案】B 【解析】 【分析】 由 ,可得出 ,由 可知 ,然后再根据已知条件以及逻辑性关系推 导出两者间的充分不必要条件关系. 【 详 解 】 , 若 , 则 必 有 , 由 , 可 得 出 , 则 ; 另一方面,若 ,且 ,则 ,事实上,若 ,则 . 则 . 因此,“ ”是“ ”成立的充分不必要条件. 故选:B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,同时也考查了不等式性质的应用,考查逻辑推理 能力,属于中等题. 4.设 , , ,则 、 、 的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先比较 、 、 与 的大小关系,可得出 , , ,然后再利用对数函数的单调 性来比较 和 的大小关系,可得出 、 、 的大小关系. 【详解】 ,对数函数 为减函数,则 , 对数函数 为增函数,则 ,且 , 因此, . 故选:C. 【点睛】本题考查指数幂与对数式比较大小,一般利用中间值法,结合指数函数与对数函数 单调性来得出各数的大小关系,考查推理能力,属于中等题. 的 0ac < 0c a< < ab ac> 0a > c b a< ab ac> 0ac ab ac< ⇒ > ab ac> c b a< < 0a > 0c b a< < < ab ac< 0ab ac ac> ⇒ 1 24a −= 1 2 1log 3b = 9log 4c = a b c a b c< < c a b< < a c b< < c b a< < a b c 1 1a < 1b > 1c < a c a b c 1 2 14 2a −= = 1 2 logy x= 1 1 2 2 1 1log log 13 2b = > = 9logy x= 9 9log 4 log 9 1c = < = 9 9 1log 4 log 3 2c = > = a c b<   + ≠ 2x > − 1x ≠ − ( ) ( )2, 1 1,− − − +∞ 1 0x− < < sin 0x < 1 2 2x< + < ( )ln 2 0x + > ( ) ( ) sin 0ln 2 xf x x = ( ) 0f x′ > 2 2x− < < ( ) 0f x′ < ( )y f x= 2− 2 1 2 1k k− < − < + 1 2 1k k− < < + 3 1k− < < − 1 3k< < ( )2 2 2 1 0yx bb − = > F A B BF AF⊥ M 2AM MB=  2y x= ± 1 2y x= ± 4 3y x= ± 3 4y x=± ,A B AB M ( )2B c b, ( )1 0A − , 2 11 bAB y xc = ++: ( ) y bx= 1M bx c b = + − 2AM MB=  1 21 1 b bcc b c b  + = − + − + −  1 2c b− = 2 2 1c b− = 3 4b = 3 4y x=± 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > by xa = ± 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b − = > > ay xb = ± 12.已知函数 ,存在 、 、 、 ,使得 成立,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数求出函数 在区间 上的最大值 和最小值 ,由此可得 出 ,由此可得出 的最大值. 【详解】 ,定义域为 ,则 , 令 ,得 ,当 时, ;当 时, . 所以,函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, 故函数 在 处取得最小值,即 , 又 , ,且 ,所以, . 由于存在 、 、 、 ,使得 成立, 则 ,得 , ,则 . 因此, 的最大值为 . 故选:C. 【点睛】本题考查函数最值的应用,同时也考查了利用导数求函数在闭区间上的最值,解题 的关键就是将题意转化为函数的最值来处理,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.曲线 在 处的切线方程是__________. ( ) 2 2lnf x x x= − 1x 2x  1 ,nx ee  ∈   ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nf x f x f x f x−+ + + ≤ n 4 5 6 7 ( ) 2 2lnf x x x= − 1 ,ee      2 2e − 1 21 2n e− ≤ − n ( ) 2 2lnf x x x= − 1 ,ee      ( ) ( )22 122 x f x x x x −′ = − = ( ) 0f x′ = 11 ,x ee  = ∈   1 1xe ≤ < ( ) 0f x′ < 1 x e< ≤ ( ) 0f x′ > ( )y f x= 1 ,1e     ( ]1,e ( )y f x= 1x = ( ) ( )min 1 1f x f= = 2 1 1 2f e e   = +   ( ) 2 2f e e= − ( ) 1f e f e  >    ( ) ( ) 2 max 2f x f e e= = − 1x 2x  1 ,nx ee  ∈   ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nf x f x f x f x−+ + + ≤ 21 2n e− ≤ − 2 1n e≤ − 27 8e∴ < < 26 1 7e< − < n 6 2 lny x x= − 1x = 【答案】 【解析】 分析:先求导,再求切线的斜率,再写出切线的方程. 详解:由题得 因为切点为(1,2), 所以切线方程 即切线方程为 .故答案为: . 点睛:(1)本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法,意在考查学生对这些知识的掌 握水平.(2) 函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线 的斜率,相应的切线方程是 14.设函数 ,使得 成立的 的取值范围是 __________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数分析出函数 在 上是增函数,由 可得 , 解出该不等式即可. 【详解】 ,当 时, , , 则函数 在 上为增函数; 当 时, , ,则函数 在 上为增函 数. 又函数 在 上连续,由 可得 ,解得 . 因此,使得 成立的 的取值范围是 . 故答案为: . 【点睛】本题考查函数不等式的求解,利用导数分析函数的单调性是解题的关键,考查分析 问题和解决问题的能力,属于中等题. 为 1y x= + 1 2 1 2 1 12 , 1.1 xy kx x − × −= − = ∴ = =′ 2 1,y x− = − 1y x= + 1y x= + ( )y f x= 0x 0( )f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x 0 0 0( )( )y y f x x x′− = − ( ) 2 2 , 0 2 , 0 xx e xf x x x x  ≥= − +  ( )2,0A ( ),B x y a OA=  b OB=  2 4a b x⋅ = =  2x = OC c=  3 1 12,4 4 4OC c a b y = = + =        C 12, 4 y     OB OC y 2 8 y ( ) tan tantan tan 1 tan tan xOB xOCBOC xOB xOC xOB xOC ∠ − ∠∠ = ∠ − ∠ = + ∠ ∠ 2 2 6 6 6 32 8 1616 4161 216 y y y y y y yy y − = = = ≤ =+ ++ ⋅ 16 yy = 4y = ( )2,4b = ( )4,4a b∴ + =  2 24 4 4 2a b+ = + =  4 2 17.若关于 的不等式 的解集为 ,记实数 的最大值为 . (1)求 的值; (2)若正实数 满足 ,求 的最小值. 【答案】(1)3;(2)3 【解析】 分析:(1)将问题转化为 ,只需求出 的 最小值即可.(2)结合 ,利用基本不等式求解即可. 详解:(1)由题意得 . (2)由(1)得 ,且 , ∴ . 当且仅当 且 ,即 时等号成立. , 即 的最小值为 3. 点睛:绝对值三角不等式和基本不等式都是求最值的常用方法,解题时要根据题意选择合适 的方法进行求解,同时也要注意这两种方法的使用条件. 18.设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ,向量 , ,且存在实数 ,使得 . (1)求角 的大小; (2)若 ,求实数 的取值范围. x 3 2 3 1 0x x t+ + − − ≥ R t a a ,m n 4 5m n a+ = 1 4 2 3 3y m n m n = ++ + 3 2 3 1x x t x R+ + − ≥ ∈对 恒成立 3 2 3 1x x+ + − 4 5 3m n+ = 3 2 3 1x x t x R+ + − ≥ ∈对 恒成立, 3 2 3 1 3 2 1 3 3x x x x+ + − = + + − ≥又 , 3t∴ ≤ , 3a∴ = 4 5 3m n+ = , 0m n > ( ) ( ) ( )1 4 1 43 4 5 = 2 + 3 32 3 3 2 3 3y m n m n m nm n m n m n m n     = + + + + +    + + + +    ( ) ( )4 2 4 23 3 3 35 5 2 92 3 3 2 3 3 m n m nm n m n m n m n m n m n  + ++ += + + ≥ + + = + + + +  ( )4 23 3 2 3 3 m nm n m n m n ++ =+ + 4 5 3m n+ = 1 3m n= = 3y∴ ≥ 1 4 2 3 3y m n m n = ++ + ABC∆ A B C a b c ( )sin ,m A b c= + ( )sin sin ,n C B a b= − − λ λ= m n C a b kc+ = k 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)由题意得出 ,然后共线向量的坐标表示,结合边角互化思想以及余弦定理可求出 的值,即可求得角 的大小; (2)利用正弦定理得出 ,求出角 的取值范围,可得出 的取值范围, 结合正弦函数的性质可得出 的取值范围. 【详解】(1)由于存在实数 ,使得 , , ,由正弦定理得 , ,由余弦定理得 ,又 , ; (2)由题意知, . 由于存在实数 ,使得 , , , 又 , , , ,因此,实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想、余弦定理解三角形,同时也考查了解三角形 中的参数问题,一般利用正弦定理转化为三角函数的值域问题求解,考查计算能力,属于中 等题. 19.垃圾种类可分为可回收垃圾,干垃圾,湿垃圾,有害垃圾,为调查中学生对垃圾分类的了 解程度某调查小组随机抽取了某市的 名高中生,请他们指出生活中若干项常见垃圾的种类, 把能准确分类不少于 项的称为“比较了解”少于三项的称为“不太了解”调查结果如下: 3 π ( )1,2 //m n  cosC C 2sin 6k A π = +   A 6A π+ k λ λ= m n //m n∴  ( ) ( )( )sin sin sinA a b b c C B∴ − = + − ( ) ( )( )a a b b c c b− = + − 2 2 2a b c ab∴ + − = 1cos 2C = ( )0,C π∈ 3C π∴ = sin sin 2 sin sinsin 33 a b A Bk A Ac C π + +  = = = + +     2 1 3 2 3 3 2sin sin cos sin cos 3sin2 2 2 2 63 3 3 A A A A A A π     = + + = + = ⋅ +              2sin 6A π = +   λ λ= m n 0n∴ ≠ 3B π≠ 2 3A B C B ππ= − − = − 20, ,3 3 3A π π π   ∴ ∈       1sin ,16 2A π   ∴ + ∈       ( )1,2k∴ ∈ k ( )1,2 100 3 项 项 项 项 项 项 项以上 男生(人) 女生(人) (1)完成如下 列联表并判断是否有 的把握认为了解垃圾分类与性别有关? 比较了解 不太了解 合计 男生 ________ ________ ________ 女生 ________ ________ ________ 合计 ________ ________ ________ (2)抽取的 名高中生中按照男、女生采用分层抽样的方法抽取 人的样本. (i)求抽取的女生和男生的人数; (ii)从 人的样本中随机抽取两人,求两人都是女生的概率. 参考数据: , . 【答案】(1)列联表见解析,没有;(2)(i)女生 人,男生 人;(ii) . 【解析】 【分析】 0 1 2 3 4 5 5 1 10 17 14 14 10 4 0 8 10 6 3 2 1 2 2× 99% 100 10 10 ( )2 0p k k≥ 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bck a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 3 7 1 15 (1)根据题中数据完善题中的列联表,并计算出 的观测值,利用临界值表得出犯错误的概 率,即可对题中结论的正误进行判断; (2)利用分层抽样思想得出所抽取的男生人数为 ,女生人数为 ,将样本中的 名女生为 、 、 , 名男生为 、 、 、 、 、 、 ,列出所有的基本事件,然后利用古 典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】(1)根据题意填得列联表如下, 比较了解 不太了解 合计 男生 女生 合计 计算 , 所以没有 的把握认为了解垃圾分类与性别有关; (2)(i)抽取的女生人数是 (人),男生人数是 (人); (ii)记两人都是女生为事件 ,记样本中的 名女生为 、 、 , 名男生为 、 、 、 、 、 、 . 从这 人中随机抽取两人,基本事件分别为: 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共 种; 2k 7 3 3 A B C 7 a b c d e f g 42 28 70 12 18 30 54 46 100 ( )2 2 100 42 18 12 28 3.382 6.63554 46 70 30k × × − ×= ≈ ( ) 2 1f x ae ≥ − ( )y f x= ( ) 1axf x x −′ = 0a ≤ 0a > ( )f x′ ( )0,x∈ +∞ ( )y f x= (2)由(1)得出函数 的最小值为 ,于是问题转化为证 明不等式 ,即证 ,构造函数 ,利 用导数求出 即可. 【详解】(1) ,定义域为 ,且 . 若 ,则 ,所以,函数 在 上单调递减; 若 ,令 ,得 ;令 ,得 . 此时,函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ; (2)由(1)知, ,要证 , 只需证 ,即证 , 令 ,则 ,令 ,得 所以, ,则当 时, ,所以 在 时单调递减; 当 时, ,所以 在 上单调递增. 所以 ,即证. 【点睛】本题考查含参函数单调区间的求解,考查利用导数证明函数不等式,在证明时,一 般转化为函数的最值来证明,考查分类讨论思想的应用,属于中等题. 22.如图,过点 作两条直线 和 l 分别交抛物线 于 A,B 和 C,D(其中 A, C 位于 x 轴上方,l 的斜率大于 0),直线 AC,BD 交于点 Q. . ( )y f x= ( )min 1 1 lnf x f aa  = = +   2 11 ln a ae + ≥ − ( ) 2 11 lna a e + ≥ − ( ) ( )ln 0a a a a aϕ = + > ( ) 2min 1a e ϕ ≥ − ( ) lnf x ax x= − ( )0, ∞+ ( ) 1 1axf x a x x −′ = − = 0a ≤ ( )f x′ ( )y f x= ( )0, ∞+ 0a > ( ) 0f x′ < 10 x a < < ( ) 0f x′ > 1x a > ( )y f x= 10, a      1 ,a  +∞   ( ) 1 1 lnf x f aa  ≥ = +   ( ) 2 1f x ae ≥ − 2 11 ln a ae + ≥ − ( ) 2 11 lna a e + ≥ − ( ) ( )( )1 ln 0a a a aϕ = + > ( ) ( )2 ln 0a a aϕ +′ = > ( ) 0aϕ′ = 2 1a e = 0a > 2 10,x e  ∈   ( ) 0aϕ′ < ( )y aϕ= 2 10,a e  ∈   2 1 ,a e  ∈ +∞   ( ) 0aϕ′ > ( )y aϕ= 2 1 ,a e  ∈ +∞   ( ) 2 2 1 1a ee ϕ ϕ  ≥ = −   (1,0)P 1x = 2 4y x= (1)求证:点 Q 在定直线上; (2)若 ,求 最小值. 【答案】(1)见证明;(2) 【解析】 【分析】 (1)设出 两点的坐标和直线 的方程,将直线 的方程代入抛物线方程,写出根于系数 关系.洗出直线 的方程,化简后求得 点在直线 上.(2)先求得 , ,根据 以及 ,求得 的表达式,利用换元法和基本不等式求 得 的最小值. 【详解】(1)设 , , 代入 得 ,所以 . , , 消 y 得 ,故点 Q 在 上. (2) , , 的PQC PBD Sλ S ∆ ∆ = λ 2 2 3+ ,C D l l ,AC BD Q 1x = − PQC PQA S S ∆ ∆ PBD PQB S S ∆ ∆ PQA PQBS S∆ ∆= PQC PBD Sλ S ∆ ∆ = λ λ 2 ,4 cC c      2 ,4 dD d      : 1l x ty= + 2 4y x= 2 4 4 0y ty− − = 4cd = − : 4 ( 2) 2 0AC x c y c− + + = : 4 ( 2) 2 0BD x d y d− − − = 14 cd c dx c d − += = −− + 1x = − 2 14 2 PQC PQA c S S ∆ ∆ + = 2 1 4 2 PBD PQB d S S ∆ ∆ − = 因为 ,所以 , 令 , 则 ,当 时取到. 【点睛】本小题主要考查抛物线中点在定直线上的问题,考查直线和直线交点的求法,考查 利用换元法和基本不等式求最值,考查运算求解能力,属于中档题. PQA PQBS S∆ ∆= ( ) ( ) 2 22 2 2 44 4 4 4 c ccλ d c ++= =− − 2 4 0c t− = > ( 4)( 8) 8 3 2 2 34 4 t t tλ t t + += = + + ≥ + 2 4 4 2c = +

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