四川省南充市高级中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学(理)试题(解析版)
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四川省南充市高级中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

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资料简介
2019-2020 学年度上期 高 2018 级第二次月考数学试卷(理) 第Ⅰ卷 一、选择题 1.设 , ,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 ,即 . 【详解】 ,即 . .故 B 正确. 考点:集合间的关系. 2.直线 的倾斜角是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出直线的斜率,然后求解直线的倾斜角即可. 【详解】因为直线 x+y﹣1=0 的斜率为: , 直线的倾斜角为:α. 所以 tanα , α=120° 故选:C. 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法,基本知识的应用. 3. 为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该 地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样 { | 4}P x x= < 2{ | 4}Q x x= < P Q⊆ Q P⊆ RP C Q⊆ RQ C P⊆ 2 4 2 2 2x x x< ⇒ < ⇒ − < < { | 2 2}Q x x= − < < Q P∴ ⊆ 2 4 2 2 2x x x< ⇒ < ⇒ − < < { | 2 2}Q x x= − < < Q P∴ ⊆ 3 1 0x y+ − = 30 60 120 150 3 3− 3= −方法中,最合理的抽样方法是( ) A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 【答案】C 【解析】 试题分析:符合分层抽样法的定义,故选 C. 考点:分层抽样. 4. 若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析:先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假,再判断“|a|=1”时,“a=1”的真假,进而结合充要条件的定义即可得 到答案. 解:当“a=1”时,“|a|=1”成立 即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题 但“|a|=1”时,“a=1”不一定成立 即“|a|=1”时,“a=1”为假命题 故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件 故选 A 点评:本题考查的知识点是充要条件,其中根据绝对值的定义,判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”时,“a=1”的真 假,是解答本题的关键. 5.按照程序框图(如图)执行,第 4 个输出的数是(  )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 按步骤写出对应程序,从而得到答案. 【详解】解:第一次输出的 ,则 ,满足条件 ,然后 第二次输出的 ,则 ,满足条件 ,然后 第三次输出的 ,则 ,满足条件 ,然后 第四次输出的 ,则 ,满足条件 ,然后 第五次输出的 ,则 ,不满足条件 ,然后退出循环 故第 4 个输出的数是 7 故选 C. 【点睛】本题主要考查算法框图,重在考查学生的计算能力和分析能力. 6.函数 的图象大致是    A. B. C. D. 1A = 1 1 2S = + = 5S ≤ 1 2 3A = + = 3A = 2 1 3S = + = 5S ≤ 3 2 5A = + = 5A = 3 1 4S = + = 5S ≤ 5 2 7A = + = 7A = 4 1 5S = + = 5S ≤ 7 2 9A = + = 9A = 5 1 6S = + = 5S ≤ ( ) sinf x x x= ( )【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性排除选项 B、C 项,然后利用特殊值判断,即可得到答案. 【详解】由题意,函数 满足 , 所以函数 为偶函数,排除 B、C, 又因为 时, ,此时 ,所以排除 D, 故选 A. 【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题,其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除,以及利用 特殊值进行合理判断是解答的关键,着重考查了分析问题解决问题的能力,属于基础题. 7.已知 是两个不同的平面,下列四个条件中能推出 的是(  ) ①存在一条直线 ; ②存在一个平面 ; ③存在两条平行直线 ; ④存在两条异面直线 . A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 试题分析:对①,由线面垂直的性质知①能推出 ,对②,如教室的墙角的两墙面都与底面垂直,则 这两个墙面不平行;对③由图 3 知, ,但 相交,故③推不出,结合选 项,排除 A,B,D,故选 C. 考点:空间线面、面面平行垂直的判定与性质 8.已知平面向量 =(1,-3), =(4,-2),λ + 与 垂直,则 λ=(  ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 ( )f x xsinx= ( ) ( ) ( )f x xsin x xsinx f x− = − − = = ( )f x ( )x π,2π∈ sinx 0< ( )f x 0< ,α β / /α β , ,m m mα β⊥ ⊥ , ,γ γ α γ β⊥ ⊥ , , , , / / , / /m n m n m nα β β α⊂ ⊂ , , , , / / , / /m n m n m nα β β α⊂ ⊂ / /α β , , , , / / , / /a b a b a bα β β α⊂ ⊂ ,α β a b a b a【分析】 求出 λ + 的坐标,利用 列方程求解即可 【详解】 =(1,-3), =(4,-2), ∴λ + =λ(1,-3)+(4,-2)=(λ+4,-3λ-2), ∵λ + 与 垂直, ∴λ+4+(-3)(-3λ-2)=0, ∴λ=-1,故选 A. 9.如图,在直二面角的棱上有 、 两点,直线 、 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 ,已知 , , ,则直线 与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 建立空间坐标系,求出两条异面直线的方向向量,代入夹角公式,可得答案. 【详解】以 A 为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 则 A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,0,6),D(4,﹣8,0), 故 (4,0,0), (4,﹣8,﹣6), 故直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 , 故选:A. a b ( ) 0a b aλ ⋅ =  + a b a b a b a A B AC BD AB 4AB = 6AC = 8BD = AB CD 2 29 29 29 29 5 29 29 2 203 29 AB = CD = 2 29 29 AB CD AB CD ⋅ = ⋅    【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,异面直线及其所成的角,难度不大,属于基 础题. 10.椭圆 的焦点在 轴上,则它的离心率的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆 1 的焦点在 x 轴上,确定 a 的范围,表示出椭圆的离心率,利用基本不等式,可得 结论. 【详解】∵椭圆 1 的焦点在 x 轴上, ∴5a>4a2+1 ∴ ∵椭圆的离心率为 (当且仅当 ,即 a 时取等号) ∴椭圆的离心率的取值范围为(0, ] 故选:C. 【点睛】本题考查椭圆 标准方程与离心率,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于基础 题. 11.已知函数 ( ),若不等式 对任意实数 恒成立,则实 数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 的 2 2 2 15 4 1 x y a a + =+ x 10, 5      1 ,15     50, 5      5 ,15      2 2 25 4 1 x y a a + =+ 2 2 25 4 1 x y a a + =+ 1 14 a< < 25 4 1 1 1 1 1 51 4 1 2 45 5 5 5 a a a aa a a − −  = − + ≤ − × × =   14a a = 1 2 = 5 5 ( ) 3 3f x x x= + x∈R ( ) ( )22 4 0f m mt f t+ + < 1t ≥ m ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ +∞ ( ), 2−∞ − ( )2, 2− − ( ), 2−∞ −【解析】 【分析】 根据题意,分析可得函数 f(x)为奇函数且为增函数,进而可以将原问题转化为 m 对任意实数 t≥1 恒成立,由基本不等式的性质分析可得 有最小值 ,进而分析可得 m 的取值范围. 【详解】根据题意,函数 f(x)=x3+3x,其定义域为 R,关于原点对称, 有 f(﹣x)=﹣(x3+3x)=﹣f(x),则 f(x)为奇函数, 又由 f′(x)=3x2+3>0,则 f(x)为增函数, 若不等式 f(2m+mt2)+f(4t)<0 对任意实数 t≥1 恒成立, 则 f(2m+mt2)<﹣f(4t),即 2m+mt2<﹣4t 对任意实数 t≥1 恒成立, 2m+mt2<﹣4t⇔m ,即 m , 又由 t≥1,则 t 2 ,则 有最小值 ,当且仅当 时等号成立 若 m 对任意实数 t≥1 恒成立,必有 m ; 即 m 的取值范围为(﹣∞, ); 故选:D. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,关键是分析判断函数 f(x)=x3+3x 的奇偶性与单调 性. 12.已知等比数列 满足 ,且 , , 成等差数列,则 的最大值为( ) A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等比数列通项公式和等差数列定义列出方程组,求出首项和公比,从而得到 , 进而 a1a2a3…an=24+3+2+1+…+(5﹣n) ,由此能求出结果. 【详解】∵等比数列{an}满足 a2a5=2a3,且 a4, ,2a7 成等差数列, 4 2t t − + < 4 2t t − + 2− 2 4 2 t t − +< 4 2t t − + < 2 t + ≥ 2 4 2t t − + 2− 2t = 4 2t t − + < 2<− 2− { }na 2 5 32a a a= 4a 5 4 72a 1 2 na a a⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ 1 5116 ( ) 22 n n na − −= × = 2 9 22 n n− + = 5 4∴ , 解得 , ∴ , ∴a1a2a3…an=24+3+2+1+…+(5﹣n) , ∴当 n=4 或 n=5 时, a1a2a3…an 取最大值,且最大值为 210=1024. 故选:C. 【点睛】本题考查等比数列、等差数列等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程 思想、化归与转化思想,是中等题. 第Ⅱ卷 二、填空题 13.已知等差数列 的通项公式 ,则它的公差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用等差数列的定义可得出该数列的公差. 【详解】因为数列 为等差数列,且 . ,因此,等差数列 的公差为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式求公差,考查计算能力,属于基础题. 14.在 中,角 , , 的对边分别为 ,若 ,则 等于____ 【答案】 【解析】 由已知.在 中, , . 15.已知 ,任取 、 ,则使得 的概率是________. 4 2 1 1 1 3 6 1 1 2 52 2 4 a qa q a q a q a q  = + = × 1 116 2a q= =, 1 5116 ( ) 22 n n na − −= × = 2 9 22 n n− + = { }na 3 2na n= − 2− { }na 3 2na n= − ( ) ( )1 3 2 1 3 2 2n na a n n+ − = − + − − = − { }na 2− 2− ABC∆ A B C , ,a b c 2 2 2 3b c a bc+ − = A 6 π ABC∆ 2 2 2 3cos 2 2 b c aA bc + −= = 6A π= [ ], 2,2x y∈ − x y ( )2 2 4 0x y x y+ − − ≤【答案】 【解析】 【分析】 先把(x2+y2﹣4) 0 转化为 ;画出图形求出图中阴影部分占正方形的面积比即 可. 【详解】(x2+y2﹣4) 0 等价于 不等式 ; 画出图形,如图所示; 则不等式组表示的是图中的阴影部分, 所求的概率为 P . 故答案为: . 【点睛】本题考查了几何概型的应用问题,解题时应根据题意画出图形,计算对应图形的面积,是基础题 目. 16.若对圆 上任意一点 , 的取值与 , 无关,则 实数 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得故|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点 P 到直线 m:3x﹣4y+a=0 与直线 l:3x﹣4y﹣9=0 距离之 和的 5 倍,进一步分析说明圆位于两直线内部,再由点到直线的距离公式求解直线 3x﹣4y+a=0 与圆相切 8 π x y− ≤ 2 2 0 4 0 x y x y − ≥  + − ≤ x y− ≤ 2 2 0 4 0 x y x y − ≥  + − ≤ 21 22 4 4 8 π π× × = =× 8 π ( ) ( )2 21 + 1 =1x y− − ( )P ,x y 3 4 3 4 9x y a x y− + + − − x y a 6a ≥时的 a 值,则答案可求. 【详解】设 z=|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|=5( ), 故|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点 P(x,y)到直线 m:3x﹣4y+a=0 与直线 l:3x﹣4y﹣9=0 距离之和的 5 倍, ∵|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|的取值与 x,y 无关, ∴这个距离之和与点 P 在圆上的位置无关, 如图所示:可知直线 m 平移时,P 点与直线 m,l 的距离之和均为 m,l 的距离, 即此时圆在两直线内部, 当直线 m 与圆相切时, , 化简得|a﹣1|=5, 解得 a=6 或 a=﹣4(舍去), ∴a≥6. 故答案为:a≥6. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,考查数学转化思想方法,属于难 题. 三、解答题 17.已知命题 :方程 无解,命题 : , 恒成立,若 是 真命题,且 也是真命题,求 的取值范围. 【答案】 . 2 2 2 2 3 4 3 4 9 3 4 3 4 x y a x y− + − −+ + + 2 2 3 4 1 3 4 a− + = + p 2 2 7 10 0x mx m− + − = q [ )4,x∈ +∞ 0x m− ≥ p q∨ p q∧ m ( ]2,4【解析】 【分析】 先求出当 , 为真时命题的等价条件,再利用复合命题及其真假求解即可. 【详解】当 为真时,有: ,解得: ; 当命题 为真时,有: ,对 恒成立,即 , 由 是真命题,且 也是真命题得: 与 都是真命题;即 综上,所求 的取值范围是 【点睛】本题考查了复合命题及其真假,考查二次方程及恒成立问题,正确求解命题为真的条件是关键, 是中档题 18.已知三角形 的顶点坐标为 , , , 是 边上的中点. (Ⅰ)求 边所在直线的方程; (Ⅱ)求中线 的长; (Ⅲ)求 边的高所在直线的方程. 【答案】(1) 6x-y+11=0 (2) (3) 【解析】 【分析】 (1)由两点式直接写方程,(2)求出中点,用两点距离公式求解,(3)求出 AB 的斜率,得到 边上高 的斜率,进而可得 边的高所在直线的方程 【详解】解:(1)由两点式写方程得 , 即 6x-y+11=0 或 直线 AB 的斜率为 直线 AB 的方程为 即 6x-y+11=0 (2)设 M 的坐标为( ),则由中点坐标公式得 故 M(1,1) p q p ( ) ( )22 4 7 10 0m m∆ = − − − < 2 5m< < q m x≤ [ )4,x∈ +∞ 4m ≤ p q∨ p q∧ p q 2 4m< ≤ m ( ]2,4 ABC ( 1,5)A − ( 2, 1)B − − (4,3)C M BC AB AM AB 2 5AM = 1 11 6 3y x= − + AB AB(3) , 则 边的高所在直线的方程为 即 19.某公司在若干地区各投入 4 万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由 于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从 0 开始计数的. (1)根据频率分布直方图,计算图中各小长方形的宽度; (2)根据频率分布直方图,估计投入 4 万元广告费用之后,销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表 该组的取值); (3)按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表: 广告投入 (单位:万元) 1 2 3 4 5 销售收益 (单位:百万元) 2 3 2 7 表中的数据显示, 与 之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并计算 关于 的回归方 程. 附公式: , . 【答案】(1)2;(2) ;(3) . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据频率分布直方图,由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1,可计算图中各小长方形 宽度; (Ⅱ)以各组的区间中点值代表该组的取值,即可计算销售收益的平均值; (Ⅲ)求出回归系数,即可得出结论. 【详解】(Ⅰ)设各小长方形 宽度为 ,由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1,可知 ,故 ; 的 的 6 61ABk = = AB 1 ( 4) 36y x= − − + 1 11 6 3y x= − + x y x y y x 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑  a y bx= −  5 1.2 0.2y x= + m ( )0.08 0.1 0.14 0.12 0.04 0.02 0.5 1m m+ + + + + ⋅ = = 2m =(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是 , 其中点分别为 ,对应的频率分别为 , 故可估计平均值为 ; (Ⅲ)由(Ⅱ)知空白栏中填 5. 由题意可知, , , , , 根据公式,可求得 , , 即回归直线 方程为 . 【点睛】本题考查回归方程,考查频率分布直方图,考查学生的读图、计算能力,属于中档题. 20.在如图所示的几何体中,四边形 是等腰梯形, , , .在 梯形 中, ,且 , , 平面 . (1)求证: . (2)求二面角 的正切值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)证明 BC⊥AC.EC⊥BC,推出 BC⊥平面 ACEF,然后证明 BC⊥AF. (2)建立空间直角坐标系,求出平面 DEF 法向量,平面 EFA 法向量,利用空间向量的数量积求解二面角 D﹣EF﹣A 的正切值即可. 的 [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]0,2 , 2,4 , 4,6 , 6,8 , 8,10 , 10,12 1,3,5,7,9,11 0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04 1 0.16 3 0.2 5 0.28 7 0.24 9 0.08 11 0.04 5× + × + × + × + × + × = 1 2 3 4 5 35x + + + += = 2 3 2 5 7 3.85y + + + += = 5 1 1 2 2 3 3 2 4 5 5 7 69i i i x y = = × + × + × + × + × =∑ 5 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 5 55i i x = = + + + + =∑ 2 69 5 3 3.8 12 1.255 5 3 10 ˆb − × ×= = =− × 3.8 1.2 3 0ˆ .2a = − × = 1.2 .2ˆ 0y x= + ABCD AB CD∥ 60ABC∠ = ° 2 2AB CB= = ACEF EF AC 2AC EF= 6 4CE = EC ⊥ ABCD BC AF⊥ D EF A− − 6 3【详解】(1)在 中, ,所以 ,由勾股 定理知: ,故 . 又因为 平面 , 平面 , 所以 ,而 , 所以 平面 ,又 平面 , 所以 . (2)由题易知可建如图所示空间直角坐标系,则 , , , , , , 设平面 法向量为 , 则由 知: , ,故取 . 而由(1)知:平面 法向量为 , . 故 , , 二面角 的正切值为 . 【点睛】本题考查直线与平面垂直 判断定理以及性质定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想 象能力以及逻辑推理能力,是中档题. 的 ABC∆ 2 2 2 2 cos60 3AC AB BC AB BC= + − ⋅ ° = 2 2 2AC AB BC= + 90ACB∠ = ° BC AC⊥ EC ⊥ ABCD BC ⊆ ABCD EC BC⊥ EC AC C∩ = BC ⊥ ACEF AF ⊆ ACEF BC AF⊥ ( )0,0,0C ( )3,0,0A ( )0,1,0B 60,0, 4E       3 1, ,02 2D  −    3 6,0,2 4F       DEF ( ), ,n a b c= 0 0 n DE n DF  ⋅ =  ⋅ =   0a = 6 2b c= − ( )0, 6, 2n = − EFA ( )0,1,0CB = 15cos , 5 n CBn CB n CB ⋅∴ = = ⋅      10sin , 5n CB∴ =  6tan , 3n CB∴ =  ∴ D EF A− − 6 321.已知圆 C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直线 l:x﹣y+3=0.当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 时,求 (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)求过点(3,5)并与圆 C 相切的切线方程. 【答案】(Ⅰ)a=1;(Ⅱ)5x﹣12y+45=0 或 x=3. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l 的距离 d,然后根据垂径定理得到弦心距,弦的一半及圆的半径成直角三角形,利用勾股对了列出关于 a 的方程, 求出方程的解即可得到 a 的值,然后由 a 大于 0,得到满足题意 a 的值; (Ⅱ)把(Ⅰ)求出 a 的值代入圆的方程中确定出圆的方程,即可得到圆心的坐标,并判断得到已知点在 圆外,分两种情况:当切线的斜率不存在时,得到 x=3 为圆的切线;当切线的斜率存在时,设切线的斜率 为 k,由(3,5)和设出的 k 写出切线的方程,根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,利用 点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d,让 d 等于圆的半径即可列出关于 k 的方程,求出方程的解 即可得到 k 的值,把 k 的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.综上,得到所有满足题意的切线的 方程. 【详解】解:(Ⅰ)依题意可得圆心 C(a,2),半径 r=2, 则圆心到直线 l:x﹣y+3=0 的距离 , 由勾股定理可知 ,代入化简得|a+1|=2, 解得 a=1 或 a=﹣3, 又 a>0,所以 a=1; (Ⅱ)由(1)知圆 C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4,圆心坐标为(1,2),圆的半径 r=2 由(3,5)到圆心的距离为 r=2,得到(3,5)在圆外, ∴①当切线方程的斜率存在时,设方程为 y﹣5=k(x﹣3) 由圆心到切线的距离 d r=2, 化简得:12k=5,可解得 , ∴切线方程为 5x﹣12y+45=0; 2 2 ( )22 2 3 1 21 1 a ad − + += = + − 2 2 22 2( )2d r+ = 4 9 13+ = > 2 2 3 1 k k − += = + 5 12k =②当过(3,5)斜率不存在直线方程为 x=3 与圆相切. 由①②可知切线方程为 5x﹣12y+45=0 或 x=3. 【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值,灵 活运用点到直线的距离公式化简求值,是一道综合题 22.已知椭圆 经过点 ,且右焦点 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)过 的直线 交椭圆 与 , 两点,记 ,若 的最大值和最小值分别为 , ,求 的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1) 列方程组求解出 , 即可; (2) 对 k 讨论,分别建立方程组,找到根与系数关系,建立 t 的恒成立方程进行求解. 【详解】解:(1)有椭圆 的右焦点为 ,知 ,即 , 则: 又椭圆过点 ,则 ,又 ,求得 椭圆方程: . (2)当直线 斜率存在时,设 的方程为 , 由 得 ,即 , 在椭圆内部, , 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b Γ + = > > ( 2,1)M − ( 3,0)F Γ (1,0)N AB Γ A B •t MA MB=   t 1t 2t 1 2t t+ 2 2 16 3 x y+ = 1 2 13 2t t+ = 2a 2b 2 2 2 2 1x y a b + = ( )3,0 2 2 3a b− = 2 2 3b a= − 2 2 2 2 2 1, 33 x y aa a + = >− ( )2,1M − 2 2 4 1 13a a + =− 2 3a > 2 6a = ∴ 2 2 16 3 x y+ = AB AB ( ) ( ) ( )1 1 2 21 , , , ,y k x A x y B x y= − ( ) 2 2 16 3 1 x y y k x  + =  = − ( )22 22 1 6x k x+ − = ( )2 2 2 21 2 4 2 6 0k x k x k+ − + − = ( )1,0 0∆ >, 则 , ③ 将①②代入③得 , , , 则 ,即 , 又 是 两个根, , 当直线 斜率不存在时,联立 得 , 不妨设 , , . 可知 . 综上 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系,考查转化能力与计算能力, 属于中档题目. 2 1 2 2 2 1 1 2 4 ...........1 2 2 6..............2 1 kx x k kx x k  + = +∴ − = + ① ② ( )( ) ( )( )1 2 1 2• 2 2 1 1t MA MB x x y y= = + + + − −  ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22 4 1 1x x x x kx k kx k= + + + + − − − − ( ) ( )( )2 2 2 1 2 1 21 2 2 5k x x k k x x k k= + + − − + + + + ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 6 41 • 2 • 2 52 1 2 1 k kt k k k k kk k −= + + − − + + ++ + 2 2 15 2 1 2 1 k kt k + −∴ = + ( ) 215 2 2 1 0,t k k t k R∴ − + − − = ∈ ( )( )22 4 15 2 1 0t t∆ = + − + ≥ ( )( )2 15 1 1 0t t∴ − + − ≤ 22 13 16 0t t− − ≤ 1 2,t t 22 13 16 0t t− − = 1 2 13 2t t∴ + = AB 2 2 16 3 1 x y x  + =  = 10 2y = ± 10 101, , 1,2 2A B    −          103, 12MA  = −     103, 12MB  = − −     10 15• 9 14 2MA MB = − + =  1 2 15 2t t< < 1 2 13 2t t+ =

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