2010-2019十年高考数学真题分类汇编17复数（附解析）

1 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题 17 复数 1.(2019·全国 1·文 T1)设 z= 3 - i 1 + 2i,则|z|= (  ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 【答案】C 【解析】∵z= 3 - i 1 + 2i, ∴z= (3 - i)(1 - 2i) (1 + 2i)(1 - 2i) = 1 5 ― 7 5i, ∴|z|= (1 5)2 + ( - 7 5)2 = 2. 故选 C. 2.(2019·全国 3·理 T2 文 T2)若 z(1+i)=2i,则 z=(  ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】D 【解析】z= 2i 1 + i = 2i(1 - i) (1 + i)(1 - i) = 2 + 2i 2 =1+i.故选 D. 3.(2019·北京·理 T1 文 T2)已知复数 z=2+i,则 z·z=(  ) A. 3 B. 5 C.3 D.5 【答案】D 【解析】∵z=2+i,∴z=2-i. ∴z·z=(2+i)(2-i)=5. 故选 D. 4.(2019·全国 2·文 T2)设 z=i(2+i),则푧=(  ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 【答案】D 【解析】z=2i+i2=-1+2i,则푧=-1-2i.故选 D. 5.(2019·全国 1·理 T2)设复数 z 满足|z-i|=1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则(  ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 2 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 【答案】C 【解析】设 z=x+yi(x,y∈R). 因为 z-i=x+(y-1)i, 所以|z-i|= x2 + (y - 1)2=1, 则 x2+(y-1)2=1.故选 C. 6.(2019·全国 2·理 T2)设 z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由 z=-3+2i,得푧=-3-2i,则在复平面内푧对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选 C. 7.(2018·全国 1·理 T1 文 T2)设 z=1 - i 1 + i+2i,则|z|=(  ) A.0 B.1 2 C.1 D. 2 【答案】C 【解析】因为 z= (1 - i)2 (1 + i)(1 - i)+2i= -2i 2 +2i=i,所以|z|=1. 8.(2018·全国 2·理 T1)1 + 2i 1 - 2i=(  ) A.-4 5 ― 3 5i B.-4 5 + 3 5i C.-3 5 ― 4 5i D.-3 5 + 4 5i 【答案】D 【解析】1 + 2i 1 - 2i = (1 + 2i)(1 + 2i) (1 - 2i)(1 + 2i) = 1 - 4 + 4i 5 =-3 5 + 4 5i. 9.(2018·全国 2·文 T1)i(2+3i)=(  ) A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i 【答案】D 【解析】i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i. 10.(2018·全国 3·理 T2 文 T2)(1+i)(2-i)=(  ) 3 A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 【答案】D 【解析】(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i. 11.(2018·北京·理 T2 文 T2)在复平面内,复数 1 1 - i的共轭复数对应的点位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】∵ 1 1 - i = 1 + i (1 - i)(1 + i) = 1 + i 2 = 1 2 + 1 2i,∴ 1 2 + 1 2i 的共轭复数为1 2 ― 1 2i,而 1 2 ― 1 2i 对应的点的坐标为 (1 2, - 1 2),点(1 2, - 1 2)位于第四象限,故选 D. 12.(2018·浙江·4)复数 2 1 - i (i 为虚数单位)的共轭复数是(  ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【答案】B 【解析】∵ 2 1 - i = 2(1 + i) (1 - i)(1 + i) = 2(1 + i) 2 =1+i, ∴复数 2 1 - i的共轭复数为 1-i. 13.(2017·全国 1·理 T3)设有下面四个命题 p1:若复数 z 满足1 z∈R,则 z∈R; p2:若复数 z 满足 z2∈R,则 z∈R; p3:若复数 z1,z2 满足 z1z2∈R,则 z1=z2; p4:若复数 z∈R,则z∈R. 其中的真命题为(  ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 【答案】B 【解析】p1:设 z=a+bi(a,b∈R),则1 z = 1 a + bi = a - bi a2 + b2∈R,所以 b=0,所以 z∈R.故 p1 正确; p2:因为 i2=-1∈R,而 z=i∉R,故 p2 不正确; p3:若 z1=1,z2=2,则 z1z2=2,满足 z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故 p3 不正确; 4 p4:实数的虚部为 0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 p4 正确. 14.(2017·全国 2·理 T1)3 + i 1 + i =(  ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 【答案】D 【解析】3 + i 1 + i = (3 + i)(1 - i) (1 + i)(1 - i) = 4 - 2i 2 =2-i,故选 D. 15.(2017·全国 2·文 T2)(1+i)(2+i)= (  ) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i 【答案】B 【解析】(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选 B. 16.(2017·山东·文 T2)已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=1+i,则 z2=(  ) A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】(方法一)∵z=1 + 푖 푖 =1+1 푖=1-i, ∴z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i. (方法二)由 zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,即-z2=2i.所以 z2=-2i. 17.(2017·全国 3·理 T2)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=(  ) A.1 2 B. 2 2 C. 2 D.2 【答案】C 【解析】由题意,得 z= 2푖 1 + 푖=1+i,故|z|= 12 + 12 = 2. 18.(2017·全国 1·文 T3)下列各式的运算结果为纯虚数的是(  ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 【答案】C 【解析】∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i 为纯虚数,故选 C. 19.(2017·山东·理 T2)已知 a∈R,i 是虚数单位.若 z=a+ 3i,z·푧=4,则 a=(  ) A.1 或-1 B. 7或- 7 5 C.- 3 D. 3 【答案】A 【解析】由 z=a+ 3i,得 z·푧=|z|2=a2+3=4,所以 a2=1,a=±1,选 A. 20.(2017·全国 3·文 T2)复平面内表示复数 z=i(-2+i)的点位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由题意可得 z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选 C. 21.(2017·北京·理 T2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是(  ) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 【答案】B 【解析】设 z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数 z 在复平面内对应的点 (a+1,1-a)在第二象限,所以{a + 1 < 0, 1 - a > 0,解得 a 0, m - 1 < 0,解得-3