2010-2019十年高考数学真题分类汇编15推理与证明（附解析）

1 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题 15 推理与证明 1.(2019·全国 2·文 T5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为(  ) A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 【答案】A 【解析】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,即甲的成绩比乙高,丙的成绩比乙低,故三人按成绩由高到低的 次序为甲、乙、丙.若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意.若丙预测正确,则甲预测错误,即丙的成绩 比乙高,乙的成绩比甲高,即丙的成绩比甲、乙都高,即乙的预测也正确,不合题意,故选 A. 2.(2017·全国 2·理 T7 文 T9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四 人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(  ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D 【解析】因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙 知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因 为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选 D. 3.(2016·北京·理 T8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任 意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复 上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(  ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 2 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】B 【解析】若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两 个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入 甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占 一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球 与丙盒中黑球一样多,选 B. 4.(2014·北京·理 T8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”. 若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”. 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生, 那么这组学生最多有(  ) A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人 【答案】B 【解析】用 A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得 A 的学生最多只有一人,语文成绩得 B 的 也最多只有 1 人,得 C 的也最多只有 1 人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为 3 人. 5.(2014·山东·理 T4)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的 假设是(  ) A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 【答案】A 【解析】因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程 x3+ax+b=0 没有实根. 6.(2012·江西·理 T6)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10+b10=(  ) A.28 B.76 C.123 D.199 【答案】C 【解析】利用归纳 3 法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a 9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123. 规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和. 7.(2017·北京·文 T14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (ⅰ)男学生人数多于女学生人数; (ⅱ)女学生人数多于教师人数; (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为 4,则女学生人数的最大值为  ; ②该小组人数的最小值为  . 【答案】6 12 【解析】设男学生人数为 x,女学生人数为 y,教师人数为 z, 则 x,y,z 都是正整数,且{x > 푦, y > 푧, 2z > 푥, x,y,z ∈ N*, 即 2z>x>y>z,x,y,z∈N*. ①教师人数为 4,即 z=4,8>x>y>4,所以 y 的最大值为 6,故女学生人数的最大值为 6. ②由题意知 2z>x>y>z,x,y,z∈N*. 当 z=1 时,2>x>y>1,x,y 不存在; 当 z=2 时,4>x>y>2,x,y 不存在; 当 z=3 时,6>x>y>3,x=5,y=4,此时该小组人数最少,人数为 5+4+3=12. 8.(2017·北京·文 T13)能够说明“设 a,b,c 是任意实数,若 a>b>c,则 a+b>c”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为   . 【答案】-1,-2,-3(答案不唯一) 【解析】答案不唯一,如令 a=-1,b=-2,c=-3,则 a>b>c,而 a+b=-3=c,能够说明“设 a,b,c 是任意实数,若 a>b>c,则 a+b>c”是假命题. 9.(2016·全国 2·理 T15 文 T16)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡 片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相 同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是  . 【答案】1 和 3 【解析】由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1 和 2”或“1 和 3”.若丙的卡片上的数字是“1 和 4 2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2 和 3”,甲的卡片上的数字是“1 和 3”,此时与甲说的话一 致;若丙的卡片上的数字是“1 和 3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2 和 3”,甲的卡片上的数 字是“1 和 2”,此时与甲说的话矛盾. 综上可知,甲的卡片上的数字是“1 和 3”. 10.(2016·山东·文 T12)观察下列等式: (sinπ 3)-2 + (sin2π 3 )-2 = 4 3×1×2; (sinπ 5)-2 + (sin2π 5 )-2 + (sin3π 5 )-2 + (sin4π 5 )-2 = 4 3×2×3; (sinπ 7)-2 + (sin2π 7 )-2 + (sin3π 7 )-2 +…+(sin6π 7 )-2 = 4 3×3×4; (sinπ 9)-2 + (sin2π 9 )-2 + (sin3π 9 )-2 +…+(sin8π 9 )-2 = 4 3×4×5; …… 照此规律:(sin π 2n + 1)-2 + (sin 2π 2n + 1)-2 + (sin 3π 2n + 1)-2 +…+(sin 2nπ 2n + 1)-2 =. 【答案】4 3n(n+1) 【解析】由等式可知,等式右边共三个数相乘,第 1 个数都是4 3;第 2 个数与该等式所在行数相同,第 3 个数比 第 2 个数大 1, 所以第 n 个式子等号右边为4 3n(n+1). 11.(2015·山东·理 T11)观察下列各式: C01=40; C03 + C13=41; C05 + C15 + C25=42; C07 + C17 + C27 + C37=43; …… 照此规律,当 n∈N*时,C02n-1 + C12n-1 + C22n-1+…+Cn-1 2n-1=  . 【答案】4n-1 【解析】等号右侧指数规律为 0,1,2,…,n-1.所以第 n 个式子为C02n-1 + C12n-1 + C22n-1+…+Cn-1 2n-1=4n-1. 12.(2015·福建·理 T15)一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2…xn(n∈N*),其中 xk(k=1,2,…,n)称为第 k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 5 0). 已知某种二元码 x1x2…x7 的码元满足如下校验方程 组:{x4 ⊕ x5 ⊕ x6 ⊕ x7 = 0, x2 ⊕ x3 ⊕ x6 ⊕ x7 = 0, x1 ⊕ x3 ⊕ x5 ⊕ x7 = 0, 其中运算￿定义 为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用上述校验方程组 可判定 k 等于  . 【答案】5 【解析】若 1≤k≤3,则 x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足 x4⊕x5⊕x6⊕x7=0; 若 k=4,则二元码为 1100101,不满足 x1⊕x3⊕x5⊕x7=0; 若 k=5,则二元码为 1101001,满足方程组,故 k=5. 13.(2015·陕西·文 T 16)观察下列等式 1-1 2 = 1 2 1-1 2 + 1 3 ― 1 4 = 1 3 + 1 4 1-1 2 + 1 3 ― 1 4 + 1 5 ― 1 6 = 1 4 + 1 5 + 1 6 …… 据此规律,第 n 个等式可为. 【答案】1-1 2 + 1 3 ― 1 4+…+ 1 2n - 1 ― 1 2n = 1 n + 1 + 1 n + 2+…+ 1 2n  【解析】经观察知,第 n 个等式的左侧是数列{( - 1)n-1·1 n}的前 2n 项和,而右侧是数列{1 n}的第 n+1 项到第 2n 项的和,故为 1-1 2 + 1 3 ― 1 4+…+ 1 2n - 1 ― 1 2n = 1 n + 1 + 1 n + 2+…+ 1 2n. 14.(2014·全国 1·理 T 14 文 T 14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为  . 【答案】A 【解析】根据甲、乙、丙说的可列表得 6 A B C 甲 √ × √ 乙 √ × × 丙 √ 15.(2014·陕西,理 14)观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是  . 【答案】F+V-E=2 【解析】因为 5+6-9=2,6+6-10=2, 6+8-12=2,故可猜想 F+V-E=2. 16.(2014·北京·文 T14)顾客请一位工艺师把 A,B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成 这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客. 两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:      工序  时间 原料   粗加工 精加工 原料 A 9 15 原料 B 6 21 则最短交货期为  个工作日. 【答案】42 【解析】最短交货期为先由徒弟完成原料 B 的粗加工,共需 6 天,然后工艺师加工该件工艺品,需 21 天;徒弟 可在这几天中完成原料 A 的粗加工;最后由工艺师完成原料 A 的精加工,需 15 个工作日.故交货期为 6+21+15=42 个工作日. 17.(2014·安徽·文 T12)如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2 2 ,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1;过 点 A1 作 AC 的 垂 线 , 垂 足 为 A2; 过 点 A2 作 A1C 的 垂 线 , 垂 足 为 A3;…, 依 此 类 推 , 设 BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则 a7=  . 7 【答案】1 4 【解析】由题意知数列{an}是以首项 a1=2,公比 q= 2 2 的等比数列,∴a7=a1·q6=2×( 2 2 )6 = 1 4. 18.(2013·安徽·理 T14)如图,互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分别在角 O 的两条边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等.设 OAn=an.若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是  【答案】an= 3n - 2 【解析】设S△OA1B1=S, ∵a1=1,a2=2,OAn=an,∴OA1=1,OA2=2. 又易知△OA1B1∽△OA2B2, ∴ S△OA1B1 S△OA2B2 = (OA1)2 (OA2)2=(1 2)2 = 1 4. ∴S梯形A1B1B2A2=3S△OA1B1=3S. ∵所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等, 且△OA1B1∽△OAnBn, ∴ OA1 OAn = S△OA1B1 S△OAnBn = S S + 3(n - 1)S = 1 3n - 2. ∴ a1 an = 1 3n - 2,∴an= 3n - 2. 19.(2012·陕西·理 T11)观察下列不等式 1+ 1 22 < 3 2, 1+ 1 22 + 1 32 < 5 3, 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 < 7 4, …… 照此规律,第五个不等式为   . 8 【答案】 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + 1 62 < 11 6 【解析】由前几个不等式可知 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42+…+ 1 n2 < 2n - 1 n . 所以第五个不等式为 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + 1 62 < 11 6 . 20.(2012·福建·文 T16)某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案.方案设计图中,点表示城市,两点之间连 线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城 市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的线路图如图(1),则最 优设计方案如图(2),此时铺设道路的最小总费用为 10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3),则铺设道路的最小总费用为  . 【答案】16 【解析】由题意知,各城市相互到达,且费用最少为 1+2+2+3+3+5=16=FG+GD+AE+EF+GC+BC. 21.(2017·浙江·T22)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).证明:当 n∈N*时, (1)00, 假设 n=k 时,xk>0, 那么 n=k+1 时,若 xk+1≤0, 则 00. 因此 xn>0(n∈N*). 所以 xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1. 9 因此 0