2020年八年级数学开学摸底考检测题（人教版，广东专用）

2020 年开学摸底考八年级数学（人教版，广东专用） B 卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一、 选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共计 30 分） 1．下列各式一定是二次根式的是（　　） A． ―5 B．3 7m C． 8 D． a b 【答案】C 【解析】A、二次根式无意义，故 A 错误； B、是三次根式，故 B 错误； C、被开方数是正数，故 C 正确； D、当 b=0 或 a、b 异号时，根式无意义，故 D 错误． 故选：C． 2．a、b、c 三角形的三边长，且（a＋b）2=c2＋2ab，则这个三角形是( ) A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等边三角形 【答案】B 【精准分析】根据题意可得： a2＋2ab＋b2= c2＋2ab，则 a2＋b2= c2，则这个三角形就是直角三角形.本题主 要考察勾股定理的逆定理 3.如图，□ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 BC 的中点．若 OE=4 cm，则 CD 的长为 ( ) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10cm 【答案】：C 【精准分析】由题意得，四边形 ABCD 是平行四边形，由平行四边形性质得，AB=CD,O 是 AC 的中点，因 为点 E 是 BC 的中点，所以在△ABC 中，OE 是中位线，又因为 OE=4cm，所以 AB=8，因此 CD=8 4．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　） A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5 【答案】A 【解析】A、∵ 22 + 32= 13＞3，2+3＞3，∴能组成锐角三角形； B、∵ 22 + 32= 13＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形； C、∵2+3=5，∴不能组成三角形； D、∵ 32 + 42=5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形． 故选：A． 5，已知 x，y 为实数，y= x ― 3＋ 3 ― x＋2，则 x＋y 的值等于（ ） A、2 B、3 C、4 D、5 【答案】D 【精准分析】由题意得，x－3≥0, 同时 3－x≥0，解得 x=3，则 y=2，因为 x＋y=3＋2=5，故选择 D 6，已知 a＋2 a ，则 a 的取值范围是（　　） A．a ≥－2 且 a≠0 B．a＞2 C a＞－2 D．a＞0 【答案】A 【解析】由已知， a＋2 a ，得 a＋2≥0，且 a≠0，解可得： a ≥－2 且 a≠0，故选 A． 7，如图，一个梯子 AB 长 25 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 15 米，梯子滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 5 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？ A、2 B、3 C、4 D、5 【答案】在 Rt△ABC 中，AB=25 米，BC=15 米，故 AC2=AB2－BC2=400，则 AC=20 米， 在 Rt△ECD 中，AB=DE=25 米，CD=（15+5）=20 米，故 EC2=DE2－CD2=225，则 EC=15 米， 因此 AE=AC﹣CE=20﹣15=5 米．故选择 D 【精准分析】在 RT△ABC 中，根据勾股定理得：AC=20 米，由于梯子的长度不变，在 RT△CDE 中，根据 勾股定理，求出 CE，从而即可得出答案． 8，已知 n 是一个正整数， 135n是整数，则 n 的最小值是（　　） A．3 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【解析】∵ 135n=3 15n，若 135n是整数，则 15n也是整数； ∴n 的最小正整数值是 15； 故选：C． 9，如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 中点，连接 AF，BE，CE，DF 分别交于点 M，N，四 边形 EMFN 是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定【答案】 【精准分析】求出四边形 ABFE 为平行四边形，四边形 BFDE 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出 BE ∥FD，即 ME∥FN，同理可证 EN∥MF，得出四边形 EMFN 为平行四边形，求出 ME=MF，根据菱 形的判定得出即可． 解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD∥BC，AD=BC， 又∵E，F 分别为 AD，BC 中点，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF， ∴四边形 ABFE 为平行四边形，四边形 BFDE 为平行四边形， ∴BE∥FD，即 ME∥FN，同理可证 EN∥MF，∴四边形 EMFN 为平行四边形， ∵四边形 ABFE 为平行四边形，∠ABC 为直角， ∴ABFE 为矩形，∴AF，BE 互相平分于 M 点， ∴ME=MF，∴四边形 EMFN 为菱形．故选 B． 10，如图，在菱形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（6，1），点 D 的坐标为（0，1），则点 C 的坐标为（ ） A,（3,2） B,（5,2） C，（3，1） D，（3,3） 【答案】A 【精准分析】连接 AC、BD 交于点 E，由菱形的性质得出 AC⊥BD，AE=CE=AC÷2，BE=DE=BD÷2，由点 B 的坐标和点 D 的坐标得出 OD=1，求出 DE=3，AC=2，即可得出点 C 的坐标． 解：连接 AC、BD 交于点 E，如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AE=CE=AC÷2，BE=DE=BD÷2，∵点 B 的坐标为（6，1），点 D 的坐标为（0，1）， ∴OD=1，BD=6，∴AE=OD=1，DE=3，∴AC=2，∴点 C 的坐标为：（3，2）； 故答案为：（3，2）． 二、填空題（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11，计算（ 75 ― 27）÷ 3的结果是 【答案】原式=（ 75 ― 27）÷ 3 =（5 3 ―3 3）÷ 3 =2 【精准分析】主要考察二次根式的混合运算，先化简，在计算即可 12，要想式子 a ― 2 a ― 1有意义，则 a 的取值范围为 【答案】由题意得 a ― 2 a ― 1= a ― 2 a ― 1，则有 a－2≥0 且 a－1＞0，因此 a＞1 【精准分析】本题主要考察二次根式有意义的条件，最重要还要考虑分母不为 0 13，如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC，BC=5，，BE=8,则四边形 BCDE 的周长等于　 　． 【答案】18 【精准分析】∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠AEB=∠EBC， ∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=CD，∴CD+DE=AE＋ED=BC=5， ∴四边形 BCDE 的周长为 CD+DE＋BC＋BE=2BC＋BE=10＋8=18 14．一个长方体木箱的长、宽、高分别是 12、4、3，则能放进此木箱中的木棒最长为______． 【答案】13m． 【精准分析】如图，由勾股定理可得，侧面对角线 BC2=32+42=52，即 CB=5m，再由 AC=12m，根据勾股定 理可得 AB2=122＋52=169，则 AB=13m，所以空木箱能放的最大长度为 13m． 15，如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AE⊥AD 交 BD 于点 E，CF⊥BC 交 BD 于点 F，且 AE=CF．四边 形 ABCD 为______ 四边形． 【答案】见解析 【精准分析】证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°， ∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF， 在 Rt△AED 和 Rt△CFB 中，∵ ， ∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC， ∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形． 16，如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20、3、2，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是　　．【答案】25 【解析】如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为 20，宽为（2+3）×3， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得：x=25．故答案为 25． 二、 解答题（总 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17，计算：|2－ 5|－ 2× 1 8＋5 2 【答案】原式= 5 ― 1 2＋5 2 = 5＋2 【精准分析】主要考察二次根式的综合运算，首先要化简二次根式，再根据二次根式的运算法 则运算即可 18 先化简，再求值： a a ― b（1 b ― 1 a）＋a ― 1 b ，其中 a=3，b=1 4 【答案】原式=： a a ― b（1 b ― 1 a）＋a ― 1 b =（ a a ― b × 1 b ― a a ― b × 1 a）＋a ― 1 b =（ a b（a ― b） ― 1 a ― b）＋a ― 1 b =1 b＋a ― 1 b =a b所以当 a=3，b= 1 4，则原式= a b = 12 【精准分析】本题主要考查分式的计算，首先化简再把代数式代入即可求出值 19．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点 E，CF⊥AD，垂足为点 F，并且 AE=DF． 求证：四边形 BECF 是平行四边形． 【答案】见解析 【精准分析】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠AEB=∠DFC=90°， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠D， 在△AEB 与△DFC 中， ， ∴△AEB≌△DFC（ASA）， ∴BE=CF． ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴BE∥CF． ∴四边形 BECF 是平行四边形． 四、解答题（总 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）20，如图，在△ABC 中，AB=25,BC=28,AC=17,AD 是 BC 边上的高，求 AD 的长． 【答案】解，设 BD=x，则，CD=28－x， 则在 Rt△ABD 中，根据勾股定理得 AD2=AB2－BD2=225－x2 在 Rt△ACD 中，根据勾股定理得 AD2=AC2－CD2=172－（28－x）2 可得方程 255－x2=172－（28－x）2 解得 x=20，故 BD=20 则 AD2=AB2－BD2=225－202=125 因此 AD=15 【精准分析】主要考查直角三角形的勾股定理，根据两个直角三角形即可形成方程，解方程求解即可 21．如图所示，一根长 2.5 米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时 OB 的距离为 0.7 米，设木棍的中点为 P．若木棍 A 端沿墙下滑，且 B 端沿地面向右滑行． （1）如果木棍的顶端 A 沿墙下滑 0.4 米，那么木棍的底端 B 向外移动多少距离？ （2）请判断木棍滑动的过程中，点 P 到点 O 的距离是否变化，并简述理由． （3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．【答案】解：（1）在直角△ABO 中，已知 AB=2.5m，BO=0.7m， 则 AO= 2.52 ― 0.72m=2.4m， ∵AO=AC+OC， ∴OC=2m， ∵直角三角形 CDO 中，AB=CD，且 CD 为斜边， ∴OD= (퐶퐷)2 ― (푂퐶)2=1.5m， ∴据 BD=OD﹣OB=1.5m﹣0.7m=0.8m； （2）不变． 理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边 AB 不变，所以斜边上的中线 OP 不变； （3）当△AOB 的斜边上的高 h 等于中线 OP 时面积最大． 如图，若 h 与 OP 不相等，则总有 h＜OP， 故根据三角形面积公式，有 h 与 OP 相等时△AOB 的面积最大， 此时，S△AOB=1 2퐴퐵 ⋅ ℎ=1 2×2.5×1.25=1.5625． 所以△AOB 的最大面积为 1.5625m2．【精准分析】（1）在直角三角形 ABO 中，已知 AB，BO 根据勾股定理即可求 AO 的长度，根据 AO=AC+OC 即可求得 OC 的长度，在直角三角形 CDO 中，已知 AB=CD，CO 即可求得 OD 的长度，根据 BD=OD﹣OB 即可求得 BD 的长度． （2）木棍滑动的过程中，点 P 到点 O 的距离不会变化．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一 半即可判断； （3）当△AOB 的斜边上的高 h 等于中线 OP 时，△AOB 的面积最大，就可以求出． 22，已知：如图,在 ABCD 中，分别在对角线 AC 的延长线和反向延长线上，截取 CF=AE，连结 BF， FD，DE，EB．求证：四边形 EBFD 是平行四边形。 【答案】证明：连结 BD，与 AC 交于 O 点， ∵四边形 ABCD 是平行四边形（已知） ∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分） 又∵AE=CF（已知） ∴OA+AE=OC+CF ∴OE=OF 又∵OB=OD ∴四边形 EBFD 是平行四边形 A B C D F E（两条对角线互相平分的四边形是平行四边形） 五、解答题（共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23, 一根直立的旗杆 AB 长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从 C 点处折断，顶部(B)着地，离杆脚(A)4 m，如图， 工人在修复的过程中，发现在折断点 C 的下面 1.25 m 的 D 处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从 D 处 刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】在 Rt△ABC 中，AB ＝4 m，设 BC＝x m，则 AC＝(8－x)m. 由勾股定理，得 BC2＝AC2＋AB2，即 x2＝(8－x)2＋42， 解得 x＝5.如果下次旗杆从 D 处刮断， 设着地点为 E，则 DE＝BC＋CD＝5＋1.25＝6.25(m)，AD＝AC－CD＝3－1.25＝1.75(m) 在 Rt△ADE 中，由勾股定理，得 AE2＝DE2－AD2＝6.252－1.752＝36，∴AE＝6 m． ∴杆脚周围 6 m 范围内有被砸伤的危险． 【精准解析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股 定理可将折断杆脚周围范围内被砸伤的位置求出． 24, ．如果正数 a、b、c 满足 a+c=2b，求证： 1 a＋ b＋ 1 b＋ c = 2 c＋ a，． 【答案】见过程． 【解析】根据 a+c=2b，可知 a﹣b=b﹣c， 又 1 c＋ a﹣ 1 a＋ b= b ― c （ c＋ a）（ a＋ b） = b ― c （ c＋ a）（ b＋ c）（ a＋ b）= a ― b （ c＋ a）（ c＋ b）= 1 b＋ c ― 1 c＋ a= 2 c＋ a，得证． 25．如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E．F 分别是 BC．AD 的中点，连接 EF 并延长，分别与 BA，CD 的延长线交于点 M，N，则∠BME=∠CNE（不必证明） （温馨提示：在图（1）中，连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HE．HF，根据三角形中位线定理，证明 HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME=∠CNE） （1）如图（2），在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E．F 分别是 BC．AD 的中点，连 接 EF，分别交 CD．BA 于点 M．N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论． （2）如图（3）中，在△ABC 中，AC＞AB，D 点在 AC 上，AB=CD，E．F 分别是 BC．AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若∠EFC=60°，连接 GD，判断△AGD 形状并证明． 【答案】见解析 【解析】（1）取 AC 中点 P，连接 PF，PE， 可知 PE=AB 2 ，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理 PF=CD 2 ，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME， 又 PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN 为等腰三角形． （2）判断出△AGD 是直角三角形． 证明：如图连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 HF、HE， ∵F 是 AD 的中点，∴HF∥AB，HF=1 2AB， 同理，HE∥CD，HE=1 2CD， ∵AB=CD，∴HF=HE，∴∠HEF=∠HFE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°， ∴△EHF 是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF 是等边三角形． ∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°，∴∠AGD=90° 即△AGD 是直角三角形．