广东省江门市2020年高考模拟考试数学（文科）试题（含答案）

江门市 2020 年高考模拟考试 数学（文科） 本试卷 4 页，23 题，满分 150 分，测试用时 120 分钟． 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将 自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．用 2B 铅笔将试卷类型 填涂在答题卡相应位置上． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答案不能答在试卷 上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使 用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷与答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 퐴 = {1，2}，퐵 = {2，3}，P = 퐴 ∩ 퐵，则 P 的子集共有 A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个 2．i 是虚数单位，复平面内表示 i(1 + 2i) 的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．学校有 3 个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各 个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为 A．1 2 B．1 3 C．1 4 D．1 6 4．数列 {푎푛} 中，푎1 = 2，푎2 = 3，∀푛 ∈ N+，푎푛+2 = 푎푛+1 ― 푎푛，则 푎2020 = A．1 B．5 C． ―2 D． ―3 5．执行右面的程序框图，如果输出的 푦 的值是 1， 则输入的 푥 的值是 A．2 3 B．2 C．2 3 或 2 D．以上都不是 6．直角坐标系 푥푂푦 中，点 P(cos훼，sinα) 在直线 푦 = ― 2푥 上，则 cos (2훼 + 휋 2) = A．4 5 B． ― 4 5 C．3 5 D． ― 3 5 7．已知 푎 = ln3，푏 = sin3、푐 = 푒―1 3，则 保密★启用前 试卷类型：AA．푎 < 푏 < 푐 B．푐 < 푎 < 푏 C．푐 < 푏 < 푎 D．푏 < 푐 < 푎 8．퐴퐵퐶 ― 퐴1퐵1퐶1 是正三棱柱，若 퐴퐵 = 1，퐴퐵1 ⊥ 퐵퐶1，则 퐴퐴1 = A． 2 B． 2 2 C． 3 D． 3 3 9．经过抛物线 푦2 = 2푝푥（푝 > 0）的焦点且倾斜角为 π 4 的直线与抛物线相交于 퐴、퐵 两 点，若 |퐴퐵| = 1，则 푝 = A．1 B．1 2 C．1 3 D．1 4 10．给出下列结论：⑴某学校从编号依次为 001，002，…，900 的 900 个学生中用系 统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为 053，098，则 样本中最大的编号为 862． ⑵甲组 5 个数据的方差为 5，乙组数据为 5、6、9、10、5，那么这两组数据中较 稳定的是甲． ⑶若两个变量的线性相关性越强，则相关系数 푟 的值越接近于 1． ⑷对 A、B、C 三种个体按 3∶1∶2 的比例进行分层抽样调查，若抽取的 A 种个体 有 15 个，则样本容量为 30． 其中，正确结论的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 11．直角坐标系 푥푂푦 中，双曲线 푥2 4 ― 푦2 12 = 1 的左焦点为 퐹，퐴(1，4)，P 是右支上的动 点，则 |푃퐹| + |푃퐴| 的最小值是 A．8 B．9 C．10 D．12 12．已知函数 푓(푥) = |ln푥|，若 0 < 푎 < 푏，且 푓(푎) = 푓(푏)，则 2푎 + 푏 的取值范围是 A．[3， +∞) B．(3， +∞) C．[2 2， +∞) D．(2 2， +∞) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 ~ 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 ~ 23 题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分． 13．{푎푛} 是等比数列，若 푎1 = 2，푎2 = 1，则数列 {푎푛} 的前 푛 项和 푆푛 = ． 14．퐴퐵퐶퐷 是边长为 1 的正方形，퐸、퐹 分别是 퐵퐶、퐶퐷 的中点，则 퐴퐸 ∙ 퐴퐹 = ． 15．设 푥，푦 满足{푥2 + 푦2 ≤ 5, 푥 ≥ 1， 푦 ≥ 0. 则 푧 = 2푥 + 푦 的取值范围是 ．（用区间表示）16．函数 푓(푥) = 푥2 + (sin푥 + cos푥)2 푥2 + 1 的最大值为 푀，最小值为 푚，则 푀 + 푚 = ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 某贫困地区的 1500 户居民中，平原地区 1050 户，山区 450 户．在 2020 年脱贫 攻坚战中，为更好实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法收集该地区 150 户家庭 2019 年年收入数据（单位：万元）． （1）山区家庭的数据应收集多少户？ （2）根据这 150 个样本数据，得到 2019 年家庭收入的频率分布直方图如下，其 中样本数据分组区间为 (0，0.5]，(0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5， 3]．如果将频率视作概率，估计该 地区 2019 年家庭收入超过 1.5 万元 的概率； （3）样本数 据中，有 5 户山 区家庭的年收入 超过 2 万元，请 完 成 2019 年 家 庭收入与地区的 列联表，并判断是 否有 90％的把握 认 为 “ 该 地 区 2019 年家庭年收 入 与 地 区 有 关”？ 附：퐾2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)． 超过 2 万元 不超过 2 万元 总计 平原地区 山区 5 总计 푃(퐾2 ≥ 푘) 0.10 0.05 0.01 푘 2.706 3.841 6.63518．（本小题满分 12 分） △퐴퐵퐶 的角 퐴、퐵、퐶 的对边为 푎、푏、푐，已知 푎、푏、푐 成等差数列，cos퐴 = 7 8． （1）若 푎 = 1，求 푐； （2）若△퐴퐵퐶 的周长为 18，求△퐴퐵퐶 的面积 푆． 19．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 푂 ― 퐴퐵퐶퐷 的底面是边长为 1 的菱形，푂퐴 = 2，∠퐴퐵퐶 = 60°， 푂퐴 ⊥ 平面퐴퐵퐶퐷，푀、푁 分别是 푂퐴、퐵퐶 的中点． （1）求证：直线 푀푁//平面푂퐶퐷； （2）求点 푀 到平面 푂퐶퐷 的距离． 20．（本小题满分 12 分） 直角坐标系 푥푂푦 中，椭圆 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1（푎 > 푏 > 0）的短轴长为 2 2，离心率为 6 3 ． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为 1 且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于 P1、P2 两点，P 是椭圆上任意 一点，若 푂P = 휆푂P1 +휇푂P2（휆，휇 ∈ 푅），证明：휆2 + 휇2 为定值． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 푓(푥) = ln푥 ― 푒푥―2，푥 > 0． （1）求函数 푦 = 푓(푥) 的图象在点 푥 = 2 处的切线方程； （2）求证：푓(푥) < 0． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 퐶1的参数方程为 { 푥 = 푡 + 1 푡, 푦 = 2(푡 ― 1 푡). （푡 为参数），以坐标原点푂为极点，푥轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 퐶2的极坐标方程为 휌 = 16cos휃． 퐴 퐷 퐶퐵 푂 푀 푁（1）把曲线 퐶2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求 퐶1与 퐶2交点的直角坐标． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 푓(푥) = |푥 + 2 푎| + |푥 ― 푎|，푎 是非零常数． （1）若 푎 = 1，求不等式 푓(푥) ≤ 5 的解集； （2）若 푎 < 0，求证：푓(푥) ≥ 2 2． 参考答案 一、选择题 ABBC CADB DCBC 二、填空题 13. 4 - 22-푛（直接代公式，没有化简也可）； 14. 1； 15.[2，5]（端点值各 1 分，区间符号各 1 分，其他 1 分）； 16. 2． 三、解答题 17.解：（1）样本占总体的比例为 150 1500 = 0.1，450 × 0.1 = 45。 故（答）应收集45户山区家庭的样本数据 …………3 分 （两个算式各 1 分，若两算式合并为 150 1500 × 450 = 45，则算式与结果各 1 分；文 字说明或结论 1 分） （2）由直方 图，估计该地区 2019 年家庭年收 入超过 1.5 万元 的概率为 (0.500 + 0.300 + 0.100) × 0.5 = 0.45 …………6 分 （文字说明、列式、结果各 1 分） （3）样本数据中，年收入超过 2 万元的户数为 (0.300 + 0.100) × 0.5 × 150 = 30（户） …………7 分 而样本数据中，有 5 户山区家庭的年收入超过 2 万元，故列联表如下： （所填数据正确个数大于 4 个给 1 分，全对 2 分）…………9 分 超过 2 万元 不超过 2 万元 总计 平原地区 25 80 105 山区 5 40 45 总计 30 120 150由表得：퐾2 = 150 × (25 × 40 ― 5 × 80)2 30 × 120 × 105 × 45 = 200 63 ≈ 3.175 > 2.706 …………11 分 （列式、结果各 1 分） ∴有 90％的把握认为“该地区 2019 年家庭年收入与地区有关” …………12 分 18.解：（1）依题意，푏 = 1 + 푐 2 …………1 分 由余弦定理得，cos퐴 = 푏2 + 푐2 ― 푎2 2푏푐 = (1 + 푐)2 + 4푐2 ― 4 4푐(1 + 푐) = 7 8 …………3 分 （公式 1 分、其他 1 分） 即 푐2 ―푐 ― 2 = 0 …………5 分 解得 푐 = 2 或 푐 = ―1，舍去负值得，푐 = 2 …………6 分 （2）（方法一）依题意，푎 + 푐 = 2푏，푎 + 푏 + 푐 = 18 …………7 分 所以 푏 = 6，푎 = 12 ― 푐 …………8 分 由余弦定理得，cos퐴 = 푏2 + 푐2 ― 푎2 2푏푐 = 62 + 푐2 ― (12 ― 푐)2 12푐 = 7 8 …………9 分 解得 푐 = 8 …………10 分 由 cos퐴 = 7 8 且 0 < 퐴 < 휋 得，sin퐴 = 15 8 …………11 分 △퐴퐵퐶 的面积 푆 = 1 2푏푐sin퐴 = 3 15 …………12 分 （方法二）由条件可得，△퐴퐵퐶 的三边长之比为 푎 ∶ 푏 ∶ 푐 = 1 ∶ 3 2 ∶ 2 = 2 ∶ 3 ∶ 4 …………8 分 由푎 + 푏 + 푐 = 18得푏 = 6，푐 = 8 …………10 分 由 cos퐴 = 7 8且0 < 퐴 < 휋得，sin퐴 = 15 8 …………11 分 △퐴퐵퐶 的面积 푆 = 1 2푏푐sin퐴 = 3 15 …………12 分 19.解：（1）取 푂퐷 的中点 P，连接 P퐶、P푀 …………1 分 因为 푀、푁 分别是 푂퐴、퐵퐶 的中点，所以 P푀 ∥ 퐴퐷，且 P푀 = 1 2퐴퐷；푁퐶 ∥ 퐴퐷，且 푁퐶 = 1 2퐴퐷 …………3 分 所以 P푀 ∥ 푁퐶，且 P푀 = 푁퐶， P푀푁퐶 是平行四边形，푀푁 ∥ P퐶 …………4 分 因为 P퐶 ⊂ 平面푂퐶퐷，푀푁⊄平面푂퐶퐷，所以直线 푀푁//平面푂퐶퐷 …………6 分 （“因为”、“所以”各 1 分） （2）连接 푂푁、푁퐷，设点 푀 到平面 푂퐶퐷 的距离为 푑，由（1）得，点 푁 到平面 푂퐶퐷 的距离为 푑 …………7 分 设三棱锥 푂 ― 퐶퐷푁 的体积为 푉，则 푉 = 1 3 × 푆△퐶퐷푁 × 푂퐴 = 1 3 × 푆△푂퐶퐷 × 푑 …………8 分依题意，푆△퐶퐷푁 = 1 2 × 퐶퐷 × 퐶푁 × sin∠퐵퐶퐷＝ 3 8 …………9 分 퐴퐶 = 퐴퐷 = 퐶퐷 = 1，푂퐶 = 푂퐷 = 5，푆△푂퐶퐷 = 1 2 × 퐶퐷 × 5 - 1 4 = 19 4 … … … … 11 分 由1 3 × 3 8 × 2 = 1 3 × 19 4 × 푑得，点 푀 到平面 푂퐶퐷 的距离 푑 = 57 19 …………12 分 20.解：（1）依题意，2푏 = 2 2，푒 = 푐 푎 = 푎2 ― 푏2 푎 = 6 3 …………2 分 解得 푏 = 2，푎 = 6，椭圆的方程为 푥2 6 + 푦2 2 = 1 …………4 分 （푎、푏 任何一个正确 1 分、其他 1 分） （2）푐 = 푎2 ― 푏2 = 2，直线 P1P2 的方程为 푦 = 푥 ― 2 …………5 分 由{푥2 6 + 푦2 2 = 1 푦 = 푥 ― 2 得，2푥2 ― 6푥 + 3 = 0 …………6 分 设 P1(푥1，푦1)、P2(푥2，푦2)、P(푥0，푦0)，则 푥1 + 푥2 = 3，푥1푥2 = 3 2 ………7 分 由 푂P = 휆푂P1 +휇푂P2 得 푥0 = 휆푥1 +휇푥2，푦0 = 휆푦1 +휇푦2 …………8 分 因为 P、P1、P2 都在椭圆上，所以 푥푖 2 +3푦푖 2 ―6 = 0，푖 = 0，1，2 6 = 푥0 2 +3푦0 2 = (휆푥1 + 휇푥2)2 +3(휆푦1 + 휇푦2)2 …………9 分 = 휆2(푥1 2 + 3푦1 2) + 휇2(푥2 2 + 3푦2 2) + 2휆휇(푥1푥2 + 3푦1푦2) …………10 分 = 6휆2 +6휇2 + 3휆휇(1 + 2푦1푦2) …………11 分 푦1푦2 = (푥1 ― 2)(푥2 ― 2) = 푥1푥2 ― 2(푥1 + 푥2) + 4 = 3 2 ― 6 + 4 = ― 1 2， 所以，6휆2 +6휇2 = 6，휆2 + 휇2 = 1 是定值 …………12 分 （若只取特殊点如 P = P1得到휆2 + 휇2 = 1，给 1 分） 21.解：（1）푓(푥) = ln푥 ― 푒푥 푒2，푓/(푥) = 1 푥 ― 푒푥―2 …………1 分 푓(2) = ln2 ― 1，푓/(2) = ― 1 2 …………2 分 所求切线方程为푦 ― (ln2 ― 1) = ― 1 2(푥 ― 2)，即 푦 = ― 1 2푥 + ln2 …………3 分 （点斜式、斜截式、一般式均给分） （2）（方法一）作函数 g(푥) = ln푥 ― 1 푒푥 …………4 分 （其他适宜函数如 g(푥) = ln푥 ― ( 6 5푒푥 + ln7 8)、h(푥) = 푒푥 푒2 ―( 6 5푒푥 + ln7 8)也相应给分） g/(푥) = 1 푥 ― 1 푒 …………5 分 g/(푒) = 0；当 0 < 푥 < 푒 时，g/(푥) > 0；当 푥 > 푒 时，g/(푥) < 0 …………6 分所以 g(푥) ≤ g(푒) = 0，即 ln푥 ≤ 1 푒푥，等号当且仅当 푥 = 푒 时成立 …………7 分 作函数 h(푥) = 푒푥 푒2 ― 1 푒푥 …………8 分 h/(푥) = 푒푥 푒2 ― 1 푒 …………9 分 h/(1) = 0；当 0 < 푥 < 1 时，g/(푥) < 0；当 푥 > 1 时，g/(푥) > 0 …………10 分 所以 h(푥) ≥ h(1) = 0，即 푒푥 푒2 ≥ 1 푒푥，等号当且仅当 푥 = 1 时成立 …………11 分 因为 푒 ≠ 1，综上所述，∀푥 > 0，ln푥 < 푒푥―2，即 푓(푥) < 0 …………12 分 （方法二）푓/(푥) = 1 푥 ― 푒푥―2在定义域区间(0， +∞)单调递减 …………4 分 푓/(1)푓/(2) = 1 2(1 푒 ―1) < 0，所以，푓/(푥) 有唯一零点푥0，且푥0是极大值点 …………7 分 푓(푥0) = ln푥0 ― 푒푥0―2，由 1 푥0 ― 푒푥0―2 = 0得， 1 푥0 = 푒푥0―2，ln푥0 = 2 ― 푥0 …………9 分 代入得，푓(푥0) = 2 ― 푥0 ― 1 푥0 …………10 分 因为 1 < 푥0 < 2，所以 푥0 + 1 푥0 > 2，푓(푥) ≤ 푓(푥0) < 0 …………12 分 22.解：（1）由 휌 = 16cos휃 得，휌2 = 16휌cos휃 …………1 分 曲线 퐶2的直角坐标方程为 푥2 + 푦2 = 16푥 …………3 分 （2）由{ 푥 = 푡 + 1 푡, 푦 = 2(푡 ― 1 푡). 即{푡 + 1 푡 = 푥, 푡 ― 1 푡 = 1 2푦. 得，푡 = 1 2(푥 + 1 2푦)，1 푡 = 1 2(푥 ― 1 2푦) …………5 分 相乘得，曲线 퐶1的直角坐标方程为 4푥2 ― 푦2 = 16 …………6 分 由{푥2 + 푦2 = 16푥, 4푥2 ― 푦2 = 16. 得，5푥2 ―16푥 ― 16 = 0 …………7 分 解得 푥 = 4或푥 = ― 4 5 …………8 分 푥 = 4时，푦2 = 48，푦 = ± 4 3；푥 = ― 4 5时，푦2 = ― 336 25 无实数解 …………9 分 所以，퐶1与 퐶2交点的直角坐标为 (4， ± 4 3) …………10 分 （第 8 分到第 10 分综合考虑给分：第 8 分处只有 1 个解给 0.5 分，第 9 分处讨论 1 种情况给 0.5 分，第 10 分处只得到 1 个点给 0.5 分，三处合计分四舍五入计分总分。 如果在第 8 分处根据4푥2 ― 푦2 = 16，|푥| ≥ 2，排除푥 = ― 4 5，则该处共 9 分） 23.解：（1）푎 = 1时，푓(푥) = |푥 + 2| + |푥 ― 1| …………1 分푥 < ―2时，푓(푥) = ―1 ― 2푥，解{ 푥 < ―2 ― 1 ― 2푥 ≤ 5得 ― 3 ≤ 푥 < ―2 …………2 分 ―2 ≤ 푥 ≤ 1时，푓(푥) = 3 < 5 …………3 分 푥 > 1时，푓(푥) = 2푥 + 1，解{ 푥 > 1 2푥 + 1 ≤ 5得 1 < 푥 ≤ 2 …………4 分 不等式 푓(푥) ≤ 5 的解集为 [ ―3， ― 2) ∪ [ ―2，1] ∪ (1，2] = [ ― 3，2] …………5 分 （2）푓(푥) ≥ |(푥 + 2 푎) ― (푥 ― 푎)| = |2 푎 + 푎| …………6 分 因为 푎 < 0， ― 푎 > 0， ― 2 푎 > 0，( ―푎) + ( ― 2 푎) ≥ 2 ( ―푎)( ― 2 푎) = 2 2 …………9 分（条件 1 分，公式 1 分，结果 1 分） 所以，푓(푥) ≥ |2 푎 + 푎| = |( ―푎) + ( ― 2 푎)| ≥ 2 2 …………10 分