2020 年高考数学一模试卷
一、选择题.
1．已知集合 A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．∅ B．{1} C．R D．（1，+∞）
2．双曲线 ﹣y2＝1 的焦点到渐近线的距离是（ ）
A．1 B． C． D．2
3．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A．4 B．8 C． D．
4．若实数 x，y 满足不等式组 ，则 x﹣3y（ ）
A．有最大值﹣2，最小值﹣ B．有最大值 ，最小值 2
C．有最大值 2，无最小值 D．有最小值﹣2，无最大值
5．在△ABC 中，已知 A＝ ，则“sinA＞sinB”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知 a＞0，且 a≠1，若 loga2＞1，则 y＝x﹣ 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设 y1＝ ，y2＝ ，y3＝ ，z1＝
，z2＝ ，z3＝ ，若随机变量 X，Y，Z 满足：P（X＝xi）＝P（Y＝yi）＝P
（Z＝zi）＝ （i＝1，2，3），则（ ）
A．D（ X ）＜D（Y ）＜D（Z ） B．D（ X ）＞D（Y ）＞D（Z ）
C．D（ X ）＜D（Z ）＜D（Y ） D．D（ X ）＞D（Z ）＞D（Y ）
8．如图，三棱锥 V﹣ABC 的底面 ABC 是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不
含端点），记直线 PB 与直线 AC 所成角为 α，二面角 P﹣AC﹣B 的平面角为 β，则 α+β
不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一系列椭圆∁n： + ＝1（n∈N*），射线 y＝x（x≥0）与椭圆∁n 交于点 Pn，
设 an＝|PnPn+1|，则数列{an}是（ ）
A．递增数列 B．递减数列
C．先递减后递增数列 D．先递增后递减数列
10．设 a∈R，若 x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+ ）≤x2﹣x+a（其中 e＝2.71828……为
自然对数的底数），则恒有零点的是（ ）
A．y＝x2+ax+1 B．y＝ax2+3x+1 C．y＝ex+a﹣1 D．y＝ex﹣a+1
二、填空题（共 7 小题）
11．函数 f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为 ，值域为 ．
12．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 ＝1﹣2i，则 z＝ ，|z|＝ ．
13．已知 （1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则 a6＝ ，|a0|+|a1|+|a2|+
……+|a5|+|a6|＝ ．
14．已知函数 f（x）＝ ，若 f（﹣1）＝f （1），则实数 a＝ ；
若 y＝f（x）存在最小值，则实数 a 的取值范围为 ．
15．某地区有 3 个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将 3 名
医务人员（1 男 2 女）和 6 名警察（4 男 2 女）分配到这 3 个地点去值班，要求每个值班
地点至少有一名女性，则共有 种不同分配方案．（用具体数字作答）
16．已知平面向量 ， ， ， ，满足| |＝| |＝| |＝1， • ＝0，| ﹣ |＝| • |，则 •
的取值范围为 ．
17．已知 a，b∈R，设函数 f（x）＝2|sinx+a|+|cos2x+sinx+b|的最大值为 G（a，b），则 G（
a，b）的最小值为 ．
三、解答题（共 5 小题）
18．在△ABC 中，已知内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 b＝1， ＝ ．
（Ⅰ）求角 A；
（Ⅱ）若 a＝2，求△ABC 的面积．
19．如图，四棱锥 A﹣BCDE 中，底面 BCDE 是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，
AE＝ ．
（Ⅰ）求证：BC⊥AE；
（Ⅱ）求直线 AD 与平面 BCDE 所成角的正弦值．
20．已知数列{an}是等比数列，a1＝2，且 a2，a3+2，a4 成等差数列．数列{bn}满足：b1+
+ +……+ ＝ （n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求证： + + +……+ ＜ ．
21．如图，已知点 O（0，0），E（2，0），抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点 F 为线段 OE
中点．
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）过点 E 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点， ＝4 ，过点 A 作抛物线 C 的切线 l，
N 为切线 l 上的点，且 MN⊥y 轴，求△ABN 面积的最小值．
22．已知函数 f（x）＝（x+1）ex﹣ax2（x＞0）．
（Ⅰ）若函数 f（x）在 （0，+∞）上单调递增，求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 f（x）有两个不同的零点 x1，x2，
（ⅰ）求实数 a 的取值范围；
（ⅱ）求证： + ﹣ ＞1．（其中 t0 为 f（x）的极小值点）
参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．已知集合 A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．∅ B．{1} C．R D．（1，+∞）
【分析】进行交集和补集的运算即可．
解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，
∴∁RA＝{x|x≤1}，（∁RA）∩B＝{1}．
故选：B．
2．双曲线 ﹣y2＝1 的焦点到渐近线的距离是（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】根据双曲线的方程求出啊、焦点坐标和渐近线，利用点到直线的距离公式进行
求解即可．
解：双曲线 ﹣y2＝1 的渐近线为 y＝± x，
a2＝3，b2＝1，c2＝a2+b2＝3+1＝4，即 C＝2，
设一个焦点 F（2，0），渐近线方程为 x+y＝0，
则焦点 F 到其渐近线的距离 d＝ ＝ ，
故选：A．
3．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，且各侧面的斜高是 2；求
出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．
解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，且各侧面的斜高是 2；
画出图形，如图所示；
所以该四棱锥的底面积为 S＝22＝4，高为 h＝ ＝ ；
所以该四棱锥的体积是 V＝ Sh＝ ×4× ＝ ．
故选：C．
4．若实数 x，y 满足不等式组 ，则 x﹣3y（ ）
A．有最大值﹣2，最小值﹣ B．有最大值 ，最小值 2
C．有最大值 2，无最小值 D．有最小值﹣2，无最大值
【分析】画出不等式组表示的平面区域，设 z＝x﹣3y，则直线 x﹣3y﹣z＝0 是一组平行
线，找出最优解，求出 z 有最大值，且 z 无最小值．
解：画出不等式组 表示的平面区域，如图阴影所示；
设 z＝x﹣3y，则直线 x﹣3y﹣z＝0 是一组平行线；
当直线过点 A 时，z 有最大值，由 ，得 A（2，0）；
所以 z 的最大值为 x﹣3y＝2﹣0＝2，且 z 无最小值．
故选：C．
5．在△ABC 中，已知 A＝ ，则“sinA＞sinB”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】A＝ ，则“sinA＞sinB”，利用正弦定理可得：a＞b，A＞B，B＜ ，C 为
钝角．反之不成立．可能 B 是钝角．
解：A＝ ，则“sinA＞sinB”，由正弦定理可得：a＞b⇔B＜ ，C 为钝角，⇒“△ABC
是钝角三角形”，反之不成立．可能 B 是钝角．
∴A＝ ，则“sinA＞sinB”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件．
故选：A．
6．已知 a＞0，且 a≠1，若 loga2＞1，则 y＝x﹣ 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据对数不等式求出 a 的范围，然后利用特殊值验证找出图象．
解：∵loga2＞1，
∴a＞1．
结合图象 f（1）＝1﹣a＜0，故排除 B，C．
又∵f（﹣1）＝﹣1﹣a＜0，故排除 A．
D 选项满足．
故选：D．
7．已知 x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设 y1＝ ，y2＝ ，y3＝ ，z1＝
，z2＝ ，z3＝ ，若随机变量 X，Y，Z 满足：P（X＝xi）＝P（Y＝yi）＝P
（Z＝zi）＝ （i＝1，2，3），则（ ）
A．D（ X ）＜D（Y ）＜D（Z ） B．D（ X ）＞D（Y ）＞D（Z ）
C．D（ X ）＜D（Z ）＜D（Y ） D．D（ X ）＞D（Z ）＞D（Y ）
【分析】计算可得 E（X）＝E（Y），进而得到 D（X）＞D（Y），同理 D（Y）＞D（
Z），
解：E（X）＝ ，
E（Y）＝ （ + + ）＝ ＝E（X），
， ， 距 E（Y），x1，x2，x3 较近，
所以 D（X）＞D（Y），
同理 D（Y）＞D（Z），
故 D（ X ）＞D（Y ）＞D（Z ），
故选：B．
8．如图，三棱锥 V﹣ABC 的底面 ABC 是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不
含端点），记直线 PB 与直线 AC 所成角为 α，二面角 P﹣AC﹣B 的平面角为 β，则 α+β
不可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意，三棱锥 V﹣ABC 为正三棱锥，过 P 作 PE∥AC，则∠BPE 为直线 PB
与直线 AC 所成角为 α，二面角 P﹣AC﹣B 的平面角为 β，即 V﹣AC﹣B 的平面角为 β，
然后利用运动思想分析两角的范围，可得 α+β∈（ ，π），则 α+β 不可能是 ，答案
可求．
解：如图，由题意，三棱锥 V﹣ABC 为正三棱锥，
过 P 作 PE∥AC，则∠BPE 为直线 PB 与直线 AC 所成角为 α，
当 P 无限靠近 A 时，∠PBE 无限接近 ，但小于 ，则∠BPE＝∠BEP＝α＞ ．
当棱锥的侧棱无限长，P 无限靠近 V 时，α 无限趋于 但小于 ；
二面角 P﹣AC﹣B 的平面角为 β，即 V﹣AC﹣B 的平面角为 β，
由三棱锥存在，得 β＞0，随着棱长无限增大，β 无限趋于 ．
∴α+β∈（ ，π）．
则 α+β 不可能是 ．
故选：D．
9．如图，一系列椭圆∁n： + ＝1（n∈N*），射线 y＝x（x≥0）与椭圆∁n 交于点 Pn，
设 an＝|PnPn+1|，则数列{an}是（ ）
A．递增数列 B．递减数列
C．先递减后递增数列 D．先递增后递减数列
【分析】取射线 y＝x 的参数方程 ，利用参数 t 的几何意义表示出 an，
然后作差法判断其单调性．
解：设 y＝x 的参数方程 ，代入 + ＝1（n∈N*）整理得
，∴ ，
∴an＝tn+1﹣tn＝
要判断上式增大还是减小，只需研究 的值增大或减小即可．
将上式通分得 ＝
＝ ，显然随着 n 的增大，an 的逐渐减小．
故该数列是递减数列．
故选：B．
10．设 a∈R，若 x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+ ）≤x2﹣x+a（其中 e＝2.71828……为
自然对数的底数），则恒有零点的是（ ）
A．y＝x2+ax+1 B．y＝ax2+3x+1 C．y＝ex+a﹣1 D．y＝ex﹣a+1
【分析】原式变形可得 ，构造 ，可得（e﹣1）lnt
≤t﹣1，再构造 ，利用导数可知，满足 g（t）≤0 的 t∈（0，1]∪
[e，+∞），结合 x∈[1，e]，可知 ，由此再逐项判断即可得出结论．
解：（e﹣1）x•ln（x+ ）≤x2﹣x+a 等价于 ，
令 ，则（e﹣1）lnt≤t﹣1，
令 ，则 ，令 g′（t）＝0，解得 t＝e，
∴函数 g（t）在（0，e﹣1）单调递增，在（e﹣1，+∞）单调递减，注意到 g（1）＝g（
e）＝0，
作函数 g（t）的图象如下，
由图可知，g（t）≤0 的解集为 t∈（0，1]∪[e，+∞），
当 t∈（0，1]时， ，则 ，此时无解；
当 t∈[e，+∞）时， ，则 ，
对 A，取 时，y＞0 恒成立，不合题意；
对 B、C，取 a→+∞时，y＞0 恒成立，不合题意；
对 D，事实上， ，必有 a﹣1＞0，因此 y＝ex﹣a+1 必有零点．
故选：D．
二、填空题（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
11．函数 f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为 2 ，值域为 [﹣3，3] ．
【分析】利用周期计算公式和 y＝sinx 的值域直接计算即可．
解：由题意最小正周期 ．
因为 sin（πx+2）∈[﹣1，1]，所以﹣3sin（πx+2）∈[﹣3，3]，
故值域为[﹣3，3]．
故答案为：2，[﹣3，3]．
12．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 ＝1﹣2i，则 z＝ 3﹣2i ，|z|＝ ．
【分析】利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．
解：∵ ＝1﹣2i，
∴z+i＝（1﹣2i）（1+i）＝3﹣i．
∴z＝3﹣2i．
．
故答案为：3﹣2i，
13．已知 （1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则 a6＝ 0 ，|a0|+|a1|+|a2|+…
…+|a5|+|a6|＝ 665 ．
【分析】根据其特点可知 a6 为 x6 的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，
令 x＝1 即可求解．
解：因为（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，
令 x＝1 可得：a0+a1+a2+……+a5+a6＝26﹣36＝﹣665．
所以：a6＝ ﹣ ＝0；
∵a0＝ ﹣26 ＝﹣63；
a1＝ ﹣25 ＝﹣186；
a2x2+＝ ﹣24 ＝﹣225；
……
a5＝ ﹣2 ＝﹣6；
a6＝ ﹣20• ＝0；
故|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝﹣a0﹣a1﹣a2﹣……﹣a5﹣a6＝665．
故答案为：0，665．
14．已知函数 f（x）＝ ，若 f（﹣1）＝f （1），则实数 a＝ 1﹣
；若 y＝f（x）存在最小值，则实数 a 的取值范围为 [﹣1，0） ．
【分析】（1）根据题意列出关于 a 的方程即可；
（2）在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．
解：（1）∵f（﹣1）＝f （1），
∴2﹣1＝log2（1﹣a），
∴ ，
∴ ．
（2）易知 x＜0 时，f（x）＝2x∈（0，1）；
又 x≥0 时，f（x）＝log2（x﹣a）递增，故 f（x）≥f（0）＝log2（﹣a），
要使函数 f（x）存在最小值，只需 ，
解得：﹣1≤a＜0．
故答案为：1﹣ ，[﹣1，0）．
15．某地区有 3 个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将 3 名
医务人员（1 男 2 女）和 6 名警察（4 男 2 女）分配到这 3 个地点去值班，要求每个值班
地点至少有一名女性，则共有 324 种不同分配方案．（用具体数字作答）
【分析】根据题意，分 2 步进行分析：①，将 9 人分成 3 组，每组一名医务人员和两名
警察，要求每一组至少有 1 名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由
分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分 2 步进行分析：
①，将 9 人分成 3 组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有 1 名女性，
将 9 人分成 3 组，有 A33× 种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情
况有 C42C42 种，
则有 A33× ﹣C42C42＝90﹣36＝54 种分组方法，
②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有 A33＝6 种情况，
则有 54×6＝324 种不同的分配方案；
故答案为：324．
16．已知平面向量 ， ， ， ，满足| |＝| |＝| |＝1， • ＝0，| ﹣ |＝| • |，则 •
的取值范围为 ．
【分析】根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．
【解答】解；由题，设 ．
∵| ﹣ |＝| • |，∴（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝sin2θ．①．
．
根据①中圆的几何意义， • 的取值范围即： ，
∴ • 的取值范围为[ ]．
故答案为： ．
17．已知 a，b∈R，设函数 f（x）＝2|sinx+a|+|cos2x+sinx+b|的最大值为 G（a，b），则 G（
a，b）的最小值为 ．
【分析】换元 t＝sinx∈[﹣1，1]，可知 G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b
﹣1|}，分 G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|及 G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|讨论，利用绝对
值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得 G（a，b）的最小值．
解：设 t＝sinx∈[﹣1，1]，则 f（x）＝2|sinx+a|+|1﹣2sin2x+sinx+b|＝|2t+2a|+|﹣2t2+t+b+1|
＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，
∴G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，
当 G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|时，令 g（t）＝﹣2t2+3t+2a+b+1，t∈[﹣1，1]，则此时
，
故 ＝
，由 a，b∈R 可知，等号能成立；
当 G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|时，令 h（t）＝2t2+t+2a﹣b﹣1，t∈[﹣1，1]，则此时
，
故 ＝
，由 a，b∈R 可知，等号能成立；
综上，G（a，b）的最小值为 ．
故答案为： ．
三、解答题（共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
18．在△ABC 中，已知内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 b＝1， ＝ ．
（Ⅰ）求角 A；
（Ⅱ）若 a＝2，求△ABC 的面积．
【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理求得 A 的正切值，即可求得结论；
（Ⅱ）由余弦定理求得边 c，进而求得其面积．
解：（Ⅰ）∵ ＝ ⇒asinB＝ cosA，
∵ ＝ ⇒asinB＝bsinA；
∵b＝1；
所以： cosA＝sinA⇒tanA＝ ⇒A＝ ．（三角形内角）
（Ⅱ）因为 a2＝b2+c﹣22bccosA⇒c2﹣c﹣3＝0⇒c＝ ；（负值舍）；
∴S△ABC＝ bcsinA＝ ．
19．如图，四棱锥 A﹣BCDE 中，底面 BCDE 是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，
AE＝ ．
（Ⅰ）求证：BC⊥AE；
（Ⅱ）求直线 AD 与平面 BCDE 所成角的正弦值．
【分析】（I）由 BC⊥AB，BC⊥BE，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结
论．
（II）过点 B 作平面 ABC 的垂线 Bz，则 BA，BC，Bz 两两相互垂直．建立空间直角坐
标系．可得：A（ ，0，0），C（0，1，0），设 E（x，y，z）．可得 • ＝0，
|BE|＝1，|EA|＝ ．z＞0，解得 E．由 ＝ ＝（﹣ ，0， ）．得 D 坐标．设平
面 BCDE 的法向量为： ＝（a，b，c），则 • ＝ • ＝0，可得： ，利用向量夹角
公式即可得出．
【解答】（I）证明：∵BC⊥AB，BC⊥BE，AB∩BE＝B，∴BC⊥平面 ABE，又 AE⊂
平面 ABE，∴BC⊥AE．
（II）解：过点 B 作平面 ABC 的垂线 Bz，则 BA，BC，Bz 两两相互垂直．建立空间直
角坐标系．
可得：A（ ，0，0），C（0，1，0），设 E（x，y，z）．则 • ＝0，|BE|＝1，|EA|
＝ ．可得：y＝0，x2+z2＝1， +z2＝7．
z＞0，解得 E（﹣ ，0， ）．由 ＝ ＝（﹣ ，0， ）．得 D（﹣ ，1，
）．∴ ＝（﹣ ，1， ）．
设平面 BCDE 的法向量为： ＝（a，b，c），则 • ＝ • ＝0，可得：﹣ x+ z＝
0＝y，
可得： ＝（1，0， ）．
∴cos＜ ， ＞＝ ＝﹣ ．
∴直线 AD 与平面 BCDE 所成角的正弦值为 ．
20．已知数列{an}是等比数列，a1＝2，且 a2，a3+2，a4 成等差数列．数列{bn}满足：b1+
+ +……+ ＝ （n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求证： + + +……+ ＜ ．
【分析】（Ⅰ）由递推公式可以求出通项公式 an＝2n，bn＝n ．
（Ⅱ）采用缩放的方法证明当 n＝1 和 n≥2 时成立，采用缩放的方法证明．
解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为 q，则 a2＝2q，a3＝2q2，a4＝2q3，
由 a2，a3+2，a4 成等差数列，得 2（a3+2）＝a2+a4，
即 2（2q2+2）＝2q+2q3，即（q﹣1）（q2+1）＝0，解得 q＝2，所以 an＝2n．
当 n＝1 时，b1＝1，当 n≥2 时，b1+ + +…+ ＝ ，
b1+ + +…+ ＝ ，作差得 ＝n，
所以，bn＝n （n≥2），当 n＝1 时，b1＝1× ＝1 也成立，所以 bn＝n ，
综上，an＝2n，bn＝n ．
（Ⅱ）因为当 n≥2 时， ＝ ＜ ＝ ，所以，
+ + +…+ ＜ + +…+ ，
设 Tn＝ + +…+ ，则 Tn＝ + +…+ ，两式相减得，
Tn＝ +（ +…+ ）﹣ ＝ + ﹣ ＝ + （1﹣ ）
﹣ ＝ ﹣ ，
所以 Tn＝ ﹣ ，所以 Tn＜ ．
所以 + + +……+ ＜ ．
21．如图，已知点 O（0，0），E（2，0），抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点 F 为线段 OE
中点．
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）过点 E 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点， ＝4 ，过点 A 作抛物线 C 的切线 l，
N 为切线 l 上的点，且 MN⊥y 轴，求△ABN 面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）由已知得焦点 F（1，0），所以 p＝2，从而求出抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线 l 方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1）
，与抛物线方程联立，利用△＝0 求得 ，所以直线 l 的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，
由 ＝ 4 ， 求 得 点 M 的 坐 标 ， 进 而 求 出 点 N 的 坐 标 ， 所 以 S △ ABN ＝
设直线 AB 的方程为：x＝my+2，与抛物线方程联立，设直线 l
方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），利用韦达定理代入 S△ABN，利用基本不等式即可求出△ABN
面积的最小值．
解：（Ⅰ）由已知得焦点 F 的坐标为（1，0），
∴p＝2，
∴抛物线 C 的方程为：y2＝4x；
（Ⅱ）设直线 AB 的方程为：x＝my+2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
联立方程 ，消去 x 得：y2﹣4my﹣8＝0，
∴△＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，
设直线 l 方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），
联立方程 ，消去 x 得： ，
由相切得： ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 l 的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，
由 ＝4 ，得 ， ，
将 代入直线 l 方程，解得 ＝ ，
所以 S△ABN＝
＝
＝
＝
＝ ，
又 ，
所以 ，当且仅当 时，取到等号，
所以△ABN 面积的最小值为 4 ．
22．已知函数 f（x）＝（x+1）ex﹣ax2（x＞0）．
（Ⅰ）若函数 f（x）在 （0，+∞）上单调递增，求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 f（x）有两个不同的零点 x1，x2，
（ⅰ）求实数 a 的取值范围；
（ⅱ）求证： + ﹣ ＞1．（其中 t0 为 f（x）的极小值点）
【分析】（Ⅰ）先求其导函数，转化为 f′（x）≥0，即求 g（x）＝ •ex﹣2a 的最小
值即可；
（Ⅱ）（ⅰ）结合第一问的结论得 f（x）不单调，故 a＞ ；设 f′（x）＝
0 有两个根，设为 t1，t0，且 0＜t1 t0，可得原函数的单调性，把问题转化为 f（
t0）＜0，即可求解结论．
（ⅱ）转化为先证明不等式，若 x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则 ＜
＜ ．再把原结论成立转化为证 x1+x2＜2t0；构造函数 r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣
x）一步步推其成立即可．
解：（Ⅰ）由 f（x）＝（x+1）ex﹣ax2，得 f′（x）＝x（ ex﹣2a），
设 g（x）＝ •ex，（x＞0）；则 g′（x）＝ ；
由 g′（x）≥0，解得 x ﹣1，
所以 g（x）在（0， ﹣1）上单调递减，在（ 1，+∞）上单调递增，
所以函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增，
f′（x）≥0，所以 2a≤g（ ）＝（2+ ）•e ；
所以，实数 a 的取值范围是：（﹣∞， ]．
（Ⅱ）（i）因为函数 f（x）有两个不同的零点，f（x）不单调，所以 a＞
．
因此 f′（x）＝0 有两个根，设为 t1，t0，且 0＜t1 t0，
所以 f（x）在（0，t1）上单调递增，在（t1，t0）上单调递减，在（t0，+∞）上单调递增
；
又 f（t1）＞f（0）＝1，f（x）＝（x+1）ex﹣ax2＝a（ex﹣x2）+（x+1﹣a）•ex，当 x 充
分大时，f（x）取值为正，因此要使得 f（x）有两个不同的零点，则必须有 f（t0）＜0，
即（t0+1）e ﹣a•t02＜0；
又因为 f′（t0）＝（t0+2）e ﹣2at0＝0；
所以：（t0+2）e ﹣ •（t0+2）e ＜0，解得 t0 ，所以 a＞ g（ ）＝ •
e ；
因此当函数 f（x）有两个不同的零点时，实数 a 的取值范围是（ •e ，+∞）．
（ⅱ）先证明不等式，若 x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则 ＜ ＜
．
证明：不妨设 x2＞x1＞0，即证 ＜ln ＜ ，
设 t＝ ＞1．g（t）＝lnt﹣ ，h（t）＝lnt﹣ ，
只需证 g（t）＜0 且 h（t）＞0；
因为 g′（t）＝﹣ ＜0，h′（t）＝ ＞0，
所以 g（t）在（1，+∞）上单调递减，h（t）在（1，+∞）上单调递增，
所以 g（t）＜g（1）＝0，h（t）＞h（1）＝0，从而不等式得证．
再证原命题 + ﹣ ＞1．
由 得 ；
所以 ＝ ，两边取对数得：2（lnx2﹣lnx1）﹣[ln（x2+1）﹣ln（
x1+1）]＝x2﹣x1；
即 ﹣ ＝1．
因为 ﹣ ＜ ﹣ ，
所以 1+ ＜ ＜ + ，
因此，要证 + ﹣ ＞1．
只需证 x1+x2＜2t0；
因为 f（x）在（t0，+∞）上单调递增，0＜x1＜t0＜x2，所以只需证 f（x2）＜f（2t0﹣x2）
，
只需证 f（x1）＜f（2t0﹣x1），即证 f（t0+x）＜f（t0﹣x），其中 x∈（﹣t0，0）；
设 r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x），﹣t0＜x＜0，只需证 r（x）＜0；
计算得 r′（x）＝（x+t0+2）e +（﹣x+t0+2）e ﹣4at0；
r″（x）＝e [（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）]．
由 y＝（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）在（﹣t0，0）上单调递增，
得 y＜（t0+3）e0+（0﹣t0﹣3）＝0，
所以 r″（x）＜0；即 r′（x）在（﹣t0，0）上单调递减，
所以：r′（x）＞r′（0）＝2f′（t0）＝0；
即 r（x）在（﹣t0，0）上单调递增，所以 r（x）＜r（0）＝0 成立，即原命题得证．
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