埠二中 2019-2020 学年第一学期期中考试
高一数学试题
一、单选题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.已知全集 ，集合 ， ，则如图所示的阴
影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先弄清楚阴影部分集合表示的含义，并解出集合 、 ，结合新定义求出阴影部分所表示的
集合。
【详解】由题意知，阴影部分区域表示的集合 ，
集合 ， ，
， ，
因此，阴影部分区域所表示的集合为 ，故选：C。
【点睛】本题考查集合的运算、集合的表示法以及集合中的新定义，考查二次不等式以及对
数不等式的解法，解题的关键就是要弄清楚 Venn 图表示的新集合的意义，在计算无限集之间
的运算时，可充分利用数轴来理解，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中等题。
2.下列函数中，是同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
U = R ( ){ }2 0A x x x= + < ( ){ }2log 1 1B x x= + ≤ ( )2,1− [ ] [ )1,0 1,2− ( 2, 1] [0,1]− − (0,1) A B { }S x x A B x A B= ∈ ∪ ∉ ∩且 ( ){ } { }2 0 2 0A x x x x x= + < = − < < ( ){ } { }2log 1 1 1 1B x x x x= + ≤ = − < ≤ ( ]2,1A B = − ( )1,0A B = − ( ] [ ]2, 1 0,1S = − − y x= 2y x= 2y x= | |y x x= ( 1)( 3) 1 x xy x − += − 3y x= + 2 1y x= + 2 1y t= +
【解析】
逐一考查所给函数的性质：
A． 与函数 对应关系不一致，不是同一个函数；
B．两函数的对应关系不一致，不是同一个函数；
C．函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 R，不是同一个
函数；
D．函数 与 定义域和对应关系都相同，是同一个函数.
本题选择 D 选项.
点睛：判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相
同(注意解析式可以等价化简).
3.下列函数中，满足“ ”的单调递增函数是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
举出反例可知选项 A,D 错误，由函数的单调性可知选项 C 错误，据此即可确定满足题意的函
数.
【详解】逐一考查所给的函数：
对于 A 选项，取 ，则 ，不满足题中的条件，
舍去；
对于 B 选项， ，且函数 单调递增，满
足题中的条件；
对于 C 选项，函数 单调递减，不满足题中的条件，舍去；
【
2y x x= = y x=
( )( )1 3
1
x xy x
− += −
{ }| 1x x ≠ 3y x= +
2 1y x= + 2 1y t= +
( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ⋅
( ) 1
2f x x= ( ) 2xf x = ( ) 1
2
x
f x =
( ) 2logf x x=
2, 4x y= = ( ) ( ) ( )6, 2 2f x y f x f y+ = =
( ) ( ) ( )2 , 2 2 2x y x y x yf x y f x f y+ ++ = = ⋅ = ( ) 2xf x =
( ) 1
2
x
f x =
对于 D 选项，取 ，则 ，不满足题中的条件，舍
去；
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的递推关系等知识，意在考查学生的转化能力和
计算求解能力.
4.对数函数 且 与二次函数 在同一坐标系内的图象可
能是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，
得到答案.
【详解】由题意，若 ，则 在 上单调递减，
又由函数 开口向下，其图象的对称轴 在 轴左侧，排除 C，D.
若 ，则 在 上是增函数，
函数 图象开口向上，且对称轴 在 轴右侧，
因此 B 项不正确，只有选项 A 满足.
【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对
数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题
的能力，属于基础题.
2, 4x y= = ( ) ( ) ( )2log 6, 2f x y f x f y+ = =
log ( 0ay x a= > 1)a ≠ 2( 1)y a x x= − −
0 1a< < logay x= (0, )+∞ 2( 1)y a x x= − − 1 2( 1)x a = − y 1a > logay x= (0, )+∞
2( 1)y a x x= − − 1
2( 1)x a
= − y
5.若函数 y＝ (a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则 loga ＋loga ＝( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先分析得到 a＞1，再求出 a=2,再利用对数的运算求值得解.
【详解】由题意可得 a－ax≥0，ax≤a，定义域为[0，1]，
所以 a>1，
y＝ 在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，
所以 f(0)＝ ＝1，f(1)＝0，
所以 a＝2，
所 loga ＋loga ＝log2 ＋log2 ＝log28＝3.
故选：C
【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平，属于基础题.
6.已知函数 满足对任意的实数 都有
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
对任意的实数 ，都有 成立，可得函数图象上任意两点连线的斜率
小于 0，即函数为减函数，可得： ，解得 ，故选 D.
点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及对数函数的性质的应用，考查基本知识
的应用；要使分段函数单调递减，必须满足左段单调递减，右段单调递减，同时最容易遗漏
xa a− 5
6
48
5
xa a−
1a −
5
6
48
5
5
6
48
5
(2 1) 4 , 1( ) log , 1a
a x a xf x x x
− + c a b> >
3 3
1log log 9.1 210
− > >
0.82 2< ( )f x ( ) ( )0.8 3 3 1log log 9.1 210f f f − < > = 0.82 2< 0.8 3 3 1log log 9.1 210 − > >
( )f x R ( ) ( )0.8
3 3
1log log 9.1 210f f f ∴ − <
C
键是能够通过函数得单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系.
10.已知函数 ，则方程 的根的个数为（ ）
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
令 ，先求出方程 的三个根 ， ， ，然后分别作出
直线 ， ， 与函数 的图象，得出交点的总数即为所求结果.
【详解】令 ，先解方程 .
（1）当 时，则 ，得 ；
（2）当 时，则 ，即 ，解得 ， .
如下图所示：
直线 ， ， 与函数 的交点个数为 、 、 ，
所以，方程 的根的个数为 ，故选：A.
【点睛】本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求
出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考
2 1, 1( ) | ln( 1) , 1
x xf x x x
− ≤= −
( ( )) 1f f x =
( )u f x= ( ) 1f u = 1 1u = 2
11u e
= + 3 1u e= +
1u = 11u e
= + 1u e= + ( )u f x=
( )u f x= ( ) 1f u =
1u ≤ ( ) 2 1 1f u u= − = 1 1u =
1u > ( ) ( )ln 1 1f u u= − = ( )ln 1 1u − = ± 2
11u e
= + 3 1u e= +
1u = 11u e
= + 1u e= + ( )u f x= 3 2 2
( ) 1f f x = 3 2 2 7+ + =
查数形结合思想，属于难题。
11.设定义在区间 上的函数 是奇函数（ ， ，且 ），则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意 ，所以 ，
，因为 ，所以 ，由 得 ，所以 ， ，
故选 A．
考点：函数的奇偶性．
【名师点晴】已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利
用 f（x）±f（－x）＝0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．
12.已知函数 ，若函数 有 个零点，则实数 的
取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出函数 图像，将 的零点问题转化为 与 有 个交点问题来解决，
画出图像，根据图像确定 的取值范围.
【 详 解 】 当 时 ， ， 所 以
，当 时， ，所
以 ， 当 时 ， ， 所 以
的
( ),b b− ( ) 1lg1 2
axf x x
+= − a Rb∈ 2a ≠ − ba
(1, 2 (0, 2 ( )1, 2 ( )0, 2
2 2
2
1 1 1( ) ( ) lg lg lg 01 2 1 2 1 4
ax ax a xf x f x x x x
+ − −+ − = + = =− + −
2 2
2
1 11 4
a x
x
− =−
2 4a = 2a ≠ − 2a = 1 2 01 2
x
x
+ >−
1 1
2 2x− < < 10 2b< ≤ 1 21 2ba< ≤ 2 2 1 , 2 ( ) 1 ( 2), 23 x x f x f x x − − > >
| |
am a
= b
b
c
c 1 1 1 1 4abc
abc
= + + + =
, ,a b c a 0,b 0,c 0< > >
| |
am a
= b
b
c
c 1 1 1 1 0abc
abc
= − + + − =
, ,a b c 0, 0, 0a b c< < >
| |
am a
= b
b
c
c 1 1 1 1 0abc
abc
= − − + + =
0, 0, 0a b c< < < | | am a = b b c c 1 1 1 1 4abc abc = − − − − = −
所以 的所有值组成的集合为
【点睛】本题主要考查了集合的运算与集合的表示，其中解答中分别根据 的正负，分类
讨论，求得 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15.已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且它们在
上的图象如图所示，则不等式 在 上的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】
不等式 的解集，与 f（x） g(x) 0 且 g（x） 0 的解集相同，观察图象选择函数值
同号的部分，再由 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到 f（x） g（x）是奇函数，从而
求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.
【详解】将不等式 转化为 f（x） g(x) 0 且 g（x） 0，
如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]
∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数∴f（x） g（x）是奇函数,
故在 y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2] (-1,0)
故不等式 在 上的解集是(-3,-2] (-1,0) （1,2]
【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论
等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.
16.已知函数 定义域为 ，若满足① 在 内是单调函数； 存在 使
m }{ 4,0,4−
, ,a b c
m
( ) ( ),y f x y g x= = [ ]3,3− [ ]0,3
( )
( ) 0f x
g x
≥ [ ]3,3−
( ] ( ) ( ]3, 2 1,0 1,2− − ∪ − ∪
( )
( )
f x 0g x
≥ ⋅ ≥ ≠
⋅
( )
( )
f x 0g x
≥ ⋅ ≥ ≠
⋅
( )
( ) 0f x
g x
≥ [ ]3,3−
( )f x D ( )f x D [ ],a b D⊆
在 上的值域为 ，那么就称 为“半保值函数”，若函数
且 是“半保值函数”，则 的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据半保值函数的定义,将问题转化为 与 的图象有两个不同的交点，
即 有两个不同的根,换元后转化为二次方程的实根的分布可解得.
【详解】因为函数 且 是“半保值函数”，且定义域为 ，
由 时， 在 上单调递增， 在 单调递增，
可得 为 上的增函数；
同样当 时， 仍为 上的增函数，
在其定义域 内为增函数，
因为函数 且 是“半保值函数”，
所以 与 的图象有两个不同的交点，
所以 有两个不同的根，
即 有两个不同的根,
即 有两个不同的根,
可令 ， ，
即有 有两个不同的正数根，
可得 ，且 ，
解得 .
【点睛】本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“半保值函数”，解题时要认真
审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
( )f x [ ],a b ,2 2
a b
( )y f x=
( ) ( )2 ( 0x
af x log a t a= + > 1)a ≠ t
1 1( ,0) (0, )2 2
−
( )2x
ay log a t= + 1
2y x=
1
22 0xxa a t− + =
( ) ( )2 ( 0x
af x log a t a= + > 1)a ≠ R
1a > 2xz a t= + R ay log z= (0, )+∞
( )f x R
0 1a< < ( )f x R ( )f x∴ R ( ) ( )2 ( 0x af x log a t a= + > 1)a ≠
( )2x
ay log a t= + 1
2y x=
( )2 1
2
x
alog a t x+ =
1
2 2 xxa t a+ =
1
22 0xxa a t− + =
1
2 x
u a= 0u >
2 2 0u u t− + =
21 4 0t− > 2 0t >
t ∈ 1 1( ,0) (0, )2 2
−
三、解答题（共 6 小题共 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算：（1） ；
（2） .
【答案】（1）－3；（2） ．
【解析】
试题分析：
试题解析：
（1）原式 ；
(2)
18.已知全集为 ，函数 的定义域为集合 ，集合 .
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）通过解不等式求得集合 再求交集 ；（2）根据集合的
子集关系求参数的范围.注意讨论空集的情况.
试题解析：（1）由 得， 函数 的定义域 ,又 ，
得 ， .
（2） ,①当 时，满足要求， 此时 ， 得 ;②当
1
3 0 43 21 1( 4) ( ) 0.25 ( )2 2
−−− − + ×
2 3
1 lg 25 lg 2 lg 0.1 log 9 log 22
+ − − ×
1
2
−
( )414 1 2 32
= − − + × = −
1 1
22 2
2 3lg 25 lg 2 lg10 log 3 log 2
−= + − − ×
1 1
32 2
3
3
log 3lg 25 2 10 2 log 2log 2
= × × − ×
3
2 3 1lg10 2 22 2
= − = − = −
R ( ) 1
1f x x
= − A ( ){ }| 1 2B x x x= − ≥
A B
{ } ( )|1 , RC x m x m C C B= − < ≤ ⊆ m { }/ 2A B x x∩ = ≥ ( ),2−∞ , .A B { }2A B x x∩ = ≥ 1 0x − > ( )f x { / 1}A x x= > 2 2 0x x− − ≥
{ }/ 2 1B x x x= ≥ ≤ −或 { }/ 2A B x x∴ ∩ = ≥
{ / 1 2}C x x⊆ − <
( )2 (2 1) (1 2 )f kx f x f x> − − = −
( )f x R 2 1 2kx x< − 1 ,32x ∈ 2 1 2xk x −< 2 2 1 2 1 1( ) 2( ) xg x x x x −= = − ⋅ 1t x = 1,23t ∈ 2( ) 2h t t t= − 1,23t ∈ min min( ) ( ) (1) 1g x h t h= = = − 1k < − k ( , 1)−∞ − 2km 2km 2km /km 10km 50% 1.9 (1 50%) 2.85× + = /km 0 20x< ≤ ( )f x x km 16km 8km
【答案】（1） （2）换乘更省钱
【解析】
【分析】
（1）仔细审题，由题意即可列出乘客搭乘一次出租车的费用 f（x）（元）表示为行程 x 的分
段函数．（2）求出只乘一辆车的车费，换乘 2 辆车的车费，通过比较即可得到结论.
【详解】解：（1）由题意得车费 关于路程 x 的函数为：
（2）只乘一辆车的车费为：
换乘 2 辆车 车费为：
40.3＞38.8
该乘客换乘比只乘一辆车更省钱。
【点睛】本题考查分段函数在生产实际中的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐
含条件，合理地进行等价转化．
22.已知函数 满足 ．
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）若关于 x 的方程 的解集中有且只有一个元素，求 a 的取值范围
（Ⅲ）设 ，若对 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超
过 1，求 a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） 或 ；（Ⅲ） .
【解析】
的
8 (0 2)
( ) 4.2 1.9 (2 10)
2.85 5.3(10 20)
x
f x x x
x x
< ≤ = + < ≤ − < ≤ ( )f x ( ) ( ) ( ) 8 (0 2) 8 1.9 2 (2 10) 8 1.9 8 2.85 10 (10 20) x f x x x x x < ≤ = + − < ≤ + × + × − < ≤ ( ) 8 (0 2) 4.2 1.9 (2 10) 2.85 5.3(10 20) x f x x x x x < ≤ = + < ≤ − < ≤ ( ) 2.875 16 5.3 40.3(f x = × − = 元） ( ) ( )2 8 2 4.2 1.9 8 38.8f = + × = （元） ∴ ( )f x 2 2( ) log log ( 1)f x x ax+ = + 1a = ( ) 1f x >
1
2
( ) 2logf x x=
0a > 1 3,2 2t ∀ ∈ ( )f x [ 1]t t +，
{ | 0 1}x x< < 0a ≥ 1 4a = − 2[ ).3 + ∞，
【分析】
（Ⅰ）当 时 等价于 解出即可。
（Ⅱ） 解集中有且只有一个元素，等价于 有且仅有一正解的
问题。
（Ⅲ）当 时， ， 所以 在
上单调递减函数， 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，
，即转化成 对任意
恒成立的问题。
【详解】（Ⅰ）由题意可得 ，得 ，解得 。
（Ⅱ）方程有且仅有一解， 等价于 有且仅有一正解，
当 时， 符合题意；
当 时， ，此时方程有一正、一负根，满足题意，
当 时，要使得 有且仅有一正解，则： ，
解得： ，则方程的解为 ，满足题意。
综上， 或
（Ⅲ）当 时， ，
所以 在 上单调递减
函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ，
的
1a = ( ) 1f x > 2
0
1log ( 1) 1
1 0
x
x
x
>
+ >
+ >
1
2
( ) 2logf x x= 2 1 0ax x+ − =
1 20 x x< < 1 2 1 1a ax x + > + 2 2
1 2
1 1log ( ) log ( )a ax x
+ > + ( )f x (0 )+ ∞，
( )f x [ 1]t t +， ( )f t ( 1)f t +
2 2
1 1( ) ( 1) log ( ) log ( ) 11f t f t a at t
− + = + − + ≤+
2 ( 1) 1 0at a t+ + − ≥
1 2[ , ]2 3t ∈
2
0
1log ( 1) 1
1 0
x
x
x
>
+ >
+ >
1 1 2x
+ > { | 0 1}x x< < 2 1 0ax x+ − = 0a = 1x = 0a > 1 4 0a∆ = + > ， 1 2
1 0x x a
⋅ = − < 0a < 2 1 0ax x+ − = 1 4 0a∆ = + = 1 4a = − 2x = 0a ≥ 1 4a = − 1 20 x x< < 1 2 1 1a ax x + > + 2 2
1 2
1 1log ( ) log ( )a ax x
+ > +
( )f x (0 )+ ∞，
( )f x [ 1]t t +， ( )f t ( 1)f t +
即 对任意 恒成立，
因为 ， 所以函数 在区间 上单调递增，
所以 时，y 有最小值 ，
由 ，得
故 的取值范围为
【点睛】本题主要考查了解对数不等式、方程解的根的个数问题以及复合函数的单调性与最
值的问题，其中解对数不等式主要注意两点一是真数大于 0。二是对数函数的单调性。方程的
根的个数问题一般转化成一元二次方程根的问题或函数图像交点的问题。复合函数单调性：
同增异减。
2 2
1 1( ) ( 1) log ( ) log ( ) 11f t f t a at t
− + = + − + ≤+
2 ( 1) 1 0at a t+ + − ≥ 1 2[ , ]2 3t ∈
0a > 2 ( 1) 1y at a t= + + − 1 2[ , ]2 3
1
2t = 3 1
4 2a −
3 1 04 2a − ≥ 2
3a ≥
a 2[ ).3
+ ∞，
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