2019 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高三 10 月联考文科数学试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合 ，根据交集的定义即可求得结果.
【详解】 ，
，
所以 ，
故选 A.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目.
2.在平面直角坐标系中，点 是角 终边上的一点，若 ，则
( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据 的余弦值和正弦值的符号，判断出点 所属的象限，再根据三角函数的定义确
定出角的大小，得出结果.
【详解】因为 ，所以角 的终边落在第一象限，
并且根据角的三角函数值的定义， ，
{ } { }| 1 , | 2 0A y y x B x x= = + = − ≤ A B =
[ ]1,2 [ ]0,2 ( ],1−∞ [ )2,+∞
,A B
{ }| 1 [1, )A y y x= = + = +∞
{ }| 2 0 ( ,2]B x x= − ≤ = −∞
[1,2]A B =
2 2(cos ,sin )5 5P
π π α [0, )α π∈ α =
5
π 2
5
π 3
5
π 3
10
π
2
5
π P
2 2cos 0,sin 05 5
π π> > α
2 2(cos ,sin )5 5P
π π
结合 ，得出 ，
故选 B.
【点睛】该题考查的是有关根据角的终边上一点的坐标确定角的大小的问题，涉及到的知识
点有三角函数的定义，属于简单题目.
3.函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数 的单调增区间是 ，根据题意可得 ，从而
确定出 的范围.
【详解】因为函数 的单调增区间是 ，
又函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故选 B.
【点睛】该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增确定参数的取值范围的问题，属于
简单题目.
4.设 ，则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数与对数函数的图象与性质，即可得出 的大小关系.
[0, )α π∈ 2
5
α π=
| 2 |y x a= − [ 1, )− +∞ a
( , 1]−∞ − ( , 2]−∞ − ( ,1]−∞ ( ,2]−∞
| 2 |y x a= − [2
a + ∞， ） [ [1 2
a− + ∞ ⊆ + ∞， ） ， ）
a
| 2 |y x a= − [2
a + ∞， ）
| 2 |y x a= − [ 1, )− +∞
[ [1 2
a− + ∞ ⊆ + ∞， ） ， ）
12
a ≤ − 2a ≤ −
a ( , 2]−∞ −
0.1
3 23 , log 2, log 3a b c= = = , ,a b c
a b c< < a c b< < b c a< < c b a< < , ,a b c
【详解】因为 ，
，
，
所以 ，
故选 C.
【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数
和对数函数的性质，应用中介值比较，属于简单题目.
5.已知函数 满足 ，则 在点 处的切线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出函数的解析式，求出切点坐标，应用导数求出切线的斜率，然后由直线方程的点斜式
得 在点 处的切线方程.
【详解】由 得 ， ，
，即曲线在点 处的切线的斜率为： ，
所以 在点 处的切线方程为： ，
即 ，
故选 C.
【点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的求解问题，涉及到的知识点有导数
的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.
6.函数 的图象大致为( )
0.1 03 3 1a = > =
3 3
1log 2 log 3 2b = < = 2 2 1log 3 log 2 2c = > =
b c a< < ( )f x 2( 1)f x x x− = − ( )y f x= (1, (1))f 2 0x y+ − = 3 0x y− = 3 1 0x y− − = 2 0x y− = ( )y f x= (1, (1))f 2( 1)f x x x− = − 2 2( ) ( 1) ( 1)f x x x x x= + − + = + 2(1) 1 1 2f = + = '( ) 2 1, '(1) 3f x x f= + = (1,2) 3 ( )y f x= (1, (1))f 2 3( 1)y x− = − 3 1 0x y− − = ( ) ( )lnx xf x e e x−= +
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据题意，求出函数的定义域 ，分析可得 为偶函数，进而分析可得当 时，
，当 时， ，当 时， ，分析选项，从而选出正
确的结果.
【详解】根据题意，函数的定义域 ，
因为 ，所以 为偶函数，图象关于 轴对称，排除 B 项，
当 时， ，当 时， ，排除 选项，
当 时， ，所以 D 项是正确的，
故选 D.
【点睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题，在选择的过程中，注意从函数的定义域，
图象的对称性，函数值的符号，函数图象的变化趋势，属于简单题目.
7.给出下列三个命题
①命题 ，都有 ，则非 ，使得
②在 中，若 ，则角 与角 相等
③命题：“若 ，则 ”的逆否命题是假命题
以上正确的命题序号是( )
【
{ }| 0x x ≠ ( )f x 1x >
( ) 0f x > 0 1x< < ( ) 0f x < 0x → ( )f x → −∞ { }| 0x x ≠ ( ) ( )lnx xf x e e x−= + ( )f x y 1x > ( ) 0f x > 0 1x< < ( ) 0f x < ,A C 0x → ( )f x → −∞ :P x R∀ ∈ sin 1x ≤ 0:P x R∃ ∈ 0sin 1x >
ABC∆ sin 2 sin 2A B= A B
tan 3x =
3x
π=
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据命题的否定的形式可知其正确；
②根据三角形内角的关系以及两角正弦值相等的时候除了相等还可以互补从而得到两种结果，
所以错误；
③根据原命题和逆否命题等价可知其正确；
从而得到答案.
【详解】①根据命题的否定的形式可知，命题 ，都有 ，则非 ，
使得 ，所以是正确的；
②在 中，若 ，则有 2A=2B 或 2A+2B= ,所以角 与角 相等或互余，
所以错误；
③因为命题：“若 ，则 ”是假命题，所以其逆否命题是假命题，所以正确；
所以正确命题的序号是①③，
故选 C.
【点睛】该题考查的是有关命题真假的判断问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的
否定，三角函数公式，原命题和逆否命题等价，属于简单题目.
8.若奇函数 满足当 时， ，则不等式 成立
的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用 ，求出 ，确定 ，函数在 上单调递增，利用函数的单调性，即可求
出 的解集.
【详解】由题意， ，所以 ，
:P x R∀ ∈ sin 1x ≤ 0:P x R∃ ∈
0sin 1x >
ABC∆ sin 2 sin 2A B= π A B
tan 3x =
3x
π=
( )f x [0, )x∈ +∞ 2( ) log ( 2)f x x x b= + + + ( ) 3f x ≥
2x ≥ 3x ≥ 1x ≥ 3x < (0) 0f = b (2) 3f = R ( ) 3f x ≥ (0) 1 0f b= + = 1b = −
所以 ，所以 ，
函数在 上单调递增， ，
所以不等式 的解集为 ，
不等式 成立的一个充分不必要条件是 的真子集，
分析选项可得 满足条件，
故选 B.
【点睛】该题考查的是有关充分不必要条件的问题，涉及到的知识点有根据奇函数求参数值，
根据函数的单调性解不等式，充分不必要条件的定义，属于简单题目.
9.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公
式为：弧田面积 （弦×矢+矢 ），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式
中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为
，矢为 的弧田，按照上述方法计算出其面积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据在直角三角形的边角关系求出 ，以及弦长“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算
即可.
【详解】如图，
2( ) log ( 2) 1f x x x= + + − (2) 2 2 1 3f = + − =
R ( ) 3f x ≥
( ) 3f x ≥ [2, )+∞
( ) 3f x ≥ [2, )+∞
3x ≥
1
2
= × 2
2
3
π 2
2+4 3 13+ 2 2+8 3 4+8 3
AB
由题意可得 ，
在 中， ，所以 ，
结合题意可知矢 ，半径 ，
弦 ，
所以弧田面积 （弦 矢 矢 ） ，
故选 A.
【点睛】该题考查的是有关与数学文化相关的问题，涉及到的知识点有应用题中所给的条件
与公式解决相关的问题，在解题的过程中，注意对条件的正确转化，属于简单题目.
10.在 中， 是 的中点，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的加减运算和中线向量的表示，计算可得所求向量.
【详解】在 中， 为边 上的中线， 为 的中点，
所以
，
故选 D.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加减运算法则，以及向量
共线时的表示方法，再有就是中线向量的表示，属于简单题目.
11.已知函数 ，若 的零点都在 内，其中
均为整数，当 取最小值时，则 的值为( )
A. B. C. D.
2
3AOB π∠ =
Rt AOD∆ ,3 6AOD DAO
π π∠ = ∠ = 2OB OD=
2OB OD OD= − = = 4OB =
2 2 16 4 4 3AB AD= = − =
1
2
= × + 2 21 (4 3 2 2 ) 4 3 22
= × + = +
ABC∆ ,BD DC E= AD EB =
2 1
3 3AB AC− 2 1
3 3AB AC− +
3 1
4 4AB AC− + 3 1
4 4AB AC-
ABC∆ AD BC E AD
1
2EB AB AE AB AD= − = −
1 1 3 1( )2 2 4 4AB AB AC AB AC− × + = −
2 3
( ) 1 2 3
x xf x x= + − + ( ) ( 2020)h x f x= − ( , )a b ,a b
b a− b a+
4039 4037 1 1−
【答案】A
【解析】
【分析】
首先对函数求导，可以发现 恒成立，从而判断出函数 在 上单调
递增，从而函数 只有一个零点，结合函数图象的平移求得 的零点落
在区间 上，从而得到结果.
【详解】由 可得 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
所以函数 只有一个零点，
又 ，
所以函数 仅有的一个零点落在区间 上，
而 由 的图象向右平移 个单位，
所以函数 的零点落在区间 上，
根据题意可知 ，所以 ，
故选 A.
【点睛】该题考查的是有关函数的零点所在区间的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函
数的单调性，零点存在性定理得到函数零点所在的区间，属于简单题目.
12.已知函数 的最小正周期为 ，若 在 时所求函数
值中没有最小值，则实数 的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
2'( ) 1 0f x x x= − + > ( )f x R
( )f x ( ) ( 2020)h x f x= −
(2019,2020)
2 3
( ) 1 2 3
x xf x x= + − + 2'( ) 1 0f x x x= − + >
( )f x R
( )f x
1 1 5( 1) 1 1 0, (0) 1 02 3 6f f− = − − − = − < = >
( )f x ( 1,0)−
( ) ( 2020)h x f x= − ( )f x 2020
( ) ( 2020)h x f x= − (2019,2020)
2019, 2020a b= = 4039a b+ =
( ) sin( )6f x x
πω= + ( 0)>ω π ( )f x [0, )x t∈
t
0, 6
π
20, 3
π
5,3 6
π π
2,3 3
π π
【分析】
首先根据函数的最小正周期为 ，求得 ，根据函数在给定区间上没有最小值，结合函数
的图象，得出 ，从而求得结果.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 时所求函数值中没有最小值，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故选 D.
【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦函数的图象和性质，函
数的最小正周期以及函数的最值，属于简单题目.
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知向量 , ,若 ,则实数 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 得 ，化简求解即可.
【详解】 ，由 得
，得
【点睛】本题考查向量的四则运算，属于简单题.
π 2ω =
5 326 6 2t
ππ π< + ≤ ( ) sin( )6f x x πω= + ( 0)>ω π
2ω =
[0, )x t∈ 2 [ ,2 )6 6 6x t
π π π+ ∈ +
[0, )x t∈
5 326 6 2t
ππ π< + ≤ 2 3 3t π π< ≤ t 2( , ]3 3 π π (1,1)a = (2, )b m= ( )a a b⊥ − m = 0 ( )a a b⊥ − ( ) 0⋅ − = a a b ( 1,1 m)a b− = − − ( )a a b⊥ − ( ) 1 1a a b m⋅ − = − + − 0m= − = 0m =
14.已知函数 则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的分段函数的解析式，将自变量代入，依次代换，确定出自变量对应的函
数值，代入求解即可.
【详解】因为 ,
所以 ,
故答案是:1.
【点睛】该题考查的是有关分段函数的求值问题，在解题的过程中，注意对自变量进行转化，
注意对分段函数的解析式的正确理解，属于简单题目.
15.公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄
金分割值约为 ，这一数值也可以表示为 .若 ，则 ＝
____．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用余弦的倍角公式以及同角三角函数关系中的平方关系和正弦的倍角公式，对式子进
行化简，求得结果.
【详解】根据题中的条件可得：
2 , (0,2]
( ) 1 ( 1), (2 )2 2
xxf x xf x
∈=
− ∈ + ∞
(8)f =
1
2 , (0,2]
( ) 1 ( 1), (2 )2 2
xxf x xf x
∈=
− ∈ + ∞
1 1 1 1 2(8) (3) ( ) 112 4 2 4
2
f f f= = = ⋅ =
0.618 2sin18m = ° 2 4m n+ =
21 2cos 27
m n
− °
1
2
−
2 2
2
1 2cos 27 cos54
2sin18 2cos182sin1
1 2c
8 4 4sin 18
os 27
m n
− −= ⋅−
− ° =
，
故答案是： .
【点睛】该题考查的是有关三角函数的求值问题，涉及到的知识点有新定义，利用条件对式
子进行正确的变形是解题的关键.
16.定义 ，若 ，则使不等式
成立的 的取值范围是____
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用题中所给函数 条件，确定出函数的解析式，画出函数的图象，从图象中判断出自
变量离 1 越近，函数值越大，得到等价的不等式，求解即可得结果.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
画出函数图象如图所示：
的
sin36 1
2sin36 2
−= = −
1
2
−
min{ , }a b = ,
,
a a b
b a b
≤
>
{ }( ) min 1,3f x x x= + − (2 ) (2 )f x f x≤ −
x
( ] 2,0 ,3
−∞ +∞
min{ , }a b = ,
,
a a b
b a b
≤
>
{ }( ) min 1,3f x x x= + −
1, 1( ) 3 , 1
x xf x x x
+ ≤= − >
不等式 等价于如下不等式： ，
即 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 ，
即答案是： .
【点睛】该题考查的是有关利用函数值的大小确定自变量大小的问题，涉及到的知识点有新
函数的定义，在解题的过程中，注意应用函数的图象，解决利用函数值的大小得自变量大小
的问题，属于简单题目.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.已知 的内角 的对边分别为 满足 .
（1）求 .
（2）若 的面积 ，求 的周长.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）首先利用正弦定理对题中所给的式子进行变形，整理可求得 ，结合三角形内
角的取值范围，确定出角的大小；
（2）利用三角形的面积公式可求得 ，利用余弦定理得出边之间的关系，进一步求得
，结合题中所给的 ，进而求得三角形的周长.
【详解】（1）
由正弦定理可得： ，
，且 ，
（2）
又 ，
(2 ) (2 )f x f x≤ − 2 1 2 1x x− ≥ − −
2 1 1x x− ≥ − 0x ≤ 2
3x ≥
( ] 2,0 ,3
−∞ +∞
( ] 2,0 ,3
−∞ +∞
ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos 2
cos
C c b
A a a
+ =
A
ABC∆ 3 3, 3ABCS a∆ = = ABC∆
3A
π= 3 3 5+
1cos 2A =
12bc =
3 5b c+ = 3a =
cos 2
cos
C c b
A a a
+ =
cos sin 2sin
cos sin sin
C C B
A A A
+ = sin 2sin
cos sin sin
B B
A A A
∴ =
1cos 2A∴ = (0, )A π∈
3A
π∴ =
13 3 sin , 122ABCS bc A bc∆ = = ∴ =
2 2 2 2 cosa b c b A= + − 29 ( ) 3b c bc∴ = + −
即 的周长为
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，三角
形的面积等，属于简单题目.
18.如图，已知菱形 和矩形 ， 点 是 的中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）平面 平面 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用题中所给的条件，结合相关图形本身具备的特征，可证得 ，之后应用线
面平行的判定定理证得结果；
（2）有菱形的性质得到 ，结合面面垂直的性质可得 平面 ，从而确定
出棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.
【详解】（1） 为矩形， 是 中点
设 和 的交点为 ,连
为菱形， 为 的中点，
又 平面 平面
平面
（2） 为菱形，
又 平面 平面
平面
3 5b c∴ + =
ABC∆ 3 3 5+
ABCD ACEF 060 ,ABC∠ = 2,AB AF= = M EF
AM BDE
ABCD ⊥ ACEF D EFB−
4 33
/ /EO AM
BD AC⊥ BD ⊥ ACEF
ACEF M EF
AC BD O EO
ABCD O∴ AC //EO AM∴
EO ⊂ ,BDE AE ⊄ BDE
//AM∴ BDE
ABCD BD AC∴ ⊥
ABCD ⊥ ACEF
BD∴ ⊥ ACEF
1
3D EFB EFOV S BD− ∆∴ = ⋅
60 , 2ABC AB AF∠ = = =
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，椎体的体
积求解，在解题的过程中，对基础知识的灵活应用是正确解题的关键，属于简单题目.
19.湖北省第二届（荆州）园林博览会于 2019 年 9 月 28 日至 11 月 28 日在荆州园博园举办，
本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更
多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此博览会期间，某公司带来了一种智能
设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为 50 万元，
每生产一台需另投入 80 元，设该公司一年内生产该设备 万台，且全部售完，且每万台的销
售收入 （万元）与年产量 （万台）的函数关系式近似满足
（1）写出年利润 (万元)关于年产量 （万台）的函数解析式.（年利润 年销售收入
总成本）.
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润.
【答案】（1） （2）当年产量为 万台时，该公司获
得最大利润 1350 万元
【解析】
【分析】
（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；
（2）分段求出函数的最大值，比较可得结果.
【详解】（1）
（2）当 时, ,在 上单调递增
1 2 2 2 2 32EFOS BD∆∴ = × × = =，
1 42 2 3 33 3D EFBV −∴ = × × =
x
( )G x x
2
180 2 ,0 20
( ) 2000 900070 , 20.
x x
G x xx x
− < ≤= + − >
( )W x x = −
22 100 50,0 20
( ) 900010 1950, 20
x x x
W x
x xx
− + − < ≤= − − + >
30
( ) ( ) 80 50W x x G x x= ⋅ − −
22 100 50,0 20
( ) 900010 1950, 20
x x x
W x
x xx
− + − < ≤∴ = − − + >
0 20x< ≤ 2 2( ) 2 100 50 2( 25) 1200W x x x x= − + − = − − + ( ]0,20
时 取最大值
当 时
取“＝”）
综上所述当年产量为 万台时，该公司获得最大利润 1350 万元
【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数解析式的求解，函数的最
大值的求解，注意分段函数的最值的求法是分别求出每段上的最大值当中的较大者，属于简
单题目.
20.已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，当 时，证明： .
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）首先对函数求导，对式子进行因式分解，结合函数的定义域，对参数的范围进行讨论，
从而利用导数的符号确定出函数的单调区间；
（2）构造新函数 ，对函数求导，得到函数的单调性，
从而得到函数的最值，根据函数的最小值大于等于零，从而证得结果.
【详解】（1）
当 时， ，
当 时， ，
∴ 时， 在 上递减，在 递增
时， 在 上递增，在 递减
（2）设
则
， 时， ， 递减
,
20x∴ = ( )W x max( )W x = 2 25 1200 1150− × + =
20x > 9000( ) 1950 10W x x x
= − − 9001950 10( )x x
= − + 9001950 10 2 x x
≤ − ⋅ ⋅ 1350=
max( ) 1350( 30W x x∴ = =
30
2( ) ln ( 0, )a xf x x a a Rx a
= + + ≠ ∈
( )f x
1( ) 2a xg x x a a
= + − + 0a > ( ) ( )f x g x≥
1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a
= − = + + −
2 2
1 2 1 ( 2 )( )( ) a x a x af x x x a ax
+ −′ = − + =
0a > ( ) 0f x x a′ > ⇒ > ( ) 0 0f x x a′ < ⇒ < < 0a < ( ) 0 0 2f x x a′ > ⇒ < < − ( ) 0 2f x x a′ < ⇒ > −
0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞
0a < ( )f x (0, 2 )a− ( 2 , )a− +∞ 1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a = − = + + − 2 2 1( ) ( 0)a x aF x xx x x −′ = − = >
0a > (0, )x a∴ ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x
， 递增，
设 ， ,则
时， 时， 递增，
时， ， 递减
，
，即
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数
单调性，注意分类讨论思想的应用，应用导数证明不等式恒成立，注意构造新函数，结合最
值得到结果.
21.已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 是椭圆短轴的一个顶点，
并且 是面积为 的等腰直角三角形.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 相交于 两点，过 作与 轴垂直的直线 ，已知
点 ,问直线 与 的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请
说明理由.
【答案】（1） ；（2） 与 交点的横坐标为定值 2，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题中的条件，写出椭圆的焦点的坐标，利用等腰直角三角形的条件，得出 的
关系，从而求得其值，从而得出椭圆的方程，得到结果；
（2）设出直线与椭圆的两个交点的坐标，联立方程组，利用韦达定理得到
，写出直线 的方程： ，令 ，
整理得出其横坐标，从而证得其为定值，得到结果.
【详解】（1）由已知得 ，设
( , )x a∈ +∞ ( ) 0,F x′ > ( )F x 1( ) ( ) ln 1F x F a a a
∴ ≥ = + −
1( ) ln 1h x x x
= + − ( 0)x >
2 2
1 1 1( ) ( 0)xh x xx x x
−′ = − = >
1x > ( ) 0,h x′ > ( )h x
0 1x< < ( ) 0h x′ < ∴ ( )h x ( ) (1) 0h x h∴ ≥ = ( ) ( ) 0F a h a∴ = ≥ ( ) 0F x∴ ≥ ( ) ( )f x g x≥ 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 1 2,F F P
1 2PF F∆ 1
E
1 : 1l x my= + E ,M N M y 2l
3( ,0)2H NH 2l
2
2 12
x y+ = NH 2l
, ,a b c
1 2 1 22 2
2 1,2 2
my y y ym m
− −∴ + = =+ + HN
2
2
3( )3 2
2
yy x
x
= −
− 1y y=
1 2( ,0), ( ,0)F c F c− (0, )P b
是面积为 1 的等腰直角三角形，
椭圆 的方程为
（2）设
得
直线 的方程：
令
与 交点 横坐标为定值 2.
【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与
椭圆的交点问题，两直线的交点问题，属于中档题目.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程 .
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）直线 与曲线 交于 两点，点 ，求 的值.
的
1 2PF F∆ 1, 2b c a∴ = = =
E
2
2 12
x y+ =
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y
2
2
1
12
x my
x y
= + + =
2 2( 2) 2 1 0m y my+ + − =
1 2 1 22 2
2 1,2 2
my y y ym m
− −∴ + = =+ +
HN
2
2
3( )3 2
2
yy x
x
= −
−
1y y=
1 2 21 2 1 2 2 2
2 2 2
13 1 3 ( ) 2( ) ( )3 2 22 2 2
2
m y y yy x y my y mx y y y
− − + +− − + += + = =
22 2
2
22 2 2
m m ym m
y
− + ++ += =
∴ NH 2l
l
1 2
32 2
tx
y t
= +
= −
t
x C 4cosρ θ=
l C
l C A B、 (1 2)P ， PA PB+
【答案】（1） 的普通方程为： ； 的直角坐标方程为： ；
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三种方程的转化方法，求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）利用参数的几何意义，建立方程，即可求得 的值.
【详解】由 得
的普通方程为：
的极坐标方程是
，
的直角坐标方程为：
②将 的参数方程代入 的直角坐标方程
， 同号
.
【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有三种方程的转化方
法，直线参数方程中参数的几何意义，属于简单题目.
23.已知函数
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 有解，求实数 取值范围.
【答案】（1） （2）
的
l 3 2 3y x= − + + C 2 2 4 0x y x+ − =
2 3 1+
l C
PA PB+
1 2
32 2
tx
y t
= +
= −
2 3( 1)y x− = − −
∴ l 3 2 3y x= − + +
C 4cosρ θ=
2 4 cosρ ρ θ∴ = 2 2 4x y x∴ + =
∴ C 2 2 4 0x y x+ − =
l C
2 23(1 ) (2 ) 4(1 ) 02 2 2
t tt+ + − − + =
2 (2 3 1) 1 0t t∴ − + + =
1 2 1 21, 2 3 1t t t t∴ = + = + 1 2,t t∴
1 2 1 2| | | | | | | | | | 2 3 1PA PB t t t t∴ + = + = + = +
( ) 2 1 4f x x x= + + −
( ) 6f x ≤
2( ) 4 8f x x a a+ − < − a [ ]1,1− ( ), 1 (9, )−∞ − +∞
【解析】
【分析】
（1）对 去绝对值符号，然后分别解不等式即可
（2）不等式 有解，则只需 ，求出
的最小值，然后解不等式即可.
【详解】（1）由已知得
当 时，
当 时，
当 时， 舍
综上得 的解集为
（2）
有解
，
或
的取值范围是 .
【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对
值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.
( )f x
2( ) 4 8f x x a a+ − < − 2 min( ( ) 4 ) 8f x x a a+ − < − ( ) 4f x x+ − 13 3 2 1( ) 5 42 3 3 4 x x f x x x x x − + < − = + − ≤ ≤ − >
，
，
，
2
1x < − 3 3 6 1x x− + ≤ ⇒ ≥ − 11 2x∴− ≤ < − 1 42 x− ≤ ≤ 5 6 1x x+ ≤ ⇒ ≤ 1 12 x∴− ≤ ≤ 4x > 3 3 6 3x x− ≤ ⇒ ≤
( ) 6f x ≤ [ ]1,1−
( ) 4 2 1 2 8 9f x x x x+ − = + + − ≥
2( ) 4 8f x x a a+ − < − 2 8 9a a∴ − > ( 9)( 1) 0a a− + >
1a∴ < − 9a >
a∴ ( ), 1 (9, )−∞ − +∞
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