2010-2019十年高考数学真题分类汇编07解三角形（附解析）

1 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题 07 解三角形 一、选择题 1.(2019·全国 1·文 T11)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asin A-bsin B=4csin C,cos A=-1 4,则b c=(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 【解析】由已知及正弦定理,得 a2-b2=4c2, 由余弦定理的推论,得-1 4=cos A=b2 + c2 - a2 2bc , ∴c2 - 4c2 2bc =-1 4,∴-3c 2b=-1 4, ∴b c = 3 2×4=6,故选 A. 2.(2018·全国 2·理 T6 文 T7)在△ABC 中,cos C 2 = 5 5 ,BC=1,AC=5,则 AB=(  ) A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5 【答案】A 【解析】∵cos C=2cos2C 2-1=-3 5,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×3 5=32. ∴AB=4 2. 3.(2018·全国 3·理 T 9 文 T 11)△ABC 的内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c.若△ABC 的面积为a2 + b2 - c2 4 ,则 C=(  ) A.π 2 B.π 3 C.π 4 D.π 6 【答案】C 【解析】由 S=a2 + b2 - c2 4 = 1 2absin C,得 c2=a2+b2-2absin C.又由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C, ∴sin C=cos C,即 C=π 4. 4.(2017·山东·理 T9)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(  ) 2 A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 【答案】A 【解析】∵sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, ∴sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C, ∴sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, ∴2sin Bcos C=sin Acos C, 又△ABC 为锐角三角形,∴2sin B=sin A, 由正弦定理,得 a=2b.故选 A. 5.(2017· 全 国 1 · 文 T11) △ ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c. 已 知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2,则 C=(  ) A. π 12 B.π 6 C.π 4 D.π 3 【答案】B 【解析】由题意结合三角形的内角和,可得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则 sin C(sin A+cos A)=0,因为 sin C>0,所以 sin A+cos A=0,即 tan A=-1,因为 A∈ (0,π),所以 A=3π 4 .由正弦定理 a sinA = c sinC,得 2 sin3π 4 = 2 sinC,即 sin C=1 2,所以 C=π 6,故选 B. 6.(2016·全国 3·理 T8)在△ABC 中,B=π 4,BC 边上的高等于1 3BC,则 cos A=(  ) A.3 10 10 B. 10 10 C.- 10 10 D.-3 10 10 【答案】C 【解析】设 BC 边上的高为 AD,则 BC=3AD. 结合题意知 BD=AD,DC=2AD, 所以 AC= AD2 + DC2 = 5AD,AB= 2AD. 由余弦定理,得 cos A=AB2 + AC2 - BC2 2AB·AC =2AD2 + 5AD2 - 9AD2 2 × 2AD × 5AD =- 10 10 ,故选 C. 7.(2016·全国 3·文 T9)在△ABC 中,B=π 4,BC 边上的高等于1 3BC,则 sin A=(  ) A. 3 10 B. 10 10 C. 5 5 D.3 10 10 【答案】D 3 【解析】记角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 则由题意,得 S△ABC=1 2a·a 3 = 1 2acsin B, ∴c= 2 3 a.∴b2=a2+( 2 3 a)2 -2a· 2a 3 · 2 2 = 5a2 9 ,即 b= 5a 3 .由正弦定理 a sinA = b sinB,得 sinA=asinB b = a × 2 2 5a 3 = 3 10 10 .故选 D. 8.(2016·全国 1·文 T4)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= 5,c=2,cos A=2 3,则 b= (  ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 【答案】D 【解析】由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 即 5=b2+4-4b×2 3,即 3b2-8b-3=0, 又 b>0,解得 b=3,故选 D. 9.(2016·天津·理 T3)在△ABC 中,若 AB= 13,BC=3,∠C=120°,则 AC=(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】由余弦定理得 13=9+AC2+3AC,∴AC=1.故选 A. 10.(2016·山东·文 T8)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 b=c,a2=2b2(1-sin A),则 A=(  ) A.3π 4 B.π 3 C.π 4 D.π 6 【答案】C 【解析】由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A, 又因为 b=c, 所以 a2=b2+b2-2b×bcos A=2b2(1-cos A). 由已知 a2=2b2(1-sin A),所以 sin A=cos A. 因为 A∈(0,π),所以 A=π 4. 11.(2015·广东·文 T5)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 3,cos A= 3 2 且 bb=2,∴B 为锐角. ∴cos B= 1 - sin2B = 2 7 7 . ∴cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B= 7 14. 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=7+4-2×2× 7 × 7 14=7+4-2=9.∴c=3. 5.(2018·北京·文 T 14)若△ABC 的面积为 3 4 (a2+c2-b2),且∠C 为钝角,则∠B= ________; c a的取值范围 是  . 7 【答案】π 3(2,+∞) 【解析】由余弦定理得 cos B=a2 + c2 - b2 2ac , ∴a2+c2-b2=2accos B. 又∵S= 3 4 (a2+c2-b2),∴1 2acsin B= 3 4 ×2accos B, ∴tan B= 3,∴∠B=π 3.又∵∠C 为钝角, ∴∠C=2π 3 -∠A>π 2,∴00,∴sin A=1 2. 由余弦定理得 cos A=b2 + c2 - a2 2bc = 8 2bc = 4 bc>0, ∴cos A= 3 2 ,bc= 4 cosA = 8 3 3 , ∴S△ABC=1 2bcsin A=1 2 × 8 3 3 × 1 2 = 2 3 3 . 7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连接 CD,则△BDC 的面积 是  ,cos∠BDC=  . 【解析】依题意作出图形,如图所示,则 sin ∠DBC=sin ∠ABC. 由题意知 AB=AC=4,BC=BD=2, 则 sin ∠ABC= 15 4 ,cos ∠ABC=1 4. 8 所以 S△BDC=1 2BC·BD·sin ∠DBC=1 2×2×2× 15 4 = 15 2 . 因 为 cos ∠ DBC=-cos ∠ ABC=-1 4 = BD2 + BC2 - CD2 2BD·BC = 8 - CD2 8 , 所 以 CD= 10. 由 余 弦 定 理 , 得 cos ∠ BDC= 4 + 10 - 4 2 × 2 × 10 = 10 4 . 8.(2017·全国 3·文 T15)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60°,b= 6,c=3,则 A=  . 【答案】75° 【解析】由正弦定理得 b sinB = c sinC, 即 sin B=bsinC c = 6 × 3 2 3 = 2 2 . 因为 b