北京市朝阳区六校联考 2019-2020 学年高三年级四月份测试
数学试卷 A
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知命题 那么命题 p 的否定为（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中既是奇函数，又在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
3．设集合 ， ，则以下集合 P 中，满足 的是
（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个 n 面体有 m 个面是直角三角形，则称这个 n 面体的直度为 ，如图是某四面体的三视图，则这
个四面体的直度为（ ）
正视图 侧视图 俯视图
A． B． C． D．1
6．已知向量 ，若 ，则 在 上的投影是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则“ ”是“ 是直角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300 多年如图是由“杨辉
三角”拓展而成的三角形数阵，记 为图中虚线上的数 1，3，6，10，…构成的数列 的第 n 项，
: ,p x R∀ ∈ 1xe >
0 ,x R∃ ∈ 0 1xe ≤ ,x R∀ ∈ 1xe < 0 ,x R∃ ∈ 0 1xe > ,x R∀ ∈ 1xe ≤
(0,1)
3( ) 2f x x= − + 1
2
( ) log | |f x x= 3( ) 3f x x x= − ( ) sinf x x=
{ }2| 3 4 0A x Z x x= ∈ − − > { }2| 1xB x e −= < ( )P A Bπ⊆ ∩ { 1,0,1,2}− {1,2} {1} {2} 3log ,a = 0.2log 0.3,b = 11tan 3c π= b a c< < c b a< < c a b< < b c a< < m n 1 4 1 2 3 4 (2,2 3)a = ( 3 )a b a+ ⊥ b a 3 4 3 4 − 4 3 4 3 − ABC sin cosA B= ABC na { }na
则 的值为（ ）
A．5049 B．5050 C．5051 D．5101
9．已知双曲线 的渐近线与抛物线 交于点 ，直线 AB 过抛物线 M
的焦点，交抛物线 M 于另一点 B，则 等于（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
10．关于函数 有以下三个结论：
①函数恒有两个零点，且两个零点之积为-1；
②函数的极值点不可能是-1；
③函数必有最小值．
其中正确结论的个数有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．在 的二项展开式中， 的系数为________（用数字作答）
12．设复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 ， ，则 z 的虚部为________，
________．
13．设无穷等比数列 的各项为整数，公比为 9，且 ， ，写出数列 的一个通项
公式________．
14．在平面直角坐标系中，已知点 ，P 为直线 AB 上的动点，A 关于直线 OP 的对称点记为
Q，则线段 BQ 的长度的最大值是________．
100a
2
2 12
yx − = 2: 2 ( 0)M y px p= > (2, )A a
AB| |
( )2( ) 1 xf x x ax e= + −
52x x
−
2x−
| | 5z = z 6z+ = 1
z
=
{ }na 1q ≠ − 1 3 22a a a+ < { }na (0,1),A (1,1)B
15．关于曲线 ，给出下列四个结论：
①曲线 C 关于原点对称，但不关于 x 轴、y 轴对称；
②曲线 C 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线 C 上任意一点都不在圆 的内部；
④曲线 C 上任意一点到原点的距离都不大于 ．
其中，正确结论的序号是________．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3
分．
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题 13 分）
已知 ．
（I）求 的最小正周期和单调递增区问；
（II）当 时，若 ，求 x 的取值范围．
17．（本小题 14 分）
体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度 T（单位： ）平均在 之间即
为正常体温，超过 即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：
；高热： ；超高热（有生命危险）： ．
某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗．医生根据病情变化，从 14 日开始，以 3 天为一个
疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热．住院期间，患者每天上午 8：00 服药，护士每
天下午 16：00 为患者测量腋下体温记录如下：
抗生素使用情况 没有使用 使用“抗生素 A”疗 使用“抗生素 B”治疗
日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日
体温（ ） 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0
抗生素使用情况 使用“抗生素 C”治疗 没有使用
日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日
体温（ ） 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3
（I）请你计算住院期间该患者体温不低于 的各天体温平均值；
2 2: 4C x xy y− + =
2 2 3x y+ =
2 2
( ) 2 3sin cos 2cos cos4 4f x x x x x
π π = − − +
( )f x
[0, ]x π∈ ( ) ( 1,1]f x ∈ −
C° 36 C 37 C° − °
37.1 C°
37.1 38T≤ ≤ 38 40T< ≤ 40T >
C°
C°
39 C°
（II）在 19 日—23 日期间，医生会随机选取 3 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a 项
目”的检查，记 X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数，试求 X 的分布列与数学期望；
（II）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效
果．假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说
明理由．
18．（本小题 15 分）
在四棱锥P-ABCD中，平面 平面PCD，底面ABCD为梯形， ， ，且 ，
， ．
（I）求证： ；
（II）求二面角_____的余弦值；
从①P-AB-C，②P-BD-C，③P-BC-D 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如
果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（III）若 M 是棱 PA 的中点，求证：对于棱 BC．上任意一点 F，MF 与 PC 都不平行．
19．（本小题 14 分）
已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，
当直线 l 与 x 轴垂直时， ．
（I）求椭圆 C 的标准方程；
（II）当直线 l 与 x 轴不垂直时，在 x 轴上是否存在一点 P（异于点 F），使 x 轴上任意点到直线 PA，PB
的距离均相等？若存在，求 P 点坐标；若不存在，请说明理由．
20．（本小题 15 分）
已知函数 ．
（I）若山线 在 处的切线与 x 轴平行，求 a；
（II）已知 在 上的最大值不小于 2，求 a 的取值范围；
ABCD ⊥ //AB CD AD DC⊥ 1AB =
2AD DC DP= = = 120PDC∠ = °
AD PC⊥
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2
| | 3AB =
2( ) ( )xf x e ax a= − ∈R
( )y f x= (1, (1))f
( )f x [0,1]
（III）写出 所有可能的零点个数及相应的 a 的取值范围．（请直接写出结论）
21．（本小题 14 分）
已 知 集 合 ， 对 于 ，
，定义 A 与 B 的差为 ；A 与 B 之间的距
离为 ．
（I）若 ，试写出所有可能的 A，B；
（II） ，证明：
（i） ；
（ii） 三个数中至少有一个是偶数；
（III）设 ， 中有 m（ ，且为奇数）个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 ，
证明： ．
2019-2020 学年度高三年级四月份测试题
数学 A 参考答案
2020.4
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．A 2．C 3．C 4．B 5．D
6．D 7．D 8．B 9．C 10．A
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
11．-80 12．-4， 13． （答案不唯一）
14． 15．①④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
16．（本小题 13 分）
解：（I）因为
( )f x
{ }1 2| ( , , , {0,1}, 1,2, ,n nS X X x x x i n= = ⋅⋅⋅ ∈ = ⋅⋅⋅ ( 2)n ≥ ( )1 2, , , n nA a a a S= ⋅⋅⋅ ∈
( )1 2, , , n nB b b b S= ⋅⋅⋅ ∈ ( )1 1 2 2, , , n nA B a b a b a b− = − − ⋅⋅⋅ −
1 1 2 2( , ) n nd A B a b a b a b= − + − +⋅⋅⋅+ −
(0,1)A B− =
, , nA B C S∀ ∈
( , ) ( , )d A C B C d A B− − =
( , ),d A B ( , ),d A C ( , )d B C
nP S⊆ P 2m > pd
( 1)
2p
n md m
+≤
3 4
25 25 i− ( )1 *2n
na n−= − ∈N
2 1+
( ) 3sin 2 2cos cos4 2 4f x x x x
π π π = − + − +
，
另解：
，
所以
由 ， ，得 ， ．
故 的单调递增区间为： ．
（Ⅱ）令 ，有 ，
即 或 ，
也即 或 ．
因为 ，所以 或 ．
令 ，得 ．
即 或 ,
也即 或 ，
因为 ，所以 或 ．
3sin 2 2sin cos4 4x x x
π π = − + +
3sin 2 sin 2 2x x
π = − + 3sin 2 cos2x x= −
3 12 sin 2 cos22 2x x
= −
2sin 2 6x
π = −
( ) 3sin 2 2 cos cos sin sin cos cos sin sin4 4 4 4f x x x x x x
π π π π = − + −
2 2 2 23sin 2 2 cos sin cos sin2 2 2 2x x x x x
= − + −
( )2 23sin 2 cos sin 3sin 2 cos2x x x x x= − − = −
3 12 sin 2 cos2 2sin 22 2 6x x x
π = − = −
2 2
| | 2T
π π πω= = =
2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− + ≤ − ≤ + k ∈Z 6 3k x k
π ππ π− + ≤ ≤ + k ∈Z
( )f x , ,6 3k k
π ππ π − + + k ∈Z
2sin 2 16x
π − =
1sin 2 6 2x
π − =
2 2 ,6 6x k
π π π− = + k ∈Z 52 2 ,6 6x k
π π π− = + k ∈Z
,6x k
π π= + k ∈Z ,2x k
π π= + k ∈Z
[0, ]x π∈
6x
π=
2x
π=
2sin 2 16x
π − = −
1sin 2 6 2x
π − = −
2 2 ,6 6x k
π π π− = − + k ∈Z 52 2 ,6 6x k
π π π− = − + k ∈Z
,x kπ= k ∈Z ,3x k
π π= − + k ∈Z
[0, ]x π∈ x π= 2
3x
π=
又因为 的单调递增区间为： 和 ，
的单调递减区间为： ，
所以当 时，x 的取值范围为 ．
17．（本小题 14 分）
解：（I）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于 ，记平均体温为 ，
．
所以，患者体温不低于 的各天体温平均值为
（Ⅱ）X 的所有可能取值为 0，1，2
， ，
，则 X 的分布列为：
X 0 1 2
所以 ．
（Ⅲ）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由：
①“抗生素 B”使用期间先连续两天降温 又回升 ，“抗生素 C”使用期间持续降温
共计 ，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳
②“抗生素 B”治疗期间平均体温 ，方差约为 0.0156：“抗生素 C”平均体温 ，
方差约为 0.1067，“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果
明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳．
“抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由：（不说使用“抗生素 B”治疗才开始持续降温扣 1
分）
自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降
温 ，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳．
（开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素 A”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不
用数据不得分）
( )f x 0, 3
π
5 ,6
π π
( )f x 5,3 6
π π
( ) ( 1,1]f x ∈ − 20, ,6 2 3
π π π
39 C° x
1 (39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 39.0) 39 5 C.56x = + + + + + °=
39 C° 39.55 C°
3 0
3 2
3
5
1( 0) 10
C CP X C
= = =
2 1
3 2
3
5
6 3( 1) 10 5
C CP X C
= = = =
1 2
3 2
3
5
3( 2) 10
C CP X C
= = =
P 1
10
3
5
3
10
1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X = × + × + × =
1.0 C° 0.1 C°
1.2 C°
39.03 C° 38 C°
0.7 C°
18．（本小题 15 分）
解：（I）因为平面 平面 PCD，平面 平面 ，
平面 ABCD， ，所以 平面 PCD，
又因为 平面 PCD，所以 ．
（Ⅱ）选择①评分细则：在平面 PCD 内过点 D 作 ，交 PC 于 H．
由（I）可知， 平面 PDC，所以 ．
故 AD，CD，DH 两两垂直，
如图，以 D 为原点，DA，DC，DH 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz，
则 ．
因为 平面 ABCD，所以平面 ABCD 的一个法向量为 ．
而 ， ，
设平面 PAB 的一个法向量为
则由 ，得 ，
取 ，有 ．
所以 ．
由题知，二面角 P-AB-C 为锐角，
故二面角 P-AB-C 的余弦值为 ．
选择②得分要点（评分细则同①）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则）
平面 ABCD 的一个法向量为 ；
ABCD ⊥ ABCD PCD CD=
AD ⊂ AD DC⊥ AD ⊥
PC ⊂ AD PC⊥
DH DC⊥
AD ⊥ AD DH⊥
(0,0,0),D (0, 1, 3),P − (2,0,0),A (2,1,0),B (0,2,0)C
DH ⊥ (0,0,1)n =
(2,1, 3)PA = − (2,2, 3)PB = −
( , , )m x y z=
0
0
m PA
m PB
⋅ = ⋅ =
2 3 0
2 2 3 0
x y z
x y z
+ − =
+ − =
2z = ( 3,0,2)m =
2 2cos , 7| || | 77
n mn m n m
⋅< >= = =
2 77
(0,0,1)n =
平面 PBD 的一个法向量为 ；
二面角 P-BD-C 为钝角：二面角 P-AB-C 的余弦值为 ．
选择③得分要点（评分细则同①）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则）
平面 ABCD 的法向量 ；
平面 PBC 的法向量 ；
二面角 P-BC-D 为锐角；二面角 P-BC-D 的余弦值为 ．
（Ⅲ）假设棱 BC 上存在点 F， ．设 ．
依题意，可知 ， ，
， ，
， ，
则 ，而此方程组无解，
故假设不成立，所以结论成立．
19．（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）由题意得： ，解得： ， ， ．
所以椭圆的标准方程为： ．
（Ⅱ）依题意，若直线 l 的斜率不为零，
可设直线 ， ， ，
假设存在点 P，设 ，由题设， ，且 ， ．
( 3,2 3,2)m = −
2 1919
−
(0,0,1)n =
(1,2,2 3)m =
2 5117
//MF PC ,BF BCλ= [0,1]λ ∈
1 31, ,2 2M
−
( 2,1,0)BC = −
( 2 , ,0)BF λ λ= − (2 2 ,1 ,0)F λ λ= − +
3 31 2 , ,2 2MF λ λ = − + −
(0,3, 3)PC = −
1 2 0
3 32
3 32
λ
λ µ
µ
− =
+ =
− = −
2
2 2 2
2 3
1
2
b
a
c
a
a b c
=
=
= +
2a = 3b = 1c =
2 2
14 3
x y+ =
: 1( 0)l x my m= + ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
( )0 ,0P x 0 1x ≠ 0 1x x≠ 0 2x x≠
设直线 PA，PB 的斜率分别为 ，
则 ．
因为 在 上，
故 ．
而 x 轴上任意点到直线 PA，PB 距离均相等等价于“PF 平分∠APB”
所以等价于 ，
则
．
联立 ，消去 x，得： ，
有 ．
则
，
即 ，又 ，故 ．
当直线 l 的斜率为零时， 也符合题意．
故存在点 ，使得 x 轴上任意点到直线 PA，PB 距离均相等．
20．（本小题 15 分）
解：（I）因为 ，故 ．
依题意 ，即 ．
1,k 2k
1
1
1 0
,yk x x
= −
2
2
2 0
yk x x
= −
( )1 1, ,A x y ( )2 2,B x y 1x my= +
1 1 1,x my= + 2 2 1x my= +
1 2 0k k+ =
1 2
1 2
1 0 2 0
y yk k x x x x
+ = +− −
( )
( )( )1 2 2 1 0 1 2
1 0 2 0
x y x y x y y
x x x x
+ − += − −
( )( )
( )( )1 2 0 1 2
1 0 2 0
2 1 0my y x y y
x x x x
+ − += =− −
2 2
14 3
1
x y
x my
+ =
= +
( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − =
1 2 2
6 ,3 4
my y m
−+ = + 1 2 2
9
3 4y y m
−= +
( )( )( )0
1 2 2
1 0 2 0
18 6 60
3 4
m m mxk k
m x x x x
− − ++ = =
+ − −
( )( )( )0
2
1 0 2 0
24 6
3 4
m mx
m x x x x
− +=
+ − −
04 0m mx− + = 0m ≠ 0 4x =
(4,0)P
(4,0)P
2( ) e ( )xf x ax a= − ∈R ( ) e 2xf x ax′ = −
(1) e 2 0f a′ = − = e
2a =
当 时， ，
此时切线不与 x 轴重合，符合题意，因此 ．
（Ⅱ）由（I）知， ，
当 时，因为 ，
故 ，即 单调递增，
因此 ．
依题意，当 时， ，所以 符合题意．
当 时， ，令 ，有
， 变化如下：
- 0 +
极小值
故 ．
当 时，即 时， ， 单调递增，
因此 ．
依题意，令 ，有 ．
当 时，即 时， ， ，
故存在唯一 使 ．
此时有 ，即 ， ， 变化如下：
若 ，则 在 上的最大值小于 2，
所以 a 的取值范围为 ．
解法二：
（Ⅱ）当 时， 最大值不小于 2，
e
2a = (1) 02
ef = ≠
e
2a =
( ) e 2xf x ax′ = −
0a ≤ [0,1],x∈ e 0,x > 2 0ax− ≥
( ) 0f x′ > ( )f x
max( ) (1) ef x f a= = −
0a ≤ max( ) e e 2f x a= − ≥ > 0a ≤
0a > ( ) e 2xf x a′′ = − ( ) 0f x′′ = ln 2x a=
( )f x′′ ( )f x′
x ( ,ln 2 )a−∞ ln 2a (ln 2 , )a +∞
( )f x′′
( )f x′
min( ) 2 2 ln 2 2 (1 ln 2 )f x a a a a a′ = − = −
1 ln 2 0a− ≥ e0 2a< ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x max( ) (1) ef x f a= = − e 2a− ≥ 0 e 2a< ≤ − 1 ln 2 0a− < e 2a > (1) e 2 0f a′ = − < (0) 1 0f ′ = >
0 (0,1)x ∈ ( )0 0f x′ =
0
0e 2 0x ax− = 0
0e 2x ax= ( )f x′ ( )f x
( , 2]a e∉ −∞ − ( )f x [0,1]
( ,e 2]−∞ −
[0,1]x∈ ( )f x
等价于 在 上有解，显然 不是解，
即 在 上有解，
设 ， ，则 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 单调递减， ，
所以 ，所以 在 单调递增，
所以 ．
依题意 ，所以 a 的取值范围为 ．
解法三：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
（1）当 时， ，
设 ， ， ，
所以 在 单调递减，故 ．
所以 ，所以 在 单调递增，
因此 ，
依题意，令 ，得 ．
（2）当 时， ，
设 ，则 ，
所以 在 单调递增，故 ，
即 ，不符合题意．
综上所述，a 的取值范围为 ．
（Ⅲ）当 时， 有 0 个零点；
2( ) c 2xf x ax= − ≥ [0,1]x∈ 0x =
2
e 2x
a x
−≤ [0,1]x∈
2
e 2( )
x
g x x
−= [0,1]x∈
3
e 2e 4( )
x xxg x x
− +′ =
( ) e 2e 4x xh x x= − + [0,1]x∈ ( ) e ( 1) 0xh x x′ = − ≤
( )h x (0,1] ( ) (1) 4 e 0h x h≥ = − >
( ) 0g x′ > ( )g x (0,1]
max( ) (1) e 2g x g= = −
e 2a ≤ − ( ,e 2]−∞ −
( ) e 2xf x ax′ = −
e
2a ≤ ( ) e 2 e ex xf x ax x′ = − ≥ −
( ) e exh x x= − [0,1]x∈ ( ) e e 0xh x′ = − ≤
( )h x [0,1] ( ) (1) 0h x h≥ =
( ) 0f x′ ≥ ( )f x [0,1]
max( ) (1) ef x f a= = −
e 2a− ≥ e 2a ≤ −
e
2a > 2 2e( ) e e 2
x xf x ax x= − ≤ −
2e( ) e ,2
xx xϕ = − [0,1]x∈ ( ) e e ( ) 0xx x h xϕ′ = − = ≥
( )xϕ [0,1] max
e e( ) (1) e 22 2xϕ ϕ= = − = < ( ) 2f x < ( , 2]e−∞ − 0a ≤ ( )y f x=
当 时， 有 1 个零点；
当 时， 有 2 个零点；
当 时， 有 3 个零点．
（写对一个给 1 分，写对三个给 2 分，全对给 3 分）．
21．（本小题 14 分）
解：（I） ； ；
；
（Ⅱ）令 ，
（i）对 ，
当 时，有 ，
当 时，有 ．
所以
．
（ⅱ）证法 1：
设 ， ， ，
， ， ．
记 ，由（I）可知，
，
，
，
所以 中 1 的个数为 k，
2e0 4a< < ( )y f x= 2e 4a = ( )y f x= 2e 4a > ( )y f x=
(0,0),A = (0,1)B = (0,1),A = (0,0)B =
(1,0),A = (1,1)B = (1,1),A = (1,0)B =
( )1 2, , , ,nA a a a= ⋅⋅⋅ ( )1 2, , , ,nB b b b= ⋅⋅⋅ ( )1 2, , , nC c c c=
1,2, ,i n= ⋅⋅⋅
0ic = | |i i i i i ia c b c a b| − − − = −|
1ic = ( )| | | 1 1i i i i i i i ia c b c a b a b| − − − = − − − = −
1 1 2 2 2 2 2 2( , ) | | | | | | | |n n n nd A C B C a c b c a c b c a c b c− − = | − − − + | −| |− − +…+ − − −
1 1 2 2 ( , )n na b a b a b d A B= − + − +…+ − =
( )1 2, , , nA a a a= ⋅⋅⋅ ( )1 2, , , nB b b b= ⋅⋅⋅ ( )1 2, , , n nC c c c S= ⋅⋅⋅ ∈
( , )d A B k= ( , )d A C l= ( , )d B C h=
(0,0, ,0) nO S= ⋅⋅⋅ ∈
( , ) ( , ) ( , )d A B d A A B A d O B A k= − − = − =
( , ) ( , ) ( , )d A C d A A C A d O C A l= − − = − =
( , ) ( , )d B C d B A C A h= − − =
( 1,2, , )i ib a i n− =
的 1 的个数为 l．
设 t 是使 成立的 i 的个数，则 ．
由此可知，k，l，h 三个数不可能都是奇数，
即 三个数中至少有一个是偶数．
证法 2：
因为 ，
且 与 奇偶性相同，
所以 为偶数，故 为偶数．
所以 三个数中至少有一个是偶数．
（Ⅲ）记 为 P 中所有两个元素间距离的总和，
设 P 中所有元素的第 i 个位置的数字中共有 个 1， 个 0，
则 ．
因为 m 为奇数，所以 ,
且 或 时，取等号．
所以 ．
所以 ．
( 1,2, , )i ic a i n− =
1i i i ib a c a− = − = 2h l k t= + −
( , ),d A B ( , ),d A C ( , )d B C
( ) ( ) ( ) 0i i i i i ia b b c c a− + − + − =
( ) ( ) ( )i i i i i ia b b c c a− + − + − i i i i i ia b b c c a− + − + −
i i i i i ia b b c c a− + − + − ( , ) ( , ) ( , )d A B d B C d A C+ +
( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C
,
( , )
A B P
d A B
∈
∑
it im t−
( )
, 1
( , )
n
i i
A B P i
d A B t m t
∈ =
= −∑ ∑
( ) 2 1 ( 1,2, , )4i i
mt m t i n
−− ≤ = ⋅⋅⋅
1
2i
mt
−= 1
2
m +
( )2
,
1
( , ) 4A B P
n m
d A B
∈
−
≤∑
( )2
2 2
,
11 ( 1)( , ) 4 2p
A B Pm m
n m m nd d A BC C m∈
− += ≤ =∑
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