2020届高三数学4月大数据精选模拟卷03（北京卷 解析版）

1 2020 年 4 月高考大数据精选模拟卷 03 数学（北京卷） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题，共 40 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 2． （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 .故选：A． { }2, 1,0,1,2A = − − { }2 6 0B x x x= − − < A B = { }1,0,1,2- { }2, 1,0,1,2− − { }2, 1,0,1,2,3− − { }2, 1,0,1− − 3 1 i i i − =+ 1 i+ 2 2i+ 1 i− + 2 2i− + ( ) ( )( ) ( )3 2 12 1 11 1 1 1 i i i ii i i ii i i i − −= = = − = ++ + + −2 3．已知椭圆、双曲线均是以直角三角形 ABC 的斜边 AC 的两端点为焦点的曲线，且都过 B 点，它们的离 心率分别为 ，则 =（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】如图 由题，设椭圆的长半轴为 ，双曲线的半实轴为 ，根据椭圆和双曲线定义： 可得 设 在直角三角形 ABC 中，由勾股定理可得 即 即 2 故选 B 4．已知函数 （ 且 ），若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 1 2e e、 2 2 1 2 1 1 e e + 3 2 5 2 1a 2a 1 22 , 2AB BC a BC AB a+ = − = 1 2 1 2,BC a a AB a a= + = − 2AC c= 2 2 2 1 2 1 24 ( ) ( )c a a a a= − + + 2 2 2 1 2 2a a c+ = 2 2 1 2 1 1+ =e e ( ) , 1 log , 1 x a a xf x x x  ≤=  > 1a > 1a ≠ ( )1 2f = 1 2f f    =     1− 1 2 − 1 2 23 【解析】由题意，函数 且 ， ， 所以 ，所以 且 ，所以 ， 所以 ，故选 C． 5．不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得 所以 所以 所以 ，所以 .故选：D 6．若 展开式中二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ ） A．20 B． 160 C．160 D． 270 【答案】C 【解析】若 展开式中二项式系数之和为 64，则 ， ， 故 展开式的通项公式为 ，令 ， ， ( ) , 1 ( 1 log , 1 x a a xf x a x x  ≤= > > 1)a ≠ ( )1 2f = ( )1 2f a= = ( ) 2 2 , 1 ( 1 log , 1 x xf x a x x  ≤= > > 1)a ≠ 1 21( ) 2 22f = = 2 1 1( ( )) ( 2) log 22 2f f f= = = 2 3 12 1 x x x + − ≥− ( ] [ ), 1 2,−∞ − ∪ +∞ ( ] 1, 1 ,22  −∞ −    ( ] 1, 1 ,22  −∞ −    [ )11, 2,2  − +∞  2 3 1 0,2 1 x x x + − − ≥− 2 2 0,2 1 x x x − − ≥− 2)( 1) 0,2 1 x x x − + ≥− （ 2 1 0 (2 1)( 2)( 1) 0 x x x x − ≠  − − + ≥ 11 22x x− ≤ < ≥或 2 n x x  − −   − − 2 n x x  −   2 64n = 6n = 62x x  −   ( )6 6 2 1 6 6 2 2 r rr r r r rT C x C xx − − +  = ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅   6 2 0r− = 3r =4 故展开式中常数项为 ，故选：C． 7．已知正方体 的棱长为 2，点 在线段 上，且 ，平面 经过点 ，则正方体 被平面 截得的截面面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： 确定一个平面 ，因为平面 平面 ，所以 ，同理 ， 所以四边形 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为 ，所以 ， 即 所以 由余弦定理得： 所以 所以 四边形 故选：B 8．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重 ( )3 3 62 8 20 160C− − × = × = 1 1 1 1ABCD A B C D− P 1CB 1 2B P PC= α 1, ,A P C 1 1 1 1ABCD A B C D− α 3 6 2 6 5 5 3 4 1, ,A P C α 1 1 / /AA DD 1 1BB CC 1/ /AQ PC 1/ /AP QC 1APC Q 1 2B P PC= 1 1 2C B PC= 1PC PB= = 1 15, 2 3AP PC AC= = = 2 2 2 1 1 1 1 1cos 2 5 AP PC ACAPC AP PC + −∠ = =× 1 2 6sin 5APC∠ = S 1APQC 1 1 12 sin 2 62 AP PC APC= × × × ∠ =5 二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从 头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ） A．6 斤 B．7 斤 C．8 斤 D．9 斤 【答案】D 【解析】原问题等价于等差数列中，已知 ，求 的值. 由等差数列的性质可知： ，则 ，即中间三尺共重 斤. 本题选择 D 选项. 9．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对 、 、 三个县区进行调研，每 个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至 县区的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】某市农业经济部门派三位专家对 、 、 三个县区进行调研，每个县区派一位专家，故调研的 情况的基本事件总数为 ， ， ， ， ， ，六种情况， 甲专家恰好派遣至 县区的情况为 ， ，两种情况，则甲专家恰好派遣至 县区的概率为： . 故选：B. 10．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人 吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周 长如果除以其高度的两倍，得到的商为 3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形， 整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约 230 米．因年久风化，顶端剥落 10 米， 则胡夫金字塔现高大约为（ ） A．128.5 米 B．132.5 米 C．136.5 米 D．110.5 米 【答案】C 1 54, 2a a= = 2 3 4a a a+ + 1 5 2 4 1 5 36, 32 a aa a a a a ++ = + = = = 2 3 4 9a a a+ + = 9 A B C A 1 2 1 3 1 6 2 3 A B C ABC ACB BAC BCA CAB CBA A ABC ACB A 2 1 6 3 =6 【解析】胡夫金字塔原高为 ，则 ，即 米， 则胡夫金字塔现高大约为 136.4 米．故选 C． 第二部分（非选择题，共 110 分） 二、填空题：本题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．设向量 ， ，若 ∥ ，则 x＝_____，若 ，则 x＝_____． 【答案】 【解析】因为 ，所以有 ，解得 ；若 ，则有 ，解得 .故答案为 ， . 12．函数 在 上的值域为________ 【答案】 【解析】 ， 当 时， ，故 ， 故 .故答案为： . 13．若椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，双曲线 的一条渐近线与 椭圆 E 在第一象限交于点 P，线段 中点的纵坐标为 0，则椭圆 E 的离心率为________． 【答案】 h 230 4 3.141592h × = 230 4 146.42 3.14159h ×= ≈× ( )1 4a = − ， ( )2 3 4b x= − − ， a b a b⊥  4 7 6 / /a b ( ) ( ) ( )1 3 4 4 2x× − = − × − 4x = a b⊥  ( ) ( ) ( )1 2 4 3 4 0x× − + − × − = 7 6x = 4 7 6 2( ) tan 60 sin 2 2 3sinf x x x= ° + ,2 π π     [ 6 3,2 3]− + ( )2( ) 3sin 2 3 2 3sin 3 3sin 2 3 cos2 3f x x x x x= − − + = − + 6 sin 2 34x π = − +   ,2x π π ∈   3 72 ,4 4 4x π π π − ∈   2sin 2 1,4 2x π   − ∈ −      6 sin 2 3 [ 6 3,2 3]4x π − − ∈ − +   [ 6 3,2 3]− + 2 2 2 2: 1( 0)y xE a ba b + = > > 1F 2F 2 2 2 2 116 15 x y− = 2PF 3 57 【解析】 由题可得点 ，由线段 中点的纵坐标为 0，得点 的纵坐标为 ，又点 在椭圆上且在第一象 限，则有 ，解得点 的横坐标为 ，由双曲线 ，得渐近线 与椭圆交于 点 ，则有 ，整理得 ，即 ，由 ，得 . 故答案为： 14．函数 的最小正周期是________ 【答案】 【解析】解：函数 （ sin2x cos2x）cos2x sin4x • （ sin4x cos4x） sin（4x ） 的最小正周期是 ，故答案为： ． 15．如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角 三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到 1023 个正方形.设初始正方形的边长为 ，则最小正方形的边长为_____. 【答案】 2 (0, )F c− 2PF P c P 2 2 2 2 1c x a b + = P 2b a 2 2 2 2 116 15 x y− = 15 16y x= 2 ( , )P b ca 215 16 b ca = 2 215( ) 16 0a c ac− − = 215(1 ) 16 0e e− − = 0 1e< < 3 5e = 3 5e = ( ) sin(2 )cos23f x x x π= − 2 π ( ) 2 23f x sin x cos x π = − =   1 2 3 2 − 1 4 = 3 2 − 1 4 1 2 2 cos x+ = 1 2 3 2 − 3 4 − 1 2 = 3 π− 3 4 − 2 4 2 π π= 2 π 2 1 168 【解析】记初始正方形的边长为 ，经过 次生长后的正方形的边长为 ，经过 次生长后正方形 的个数为 ，由题可知，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ， 由题可知， ，令 ，解得 ， 最小正方形的边长为 ，故答案为： . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题 14 分） 如图，在四面体 中， ， 分别是线段 ， 的中点， ， ， ，直线 与平面 所成的角等于 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 【答案】(Ⅰ)见证明； (Ⅱ) ． 【解析】（Ⅰ）在 中， 是斜边 的中点，所以 .因为 是 的中点， 所以 ，且 ，所以 ，所以 . 又因为 ， 所以 ，又 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平 面 ． 1a 1n − na 1n − nb { }na 2 2 2 ∴ 1 1 222 22 n n na − − = =    ( )2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 12 1 n n n nb − ⋅ − = + + + + = = −− 2 1 1023n nb = − = 10n = ∴ 101 2 10 12 16a −= = 1 16 ABCD E F AD BD 90ABD BCD∠ = ∠ =  2EC = 2AB BD= = EC ABC 30 EFC ⊥ BCD A CE B− − 1 3 tR BCD∆ F BD 1 12FC BD= = ,E F ,AD BD 1 12EF AB= = 2EC = 2 2 2EF FC EC+ = EF FC⊥ , / /AB BD EF AB⊥ EF BD⊥ BD FC F∩ = EF ⊥ BCD EF ⊂ EFC EFC ⊥ BCD9 （Ⅱ）方法一：取 中点 ，连 ，则 ， 因为 ，所以 .又因为 ， ，所以 平面 ，所 以 平面 ．因此 是直线 与平面 所成的角． 故 ，所以 .过点 作 于 ，则 平面 ， 且 ．过点 作 于 ，连接 ，则 为二面角 的平面 角．因为 ，所以 ， 所以 ，因此二面角 的余弦值为 ． 方法二： 如图所示，在平面 BCD 中，作 x 轴⊥BD，以 B 为坐标原点，BD，BA 所在直线为 y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系 ． 因为 (同方法一,过程略) AC M ME / /ME CD 1 22CE AD= = CD AC⊥ CD BC⊥ AC BC C∩ = CD ⊥ ABC ME ⊥ ABC ECM∠ EC ABC 2 2 cos30 6AC MC EC= = ⋅ = 2CD BC= = B BN AC⊥ N BN ⊥ ACD 2 3 3 AB BCBN AC ⋅= = B BH EC⊥ H HN BHN∠ A CE B− − 2BE BC EC= = = 2 23 6 6,2 2 6BH BE HN BH BN= = = − = 1cos 3 HNBHN BH ∠ = = A CE B− − 1 3 Bxyz 2CD BC= =10 则 ， , ．所以 , , ， 设平面 的法向量 ，则 ，即 ，取 ,得 ． 设平面 的法向量 则 ，即 ，取 ,得 ． 所以 ，由图形得二面角 为锐角，因此二面角 的余 弦值为 ． 17．（本小题 14 分） 设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前 n 项和．已知 ，且 是 和 的等 差中项． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，求证： ． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 （1）由已知，得 ，解得 ，设数列 的公比为 q，则 ， ， ．由 ，可知 ， ，解得 ， ， 由题意，得 ， ． ．故数列 的通项公式为 ． ( )1,1,0C ( )0,0,2A ( )0,1,1E ( )= 1,0,1CE − ( )0,1,1BE = ( )0,1, 1AE = − ACE ( )1 1 1, ,m x y z= · 0 C · 0 AE m E m  =  =     1 1 1 1 0 0 y z x z − = − + = 1 1x = ( )1,1,1m = BCE ( )2 2 2, ,n x y z= · 0 · 0 BE n CE n  =  =     2 2 2 2 0 0 y z x z + = − + = 2 1x = ( )1, 1,1n = − · 1 1cos , = 33 3 m nm n m n = = ×      A CE B− − A CE B− − 1 3 { }na nS { }na 3 7S = 23a 1 3a + 3 4a + { }na ( )( )11 1 n n n n ab a a + = + + { }nb nT 1 2nT < 12n na -= ( ) ( ) 1 2 3 1 3 2 7 3 4 32 a a a a a a + + = + + + = 2 2a = n{ }a 1 2a q = ∴ 1 2a q = 2 3 1 2a a q q= = 3 7S = 2 2 2 7qq + + = ∴ 22 5 2 0q q− + = 1 2q = 2 1 2q = 1q > ∴ 2q = ∴ 1 1a = n{ }a 1 2 2na −=11 （2） ， ． 18．（本小题 14 分） 在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望 知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下： 第一种：选取 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为： 84，87，89，91，92，91，87，89，90，90； 第二种：选取 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为 81， 87，83，82，80，84，86，89，84，79；该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于 85 的确认为药物有效， 否则确认为药物无效． （Ⅰ）写出第一种试验方案的 10 个数据的极差、中位数、方差； （Ⅱ）现需要从已服用乙药的 10 只白鼠中随机抽取 3 只，记其中服药有效的只数为 ，求 的分布列与期 望； （Ⅲ）该团队的另一实验室有 1000 只白鼠，其中 800 只为正常白鼠，200 只为患病白鼠，每用新研制的甲 药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有 90%为正常白鼠，但正常白鼠仍有 变为患病白 鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用 次甲药后此实验室正常白鼠的只数为 ． ①求 并写出 与 的关系； ②要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有 940 只，求最大的正整数 的值． 【答案】（Ⅰ）极差为 8，中位数为 89.5，方差 5.2（Ⅱ）见解析， （Ⅲ）① ， ( )( ) ( )( ) 1 11 1 2 1 1 1 1 2 1 2 12 1 2 1 n n n n nn n n n ab a a − −− + = = = −+ + + ++ + 0 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n nnT −        = − + − + − +…+ −       + + + + + + + +        1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2n n = − = − + + [ ]1,1− 2 3 1m x x< − + ( ) 2 3 1g x x x= − + ( )g x [ ]1,1− ( )g x [ ]1,1− ( )1 1g = − 1m < − m ( ), 1−∞ − C ( )2 2 0y px p= > F l P C E l PEF∆ 8 C ( )1,0 n C ,A B 23FA FB⋅ = −  FAB∆ 2y 8x= 2 6 ( )1 PF PE= PE ⊥ l l PE / /DF PEF PEF 60∠ =  EFD 60∠∴ =  1DF EF cos EFD 8 42 ∠= ⋅ = × = p 4= ∴ 2y 8x= ( )2 ( )1,0 x ty 1= + 2y 8x x ty 1 = = +  2y 8ty 8 0− − = ( )1 1A x , y ( )2 2B x , y 1 2y y 8t+ = 1 2y y 8= − ( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2x x ty 1 ty 1 t y y t y y 1 1= + + = + + + = ( ) 2 1 2 1 2x x t y y 2 8t 2+ = + + = + FA FB 23⋅ = −  ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 1 2 1 2x 2, y x 2, y x 2 x 2 y y− ⋅ − = − − +14 ，解得 ． 不妨取 ，则直线方程为 ． ． 而 F 到直线 的距离 ． 的面积为 ． 21．（本小题 14 分） 对于定义域为 的函数 ，若同时满足下列条件：① 在 内有单调性；②存在区间 ， 使 在区间 上的值域也为 ，则称 为 上的精彩函数， 为函数 的精彩区间． （1）求精彩区间 符合条件的精彩区间； （2）判断函数 是否为精彩函数？并说明理由． （3）若函数 是精彩函数，求实数 的取值范围． 【答案】(1) , , ;(2)不是精彩函数,证明见解析;(3) . 【解析】(1)由函数 在定义域上为增函数,则由题意可得 ,解得 ,所以函 数 符合条件的精彩区间有: , , . (2) 不是精彩函数,证明如下: 由函数 在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+ )上单调递增,可得函数 在定 ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2x x 2 x x 4 y y 1 2 8t 2 4 8 23= − + + + = − + + − = − t 1= ± t 1= x y 1 0− − = 2 2 2 1 2 1 2AB 1 t (y y ) 4y y 2 8 32 8 3= + ⋅ + − = ⋅ + = x y 1 0− − = 1 2 1 2d 22 × −= = FAB∴ 1 28 3 2 62 2 × × = D ( )f x ( )f x D [ ],a b D⊆ ( )f x [ ],a b [ ],a b ( )f x D [ ],a b ( )f x 3y x= ( ) ( )4 0f x x xx = + > ( ) 4g x x m= + + m [ ]1,0− [ ]1,1− [ ]0,1 ]17 , 44m ∈ − − 3y x= 3 3 a a b b a b  =  =  ∞ ( ) 4f x x x = +15 义域(0,+ )上不单调,即不满足精彩函数的第一个条件,所以函数 不是精彩函数. (3)由函数 定义域为 ,且易知函数在定义域上为单调递增函数, 因函数 是精彩函数,则需 有两个不等的实数解,即方程 有两个不等的实数根设为 ,且 , , , 则令 , 由题意得: ,联立解得 ∞ ( ) ( )4 0f x x xx = + > ( ) 4g x x m= + + [ )4,− +∞ ( ) 4g x x m= + + ( ) 4= + + =g x x m x ( )2 22 1 4 0x m x m− + + − = 2 1x x> 2 1 4x x> ≥ − 2 1x x m> ≥ ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 4 4 2 m m m x + − + − − = ( ) ( )2 22 1 4h x x m x m= − + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 4 0 2 1 42 2 1 2 1 4 4 2 4 0 m m m m m m m h  = + − − >  + > − + − + − − ≥   − ≥  ]17 , 44m ∈ − −