高三数学考试（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算集合 M，N，再计算 .
【详解】集合 ，
∵ ， ，
∴ .
故答案选 C
【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题型.
2.命题“存在一个偶函数，其值域为 R”的否定为（）
A. 所有的偶函数的值域都不为 R
B. 存在一个偶函数，其值域不为 R
C. 所有的奇函数的值域都不为 R
D. 存在一个奇函数，其值域不为 R
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用命题的否定的定义得到答案.
【详解】命题“存在一个偶函数，其值域为 R”的否定为：“所有的偶函数的值域都不为 R”
故答案选 A
【点睛】本题考查特称命题的否定，考查推理论证能力
3.函数 的定义域为（）
{ | 1 2 1}M x x= − < − ≤ { }2| 6 8 0N x x x= − + < M N∪ = ( ]2,3 ( )2,3 [ )1,4 ( )1,4 M N∪ { | 1 2 1}M x x= − < − ≤ { }2| 6 8 0N x x x= − + < [1,3)M = (2,4)N = [1,4)M N = ( ) 3 3 ln | |xf x x−= − +
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别计算两部分的定义域，求交集得到答案.
【详解】函数
∵ ，∴ .
故答案选 B
【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力
4.若 ，且 a 为整数，则“b 能被 5 整除”是“a 能被 5 整除”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别考虑充分性和必要性，得到答案.
【详解】若 a 能被 5 整除，则 必能被 5 整除；
若 b 能被 5 整除，则 未必能被 5 整除
故答案选 B.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力
5.将曲线 上的每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的
曲线的对称轴方程为（ ）
A. B.
C. D.
[ )1,− +∞ [ ) ( )1,0 0,− ∪ +∞ ( ], 1−∞ −
( ) ( )1,0 0,− ∪ +∞
( ) 3 3 ln | |xf x x−= − +
3 3 0
0
x
x
− − ≥ >
[ 1,0) (0, )x∈ − +∞
10b a=
10b a=
10
ba =
2sin 4 5y x
π = +
( )3
80 8
kx k Z
π π= − + ∈ ( )3
20 2
kx k Z
π π= − + ∈
( )3
80 8
kx k Z
π π= + ∈ ( )3
20 2
kx k Z
π π= + ∈
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角函数的图象的变换法则，写出变换后的函数曲线方程，再求出曲线的对称轴的方程，
即可得到答案．
【详解】由题意，将曲线 上的每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标
不变），
得到曲线 的图象，
令 ，解得 ，
所以对称轴方程为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解
答中熟练应用三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答
的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6.4 片叶子由曲线 与曲线 围成，则每片叶子的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算图像交点，再利用定积分计算面积.
【详解】如图所示：
2sin 4 5y x
π = +
2sin 2 5y x
π = +
2 ,5 2x k k Z
π π π+ = + ∈ 3 ,20 2
kx k Z
π π= + ∈
3 ,20 2
kx k Z
π π= + ∈
2 | |y x= 2| |y x=
1
6
3
6
1
3
2
3
由 ，解得 ，
根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为 .
故答案选 C
【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力
7.下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
判断每个式子与 0,1 的大小关系，排除 A,B,C，再判断 D 选项得到答案.
【详解】∵
，
，
∴排除 A，B，C
故答案选 D.
【点睛】本题考查三角函数与对数的大小比较，考查推理论证能力
8.函数 在 上的图象大致为（）
2
y x
y x
= =
0,
0,
x
y
=
=
1
1
x
y
=
=
( ) 130
2 32
1
0
2 1 1d 3 3 3x x x x x
∫ − = − =
3sin130 sin 40 log 4° > ° > tan 226 ln 0.4 tan 48° < < ° ( )cos 20 sin 65 lg11− ° < ° < 5tan 410 sin80 log 2° > ° >
3sin 40 1 log 4° < < ln 0.4 0 tan 226< < ° ( )cos 20 cos20 sin 70 sin 65− = = >° ° ° °
5
1tan 410 tan50 1 sin80 log 22
° = ° > > ° > >
22cos( ) x
x xf x
e
−= [ ]π,π−
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性排除 C，根据取值 ， 排除 B,D，故选 A
【详解】易知 为偶函数，排除 C
因为 ， ，所以排除 B，D
故答案选 A.
【点睛】本题考查函数图象的识别，应用特殊值法排除选项可以简化运算，是解题的关键，
考查推理论证能力
9.已知 ，则 的近似值为（）
A. 1.77 B. 1.78 C. 1.79 D. 1.81
【答案】B
【解析】
【分析】
化简式子等于 ，代入数据得到答案.
【 详 解 】
，
所以 的近似值为 1.78.
故答案选 B
02f
π −
( )f x
02f
π − > −
cos27 0.891° = ( )2 cos72 cos18°+ °
2cos27°
( )cos72 cos18 sin18 cos18 2 sin 18 45 2 sin 63 2 cos27= + =°+ ° ° ° ° = =°+ ° °
( )2 cos72 cos18 2 0.891 1.782°+ ° ≈ × =
( )2 cos72 cos18°+ °
【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力
10.已知定义在 R 上的函数 满足 ，且 的图象关于点 对称，当
时， ，则 （）
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由 的图象关于点 对称，则 ，结合 ，
则可得 ，即函数 的周期为 8，即有 ，又 ，
即可得解.
【详解】解：因为 的图象关于点 对称，所以 .又
，所以 ，所以 ，则 ，
即函数 的周期为 8，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
故选 C.
【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力.
11.函数 的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
( )f x ( ) (2 )f x f x= − ( )f x (3,0)
1 2x 3 ( ) 2 log (4 3)f x x x= + + 1609( )2f =
4− 5−
( )f x (3,0) ( ) (6 ) 0f x f x+ − = ( ) (2 )f x f x= −
( ) ( 8)f x f x= + ( )f x 1609 9( ) ( )2 2f f= 9( ) 52f = −
( )f x (3,0) ( ) (6 ) 0f x f x+ − =
( ) (2 )f x f x= − (2 ) (6 ) 0f x f x− + − = ( ) ( 4)f x f x= − + ( ) ( 8)f x f x= +
( )f x 1609 9 9( ) ( 100 8) ( )2 2 2f f f= + × =
9 9( ) (6 ) 02 2f f+ − = ( )3
9 3( ) ( ) 3 log 9 52 2f f= − = − + = −
1609( ) 52f = −
sin 4 3 cos4( )
sin 2 3 cos2
x xf x
x x
+=
−
( )2,2− ( )1,1− [ ]1,1− [ ]2 2− ,
化简函数得到 ，再根据定义域得到值域.
【详解】
且当且仅当 时， ，
∴ 的值域为
故答案选 A
【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数的值域，考查推理论证能力
12.若函数 在 有最大值，则 a 的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求导得到函数的单调区间，得到 在 处取得极大值， ，
得到 或 ，再计算 得到答案.
【详解】令 ，得 ，
当 时， ；
当 或 时， .
从而 在 处取得极大值 .
( ) 2sin 2 6f x x
π = − +
2sin 4 3( ) 2sin 2 ,cos 2 06 62cos 2 6
x
f x x x
x
π
π π
π
+ = = − + + ≠ − +
cos 2 06x
π + = sin 2 16x
π + =
( )f x ( )2,2−
3 2( ) )(2 0f x x ax a= − < 6,2 3 a a + [ )4,0− ( ], 4−∞ − [ )2,0− ( ], 2−∞ − ( )f x 3 ax = 3 3 27 a af = − 3 ( ) 27 af x = − 3 ax = 6 ax = − 6 2 3 3 6 a a a a+< < ≤ − ( ) 2 (3 )f x x x a′ = − 1 0x = 2 ( 0)3 ax a= < 03 a x< < ( ) 0f x′ < 3 ax < 0x > ( ) 0f x′ >
( )f x
3
ax =
3
3 27
a af = −
由 ，得 ，解得 或 .
∵ 在 上有最大值，
∴ ，∴ .
故答案选 B
【点睛】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力
第Ⅱ卷
二、填空题
13.设函数 ，则 ________.
【答案】16
【解析】
分析】
直接代入数据得到答案.
【详解】
故答案为 16
【点睛】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力
14.直线 与曲线 ，在 上的交点的个数为________.
【答案】3
【解析】
【分析】
判断 ，画出图像得到答案.
【详解】如图所示：
【
3
( ) 27
af x = −
2
2 03 3
a ax x − + = 3
ax =
6
ax = −
( )f x 6,2 3
a a +
6
2 3 3 6
a a a a+< < ≤ − 4a ≤ − 2lg , 0 ( ) 1 , 04 x x x f x x >
= + ( )g x ( )0, ∞+ 1 0
( 1) 1 (1)
x
g x g
+ >
+ < = ( )( ) ( 0)1 xf xg x xx = >+
[ ]
2
( ) ( ) ( 1) ( )( ) ( 1)
f x xf x x xf xg x x
′ ′+ + −= +
( )( ) ( ) 1
xf xf x xf x x
′+ < + ( ) ( ) ( 1) ( ) 0f x xf x x xf x′ + + − + ++ + < + ⇔ < ⇔ + < =+ 1 1x + > 0x >
( )0, ∞+
( )( ) ( 0)1
xf xg x xx
= >+
2( ) 2x xf x a a a= − + 0a > 1a ≠ ( )1,6A
( )f x
( )f x
( ) 4 2 4x xf x = − + 2( ) 2 2 4x xf x = − + 15 ,4
+∞
( )1,6A
（2） ，当 ，即 时， 取得最小值 ，得到答案.
【详解】解：（1）因为 （ 且 ）的图象经过点 ，
所以 .
因为 且 ，所以 ，
所以 的解析式为 或
（2）
当 ，即 时， 取得最小值
因为
所以 的值域为
【点睛】本题考查了函数的表达式和值域，属于常考题型.
18.已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求 ， ；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
21 15( ) 2 2 4
xf x = − +
12 2
x = 1x = − ( )f x 15
4
2( ) 2x xf x a a a= − + 0a > 1a ≠ ( )1,6A
2(1) 6f a a= + =
0a > 1a ≠ 2a =
( )f x ( ) 4 2 4x xf x = − + 2( ) 2 2 4x xf x = − +
21 15( ) 2 2 4
xf x = − +
12 2
x = 1x = − ( )f x 15
4
2 0x >
( )f x 15 ,4
+∞
( ) 3sin( )( ,| | )2f x x
πω ϕ ω ϕ= + > < ω ϕ 9 2 5f α = 5,3 6a π π ∈ sinα 2ω = 3 πϕ = − 3 4 3 10 +
（1）根据图像得到 ， ，代入点 得到 .
（2）由（1）知， ，代入数据化简得到 ，
， 代入数据得到答案.
【详解】解；（1）由图可知
故 ，则
又 的图象过点 ，则 ，得 .
而 ，所以
（2）由（1）知， ，则
则
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
.
【点睛】本题考查了三角函数图像，三角恒等变换，其中 是解题
的关键.
19.已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求 a 的取值范围.
πT = 2 2T
πω = = 5 ,312
π
3
πϕ = −
( ) 3sin 2 3f x x
π = −
3sin 3 5
πα − =
4cos 3 5
πα − = sin sin 3 3
π πα α = − +
3 5 3
4 12 3 4T
π π π = − − =
πT = 2 2T
πω = =
( )f x 5 ,312
π
5 312f
π =
5sin 16
+ =
π ϕ
| | 2
ϕ π< 3 πϕ = − ( ) 3sin 2 3f x x π = − 93sin2 3 5f α πα = − = 3sin 3 5 πα − = 5,3 6 π πα ∈ 0,3 2 π πα − ∈ 4cos 3 5 πα − = sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3 π π π π π πα α α α = − + = − + − 1 3 3 4 3 4 3 2 5 2 5 10 += × + × = sin sin 3 3 π πα α = − + ( ) e ( 0)axf x x a a= − >
( )y f x= (0, (0))f
( ) 0f x 2 0a > ( ) 0f x′ = 2ln ax a
= −
( ) 0f x′ > 2ln ax a
< − ( ) 0f x′ < 2ln ax a > −
( )f x 2ln( , )a
a
− +∞ 2ln( , )a
a
−∞ −
max
2ln 2ln 1( ) ( )a af x f a a
+= − = −
( ) 0f x < 2ln 1 0a a +− < 0a > 1
2ea
−>
1
2 )e( ,
− +∞
( ) 4sin cos 6g x x x
π = ⋅ + 0 2
πϕ ϕ < ≤
的图象.
（1）若 为偶函数， ，求 的取值范围.
（2）若 在 上是单调函数，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）化简得到 ，得到 ，根据偶函数
得到 ，化简得到 ，代入数据得到答案.
（2）计算 ，根据单调性得到 ，计
算得到答案.
【详解】解：（1）
∴
又 为偶函数，则 ，∵ ，∴
∴
∵ ，∴
又 ，∴ 的取值范围为 .
( )f x
( )f x tan 2α > ( )f α
( )f x 7, 6
ππ
ϕ
113, 5
− − ,6 2
π πϕ ∈
( ) 2sin 2 16g x x
π = + − ( ) 2sin 2 2 16f x x
π ϕ = + + −
6
π=ϕ 2
4( ) 31 tanf α α= −+
2 2 2 2 ,2 26 6 2x
π π πϕ π ϕ π ϕ + + ∈ + + + +
26 2
0 2
π πϕ
πϕ
+ ≥
< ≤ 3 1( ) 4sin cos sin 3sin 2 (1 cos2 ) 2sin 2 12 2 6g x x x x x x x π = − = − − = + − ( ) 2sin 2 2 16f x x π ϕ = + + − ( )f x 2 ( )6 2 k k π πϕ π+ = + ∈Z 0 2 πϕ< ≤ 6 π=ϕ ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 1 tan ( ) 2sin 2 1 2cos2 1 1 12 cos sin 1 tan x x x f x x x x x x π − − = + − = − = − = − + + tan 2α > 2 2
4 4 11( ) 3 31 tan 1 2 5f α α= − < − = −+ + 2 4( ) 3 31 tanf α α= − > −+ ( )f α 113, 5
− −
（2）∵ ，∴
∵ ，∴ ，
∵ 在 上是单调函数，∴
∴ .
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，单调性，取值范围，意在考查学生的计算能力和
对于三角函数公式性质的灵活运用.
21.已知函数 .
（1）求函数 在 上的零点之和；
（2）证明： 在 上只有 1 个极值点.
【答案】（1） （2）详见解析
【解析】
【分析】
（1） 得到 或 ，据此计算答案.
（2）求导设 ，则 ，判断函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，又 ， ，得到答案.
【详解】（1）解：令 ，得 或 ，
即 或 ，即 或
所以 在 上 零点之和为的
7, 6x
ππ ∈ 2 2 2 2 ,2 26 6 2x
π π πϕ π ϕ π ϕ + + ∈ + + + +
0 2
πϕ< ≤ 72 ,6 6 6 π π πϕ + ∈ 32 ,2 2 2 π π πϕ + ∈ ( )f x 7, 6 ππ 26 2 0 2 π πϕ πϕ + ≥ < ≤ ,6 2 π πϕ ∈ ( ) (1 sin )f x x x= − (π )f x ( )20,20− ( )f x 0, 2 π 10− ( ) (1 sin ) 0f x x xπ π π= − = 0x = 1 2 ( )2x k k= + ∈Z ( ) ( )g x f x′= ( ) sin 2cosg x x x x′ = − ( )g x ( )0,m , 2m π (0) 1 0g = > 02g
π =
( ) (1 sin ) 0f x x xπ π π= − = 0x = sin 1xπ =
0x = 2 ( )2x k k
ππ π= + ∈Z 0x = 1 2 ( )2x k k= + ∈Z
( )f xπ ( 20,20)−
（2）证明设 ， ，
， ，
当 时， ，则 为增函数.
因为 ， ，所以 ，
所以当 时， ；当 时， ，
从而 的 上单调递减，在 上单调递增
又 ， ，所以必存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ；当 时，
故 在 上只有 1 个极值点
【点睛】本题考查了函数的零点和极值点，综合性较强，其中灵活掌握隐零点的相关知识技
巧是解题的关键.
22.已知函数
（1）讨论 的单调性.
（2）若 存在两个极值点 ， ，证明： .
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）详见解析
【解析】
【分析】
39 37 2039 35 31 3 1 5 37 2 20 102 2 2 2 2 2 2 2
− + × − − − − − + + + + + = = −
( ) ( ) 1 sin cosg x f x x x x= −′ = − ( ) sin 2cosg x x x x′ = −
( ) ( )h x g x′= ( ) cos 3sinh x x x x′ = +
0, 2x
π ∈ ( ) 0h x′ > ( ) ( )h x g x′=
(0) 2 0g′ = − < 02 2g π π ′ = > 0, 2m
π ∃ ∈ ( ) 0g m′ =
(0, )x m∈ ( ) 0g x′ < , 2x m π ∈ ( ) 0g x′ >
( )g x ( )0,m , 2m
π
(0) 1 0g = > 02g
π = 0 0, 2x
π ∈
( )0 0g x =
( )00,x x∈ ( ) 0>g x 0, 2x x
π ∈ ( ) 0 a
( )p x
10 2a< < ( )f x 1 2 1x x a + = ( )2 1 1 2 1 2 2 2 1 12 ln 2 x x xa x xx x x − + > − 1
2
(0 1)xt tx
= < < ( )1 2 1( ) 0 2g t x x> > −
2 2 22 2( ) 1 a ax x af x ax x x
− +′ = − + = (0, )x∈ +∞
2 2( ) 2 ( 0)p x ax x a x= − + > 31 8a∆ = −
1
2a ≥ 0∆ ≤ ( ) 0p x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x (0, )+∞
10 2a< < > 0∆ ( )p x
3
1
1 1 8
2
ax a
− −=
3
2
1 1 8
2
ax a
+ −=
( )f x
31 1 80, 2
a
a
− −
31 1 8 ,2
a
a
+ − +∞
( )f x
3 31 1 8 1 1 8,2 2
a a
a a
− − + −
0a < > 0∆ ( )p x
31 1 8
2
a
a
− −
( )f x
31 1 80, 2
a
a
− −
31 1 8 ,2
a
a
− − +∞
10 2a< < ( )f x 1 20 x x< < 1 2 1x x a + = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1f x f x x x x x − < +− ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 x x x x x xf x f x x x x x − +− > = −
只需证
即证 ，
设 ，设函数 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 在 上单调递减，则
又 ，则 ，则
从而
【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，不等式的证明，其中通过换元可以简化运
算，是解题的关键，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
( ) ( ) ( )2 21 1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 1
1 12 2 ln 2 ln2 2
x x x xx x a x x a x x ax x x x
− + − + = − − + > −
( )2 1 1 2
1 2
2 2 1
12 ln 2
x x xa x xx x x
− + > −
1
2
(0 1)xt tx
= < < 2 1( ) 2 lng t a t t t = − + 2 2 2 2 1( ) t a tg t t − +′ = − 44 4 0a′∆ = − < 2 22 1 0t a t− + > ( ) 0g t′ < ( )g t (0,1) ( ) (1) 0g t g> =
( )1 2
1 02 x x− < ( )1 2 1( ) 0 2g t x x> > − ( )2 1 1 2
1 2
2 2 1
12 ln 2
x x xa x xx x x
− + > −
( ) ( )1 2
1 2 1 2
1 1f x f x
x x x x
− < +−
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