射洪中学高三第一学月考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 z 满足 为虚数单位），则 z＝
A．2＋ B．2－ C．－2＋ D．－2－
3．在正三角形 ABC 中，AB＝2， ，且 AD 与 BE 相交于点 O，则
＝
A．－ B．－ C．－ D．－
4．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：
不喜欢 喜欢
男性青年观众 30 10
女性青年观众 30 50
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性
青年观众”的人中抽取了 6 人，则
A．12 B．16 C．24 D．32
{0,1,2,3}A = { | ln 1}B x N x= ∈ < A B = {0,1} {1,2} {0,1,2} {0,1,2,3} 1 2 (1 z i iz + = − +− i i i i 1, 2BD DC AE EC= = OA OB 4 5 3 4 2 3 1 2 n n =
5．函数 的大致图像为
A． B． C． D．
6．已知曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离
心率为
A．2 B． C．3 D．
7．设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是
A． B． C． D．
8．已知函数 ，将其图象向左平移 （ ＞0）个单位长度后得
到的函数为偶函数，则 的最小值是
A． B． C． D．
9．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介
绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加
上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它
是由个 3 全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设 DF=2AF，
若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是
A． B． C． D．
10．满足函数 在 上单调递减的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 经过点 且与双曲线的一条渐
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > ( 2, 6)
2 3
( ) sin2 sin 2 3f x x x
π = + +
ϕ ϕ
ϕ
12
π
6
π
3
π 5
6
π
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > F l F
近线垂直，直线 与双曲线的右支交于不同两点 ， ，若 ，则该双曲线的离心率
为
A． B． C． D．
12．已知四棱锥 ， 平面 ， ， ， ，
，二面角 的大小为 ，若四面体 的四个顶点都在同一球面上，
则该球的表面积为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是_________.
14．已知 ，则 ＝___
15．已知函数 ， ，则 的值为__________．
16．记正项数列 的前 项和为 ，且当 时， .若 ，
则 ______.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）已知 a,b,c 分别是∆ABC 的内角 A,B,C,所对的边，
（I）求角 B 的大小；
（II）若∆ABC 的面积为 ，求∆ABC 周长的最小值．
l A B 3AF FB=
5
2
6
2
2 3
3 3
S ABCD− SA ⊥ ABCD AB BC⊥ BCD DAB π∠ + ∠ = 2SA =
2 6
3BC = S BC A− −
3
π
SACD
4 2π 4π 8π 16π
x y
2 4 0
1 0
2 1 0
x y
x y
x y
+ − ≤
− − ≤
+ + ≥
2
3
yz x
+= +
sin 3cos 0α α− = sin 2α
{ }na n nS 2n ≥ 12 ( 1) 7n n na na n a −= − − + 2 9a =
40S =
2 2 2 2sin sin
sin
b c a C A
bc B
+ − −=
3
18．（12 分）某人经营一个抽奖游戏，顾客花费 3 元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，
顾客从标有黑 1、黑 2、黑 3、黑 4、红 1、红 3 的 6 张卡片中随机抽取 2 张，并根据摸出的卡
片的情况进行兑奖，经营者将顾客抽到的卡片情况分成以下类别： ：同花顺，即卡片颜色相
同且号码相邻； ：同花，即卡片颜色相同，但号码不相邻； ：顺子，即卡片号码相邻，但
颜色不同； ：对子，即两张卡片号码相同； ：其它，即 ， ， ， 以外的所有可能情况，
若经营者打算将以上五种类别中最不容易发生的一种类别对应顾客中一等奖，最容易发生的
一种类别对应顾客中二等奖，其他类别对应顾客中三等奖.
（I）一、二等奖分别对应哪一种类别？（写出字母即可）
（II）若经营者规定：中一、二、三等奖，分别可获得价值 9 元、3 元、1 元的奖品，假设某
天参与游戏的顾客为 300 人次，试估计经营者这一天的盈利.
19．（12 分）如图所示，在三棱柱 中， ， ， ， 分别
为棱 ， 的中点.
（I）求证： 平面 ；
（II）若 ， ， ，求四
棱锥 的体积.
20．（12 分）已知函数 ．
（I）当 时，讨论函数 的单调性；
1 1 1ABC A B C− AC BC= 1 1AC BC= D E
AB 1 1A B
AB ⊥ 1C DE
2AB AC= = 1 2 3AA = 1 10AC =
1 1 1C AA B B−
（II）若函数 有两个极值点 ， ，证明: ．
21．已知抛物线 ： （ ）的焦点是椭圆 ： （ ）的
右焦点，且两曲线有公共点
（I）求椭圆 的方程；
（II）椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，若过点 且斜率不为零的直线 与椭圆
交于 ， 两点，已知直线 与 相较于点 ，试判断点 是否在一定直线上？若在，
请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原
点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
C 2 2y px= 0p > M
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> >
2 2 6
3 3
，
M
M 1A 2A ( )4 0B ， l M
P Q 1A P 2A Q G G
xOy C
2 3cos
1 3sin
x
y
α
α
= +
= +
α
O x
C
( 2,1)− l C A B 2AB = l
23．选修 4-5：不等式选讲
已知 ， ， ，函数 .
（I）当 时，求不等式 的解集；
（II）当 的最小值为 时，求 的值，并求 的最小值.
0a > 0b > 0c > ( )f x c a x x b= + − + +
1a b c= = = ( ) 3f x >
( )f x 3 a b c+ + 1 1 1
a b c
+ +
高三第一学月考试
文科数学参考答案
1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B 9．B 10．D
11．A 12．C
13．5 14． 15． 16．1840
17．（1） ，
由 得 ，
，
， ；
（2）由（1）得 ， ， ，
，
，
对上述两个不等式，当且仅当 时等号成立，
此时 周长取最小值 .
18．（Ⅰ）解：分别用 A1, A2, A3, A4, B1, B3 表示标有黑 1，黑 2，黑 3，黑 4，红 1，红 3 的卡
片，从 6 张卡片中任取 2 张，共有 15 种情况.
其中，A 类别包括 A1 A2, A2 A3, A3 A4,则
B 类别包括 A1 A3, A1 A4, A2 A4, B1 B3, 则
C 类别包括 A2 B1, A2 B3, A4 B3, 则
D 类别包括 A1 B1, A3 B3, 则 ∴
3
5
2 2 2b c a 2sinC sinA
bc sinB
+ − −=
a b c
sinA sinB sinC
= = 2 2 2c a b ac+ − =
2 2 2c a b 1cosB 2ac 2
+ −∴ = =
0 B π< 2 10 4k∴ < < ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 1 2 2 32 3 4 kx x k + = + ( )2 1 2 2 64 12 *3 4 kx x k −⋅ = + ( ) 1 1 1 : 22A P yl y xx = ++ ( ) 2 2 2 : 22A Q yl y xx = −−
联立两直线方程得 （其中 为 点横坐标）
将 代入上述方程中可得 ，
即 ，即证
将 代入上式可得 ，
此式成立
∴点 在定直线 上.
方法二
由 条 件 可 得 直 线 的 斜 率 存 在 ， 设 直 线 ， 联 立 方 程
，
消 得： 有两个不等的实根，
，
设 ，则 ，
， 由 ， ， 三 点 共 线 ， 有 ：
由 ， ， 三点共线，有：
上两式相比得
，解得 ∴点 在定直线 上．
( ) ( )1 2
1 2
2 22 2
y yx xx x
+ = −+ − x G
1x = 1 2
1 2
3
2 2
y y
x x
−=+ −
( )( ) ( )( )1 2 2 13 4 2 4 2k x x k x x− − = − − + ( )1 2 1 24 10 16 0x x x x− + + =
( )* ( )2 2
2 2
4 64 12 10 32 163 4 3 4
k k
k k
× − ×− ++ +
( )2 2 2
2
16 16 3 20 3 4
03 4
k k k
k
− − + +
= =+
G 1x =
PQ ( )( ): 4 0PQ y k x k= − ≠
( )
2 2
4{
3 4 12 0
y k x
x y
= −
+ − =
y ( )2 2 2 23 4 32 64 12 0k x k x k+ − + − =
( )( ) ( )2 4 2 2 232 4 4 3 4 16 3 16 9 1 4 0k k k k∆ = − ⋅ + − = ⋅ − > 2 10 4k∴ < < ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,P x y Q x y G x y 2 1 2 2 32 3 4 kx x k + = + 2 1 2 2 64 12 3 4 kx x k −⋅ = + ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 12 1 44 3 4 kx x x x x x k −∴ − = + − = + 1A P G 31 1 32 2 yy x x =+ + 2A Q G 3 2 3 22 2 y y x x =− − ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 2 13 3 1 2 1 2 2 4 22 2 2 4 2 y x k x xx x y x k x x + − ++ = =− − − − ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 3 8 33 8 x x x x x x x x x x x x − + + − −= = −− + + − + 3 1x = G 1x =
22．（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 .
（Ⅰ）消去参数 ，可得曲线 的普通方程为 ，
.由
所以曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅱ）显然直线 的斜率存在，否则无交点.
设直线 的方程为 ，即 .
而 ，则圆心到直线 的距离 .
又 ，所以 ，解得 .
所以直线 的方程为 或 .
23．(1) 或 (2)3
（1）
或 或 ，
解得 或 .
（2）
，
．
当且仅当 时取得最小值 ．
2 4 cos 2 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − − = 1 0x y+ + = 3 0x y− + =
α C 2 2( 2) ( 1) 9x y− + − =
2 2 4 2 4 0x y x y+ − − − = cos
sin
x
y
r q
r q
ì =ïí =ïî
C 2 4 cos 2 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − − =
l
l 1 ( 2)y k x− = + 2 1 0kx y k− + + =
2AB = l
2
2 9 1 2 22
ABd r = − = − =
2
| 4 |
1
kd
k
=
+ 2
| 4 | 2 2
1
k
k
=
+ 1k = ±
l 1 0x y+ + = 3 0x y− + =
{ | 1x x < − 1}x >
( ) 1 1 1f x x x= − + + +
1
1 2 3
x
x
≤ −∴ − >
1 1
3 3
x− <
1
2 1 3
x
x
≥
+ >
{ | 1x x < − 1}x >
( ) 3f x c a x x b a x x b c a b c a b c= + − + + ≥ − + + + = + + = + + =
( )1 1 1 1 1 1 1 1 33 3
b a c a c ba b ca b c a b c a b a c b c
+ + = + + + + = + + + + + +
( )1 3 2 2 2 33
≥ + + + =
1a b c= = = 3
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